Carnaval Matemáticas: El artículo matemático más corto de la historia

Este artículo matemático con un solo párrafo, una sola referencia bibliográfica, título, autores y afiliaciones, podría ser el artículo matemático más corto (L. J. Lander and T. R. Parkin, “Counterexample to Euler’s conjecture on sums of like powers,” Bull. Amer. Math. Soc. 72: 1079, 1966), pero existen otros aún más cortos (dependiendo de la definición de longitud que decidamos tomar). El más parco en palabras (sólo dos palabras) es el siguiente.

Dicen que decía Paul Erdös que “un matemático es una máquina de convertir café en teoremas” (en realidad lo decía su amigo Alfred Rényi; gracias @ClaraGrima por recordarlo). Alexander Soifer decidió retar a sus colegas en Princeton, durante la hora del café, a resolver el siguiente problema: ¿cuál es el mínimo número de triángulos equiláteros necesarios para recubrir un triángulo equilátero de lado n+ε? John H. Conway tenía que volar en avión a una conferencia y durante el trayecto descubrió una solución con n²+2 triángulos. Tras retornar, a la hora del café, Conway compartió su descubrimiento con Soifer. Mientras viajaba en avión a otra conferencia, Soifer logró construir una demostración gráfica a partir de la solución de Conway. A su regreso decidieron escribir un artículo conjunto. Conway quiso que su artículo fuera el récord absoluto en el número mínimo de palabras. Por ello, su artículo sólo tendría dos palabras “n²+2 can” y dos figuras (con la demostración gráfica). Nada más y nada menos. Lo enviaron el 28 de abril de 2004 a la revista American Mathematical Monthly, exactamente como aparece en la figura de arriba.

El 30 de abril, la asistente del editor, Mrs. Margaret Combs, les indicó que, por favor, añadieran alguna frase al texto explicando su artículo.

The Monthly publishes exposition of mathematics at many levels, and it contains articles both long and short. Your article, however, is a bit too short to be a good Monthly article. . . A line or two of explanation would really help.

Conway envió una carta el editor principal protestando y preguntando si “¿existe alguna relación entre la cantidad y calidad?”

I respectfully disagree that a short paper in general—and this paper in particular—merely due to its size must be “a bit too short to be a good Monthly article.” Is there a connection between quantity and quality?. . . We have posed a fine (in our opinion) open problem and reported two distinct “behold-style” proofs of our advance on this problem. What else is there to explain?

Conway era muy famoso y quizás por ello Bruce Palka, el editor principal, decidió proponerle lo siguiente el 4 de mayo de 2004:

The Monthly publishes two types of papers: “articles,” (…) from about six to twenty-five pages, and “notes,” which are shorter, (…) typically in the one-to-five page range. (…) The standard way in which we use such short papers these days is as “boxed filler” on pages that would otherwise contain a lot of the blank space that publishers abhor. . . If you’d allow us to use your paper in that way, I’d be happy to publish it.

Conway respondió que aceptaba que su artículo apareciera rellenado una de las páginas blancas entre artículos. El artículo apareció en el número de enero de 2005 de dicha revista, aunque el editor les cambió el título (J.H. Conway, A. Soifer, “Covering a triangle with triangles,” American Mathematical Monthly 112: 78-78, Jan. 2005).

Nos cuenta la historia con más detalles el propio Alexander Soifer, “Building a Bridge III: from Problems of Mathematical Olympiads to Open Problems of Mathematics,” Mathematics Competitions 23: 27-38, 2010.

Coda final: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

Sábado, reseña: “Hasta el infinito, y más allá” de Clara Grima y Raquel García Ulldemolins

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —como diría el pequeño Ven. Hay muchos libros titulados “Hasta el infinito, y más allá” pero el de Clara Grima y Raquel García Ulldemolins, editado por Espasa, es único por muchas cosas. Gracias a las (mate)aventuras de Ven(tura), Sal(vador) y su fiel compañero canino Gauss, niños y adultos disfrutarán acercándose a las matemáticas desde un punto de vista muy diferente al habitual. “Un libro para todos aquellos que temen a las Matemáticas,” complemento ideal a “El Diablo de los Números” de Hans Magnus Enzensberger. Este estupendo libro de Clara y Raquel, que recomiendo a todos los lectores, es un regalo ideal para ocasiones especiales y, por qué no, para todas las ocasiones. ¿Aún no lo has leído? ¡A qué estás esperando!

El libro empieza por el más difícil todavía: “Perdona, Buzz, pero después del infinito no hay nada.” Qué padre no ha tenido que contestar a las preguntas ¿qué es el infinito? y ¿qué hay más allá del infinito? que se realizan todos los niños tras oír a Buzz Lightyear en la saga Toy Story de Disney Pixar. Un concepto difícil que se ilustra en el libro gracias al hotel de Hilbert en “¡Mi infinito es más grande que el tuyo!” Muchos padres disfrutarán con este capítulo, aunque creo que para muchos niños será un inicio muy duro. Yo hubiera empezado el libro con algo más ligero, más gráfico, quizás con “¿Qué es eso que dibujas Mati? ¡Ese caramelo es mío!” sobre los diagramas de Voronoi, famosos en España gracias a “¿Está Voronoi? Que se ponga,” “Cada uno en su región y Voronoi en la de todos” y por supuesto a ”Mati y sus mateaventuras.”

Sigue el libro por un camino difícil para los niños, con “Mati, ¿estás segura de que π no es racional?,” y con “Voy a leerte la mente, abuela.” Los matemáticos disfrutan explicando la evolución del concepto de número, pero conceptos tan abstractos como el de número real o el de números binarios, propios del siglo XIX, me parece que deberían formar parte del final del libro y no del principio, pues pueden desanimar a muchos lectores potenciales.

Muchos de los tópicos presentados en el libro son muy conocidos, pero se presentan con tal frescura que se disfrutan como si fuera la primera vez. En “Flores, palacios y números” se discuten el número aúreo, “No te creo Mati, ¿cómo va ser un número de oro?,” y la sucesión de números de Fibonacci, “Una flor, otra, dos flores.”

Clara Grima investiga en geometría computacional en la Universidad de Sevilla, por lo que tiende a poner ejemplos de teoría de grafos con los que disfrutarán grandes y pequeños. “Cómo voy a salir del laberinto sin el hilo?,” “¡Ese caramelo es mío!” y “¿Por qué no hay un poli en cada sala?” son claros ejemplos. Tópicos modernos e interesantes con los que disfrutarán incluso los estudiantes de ciencias matemáticas y los profesores de matemáticas podrán incorporar con facilidad a sus clases. Todo ello sin olvidar temas muy populares en la divulgación matemática como los tratados en ”Pues vaya lío de puentes, ¿no?” y “¿Sólo con 4 colores?” En este último caso yo hubiera retado a los lectores más jóvenes a resolver un problema más sencillo que el famoso mapa de 1 de abril de Martin Gardner, como por ejemplo el siguiente.

En casa todos hemos disfrutado del libro, pero no todo pueden ser piropos. “Antes de empezar…” nos dice Mati que “a mucha gente no le gustan las palabras esdrújulas” como matemáticas. Sin embargo, el libro abusa de ellas y sobre todo del sufijo “-mente.” Estas palabras dificultan el ritmo de la lectura y deben ser evitadas para lograr una lectura más ágil, sobre todo, en mi opinión, para libros dirigidos a niños y jóvenes. Cuando yo leí por primera vez “respondió vehementemente” me quedé sorprendido. Muchos lectores tendrán que recurrir al diccionario para saber qué es la “vehemencia” o algo “vehemente” (términos aplicados muchas veces al estado emocional del pequeño Ven). Yo hubiera escrito “respondió vehemente” o incluso hubiera evitado este término adulto. Hay muchos más ejemplos como “Gauss miraba atentamente,” que yo hubiera cambiado por “Gauss miraba atento,” o “números correspondientes entre 64 y 127″ que yo hubiera acortado a “números entre 64 y 127″ sin pérdida de significado.

Yo hubiera hecho una buena revisión del lenguaje utilizado, tratando que fuera menos adulto y más ágil. Hay muchos pequeños cambios que en una segunda edición se podrían corregir con facilidad. Por cierto, el libro presenta pocas erratas, aunque destaca el “2 + x 0,08″ en la fórmula de la página 42.

En resumen, me ha gustado mucho este pequeño libro de popularización de las matemáticas. Su módico precio hará las delicias de quienes quieran regalar el mejor regalo posible: un poco de cultura matemática.

Simulación numérica multiescala de las burbujas de la espuma

La belleza de la espuma bajo luz diurna es indudable, pero el estudio mediante ordenador de la evolución (reología) de cada una de las membranas líquidas (películas de jabón)  que la forman no es nada fácil pues involucra escalas en espacio y tiempo que varían en seis órdenes de magnitud. Se publica en Science un nuevo modelo matemático que permite una simulación multiescala de gran precisión basada en tres etapas: en la primera se calcula la solución de equilibrio estático, en la segunda se estudia el drenaje del líquido a través de las membranas y las fronteras entre ellas, y en la última se calcula la posible rotura en las zonas más delgadas de las películas de fluido. Este proceso se repite de forma iterativa. El resultado es una simulación sin precedentes de la evolución de la espuma lejos del equilibrio. Las espumas tienen una gran variedad de aplicaciones en la industria y en el diseño de materiales. Por ello, la simulación multiescala de su física promete importantes repercusiones prácticas. Nos lo cuenta Denis Weaire, “A Fresh Start for Foam Physics,” Science 340, 693-694, 10 May 2013, que se hace eco del artículo técnico de Robert I. Saye, James A. Sethian, “Multiscale Modeling of Membrane Rearrangement, Drainage, and Rupture in Evolving Foams,” Science 340: 720-724, 10 May 2013.

Pierre Deligne, Premio Abel 2013

Pierre Deligne, matemático belga de 69 años, que demostró la conjetura de Weil en 1973 y obtuvo por ello la medalla Fields en 1978, ha recibido hoy el Premio Abel 2013, un premio de la Academia Noruega de Ciencias y Letras que “imita” a los Premio Nobel de la Academia Sueca en periodicidad y dotación (casi un millón de dólares), pero que se concede sólo a matemáticos. Deligne trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) en Princeton, Nueva Jersey, ha ganado el premio “por sus contribuciones seminales a la geometría algebraica y por su impacto transformador en la teoría de números, teoría de representaciones y esferas conexas.” Tim Gowers ha vuelto a ser elegido para presentar el premio. Deligne trabaja en geometría algebraica campo que estudia las variedades algebraicas, es decir, las hipersuperficies en varias dimensiones que se describen median las soluciones de una ecuación algebraica (un polinomio multivariable igual a cero); por ejemplo, una circunferencia de radio r puede ser descrita como la solución de la ecuación algebraica x² + y² = r². Había cuatro conjeturas de Weil, siendo la cuarta la más difícil, la demostrada por Deligne, que está relacionada con la hipótesis de Riemann. A finales de los 1970 se pensó que el trabajo de Deligne abría una nueva línea de ataque a la hipótesis de Riemann y despertó mucho interés en la comunidad. Deligne se basó en el trabajo de su mentor, el matemático de origen alemán Alexander Grothendieck, que demostró la segunda conjetura de Weil en 1965 y obtuvo por ello la Medalla Fields en 1966. En 1988, Deligne y Grothendieck recibieron el Premio Crafoord de la Real Academia Sueca de las Ciencias. El anuncio del premio “styleBelgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner,” Abel Prize, 2013. Obviamente, la noticia está en todos los medios. La foto la he extraído de Philip Ball, “Belgian mathematician rewarded for shaping algebra. Pierre Deligne nets Abel Prize for proving a deep conjecture about algebra and geometry,” Nature News, 20 March 2013.

PS: Tim Gowers presentó el Premio Abel. Su charla la puedes leer en “The Work of Pierre Deligne.” Más información sobre la función tau de Ramanujan y sobre las conjeturas de Weil (también recomiendo leer esto y esto otro).

“El indomable Will Hunting” y los “árboles irreducibles con 10 vértices”

Esta escena de la película “El indomable Will Hunting” (título original “Good Will Hunting”) de 1997, dirigida por Gus Van Sant y protagonizada por Matt Damon y Ben Affleck (en la que también aparece Robin Williams) describe un problema matemático de la teoría de grafos: dibujar un sistema de representantes de las 10 clases de árboles con 10 vértices homeomórficamente irreducibles. La solución de este problema fue obtenida por Frank Harary, Geert Prins, “The number of homeomorphically irreducible trees, and other species,” Acta Mathematica 101: 141-162, 1959 [copia gratis]. La solución a este problema para árboles con hasta 10 vértices aparece en la siguiente figura, extraída de dicho artículo (en formato un poco más compacto).

En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cada par de vértices está conectado sólo por un único camino. Una definición más técnica nos dice que un grafo simple no dirigido G con un número finito n de vértices es un árbol si cumple cualquiera de las siguientes condiciones (todas equivalentes entre sí): (1) es conexo y tiene n-1 aristas, o (2) es conexo y no tiene ciclos, o (3) tiene n-1 aristas y no tiene ciclos, o (4) existe una única trayectoria entre cada par de vértices [gracias Alberto por el comentario de más abajo]. El grado de un vértice es el número de aristas a las que está conectado. Una “hoja” es un vértice de grado 1. Un vértice interno es un vértice de grado mayor que 1. Un árbol es irreducible si no tiene vértices de grado 2.

En esta figura, el único árbol irreducible es el de n=4, ya que los de n=5, 6 y 7 vértices todos se pueden reducir a dicho árbol eliminando los vértices de grado 2 que están marcados con una circunferencia en color rojo.  Obtener todos los grafos con 10 vértices que son irreducibles no es difícil y cualquiera tanteando un poco puede hacerlo. Obviamente, lo más difícil es demostrar que no existe ningún otro.

¿Te atreves a dibujar todos los árboles irreducibles con n=11? No te pide que demuestres que tu lista es completa, sólo que lo intentes. No es un problema difícil (no creo que te requiera más de una hora de trabajo). Si lo haces te sentirás como Matt Damon (o como Will Hunting) Por supuesto, puedes chequear tu respuesta con el artículo original (que presenta los grafos irreducibles hasta n=12); también, hay programas de ordenador en la web que te permiten dibujarlos (si te gusta programar en Mathematica este problema es bonito para resolver por uno mismo sin buscar el notebook en la web). ¿Eres profesor de matemáticas? Por qué no le propones este problema a tus alumnos (resuelves el caso hasta n=6 y les pides a los alumnos que tanteen los casos n=7 u n=8).

Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

La dinámica caótica del aprendizaje del ajedrez

¿Por qué aprender a jugar bien al ajedrez es tan difícil? Un nuevo estudio afirma que la razón podría ser que la dinámica del aprendizaje por refuerzo de estos juegos bipersonales es caótica (está caracterizada por un atractor extraño). Las estrategias de juego aprendidas se comportan como órbitas (trayectorias) del sistema dinámico y son impredecibles debido su gran sensibilidad a los detalles del proceso (pequeños cambios en el proceso de aprendizaje conducen a grandes cambios en el resultado final) ). El estudio de Tobias Galla (Universidad de Mánchester, GB) y J. Doyne Farmer (Universidad de Oxford, GB; Instituto de Santa Fe, Nuevo México, EEUU), publicado en PNAS, ha consistido en la simulación por ordenador de miles de juegos de dos jugadores en los que se simulaba la toma de decisiones propia de una persona. Obviamente, eran juegos muy sencillos, pero los autores creen que si se observa la dinámica caótica para juegos tan sencillos también se debería observar en juegos más complejos (como el ajedrez o el póker). Como siempre, el nicho natural de la teoría de juegos son los mercados financieros, por ello los autores creen que su estudio podría tener implicaciones socioeconómicas; quizás los mercados son impredecibles debido a que aprender cómo evolucionan está controlado por una dinámica caótica. El artículo técnico es Tobias Gallaa, J. Doyne Farmer, “Complex dynamics in learning complicated games,” PNAS 110: 1232-1236, Jan 22, 2013. Vía ”Una explicación científica para la imposibilidad de dominar por completo algunos juegos,” CORDIS, Jan 11, 2013.

Francis en ¡Eureka!: Las matemáticas también son protagonistas de las noticias

El audio de mi sección ¡Eureka! en La Rosa de los Vientos, Onda Cero, ya está disponible. Puedes escucharlo siguiendo este enlace. Como siempre, una transcripción libre del contenido.

Se ha publicado esta semana que un matemático de la Universidad de Sevilla ha demostrado que los papeles de Bárcenas aireados por El País son falsos gracias a la ley de Benford. ¿En qué consiste esta ley? Miguel Lacruz (profesor de matemáticas de la Universidad de Sevilla) publicó en su blog “Café Matemático” un análisis basado en la ley de Benford o la ley del primer dígito. Esta ley fue descubierta en 1881 por el astrónomo Simon Newcomb en tablas de logaritmos (muy utilizadas cuando no había calculadoras) y redescubierta en 1938 por el físico Frank Benford, que verificó la ley con otras tablas de números diferentes. La ley afirma que en las tablas de números de magnitudes que crecen de forma exponencial con el tiempo (como muchos fenómenos económicos, como los precios, las exportaciones, incluso las entradas contables o los balances de capital) el primer dígito aparece más veces que los demás. De hecho, el 30% de los números empiezan por el dígito uno, el 18% por el número dos, el 13% el número tres, y así sucesivamente hasta llegar a menos del 4,6% para los números que empiezan por el dígito nueve. Existen listas de números que no cumplen esta ley, pero en muchas listas puede utilizarse para saber si la tabla de números ha sido falsificada.

Miguel Lacruz, “Los papeles de Bárcenas,” Café matemático, 4 feb 2013. M. Arrizabalaga, “Un matemático aplica la ley de Benford a los papeles de Bárcenas y concluye que son falsos,” ABC.es, 6 feb. 2013; “Un profesor de la Universidad de Sevilla compara la frecuencia de los dígitos en los supuestos apuntes del extesorero del PP y afirma que han sido maquillados.”

El profesor Lacruz ha descubierto que los papeles de Bárcenas no cumplen con esta ley por lo que están falsificados. El estudio de Miguel Lacruz analizó 84 asientos contables desde 2002 a 2008 en los papeles de Luis Bárcenas y encontró que no cumplen la ley de Benford. Por ejemplo, el uno es el primer dígito en el 50% de los números de Bárcenas, en lugar del 30% que predice la ley de Benford, el dos aparece sólo un 10% de las veces en lugar del 18% predicho, o por ejemplo el seis aparece un 13% como primer dígito en lugar del 7% de las veces esperado. Además, el profesor Lacruz observó que la contabilidad del PP entre 2008 y 2011 sí cumple perfectamente la ley de Benford. Por ello afirmó en su blogs que los números de Bárcenas estaban falsificados y Luis Bárcenas miente.

¿Este análisis es fiable, riguroso y podría ser utilizado por un juez? En realidad no lo es. La ley de Benford es un ley de potencias y el análisis estadístico de las leyes de potencia hay que realizarlo con mucho cuidado. Un análisis matemático riguroso requiere que el número de datos sea suficientemente grande; en el caso de los papeles de Bárcenas y de la contabilidad del PP, analizados por el profesor Lacruz, resulta que este número es insuficiente para concluir nada. En rigor un análisis basado en la ley de Benford no es aplicable a tan pocos datos. Por ejemplo, la anomalía con el dígito seis, más común de lo predicho por la ley de Benford, tiene una explicación sencilla en España, un millón de pesetas en lugar de un “uno” empieza por un “seis” en euros. En resumen, por pura casualidad en los datos de Bárcenas entre 2002 a 2008 hay una discrepancia y en los de 2008 a 2011 del PP hay un acuerdo con la ley de Benford, pero es pura casualidad. De hecho, si todos los datos se escriben en pesetas, la ley se cumple, aunque también por casualidad. Por tanto, no se puede concluir nada sobre la falsedad o no de dichos datos.

Recomiendo Abel Fernández, “La Ley de Benford y la presunta contabilidad B del PP,” Sintetia, 7 feb. 2013.

Cambiando de tema. Hace dos semanas fue noticia una matemática española que había resuelto un problema matemático planteado hace 80 años. ¿Hay novedades sobre dicha noticia? En el último congreso de la Real Sociedad Matemática Española celebrado en Santiago de Compostela a finales de enero, hubo una rueda de prensa en la que la española Eva Gallardo Gutiérrez, profesora de matemáticas de la Universidad Complutense y Carl Cowen, profesor de la Universidad de Indiana, en Indianapolis, EEUU, habían logrado resolver el problema del subespacio invariante, que planteó el genial matemático John von Neumann en 1935. Quizás el problema más importante del área de Análisis Funcional y la Teoría de Operadores aún por resolver. Sin embargo, la alegría para la comunidad matemática española ha durado poco. El 5 de febrero los propios autores han comunicado que su demostración no resuelve el problema y que una de las afirmaciones que realizan no está bien justificada. Ahora mismo están trabajando para resolver este problema, pero no parece fácil lograrlo. En marzo publicarán la demostración tanto si logran resolver el problema como si no, para que otros matemáticos les ayuden. Por ello, a día de hoy el problema del subespacio invariante sigue sin estar resuelto.

“Carl Cowen y Eva Gallardo presentan la solución afirmativa al “problema del subespacio invariante”,” RSME, feb. 2013, y en este blog ”Resuelto el problema del subespacio invariante,” 26 enero 2013.

¿En qué consiste este problema matemático? El problema es difícil de explicar en un lenguaje llano. Imagina que tomas una pelota de baloncesto con las manos y le das muchas vueltas. Siempre existe un eje de giro, tal que el resultado final se podría haber obtenido rotando una sola vez sobre dicho eje de giro. El eje de giro es un subespacio invariante para el operador de rotación de la pelota de baloncesto. El problema del subespacio invariante consiste en saber si para ciertos espacios con infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert también es cierto que siempre existe, digámoslo así, un “eje” de giro (un subespacio invariante). Este tipo de espacios se usan en la teoría matemática de la mecánica cuántica y para la reconstrucción de datos de tomografía computerizada. Por lo que la solución del problema podría tener algunos usos futuros de interés aplicado.

Miguel Lacruz, “Statement from Cowen and Gallardo,” Café Matemático, 5 feb. 2013, y en este blog “Una pena, pero el problema del subespacio invariante sigue abierto,” 5 feb. 2013.

Y para acabar, se ha descubierto un nuevo número primo de Mersenne. Mersenne fue un monje francés del siglo 17 que predijo que todos los números que son iguales a una potencia de dos menos uno (2^p-1) son números primos. Sin embargo, esto no es cierto, como se demostró a finales del siglo 19. Hoy en día se conocen 48 números de Mersenne que son primos, el último se ha descubierto el 25 de enero: el número dos elevado a 57.885.161 menos uno (2^57.885.161 -1) es primo (un número con 17.425.170 dígitos). Se han utilizado 360.000 ordenadores conectados por internet y han sido necesarios 17 años. Este es el programa de ordenador más largo que se ha ejecutado en internet hasta el momento.

“GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^57885161 -1,” 25 Jan 2013; ”Mersenne Primes: History, Theorems and Lists.”

¿Para qué sirve descubrir números primos tan grandes? Los sistemas de cifrado que más se utilizan en internet para proteger cuentas bancarias, datos de tarjetas y demás información sensible se basan en algoritmos que utilizan números primos. Los avances en la detección de primos con gran número de cifras, como este cuadragésimo octavo número de Mersenne redundan en avances en el desarrollo de este tipo de algoritmos y acaban resultando en transacciones seguras por internet mucho más seguras. Así que aunque parezca una tontería, este tipo de descubrimientos son importantes en nuestra vida diaria.

Lo dicho, si quieres escuchar el audio, si aún no lo has hecho, sigue este enlace. 

Imagen: No sé si podrá utilizar alguna imagen de los papeles de Bárcenas en El País . La foto de los matemáticos está en http://francisthemulenews.files.wordpress.com/2013/01/dibujo20130126-carl-c-cowen-eva-gallardo-congreso-2013-rsme.jpg

El crecimiento de tumores cancerosos y la deposición de posos de café en una gota en evaporación

La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) se introdujo en 1986 para describir la formación de irregularidades en un frente de solidificación con una fuente estocástica y tiene muchas aplicaciones, como el crecimiento de tumores cancerosos. Las estructuras que se forman dependen de la geometría de las partículas (o células) que se agregan, difiriendo si son esféricas o elipsoidales. En este último caso, aplicable a cristales líquidos, se utiliza una variante de la ecuación KPZ con desorden “sofocado” (quenching disorder), llamada KPZQ. Para estudiar los límites de validez de la ecuación KPZ y decidir cuándo es necesario recurrir a la ecuación KPZQ, se necesita un sistema experimental fácil de manejar en laboratorio y bien descrito por ambas ecuaciones. El matemático Alexei Borodin (Instituto Técnico de Massachusetts, MIT) y varios colegas nos proponen que dicho sistema es el dibujo de los posos del café cuando una gota se seca por evaporación. Gracias a un microscopio conectado a un ordenador se puede determinar la forma y la distribución estadística de las partículas del líquido durante el proceso, lo que permite demostrar la validez de la ecuación KPZ y cómo se produce la transición a la ecuación KPZQ. Durante la evaporación de la gota las partículas disueltas fluyen hacia el borde de la gota donde se pegan unas a otras; en el caso de partículas elipsoidales la tendencia es apilarse formando “torres,” lo que provoca un crecimiento más rápido del frente que si el apilamiento fuera de partículas esféricas. El nuevo artículo es Peter J. Yunker, Matthew A. Lohr, Tim Still, Alexei Borodin, D. J. Durian, and A. G. Yodh, “Effects of Particle Shape on Growth Dynamics at Edges of Evaporating Drops of Colloidal Suspensions,” Phys. Rev. Lett. 110: 035501, Jan 18, 2013. El artículo origina era Mehran Kardar, Giorgio Parisi, Yi-Cheng Zhang, “Dynamic Scaling of Growing Interfaces,” Phys. Rev. Lett. 56: 889-892, Mar 3, 1986. Me han gustado los dos vídeos que acompañan al nuevo artículo y que ilustra muy bien a nivel microscópico la dinámica que describe a nivel macroscópico la ecuación KPZ. Por cierto, también se pueden “fabricar” galaxias con los posos del café, como conté en la “formación de galaxias en los posos de una taza de café.”

Una pena, pero el problema del subespacio invariante sigue abierto

Poco ha durado la alegría para la comunidad matemática española. En “Resuelto el problema del subespacio invariante,” 26 enero 2013, conté que “el problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert, conjetura propuesta por John von Neumann en 1935,” se había resuelto gracias al “trabajo conjunto de Carl C. Cowen (Universidad de Indiana-Purdue, Indianapolis, EEUU) y Eva A. Gallardo Gutiérrez (Universidad Complutense, Madrid).” El anuncio se realizó “en el último congreso de la Real Sociedad Matemática Española celebrado en Santiago de Compostela.” Por desgracia, ha sido encontrado un fallo en el argumento; el trabajo sería correcto pero no sería una demostración de esta importante conjetura. Me he enterado gracias al amigo ^DiAmOnD^, “Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante,” Gaussianos, 05 feb. 2013, vía un post del blog Café Matemático, deMiguel Lacruz (profesor de la Universidad de Sevilla). “Cowen dice que en marzo publicarán un nuevo trabajo, que será esencialmente el mismo que han enviado ahora si no han conseguido resolver el error encontrado (eliminando del mismo la afirmación de que ese trabajo demuestra el problema del subespacio invariante) o uno modificado convenientemente si consiguen arreglar dicho error.” Como bien dice Miguel Ángel (alias ^DiAmOnD^) “Esperemos que así sea. Seguiremos informando en la medida de lo posible.”

La posible relación de la epigenética con la heterogeneidad intratumoral en el cáncer

Ya hemos hablado en este blog de lo heterogéneas que son las células dentro de un tumor malignos (heterogeneidad intratumoral) en “el cáncer es único y diferente en cada paciente,” 21 ene 2013. La inestabilidad genética inherente al cáncer se cree que produce una heterogeneidad genética y una jerarquía de diferenciación celular en las diferentes poblaciones del tumor. Un nuevo artículo en Science sugiere que puede haber otros mecanismos adicionales, quizás relacionados con la epigenética. Kreso et al. han estudiado la “evolución” de una célula de 10 tumores colorrectales humanos diferentes, las han clonado y luego las han xenoinjertado en ratones. Las mutaciones en 42 genes que se han observado presentan un patrón muy diferente, casi aleatorio, en los diferentes xenoinjertos. Estas variaciones son mayores de lo esperado según los modelos matemáticos y estadísticos de la heterogeneidad genética. Conforme más profundizamos en la dinámica de los tumores más complicados resultan. Nos lo cuentan Andriy Marusyk, Kornelia Polyak, “Cancer Cell Phenotypes, in Fifty Shades of Grey,” Science 339: 528-529, 1 Feb 2013, que se hacen eco del artículo técnico de Antonija Kreso et al., “Variable Clonal Repopulation Dynamics Influence Chemotherapy Response in Colorectal Cancer,” Science 339: 543-548, 1 Feb 2013.

En teoría, basta medir 293 metabolitos para conocer el estado de los 2763 de una célula humana

El metaboloma humano (H. sapiens) comprende 5.283 reacciones bioquímicas que relacionan 2.763 metabolitos con una red metabólica de 21.026 conexiones. Para reconstruir el estado completo de esta red metabólica, es decir, la concentración de todos los metabolitos, ¿cuántas concentraciones de metabolitos hay que medir en laboratorio? La respuesta es 293 (para S. cerevisiae bastan 99 y para E. coli solo 96). ¿Sólo 293 permiten reconstruir el valor de 2.763? Así es, en teoría, claro, pues en la práctica que se pueda hacer no significa que sea factible lograrlo. Lo afirma un nuevo artículo interesantísimo de Albert-László Barabási y dos colegas que estudia la observabilidad (según la teoría del control) de redes metabólicas y de regulación génica. Todo biólogo matemático, o matemático biólogo, debería leer este artículo (tanto si trabaja con datos in silico como, y sobre todo, in vivo). El artículo técnico es Yang-Yu Liu, Jean-Jacques Slotine, Albert-László Barabási, “Observability of complex systems,” PNAS Early Edition, Jan 28, 2013. A los biólogos que tengan dificultades a la hora de entender el concepto de derivada de Lie y el jacobiano correspondiente les recomiendo consultar a cualquier matemático, o si no tienen ninguno a mano estudiar la tesis de licenciatura de Milena Anguelova, “Nonlinear Observability and Identiability: General Theory and a Case Study of a Kinetic Model for S. cerevisiae,” Department of Mathematics, Chalmers University of Technology and Göteborg University, April 2004 [pdf].

Carnaval Matemáticas: Resuelto el problema del subespacio invariante

La noticia matemática de la semana ha sido la resolución del problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert, una conjetura propuesta por John von Neumann en 1935, gracias al trabajo conjunto de Carl C. Cowen (Universidad de Indiana-Purdue, Indianapolis, EEUU) y Eva A. Gallardo Gutiérrez (Universidad Complutense, Madrid), esta última matemática española de 39 años. Los autores de la demostración, tras tres años de duro trabajo, han presentado este importante resultado en el último congreso de la Real Sociedad Matemática Española celebrado en Santiago de Compostela. El problema resuelto es uno de los más importantes del área de Análisis Funcional y Teoría de Operadores. 

En la rueda de prensa, ambos matemáticos han ilustrado el problema utilizando un espacio de Hilbert de dimensión finita (un caso trivial): “Si pones a girar una pelota de baloncesto, siempre girará respecto a un eje determinado; este eje no varía en el giro y es el subespacio invariante asociado al operador lineal que representa el giro de la pelota.” Obviamente, este resultado en el espacio euclídeo es conocido desde el siglo XVIII. La versión en infinitas dimensiones no tiene aplicaciones tan fáciles de ilustrar, pero hay que recordar que los espacios de Hilbert son claves en física cuántica (como demostró John von Neumann hace 80 años) y que las aplicaciones de la física cuántica nos rodean por doquier. 

Según los autores “hemos abordado el problema desde el punto de vista de la teoría de funciones de variable compleja, lo que da “cierta flexibilidad” a la hora de probar el resultado. (…) A veces uno piensa que ha cometido un error, pero la prueba la hemos revisado muchísimas veces, nos lo han revisado expertos en el área [que la recibieron el 10 de diciembre de 2012], y la sensación es que parece ser que de momento las cosas siguen en pie. La ventaja es que la solución es corta; no es un trabajo de trescientos folios con complicadas ideas, sino que son menos de veinte páginas. Las cuestiones cortas son sencillas de entender.” No puedo contar más detalles de la demostración (pues todavía no la he podido leer), por lo que me limitaré a enunciar el problema y hacer unos comentarios sobre su importancia.

Lo primero, la noticia en los medios: ”Carl Cowen y Eva Gallardo presentan la solución afirmativa al “problema del subespacio invariante”,” Noticias RSME, ene 2013; Tamara Montero, “Presentan en la USC la resolución de un problema matemático de los años 30,” La Voz de Galicia, 25 ene 2013; ”Resuelven uno de los problemas matemáticos más importantes del milenio,” ABC, 25 ene 2013. 

Para una discusión técnica, centrada en los contraejemplos en espacios de Banach, recomiendo Carlos Domingo, “Problema del subespacio invariante,” Facultad de Matemáticas, Universitat de Barcelona, Curso 2010-2011; Joan Cerda, “Subespacios invariantes,” Departament de Matematica Aplicada i Analisi, Barcelona, abril 2012. En inglés están bien Terence Tao, “Finitary consequences of the invariant subspace problem,” What’s New, 29 Jun 2010; Adam Azzam, “The Invariant Subspace Problem and Lomonosov’s Theorem,” Part 1, Part 2, Part 3, 4-5 feb 2012.

PS: Una introducción muy buena al problema en B.S. Yadav, “The Invariant Subspace Problem,” Nieuw Archief voor Wiskunde 5: 148-152, Jun 2005, vía Christian Perfect, “The invariant subspace problem is solved for Hilbert spaces?,” The Aperiodical, Jan 26, 2013 (vía @gaussianos).

¿Qué es un espacio de Hilbert? Un espacio vectorial con un producto interior o escalar (que permite medir el ángulo entre dos vectores y definir el concepto de vectores ortogonales) que es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente). Todo Hilbert es Banach. ¿Qué es un espacio de Banach? Un espacio vectorial con una norma (que permite calcular el módulo o tamaño de todo vector). Todo Banach es métrico. ¿Qué es un espacio métrico? Un espacio vectorial con una distancia (que permite medir la “distancia” entre cada par de vectores). ¿Qué es un espacio vectorial? Un espacio de objetos llamados vectores que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por un escalar (número real o complejo). Todo espacio vectorial tiene una base (resultado del axioma de elección) y la dimensión del espacio vectorial es el cardinal de una cualquiera de sus bases.

Una aplicación lineal es una “función” entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y producto por escalar. En espacios vectoriales de dimensión finita las aplicaciones lineales se representan mediante matrices. Por el teorema fundamental del álgebra, toda matriz tiene autovalores. Asociado a cada autovalor hay uno o varios autovectores. La multiplicación de la matriz por dichos autovectores es aquivalente a multiplicar por el autovalor. Asociado a cada autovalor hay un subespacio vectorial llamado autoespacio. Este subespacio es invariante, pues la aplicación lineal (o matriz) aplicada a los vectores de dicho subespacio resulta en un vector dentro del mismo.

Las aplicaciones lineales también se llaman operadores lineales. En un espacio de Banach, se dice que un operador lineal es acotado si aplicado a todos los vectores del espacio el resultado tiene una norma acotada por una constante que solo depende del operador. Un operador lineal es compacto si aplicado a toda sucesión de vectores acotados, hay una subsucesión convergente. Todo operador lineal acotado tiene norma (es decir, se puede extender el concepto de norma de un vector al concepto de norma de un operador lineal acotado).

El espacio euclídeo de las transformaciones de objetos tridimensionales que preservan la forma de los objetos es un espacio de Hilbert de dimensión finita. Todo operador lineal en dicho espacio corresponde a un matriz y por tanto tiene un subespacio invariante. De ahí que al rotar la pelota de baloncesto siempre rote alrededor de algún eje. En un espacio de Hilbert H de dimensión infinita el asunto es más complicado. 

El problema del subespacio invariante plantea la siguiente cuestión: Si H es un espacio de Hilbert, ¿es cierto que para todo operador lineal y acotado T ∈ L(H), existe siempre algún subespacio G ⊂ H cerrado que es T-invariante, T(G) ⊂ G, sin ser trivial? Repito, para un espacio H de dimensión finita el resultado es trivial, siempre existen subespacios invariantes; los autovalores de T (que será una matriz) tienen asociados subespacios propios (autoespacios en cuya base están los autovectores) que son invariantes. Esta cuestión en dimensión infinita no parece muy complicada, pero se ha resistido durante casi 80 años al esfuerzo de muchos matemáticos.

En 1935, John von Neumann probó que todo operador compacto en un espacio de Hilbert tiene subespacios invariantes no triviales, hecho que fue generalizado a espacios de Banach en 1954 por N. Aronszajn y K.T. Smith. P. Enflo en 1976 y C. Read en 1985 encontraron ejemplos de operadores lineales acotados que carecían de subespacios invariantes no triviales en espacios de Banach (recuerda que todo Hilbert es Banach, pero no al contrario). Todos los contraejemplos conocidos son sobre espacios de Banach no reflexivos (un Banach B es reflexivo si la aplicación “natural” entre B y B** (el dual del dual de B) es un isomorfismo de espacios de Banach); el Teorema Pequeño de Riesz garantiza que todo espacio de Hilbert es reflexivo.

Hasta que no tenga acceso a la nueva demostración no podré ofrecer más información.

Coda final: Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas organizado por el blog “La Aventura de la Ciencia” del físico Daniel Martín Reina (Sevilla, España). Mañana es el último día para las contribuciones al Carnaval de Matemáticas, ¡anímate, aún estás a tiempo!

Qué pasó con… la estrella Sirio C

Sirio es la estrella más brillante del cielo nocturno visible desde la Tierra y la quinta más cercana al Sol. Esta estrella binaria está formada por Sirio A (estrella blanca de la secuencia principal con magnitud −1,47) y Sirio B (enana blanca con magnitud 8,44). En 1995, dos astrónomos franceses Daniel Benest y Jean-Louis Duvent publicaron un artículo, cuyo título era una pregunta “¿Sirio es un sistema triple?,” en el que afirmaban que ciertas anomalías orbitales (ver figura de abajo) se podían explicar con la existencia de una tercera estrella, Sirio C, un enana roja o marrón con una masa menor de 50 MJup (masas de Júpiter) y que rotaba alrededor de Sirio A con un periodo de unos 6,3 años; la distancia aparente entre dicha hipotética estrella y Sirio A debería ser de unos 3” (segundos de arco); por comparar, la distancia más cercana entre Sirio A y B es de 4”. El artículo original es D. Benest, J. L. Duvent, “Is Sirius a triple star?,” Astronomy and Astrophysics 299: 621-628, 1995 [pdf gratis].

Todas las búsquedas de Sirio C emprendidas desde entonces han sido infructuosas y desde 2011 sabemos con absoluta seguridad que dicha estrella no existe. No hay ningún objeto con una masa superior a 1,6 MJup (veces la masa de Júpiter) a una distancia mayor de 4″ de Sirio A y ninguno con una masa mayor de 12 MJup a una distancia mayor de 1”. Este resultado fue obtenido gracias a una búsqueda planetas en el sistema binario de Sirio realizada con imágenes de alto contraste obtenidas con el Telescopio Subaru (Observatorio Astronómico Nacional de Japón) localizado en el Observatorio Mauna Kea en Hawaii, cuyo espejo tiene 8,2 metros de diámetro. Se utilizaron los intrumentos IRCS y AO188, descartando 6-12 MJup a 1″, 2-4 MJup a 2″, y 1,6 MJup más allá de 4″, lo que permite refutar con una certeza estadística de 5 sigmas (desviaciones típicas) la existencia de Sirio C. El artículo técnico es C. Thalmann et al., “Piercing the glare: A direct imaging search for planetss in the Sirius system,” The Astrophysical Journal Letters 732: L34, 2011 [arXiv:1104.1427].

Nota dominical: Qué es el espín de una partícula

Para explicar la estructura fina de los niveles de energía de los electrones en el átomo de hidrógeno, Uhlenbeck y Goudsmit [1] propusieron como hipótesis que el electrón, además de masa y carga, tenía un momento angular intrínseco (el espín) y por tanto un momento magnético. Pauli [2] introdujo la formulación matemática del espín en el contexto de la mecánica cuántica no relativista, asumiendo que sus valores son semienteros y que la función de onda tiene dos componentes, pero sin ofrecer una explicación de su origen. El origen “natural” del espín es la combinación de la relatividad y la cuántica en la ecuación de Dirac para el electrón [3]. La función de onda en mecánica cuántica es un vector en un espacio de Hilbert y la invariancia relativista ante transformaciones del grupo de Poincaré (el grupo inhomogenéo de Lorentz) requiere que las componentes de la función de onda pertenezcan a una representación irreducible de dicho grupo, como afirma el teorema de Wigner [4], que se basó en trabajos matemáticos previos (como los de Weyl [5]). Para una partícula de espín arbitrario, la ecuación cuántica relativista fue obtenida por Majorana (1932), Dirac (1936) y Proca (1936). Por tanto, una partícula tiene un espín s si la función de onda que representa sus estados tiene 2s+1 componentes (donde por componentes entendemos funciones de tipo espinor en el caso de espín semientero y funciones complejas en el caso de espín entero). Explicar el espín sin utilizar las matemáticas de la teoría de grupos aplicada a la mecánica cuántica es casi imposible, igual que lo es explicar el origen del momento angular en mecánica clásica.

El análisis funcional y la estabilidad de la materia

El lector sabe que dos litros de gasolina tienen el doble de energía que un litro; en termodinámica se dice que la energía es una magnitud extensiva. Demostrarlo parece fácil, pero no lo es. La solución de este problema, el problema de la estabilidad de la materia, requiere el uso de poderosas herramientas de análisis funcional, como mostró Elliott H. Lieb (quien el pasado 31 de julio cumplió 80 años). El problema matemático a resolver consiste en demostrar que la energía de un sistema de N partículas en interacción mutua (dos a dos) cumple que el límite E(N)/N es constante para N→∞. Quizás mucha gente piense que este problema tiene una solución sencilla, pero la demostración de Freeman Dyson y Andrew Lenard [1,2] era complicada en extremo, casi imposible de entender para un físico; gracias al trabajo de Elliott Lieb y Walter Thirring [3] las ideas físicas subyacentes vieron la luz, pero guiadas por el lenguaje del análisis funcional (que los físicos ya conocían gracias a que John von Neumann lo utilizó en sus fundamentos matemáticos de la física cuántica). Estoy aprovechando estas fechas navideñas para leer los trabajos originales de Elliott H. Lieb, gracias a su compilación en el libro “The Stability of Matter: From Atoms to Stars,” Edited by W. Thirring, Springer, 1997.

Las branas negras cargadas se comportan como sólidos piezoeléctricos

En la teoría general de la relatividad de Einstein un agujero negro es espacio, solo espaciotiempo. Un agujero negro en 4 dimensiones se comporta como un objeto puntual situando en el espaciotiempo (el lugar donde está la singularidad central) rodeado de una región de espaciotiempo vacío dentro del horizonte de sucesos; el agujero negro tiene masa, puede rotar (tener momento angular) y tener carga eléctrica, nada más. Sin embargo, en más de cuatro dimensiones los agujeros negros no son puntuales; en cinco dimensiones un agujero negro se comporta como una “cuerda negra” (un objeto unidimensional) y en seis dimensiones como un “brana negra” (un objeto bidimensional). ¿Se comportan estos agujeros negros multidimensionales como objetos materiales? Describir las propiedades de una “brana negra” no es fácil, pero los físicos teóricos creen que muestra propiedades de líquido, si es neutra para la carga eléctrica, y de sólido, si tiene carga eléctrica; en este último caso se comporta como un material piezoeléctrico, que convierte esfuerzos mecánicos en campos eléctricos. Jay Armas, Jakob Gath, Niels A. Obers, “Black Branes as Piezoelectrics,” Phys. Rev. Lett. 109: 241101, 10 Dec 2012 [arXiv:1209.2127].

El estudio de las propiedades de los agujeros negros y de las branas negras requiere el uso de una teoría cuántica de la gravedad, salvo en el régimen de campo débil y perturbaciones de longitud de onda grande. En este contexto se puede utilizar la correspondencia AdS/CFT y técnicas holográficas para demostrar que las branas negras neutras se comportan como un fluido (arXiv:0712.2456; arXiv:0902.0427; y otros); este fluido se caracteriza por su viscosidad. El nuevo artículo técnico estudia con las mismas técnicas lo que pasa con branas negras cargadas eléctricamente. Cuando una cuerda negra cargada dentro de la brana negra cargada se deforma induce un momento dipolar eléctrico que provoca esfuerzos mecánicos sobre la brana, como si se tratara de un material piezoeléctrico. Un resultado realmente sorprendente.

 

El modelo estándar, la supersimetría y la supergravedad

El modelo estándar es la teoría que describe las leyes físicas que rigen la dinámica de todas las partículas subatómicas conocidas. Estas partículas fundamentales son excitaciones localizadas de campos cuánticos sujetos a dos tipos de simetrías continuas. Por un lado, la simetría del espaciotiempo, el grupo de Poincaré ISO(1,3), que requiere asociar a cada campo cuántico (o partícula) un espín bien definido, cuyo módulo tiene un valor semientero para los fermiones y un valor entero para los bosones. Los campos cuánticos tienen “componentes” igual que los campos clásicos (por ejemplo, el campo electromagnético tiene componentes magnéticas y eléctricas, por eso “unifica” campos magnéticos y eléctricos).

Los campos cuánticos se describen como representaciones lineales del grupo de Poincaré, es decir, las componentes del campo se comportan como un vector invariante ante transformaciones (matriciales) del grupo. Las representaciones lineales de este grupo se clasifican en función de un número, el espín, que puede tener un valor semientero o entero, separando las partículas (los campos) en fermiones o bosones, respectivamente.El espín tiene unidades de momento angular pero no tiene nada que ver con ninguna “rotación” interna de las partículas; igual que el momento angular, el espín tiene sus valores en un álgebra de Lie, de ahí que sus unidades sean las mismas. El espín nos indica el número de componentes del campo y cómo estas componentes se relacionan entre sí.

Y por otro lado, ciertas simetrías “internas” (gauge) asociadas a las interacciones entre partículas; en el modelo estándar estas simetrías corresponden al producto de grupos de Lie SU(3)xSU(2)xU(1), simplificando detalles técnicos; la invariancia de los campos ante transformaciones locales de estas simetrías gauge conduce a las interacciones fuerte, débil y electromagnética. En el modelo estándar las partículas de “materia,” los fermiones, y las partículas de interacción, los bosones gauge, se incorporan ad hoc (eso sí, cumpliendo ciertas reglas), es decir, nada prohíbe que existan nuevos fermiones y/o nuevas simetrías gauge aún no descubiertos; más aún, si se descubren en el LHC del CERN se pueden incorporar de manera muy sencilla al modelo estándar (repito, cumpliendo ciertas reglas, las leyes de la teoría cuántica de campos).

Por todo ello, aún se siguen buscando nuevas partículas. La tabla que abre esta entrada resume la situación a fecha de septiembre de 2012; desde entonces los límites han mejorado un poco. Más información a los interesados en Petra Van Mulders (On behalf of the CMS and ATLAS collaborations), “Searches for new fermions and bosons,” Physics In Collision 2012, September, 12-15 [slides]; Francesco Santanastasio (On behalf of the ATLAS and CMS collaborations), “Exotic Phenomena Searches (at hadron colliders),” Physics in Collisions, 12-15 September, 2012 [slides]; André A. Nepomuceno (ATLAS Collaboration), “Search for high-mass resonances decaying to dileptons with the ATLAS detector,” SILAFAE 2012, December 14, 2012 [slides].

Cómo funciona la peonza que levita en el aire (incluye fórmulas matemáticas)

Una peonza metálica de unos 20 gramos de peso, con un imán en su interior, levita a unos 3 cm de altura sobre una plataforma negra de plástico que contiene un imán permanente de forma toroidal. La peonza gira durante unos minutos hasta que la resistencia del aire hace que su velocidad se reduzca por debajo de cierto valor crítico provocando que la peonza caiga en la plataforma. Roy Harrigan patentó este juguete en 1983, pero fue criticado por muchos físicos porque el teorema de Earnshaw (1842) afirma que un campo magnético estático dipolar no puede hacer levitar de forma estable un objeto. No logró comerciarlizarlo hasta 1993, cuando Bill Hones de la empresa Fascinations descubrió su patente.

Como suele pasar a veces, por desgracia para muchos inventores, el juguete no tuvo el éxito esperado hasta que el propio Hones patentó una variante en 1994, que utiliza una base cuadrada, que comercializó en 1995 como Levitron (por su empresa Fascinations, claro); según reza en la nueva patente, la versión original de Harrigan, que utiliza una base circular, no funciona bien (Hones apoya su afirmación en los físicos que criticaron a Harrigan). Obviamente, el cambio de base circular a base cuadrada es una soberana tontería y las leyes físicas afirman que ambas versiones funcionan igual de bien (o igual de mal). Pero lo cierto es que las leyes de la propiedad industrial son así, si se permite una nueva patente de lo mismo es porque es “distinto” (en opinión de la Oficina de Patentes). Por ello, la recomendación oficial para quien patente algo nuevo es que primero busque quien se lo vaya a comercializar y que sea alguien de “confianza,” no le vaya a pasar lo mismo que al pobre Harrigan.

La explicación física de por qué funciona el Levitron se publicó en el ahora muy famoso artículo de Michael V. Berry, “The Levitron: an adiabatic trap for spins,” Proceedings of the Royal Society of London A 452: 1207-1220, 1996 [copia gratis; otra]. Hace ya unos años, yo leí (en papel) la explicación en la revista American Journal of Physics, en concreto en Martin D. Simon, Lee O. Heflinger, S. L. Ridgway, “Spin stabilized magnetic levitation,” Am. J. Phys. 65: 286-292, 1997 [copia gratis]. También se puede consultar Thomas B. Jones, Masao Washizu, Roger Gans, “Simple theory for the Levitron,” J. Appl. Phys. 82: 883-888, 1997 [copia gratis], y Roger F Gans, Thomas B Jones, Masao Washizu, “Dynamics of the Levitron,” J. Phys. D: Appl. Phys. 31: 671–679, 1998 [copia gratis]; así como a Holger R. Dullin, Robert W. Easton, “Stability of Levitrons,” Physica D: Nonlinear Phenomena 126: 1–17, 1999 [copia gratis]. Pero en esta entrada yo me basaré en el artículo de Shahar Gov, Shmuel Shtrikman, “How High Can The U-CAS Fly?,” arXiv:physics/9902002, 31 Jan 1999; este artículo tiene la ventaja de que puedo extraer las fórmulas del fichero .tex sin necesidad de tener que volverlas a teclear (que en wordpress.com siempre es un suplicio). Porque has leído bien, lo siento, pero esta entrada tiene fórmulas matemáticas.

La botella de Klein

La definición más intuitiva de la botella de Klein (1882) se obtiene tomando un cuadrado, sea [0, 2π]×[0, 2π], e identificando las caras opuestas con una relación de equivalencia (u, 0) ∼ (u, 2π), y (0, v) ∼ (2π, 2π − v), como indican las flechas en la figura. Con cuidado se puede comprobar que resulta la “botella” que se interseca a sí misma que todos estamos acostumbrados.

Francis en ¡Eureka!: El resumen de la ciencia de 2012

Como todos los domingos, ya puedes escucharme en mi sección ¡Eureka! del programa La Rosa de los Vientos de Onda Cero. El audio “Los principales logros científicos del año,” lo puedes disfrutar siguiendo este enlace. Como siempre, una transcripción libre.

Acaba el año 2012 y conviene hacer un resumen de las grandes noticias científicas. No es tarea fácil, ha habido tantas noticias interesantes que es difícil seleccionar unas pocas. Para concretar he elegido cuatro tópicos. Noticias de Física, Ciencias del Espacio, Ciencias de la Vida y Tecnología. Pido perdón a los oyentes por omitir muchos otros temas que han dado noticias muy interesantes este año.

En Física, la gran noticia del año ha sido el descubrimiento de la partícula de Higgs. El año 2012 será recordado en todos los libros de historia de la física por el anuncio del descubrimiento del bosón de Higgs el 4 de julio en el LHC (el Gran Colisionador de Hadrones del CERN, Centro Europeo de Investigación Nuclear). En los próximos años habrá que estudiar la física de esta partícula para desentrañar todos sus secretos. En primavera se aclaró por fin que un cable de fibra óptica mal conectado era el responsable de que el experimento OPERA observara que los neutrinos son superlumínicos; al corregir el problema, los neutrinos ya se observan a casi la velocidad de la luz, como tiene que ser, y se ha obtenido la mejor medida hasta el momento de la velocidad de los neutrinos muónicos. Ha habido grandes avances en computación cuántica, yo destacaría que en septiembre se batió el récord de distancia en el teletransporte cuántico por el aire, 143 km en las Islas Canarias. Se han observado las galaxias más antiguas, que se formaron cuando el universo tenía solo unos 300 mil años tras el big bang y se han realizado grandes avances en física del estado sólido, como la observación por primera vez de partículas de Majorana (predichas en 1937). Sin lugar a dudas ha sido un año apasionante para la física.

En Ciencias del Espacio la gran noticia del año ha sido la llegada del rover Curiosity a Marte, que mucha cree que acabará encontrando señales de vida. La gran noticia de agosto fue la llegada del rover Curiosity de la NASA a Marte. Un laboratorio químico de 900 kg que estudiará la atmósfera, y las rocas y sedimentos en la región del Cráter Gale. No buscará “vida”, solo las condiciones ambientales que podrían ser favorables para la vida. Pero ha habido otras noticias sobre planetas. En Mercurio la sonda Messenger ha encontrado agua en forma de hielo en los polos. Se han publicado nuevas pruebas sobre cómo se formó la Luna tras un choque de un planeta contra la Tierra primitiva. Se ha descubierto que Plutón tiene 5 lunas. Se han encontrado gran número de exoplanetas curiosos. Se ha encontrado el exoplaneta más cercano a la Tierra, que orbita la estrella Alfa Centauri, la más cercana, aunque el planeta es muy caliente para albergar vida. Un exoplaneta tipo Tatooine que orbita a dos estrellas simultáneamente. Un planeta tipo Neptuno en un sistema estelar con 4 estrellas. Una supertierra en la zona habitable que podría albergar vida. Y muchos otros exoplanetas. Las estimaciones indican que hay unos 160 mil millones de estrellas con al menos un planeta en la Vía Láctea.

En Biología y Ciencias de la Vida, podemos destacar como noticia el proyecto ENCODE que ha descubierto el secreto del ADN basura. El Proyecto Genoma Humano documentó todos nuestros genes, los trozos de ADN que codifican proteínas, pero descubrió que el ADN es mucho más complicado de lo que se pensaba. La paradoja de la ciencia, cada vez que uno sabe más cosas se da cuenta que sabe menos cosas. Los genes son el 1,2% del ADN y solo un 3% del ADN está implicado en la regulación de la expresión de los genes. El 97% se pensaba que no tenía ninguna función. El proyecto ENCODE ha encontrado actividad química en el 50% del ADN y abre la puerta para una revolución en nuestra manera de entender el ADN con importantes aplicaciones biomédicas, pues muchas enfermedades podrían estar relacionadas con esta parte del ADN. Pero ha habido muchos avances relacionados con enfermedades como el cáncer; por ejemplo, en el cáncer de mama ya se sabe que hay 10 tipos diferentes (cada uno requiere un tratamiento distinto). Ha habido avances importantes en biología sintética, como el desarrollo de bacterias capaces de fabricar hidrocarburos y gasolina directamente a partir de CO2. Y el gran fiasco del año fue la vida basada en el arsénico que anunció la NASA, las supuestas bacterias que incorporaban arsénico en su ADN en lugar de fósforo que más tarde fueron desmentidas.

En Ingeniería y Tecnología, lo más interesante siguen siendo los avances en nanotecnología. Ya hay dispositivos nanotecnológicos comerciales. Este año Intel ha lanzado los primeros chips microprocesadores con tecnología de 22 nanómetros. IBM ha fabricado unas baterías de litio-aire ultraligeras de alta capacidad y duración muy prometedoras para los futuros coches eléctricos. Se han desarrollado transistores utilizando fibras de algodón, dopadas con nanopartículas de oro y un polímero conductor, que prometen el desarrollo futuro de tejidos inteligentes para la ropa. Unos japoneses han desarrollado la fibra óptica para internet más rápida del mundo, un petabit por segundo en una distancia de 50 km (5000 canales de TV de alta definición por segundo por una sola fibra). Tantos avances que yo quisiera acabar recordando que este año ha sido el Año Turing, el centenario del nacimiento de Alan Turing, matemático británico considerado el padre de la informática y de los ordenadores.

Muchos temas y muy poco tiempo. Si no has escuchado el audio aún y te apetece escucharlo ahora puedes hacerlo en este enlace.