El artículo de Jesús Guillera Goyanes, “Historia de las fórmulas y algoritmos para pi,” Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, 10(1):159-178, 2007, nos presenta algoritmos y fórmulas tan interesantes como los de Arquímedes, Viete, Wallis, Newton, Comtet, Gregory, Leibniz, Machin, Euler, e incluso Gauss y Ramanujan. Los algoritmos de Borwein están entre los más eficientes. El artículo acaba de ser traducido al inglés (”History of the formulas and algorithms for pi,” Jesus Guillera, ArXiv preprint, 5 Jul 2008 ).
A los interesados en el artículo también les gustará la propia tesis doctoral del autor, “Series de Ramanujan: Generalizaciones y conjeturas,” defendida el 2 de julio de 2007. El trabajo de Ramanujan todavía nos deparará muchas más sorpresas en el futuro.
Tampoco me puedo resistir a recomendaros el artículo “Fun with Fourier series,” Robert Baillie, ArXiv preprint, submitted on 1 Jun 2008 , del que extraigo la figura de abajo, como botón de muestra.
La geometría en el s.XIX recorrió un “extraño” camino. De la geometría euclidiana, aparentemente la geometría del mundo que nos rodea, bien fundamentada axiomáticamente pero con la “lacra” del axioma de las paralelas, ¿es un teorema? ¿debe ser un axioma? ¿podemos definir geometrías que no lo cumplan? Gauss, la “zorra” de las matemáticas, que borraba con su “rabo” las huellas de su pensamiento, aunque gracias a su diario personal, recuperado más tarde, aunque de forma incompleta, sabemos que demostró que era posible una geometría con una variante de dicho axioma, válida para la esfera (durante muchos años, Gauss se dedicó a la geodesia). Otros la descubrieron más tarde, la geometría no euclídea, junto a otras variantes, nombres como Lobachevsky o Bolyai.
¿Pero qué hace que una teoría matemática sea o describa una geometría? El programa de Erlangen de Klein nos ofrece una respuesta. Un conjunto de objetos invariante ante la acción de un grupo ES una geometría, por lo que se denominan a las acciones del grupo como transformaciones “geométricas.” La teoría de grupos, que Galois elevó a la gloria del álgebra, era elevada por Klein al cielo de la geometría. Ya en el s.XX, la teoría de semigrupos la elevaría al sumum del análisis. La teoría de grupos como metamatemática. ¡Qué pensaría Klein de los fractales!
El libro “Indra’s Pearls: The Vision of Felix Klein,” de David Mumford, Caroline Series y David Wright, Cambridge University Press, 2002 , merece, en este sentido, una lectura cuidada y un disfrute gráfico con sus impresionantes figuras (como la mayoría que adornan los libros sobre fractales, de gran belleza y profundidad geométrica). La página web que los autores del libro han preparado, nos ofrece gratuitamente más perlas. En este libro, los matemáticos disfrutarán de los grupos de Schottky, un tipo de transformación de Möbius, también llamados grupos kleinianos.
La gran belleza “matemáticas” de los fractales es que normalmente están asociados a los números complejos y estos son la manera “ideal” de representar los números. De ello ya se dió cuenta Cardano, que codescubrió cómo reolver ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4 de forma general. Sin embargo, su fórmula tenía un grave problema. A veces “no era aplicable”. Un ejemplo sencillo es el polinomio , cuya raíz entera igual a 4 no es fácilmente “visible” en el resultado obtenido utilizando la fórmula del propio Cardano, en concreto, la fórmula siguiente
. Los que conocen los números complejos sabrán que ambos resultados son equivalentes. A los que no, les recomiendo “aprenderlo” (merece la pena, “El Camino a la Realidad,” Roger Penrose, es un buen punto de partida para entender cómo los números complejos son “el lenguaje numérico” de la realidad). Cardano se vio “obligado” a “crear” (o quizás “descubrir”) los números complejos, que hasta Euler y Gauss, siglos más tarde, no ganaron el estatus que tienen hoy en día (que Penrose “disfruta” en su libro, un libro “disfrutón” donde los haya, aunqe pesa “demasiado” como lectura playera del verano).
Por cierto, yo leí “The Road to Reality” de Penrose al poco de salir en Gran Bretaña (encargé a un amigo que viajaba a Escocia que se hiciera con una copia para mí). “Supersesgado” hacia sus “twistors,” yo, que no soy “nadie”, hubiera escrito el mismo libro con un enfoque completamente diferente, sin embargo, he de reconocer que como “La nueva mente del emperador”, engancha, … “sesga” al lego… pero engancho incluso al técnico. Ya ha pasado a la la historia de la divulgación científica, no por lo que quiere Penrose, “reivindicar los twistors,” sino por que varias generaciones de jóvenes se formarán como físicos y matemáticos gracias a él. Amén, perdón, “que así sea,” en nombre de Penrose, digno hijo de su padre.
El índice H de una revista internacional no es fácil de calcular utilizando el ISI Web of Science, ya que requiere datos históricos acumulados. Sin embargo, el SCImago sí lo permite calcular (aunque sólo es el índice H desde 1994, dado que se basa en datos de Scopus de Elsevier). ¿Cuáles son las dos revistas de investigación más prestigiosas del mundo en la actualidad? La mayoría de nosotros pensará que son Nature y Science, quizás por este orden. ¿Qué dice el índice H de SCImago al respecto?
1. Nature, 531 artículos citados más de 531 veces, según SCImago 2007;
2. Science, 521.
5. PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America), 339.
No me “desagrada” este orden. ¿Qué pasa con las revistas de … pongamos, Computer Science?
1. Bioinformatics 111; 2. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 111; 3 IEEE Transactions on Information Theory 102; 4 IEEE Journal on Selected Areas in Communications 101; 5 IEEE Transactions on Communications 92; 6 IEEE Transactions on Image Processing 88; 7 IEEE Communications Magazine 84; …
Tampoco, “chirría” este otro orden. ¿Y con las de Mathematics, Computational Mathematics?
1 SIAM Journal on Numerical Analysis 45; 2 Applied Mathematics and Computation 37; 3 Mathematics of Computation 32; 4 Numerische Mathematik 32; 5 Journal of Computational and Applied Mathematics 31; 6 Computers and Mathematics with Applications 30; …
No sé, no sé, me gusta menos, … quizás porque estoy acostumbrado al índice de impacto del ISI que las ordena de forma completamente diferente.
Todos tenemos preconcepciones. “Sabemos” qué revistas internacionales son más prestigiosas, independientemente de su índice de impacto, muchas tienen índices de impacto “ficticios” (ya que muchos editores se dedican a la ingeniería del índice de impacto). El trabajo de SCImago (de algunos amigos granadinos) me gusta. No “coincido” del todo con sus resultados, pero en muchos casos muestra ser más “fiable” con la “intuición”, menos “paradójico” que el índice de impacto, que este año en MATHEMATICS, APPLIED coloca a la “prestigiosa” (en “casa” del Editor Principal porque no lo es en ningún otro lugar) INTERNATIONAL JOURNAL OF NONLINEAR SCIENCES AND NUMERICAL SIMULATION, como la de mayor índice de impacto y con diferencia, con un índice de impacto “paradójicamente” enorme para el prestigio que tiene. Eso sí, si ojeas los últimos números, ciertos matemáticos “muy buenos” están publicando en ella, supongo que aprovechando la burbuja “especulativa” de su índice de impacto.
Los físicos, sobre todos los teóricos, están cada días más “asqueados” de la física teórica de partículas y campos, donde sólo los diestros en matemáticas abstractas logran publicar “matemáticas” (que no física). Cierto es que a los físicos experimentales y sobre todo los aplicados no les falta trabajo (en gran parte compitiendo con los ingenieros). Pero también es cierto que trabajos que antes sólo ocupaban los físicos, ahora también los ocupan los matemáticos. Pero, al grano, lo que quería decir es que ahora muchos físicos se están acercando a temas transversales, como biología (biología física, biología de sistemas, biología sintética, bioinformática, etc.) o ciencias sociales. La sociofísica es el tema de esta entrada. Artículos tan “curiosos” como un análisis de ola (mejicana le llaman) en los campos de fútbol, ¡publicado en Nature! Para los interesados en este fenómeno recomiendo el artículo original de Illes Farkas, Dirk Helbing, Tamas Vicsek, “Crowd behaves as excitable media during Mexican wave,” ArXiv preprint, pubilcado en Nature 419, p. 131, 2002, y el análisis sobre cómo se inicia el fenómeno espontáneamente en Illes J. Farkas, Tamas Vicsek, “Initiating a Mexican wave: An instantaneous collective decision with both short and long range interactions,” ArXiv preprint, publicado en Physica A 369, 830-840, 2006.
Uno de los padres de la sociofísica es Serge Galam, quien ha publicado una biografía técnica personal en “Sociophysics: A review of Galam models,” ArXiv preprint, 2008. En él revisa todos los modelos sociofísicos que ha desarrollado en los últimos 25 años (desde cuando los físicos se dedicaban a otras “cosas”, hasta ahora, que muchos le siguen cual “patitos a su pata”). Galam se ha especializado en sistemas de voto, toma de decisiones, análisis del terrorismo (ahora tan de moda desde el 11S) y dinámica de la transmisión de opiniones. Los análisis utilizando técnicas propias de los físicos muestran muchos comportamientos contra la intuición, las “paradojas” que llaman la atención tanto a propios (científicos sociales) como extraños (otros físicos que se apuntan al carro). Galam presume en su artículo de haber predicho “muchas” cosas, como la victoria de la extrema derecha en Francia en el año 2000 o el victoria del “no” francés a la Constitución Europea. Se pregunta Galam ¿es la sociofísica una “ciencia de verdad”? Y el mismo se responde, ¿alguien lo duda?
La matemáticas tanto a finales del s. XVIII como a inicios del s. XIX fueron dominadas por los franceses (y en la historia europea en general por los devaneos de Napoleón), “fueraparte” Gauss, obviamente, la excepción que toda “caracterización” no matemática tiene. El dominio de la matemática francesa culminó en 1832, el 31 de mayo, con la muerte en duelo, por amor “propio,” del joven Galois (de sólo 20 años). Entonces comenzó el dominio de los matemáticos alemanes.
Políticamente incorrecto, altivo al extremo, es el prototipo del empollón, inadaptado, que busca que “todos hablen de él, aunque sea mal.” Agitador político, tuvo problemas con el gobierno y llegó a estar en prisión. Trató de entrar en la École Polytechnique, la élite universitaria francesa, dos veces, pero en ambas cateó. Su arrogancia le llevó a afirmar que “las preguntas que le hicieron eran tan triviales, que no sé dignó a contestarlas” (en realidad, quizás influyera más que su padre se acababa de suicidar por cuestiones políticas, eran tiempos políticamente muy revueltos en Francia). Fue aceptado en 1829 en una universidad de “segunda”, la École Normale, pero al año siguiente lo expulsaron por conducta inapropiada. En cualquier caso, era una “niña bonita” (admirado por muchos de sus profesores) por su extrema inteligencia para las matemáticas. En palabras de Klein, “mozalbete descarado, casi petulante, … es un matemático de completa claridad y madurez formal, con una prodigiosa profundidad”.
Su testamento, su famosa carta a su amigo Chevalier, la noche anterior al duelo, que presenta la culminación de la obra de su vida, de la que ya había publicado varios artículos, lo que ahora llamamos “Teoría de Galois”, una de las primeras grandes contribuciones en “Teoría de Grupos” (a quien Galois le dió este nombre, grupo), la aplicación de la teoría de grupos al problema de la resolución (cálculo de raíces) de polinomios, o saber cuándo un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces que se pueden expresar utilizando operaciones elementales. En palabras del propio Galois (traducidas y adaptadas) “amigo Chevalier, a menudo he enunciado teoremas de los que no estaba seguro, pero lo que he escrito esta noche, que ronda en mi cabeza desde hace un año, creo que no me equivoco si afirmo, que son teoremas verdaderos e induscutibles aunque no presento demostración completa. Amigo Chevalier pídeles a Gauss o Jacobi que den su opinión sobre la importancia de los mismos, no sobre su corrección, que seguro que no faltarán otros, o eso espero, que se ocupen de sacar tajada descifrando este popurrí.” Desafortunadamente, su esperanza se vio truncada por la falta de interés de Jacobi y Gauss. Sólo hasta 1846 (3 lustros más tarde), gracias a Liouville, estos resultados vieron la luz pública y mostraron toda su brillantez. A finales del s. XIX se pudo “de moda” entre los profesores universitarios de matemáticas el contar a sus alumnos la teoría de Galois, como ejemplo de los logros más bellos de las matemáticas, aunque la extrema dificultad de la teoría para alumnos de grado hacía que los alumnos acabaran odiando lo que no comprendían (quizás por las propias dificultades de sus docentes).
Pero Galois no sólo trabajó en álgebra, teoría de grupos, también trabajó en análisis (las famosas integrales abelianas, integrales cualesquiera de funciones algebraicas de una variable), e incluso en métodos numéricos (métodos de punto fijo de Abel). Os recomiendo, respecto a este último trabajo, Massimo Galuzzi “Galois’ Note on the Approximative Solution of Numerical Equations (1830),” Journal Archive for History of Exact Sciences, 56(1):29-37, 2001 . Por supuesto, no podemos olvidar Jules Tannery, “Manuscripts de Evariste Galois,” Gauthier-villars, Paris, 1908 , disponible gratuitamente en la University of Michigan´s Historical Math Collection (las obras completas de Galois).
Permítaseme citar algunos párrafos de “La burbuja del crudo terminará por estallar,” por Carmen Ramos para Mercados, Suplemento Dominical de El Mundo, 22 de junio de 2008 : “La imparable subida del precio del barril de petróleo se traslada a todos los sectores, reduce el poder adquisitivo y genera inflación (…) El incremento de demanda de crudo, por el despertar de las economía asiáticas, ha generado parte del alza de su precio, pero en buena medida se debe a la especulación (…) a diario en el Nymex, el mercado de futuros de la Bolsa de Nueva York, el volumen de barriles negociados es seis veces mayor que el consumo mundial (…) la OPEP, Organización de Países Exportadores de Petróleo, resalta que la oferta de crudo supera en 1,5 millones de barriles a la demanda (…) cada día son más las voces que alertan de una posible burbuja, de un exceso que, como todos, terminará por estallar y el precio caerá en picado.” Las primeras señales de una próxima bajada están ya en las noticias : “China bajará el consumo ya que van a disminuir las subvenciones a la gasolina y el gasóleo (…) Arabia Saudí ha anticipado un incremento de la producción de 200.000 barriles diarios en julio, que se suma al aumento de 300.000 que ha efectuado este mes. Una decisión encaminada a frenar la subida de precios y que, tal vez, se deba al temor a que se esté generando esa burbuja.”
Pero, ¿realmente nos encontramos ante una burbuja especulativa? Sólo los modelos matemáticos de los economistas pueden afirmarlo. Cual Nostradamus o Rapel me he atrevido a realizar una predicción en Menéame: “Confirmado: los precios del petróleo bajaran a partir de julio.” Copio aquí “Economistas especialistas en el modelado de burbujas económicas basadas en la especulación de precios han confirmado, por un lado, que la actual escalada de precios del petróleo (desde 2006) es una burbuja y, por otro, han predicho que el máximo está a punto de ser alcanzado (si no lo ha sido ya). Buenas noticias para todos.” Podéis leer los comentarios, la mayoría criticando mi predicción. Sólo el tiempo lo dirá. Por ahora os comento que “El modelo de los autores ha sido confirmado en las tres últimas burbujas (desde 1996). Por supuesto, “he buscado un titular “políticamente incorrecto”.”
En realidad el modelo matemático de burbujas especulativas no ha sido desarrollado por economistas sino por físicos que se dedican a la sociofísica. El artículo “The 2006-2008 Oil Bubble and Beyond,” D. Sornette, R. Woodard, and W.-X. Zhou, ArXiv preprint, 6 June 2008 , analiza los precios del petróleo en dólares y euros diagnosticando un crecimiento más que exponencial, que los autores achacan a una burbuja especulativa. El modelo de los autores ha sido capaz de predecir “a toro pasado” las 3 burbujas más importantes desde 1996, la burbuja de las .com (punto-com o dot-com) que culminó en el 2000, la burbuja inmobiliaria norteamericana que culminó a mediados de 2006, y el boom de las hipotecas “basura” (subprime) de 2007. Julio de 2008. De hecho la figura 2 del artículo no aclara si es en junio o julio de 2008, casi igualmente probables. Todo depende de exactamente qué mes empezó la burbuja. Lo que es difícil de estimar.
¿Cuándo predice el modelo que la burbuja alcanzará su valor pico y empezará a decrecer el precio del petróleo? Depende de cuándo empezó la burbuja, algo que no es fácil de determinar. La figura 2 del paper sugiere de junio a julio de 2008 , pero no aclara exactamente cuándo. Dado que a principios de junio no se ha producido aún y el precio del crudo sigue creciendo, mi “apuesta” es que a principios de julio próximo, el crudo empezará a decrecer de precio. ¿Cómo será el descenso de precios? Si “acierto”, será “de caerse por un precipicio”. Por el bien de la economía de nuestro país, espero acertar el augurio.
Muchos tenemos la experiencia de haber observado cómo se generan formas poligonales cuando se deforma la pared de una botella de plástico ante cargas puntuales. El artículo de Ashkan Vaziri and L. Mahadevan, “Localized and extended deformations of elastic shells,” PNAS, vol. 105, no. 23, pp. 7913-7918, June 10, 2008, presenta un modelo matemático (ecuación) de cómo se realiza este proceso de generación de patrones poligonales. En el artículo se comparan los resultados de simulaciones numéricas con resultados experimentales ante cargas puntuales (aplicar una fuerza de compresión sobre la botella concentrada como la producida cuando se aplica presión con un lápiz puntiagudo, figura A).
Estas formas poligonales son debidas a la respuesta mecánica no lineal de superficies elásticas curvadas cuando se les aplica una fuerza externa localizada. Dependiendo de las curvaturas (geométricas) intrínsecas (locales) de la superficie, se obtienen diferentes formas (patrones) para la superficie deformada. Para superficies con curvatura gaussiana cero o positiva, aparecen estructuras “poligonales” (facetadas) que se organizan en un conjunto de patrones localizados intrincados, presentando transiciones de histéresis entre múltiples estados metaestables. Por el contrario, cuando la curvatura gaussiana es negativa la superficie se deforma de forma no local a lo largo de líneas características que se extienden a lo largo de toda la superficie. Los autores presentan ecuaciones matemáticas y resultados numéricos que permiten entender estos dos tipos de comportamiento, permitiendo clasificarlos en función de ideas geométricas muy sencillas.
La figura A muestra que conforme el desplazamiento de al punta del lápiz que aplica la presión aumenta, la botella primero se “hunde” con una hueco circular, que pierde la simetría local para transformarse en una forma poligonal con 3 vértices (triángulo). Si se sigue aplicando la presión con el lápizse forman polígonos con un mayor número de lados y vértices. Los investigadores han resuelto las ecuaciones en derivadas parciales elípticas no lineales para la deformación de la superficie usando el método de elementos finitos con el programa comercial ABAQUS, partiendo de la geometría de la figura B, obteniendo los resultados numéricos mostrados en la figura C. Suponiendo que el material deformado tiene un grosor t y una curvatura (sin deformar) R, los autores han estudiado el rango 0.0005 < t/R < 0.01. Para el casquete esférico la curvatura gaussiana es positiva.
Como muestra la figura F, el casquete esférico primero se deforma axisimétricamente con un comportamiento lineal entre la fuerza aplicada (F/Et²) y el desplazamiento debido a la presión de la punta normalizado respecto al radio de curvatura (Z/R). Pero cuando la deformación es similar al grosor del casquete, la respuesta se vuelve no lineal. Si se seguimos presionando, aparece una deformación con una forma básicamente circular. Cuando seguimos presionando más, la forma circular pierde estabilidad, produciéndose una transición a un modo asimétrico, que muestra simetría triangular. Si seguimos aplicando la presión se producen sucesivas transiciones bruscas hacia formas con simetría de 4 y 5 lados. Múltiples formas poligonales con un número variable (creciente) de vértices (ver también figura C). Cada transición está marcada por una bifurcación que convierte un vértice en dos. Cuando decrementa la presión de la punta del lápiz, la deformación de la superficie sigue la curva roja en la figura F, es decir, se produce un fenómeno de histéresis (múltiples estados estables cuyo valor depende de cómo son alcanzados).
¿Por qué ocurre esto? Porque las deformaciones casi-inextensibles del casquete son energéticamente preferibles cuando se cambia de número de vértices, ya que se estira la superficie sólo en las cercanías de estos vértices y en las líneas que los conectan y el resto de la superficie permanece en gran parte sin deformar (facetas planas). De esta forma, la superficie se deforma en una pirámide n-gónica con el vértice en el punto en el que presionamos (figura D).
En resumen un artículo muy interesante. El artículo se acompaña de un vídeo en formato .mov, que muestra claramente cómo ciertos vértices individuales se dividen en dos incrementando el número de lados de los polígonos.
Claes Johnson, tan friki e iconoclasta como siempre, junto a Johan Hoffman y colaboradores son los artífices del proyecto “Applied Mathematics: Body & Soul,” un programa para la reforma de la Educación Matemática. Uno de cuyos resultados es la publicación de una serie de libros con su novedoso enfoque. Empezaron con “Computational Differential Equations,” anunciando su versión “Advanced Computational Differential Equations,” que nunca vio la luz, yo llegué a encargarla en una librería, esperándola durante cerca de un año, para finalmente anular el pedido, sin que nadie supiera si se iba o no a publicar. Han publicado en su lugar 4 volúmenes como parte de la serie “Body and Soul“.
¿Por qué se han embarcado en tan osada contienda? Por supuesto porque son unos frikis. Pero también por razones “varias” que exponen en su libro “Dreams of Calculus - Perspectives on Mathematics Education.” Un estudio del Ministerio de Educación Sueco publicó el 28 de mayo de 2004 un informe sobre la situación actual de la enseñanza de las matemáticas en Suecia y sobre la posibilidad de cambiar los programas de estudio. El informe fue escrito por más de 100 personas, pero sólo 1 profesor de matemáticas, y en particular ningún experto en matemática aplicada o computacional. Los resultados del informe fueron claros:
(1) No hay ninguna crisis en la educación matemática hoy en día.
(2) No hay necesidad de cambiar la eduación matemática debido a la existencia de los ordenadores.
Obviamente, Johnson y colaboradores no estaban de acuerdo. El proyecto “Body & Soul” ha surgido porque:
[1] Hay una “crisis” en la educación matemática.
[2] El ordenador exige un cambio sustancial en cómo se enseña matemática.
La aproximación del proyecto es la siguiente: el sistema educativo actual asume que la educación se basa en la ciencia, mejor aún, la educación actual debe basarse en la ciencia contemporánea. Un ejemplo, en un segundo curso de ingeniería, en una asignatura de matemáticas, ¿por qué no hablarle a los alumnos de la ciencia de la turbulencia? ¿Por qué no mencionar que es uno de los premios Clay? ¿Por qué no contar “brevemente” las técnicas que se están usando para resolver este problema? ¿Por qué no contarle al alumno lo que ha pasado en los últimos 10 años en la ingeniería, en lugar de contarle lo que pasó hace más de un siglo?.
¡¡Se dice fácil!! ¿Pero qué profesor tiene el nivel para hacerlo?
De buenos propósitos está lleno el mundo.
Un problema: ¿Cuál es la diferencia entre las dos afirmaciones siguientes?
En la línea de Johnson, también se encuentra el reciente libro de (un genio) Hairer, “L’analyse au fil de l’histoire,” con su “eterno” colaborador Wanner (en inglés aparecerá este año, en julio, “Analysis by Its History“). Uno de esos pocos libros que, tras su lectura, a uno le gustaría traducir al español (aviso a navegantes “con 2 c…”).
El proyecto chebfun es una colección de algoritmos, y un sistema software basado en Matlab orientado a objetos, iniciado por Nick Trefethen y Zachary Battles en 2002, que extiende la potencia de los métodos numéricos al tratamiento “casi” simbólico de funciones continuas y continuas a trozos. Incluye algoritmos continuos para algoritmos como la descomposición QR o la SVD. Todo se basa en métodos espectrales o desarrollos de Fourier-Chebyshev. Es espectacular.
Algunos ejemplos:
¿Cuál es la integral de exp(-sqrt(x)) entre 0 y 10? >> x = chebfun(’x',[0 10]); sum(exp(-sqrt(x))) ans = 1.647628069579947
¿Cuál es el máximo local de la función sin(x)+sin(x2) en el mismo intervalo? >> max(sin(x)+sin(x.^2)) ans = 1.985446580874099
¿Cuántas raíces tiene la función de Bessel J0(x) entre 0 y 1000? >> length(roots(chebfun(@(x) besselj(0,x),[0 1000]))) ans = 318
Y muchas más cosas… En resumen “Métodos Numéricos con Funciones en lugar de con Números”.
Las programadoras del ENIAC primero utilizaban paneles de cables.
Nick (Nicholas Constantine) Metropolis (nacido el 11 de junio de 1915) trabajó con Edward Teller y con J. Robert Oppenheimer en el proyecto Manhattan en Los Alamos durante la Segunda Gran Guerra. Tras ella, en 1948 lideró el grupo de Los Alamos que desarrolló y construyó el Maniac, uno de los primeros ordenadores electrónicos digitales. Metropolis desarrolló, junto a Teller, John von Neumann, Stanislaw Ulam, y Robert Richtmyer, los llamados métodos de Montecarlo (in inglés Monte Carlo, como les llamó el propio Metropolis). Es sorprendente, pero mucha gente asocia a Metropolis con las técnicas de muestreo basadas en la importancia, el llamado algoritmo de Metropolis, muy utilizadas en simulación de Montecarlo, olvidando su importante papel en el desarrollo de uno de los algoritmos más importantes en toda la Historia de la Informática.
El origen de métodos tan importantes como el método de Montecarlo siempre se puede trazar en el pasado muy lejos y siempre hasta llegar a los más grandes genios. Por ejemplo, Enrico Fermi, quien siempre estaba calculando algo, usó técnicas de muestreo estadístico en problemas de difusión de neutrones al menos en 1934, tras el descubrimiento en 1933 por Frederic Joliot e Irene Curie (la hija, también Nobel) de la radioactividad inducida en elementos ligeros mediante el bombardeo con partículas alfa (núcleos de Helio). Recuerda que Chadwick descubrió el neutrón un año antes. La idea de Fermi fue utilizar neutrones en lugar de partículas alfa. Utilizó métodos de Montecarlo para realizar sus cálculos. Nunca lo publicó. Se conoce la historia porque se la contó a Emilio Segré.
Las programadoras del ENIAC más tarde utilizaban paneles control (idea de Nick).
En 1948, Nick visitó el ENIAC donde, gracias a una sugerencia de von Neumann, implementó por primera vez cálculos de Montecarlo computerizados. Contratado por la Universidad de Chicago, desarrolló el computador electrónico de Los Alamos llamado MANIAC (Mathematical and Numerical Integrator and Computer) que utilizaba la arquitectura de programa almacenado de von Neumann. Lo más maravilloso de tener uno de los primeros ordenadores a principios de los 1950s es que prácticamente cualquier que se hacía con él era pionera y muy importante. El computador abría un amplio abanico de posibilidades de investigación científica hasta ese momento inalcanzables. En el MANIAC se realizaron las primeras simulaciones de osciladores no lineales acoplados (problema de Fermi-Pasta-Ulam, programado por la señorita Tsingou), idea de Fermi en 1953 acabó como informe técnico sin publicar por su fallecimiento. Pero también se desarrollaron trabajos tan importantes como el análisis del código genético (Gamow, Metropolis; 1954), el muestreo basado en importancia (Metropolis, Teller; 1953), física computacional de fluidos en 2D (Metropolis, von Neumann; 1954), y muchos otros más. Casi cada artículo abría un nuevo campo de conocimiento.
MANIAC II sustituyó a MANIAC I en Los Alamos en 1956, que incluía un aritmética en punto flotante y era mucho más poderoso. MANIAC III, con circuitos de estado sólido, se desarrolló en la Universidad de Chicago. Los MANIAC funcionaron hasta 1977.
El puesto 16 para España en Eurovisión, ¿es el mejor puesto posible? ¿Puede España alcanzar un puesto mejor con el nuevo sistema de votaciones vía SMS del eurofestival. ¿Debería España hacer como Italia y “abandonar” el festival? Obviamente RTVE es la gran ganadora del festival (casi 14 millones de espectadores vieron la actuación de Chikilicuatre en La 1). La 53 edición marcó más de 9,3 millones de fieles seguidores desde las 21:00 hasta las 00:17 horas de la noche (9.336.000). La cadena registró una impresionante cuota de pantalla del 59,3% durante algo más de 3 horas.
Muchas voces reclaman que un jurado técnico (si no substituyendo al jurado SMS público, al menos complementándolo) es una necesidad para revitalizar al festival y lograr que vuelva a sus mejores tiempos. ¿No está ahora en sus mejores tiempos (minuto de oro del día, 22:35: 13.873.000 y 78,1%)?
Se lleva discutiendo muchos siglos (desde “La República” de Platón) si sólo los expertos deben juzgar la calidad de las obras de arte o de los productos culturales, o si por el contrario podemos confiar en los gustos del público general. El artículo de MARCO A. HAAN, S. GERHARD DIJKSTRA and PETER T. DIJKSTRA, “Expert Judgment Versus Public Opinion - Evidence from the Eurovision Song Contest,” Journal of Cultural Economics, 29: 59-78, 2005, trata de contestar a esta pregunta utilizando el Concurso de la Canción de Eurovisión. Los autores muestran que el juicio de los expertos es mucho menos sensible que el público llano a factores no relacionados con la calidad (como todo el mundo sabe). Aunque el estudio también muestra que el juicio de los expertos también depende de dichos factores (al menos empíricamente en las finales de Eurovisión). Os recuerdo que este concurso de la European Broadcasting Union (EBU) hasta 1998 solicitaba de cada país un un jurado de “expertos”, pero desde entonces en la mayoría de los países se implantó la elección mediante un “jurado popular” (comercialmente más rentable). Os recuerdo también que desde 1960 hasta 1998, los miembros del jurado podían oir las canciones antes del festival, pero no ver su interpretación. Hasta 1998, la ejecución en directo en el Festival sólo podía utilizar la música interpretada por la orquesta sinfónica que el país organizador seleccionaba. El “televoto” fue introducido en 1998 consiste en que cada ciudadano de los 43 países miembros de la EBU que participan en el Festival (aunque no estén en los 25 de la final) realiza una llamada telefónica o envía un SMS con su voto (cada hogar sólo puede enviar 3 votos).
Los autores del artículo han estudiado todos los festivales con jurado “técnico” desde 1957-1997 y los que utilizaron televoto entre 1998-2002 (pero no a todos los países, por ejemplo, España no ha sido tenido en cuenta, pero sí Portugal). Si el jurado técnico tomara la decisión en términos de méritos de calidad de la canción exclusivamente, el resultado final sería completamente independiente del orden de aparición del cantante (aleatorio). Evidentemente, todo el mundo sabe que este no es el caso. El estudio estadístico muestra claramente este hecho, resultando que una canción que aparece al final tiene un 12% más de posibilidades de ganar que una que aparece al principio. Sólo se salvan los primeros entre los primeros (o los últimos entre los últimos) que tienen una posición final mejor de la que estadísticamente se esperaría para los primeros (o los últimos). Este resultado se ha comprobado en muchos otros concursos de canciones o musicales. Aparentemente, cualquier jurado recuerda mejor las últimas interpretaciones, aunque las primeras también “resuenan” en la mente.
La primera conclusión interesante del artículo es que el orden de aparición afecta más al voto del público que al de los expertos. El análisis de regresión realizado lo muestra claramente (ver figura 1 del artículo). La conclusión más importante del estudio es que sin ambigüedad estadística los expertos juzgan mejor la calidad que el público en general (les afectan menos factores externos como el orden en que se concursa). Aunque, por supuesto, su juicio no es perfecto.
El tema de Eurovisión dárá más que hablar en este blog. Lo prometo.
A bote pronto se me ocurre una barbaridad. Una posibilidad para que España gane quizás sea que España “deje de ser” España y se convierta en una República de Comunidades Autónomas (similar a la ex-Yugoslavia o la ex-Repúblicas Soviéticas). En este caso, nuestras Autonomías lograrían que ganara una de nuestras Televisiones Autonómicas y España reinaría el festival. A muchos no gustará esta idea.
Otra propuesta descabellada. ¿Has votado en Eurovisión? Probablemente no. ¿Por qué? Porque no eres emigrante. Los países que tienen muchos emigrantes, pongamos de Rumanía, votan preferentemente a Rumanía (a quién se ha votado más en España). Claramente ganan los países que tienen más emigrantes. Otra posibilidad para que volvamos a ganar es que emigremos… o que nos vayamos de vacaciones por Europa el día de la votación. ¿Qué tal visitar Moscú el año que viene?
Aparcar el coche en el centro de cualquiera de nuestras ciudades es un GRAN problema. La manera clásica de tratar de resolver este problema matemáticamente es el modelo del “aparcamiento aleatorio” (random car parking model) de Renyi. Este modelo ignora un parámetro importante a la hora de elegir aparcamiento, la distancia entre coches (ya aparcados o la que estimamos que dejaremos cuando lo logremos). Este modelo teórico predice que la función densidad de probabilidad p(D) para la distancia entre coches D crece hacia infinito conforme D decrece a cero, lo que obviamente es irrealista. De hecho los datos experimentales en múltiples ciudades mustran que p(D) decrece a cero conforme D lo hace. Petr Šeba, “Parking in the city: an example of limited resource sharing,” ArXiv preprint, 10 Apr 2008, trata de solventar este defecto del modelo de Renyi.
Petr estudia el proceso de aparcar el coche en el centro de una ciudad como si se tratara de un problema de gestión de recursos compartidos o limitados (el espacio disponible de asfalto reservado para aparcar). De esta forma muestra cómo determinar una distribución de probabilidad para predecir la distancia entre coches aparcados que depende de la longitud del segmento de calle reservado para aparcar. El modelo le permite demostrar que existen principios psicofísicos generales que guían las maniobras que realizamos al aparcar nuestro coche. Estos principios han sido determinados y validados analizando el proceso de aparcamiento en una pequeña ciudad checa, Hradec Kralove (el autor es checo).
Técnicamente, Petr interpreta el proceso de aparcar como un partición estadística del espacio limitado como parking entre las personas que compiten entre sí intentando aparcar. La partición es descrita mediante una distribución de Dirichlet con parámetro g. Este parámetro está fijado por la capacidad del conductor de aparcar en espacios muy “justos” logrando un aparcamiento con una distancia entre coches muy pequeña. El modelo matemático le permite obtener la distribución del espaciado entre coches como una solución en estado estacionario del proceso de aparcamiento / desaparcamiento. En promedio, si un coche mide L metros, se necesitan 1.3*L metros para poder aparcar satisfactoriamente. Su modelo conduce a que la probabilidad p(D) sigue una distribución beta, que es una distribución fuertemente asimétrica. En este caso caracterizada por un parámetro g=3. Petr trata de justificar este parámetro aludiendo a la teoría de la percepción binocular de la distancia, siendo esta parte psicofísica del modelo la más susceptible a crítica. Las datos tomados experimentalmente que presenta para confirmar su hipótesis, en mi opinión, son bastante dudosos. Aún así, el artículo es de gratificante lectura y por tanto recomendable.
¿Cómo puede evolucionar el Sistema Solar en el futuro? ¿Cuáles son las posibilidades de que los planetas sufran una inestabilidad orbital antes de que el Sol se vuelva una estrella gigante roja y destruya la Tierra? En tres palabras: alrededor del 1%. Así se indica en el artículo de Konstantin Batygin, Gregory Laughlin, “On the Dynamical Stability of the Solar System,” ArXiv preprint, 11 Apr 2008. El artículo es técnico, pero está magistralmente comentado en (el blog del propio Laughlin) “It won’t last forever…,” que resume los puntos más importantes del trabajo de Batygin sobre la estabilidad a largo plazo del Sistema Solar y sobre todo de su motivación (Konstantin es el alumno y Gregory el profesor).
La respuesta a estas preguntas requiere estudiar numéricamente la evolución de los 8 planetas (no se tienen en cuenta los planetas enanos ni demás cuerpos de menor tamaño) en integraciones de largo tiempo. Hoy en día, cualquier ordenador PC permite realizar simulaciones de los 8 planetas en tiempos más largos que la vida del Sol (antes de que se convierte en gigante roja, dentro de unos 6 mil millones de años) y Batygin lo ha hecho para los próximos 24 mil millones de años (mucho más allá de lo necesario). La siguiente figura muestra la excentricidad de la órbita terrestre durante los próximos 20 mil millones de años, mostrando que su órbita prácticamente no cambia (variaciones entre e=0 y e=0.07). Un resultado claramente aburrido.
Las simulaciones numéricas desarrolladas por Batygin incluyen la adición de un término perturbativo singular, desarrollado previamente por Laskar gracias al análisis de la simulación hacia atrás en el tiempo (técnica de análisis de bifurcaciones para sistemas “caóticos” hamiltonianos), que permite modelar mejor la existencia de resonancias entre el movimiento de los planetas. En concreto una resonancia entre Mercurio y Júpiter, mediada por Venus, conduce a un comportamiento de Mercurio muy errático. Como vemos en esta figura.
Este comportamiento conduce a interesantes sorpresas. En una simulación Mercurio cae en el Sol dentro de 1261 millones de años (Ma). En otra, Mercurio y Venus colisionan dentro de unos 862 Ma, tras la eyección de Marte fuera del Sistema Solar dentro de 822 Ma. (como vemos en la figura de abajo). En todas las simulaciones Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno se mantendrán estables.
Más en broma que en serio, semiramis nos recuerda que “Venus no soporta que Mercurio (dios mensajero) le chive sus idilios a Marte (amante de la primera pero también cornudo) y razón por la cual éste último se pira del sistema solar. ¿Y para esa conclusión tanto cálculo numérico?”.
A veces los trabajos científicos que se leen en revistas de Matemáticas te dejan con la boca abierta… así que es preferible tener una botella de vino al lado con la que disfrutar a gusto. ¿Has observado alguna vez burbujas en una etiqueta mojada de una botella de vino? Como, por ejemplo, éstas en una botella de “clarete” australiano.
¿A qué se deben dichas burbujas? ¿Cómo actúa el agua en conjunción con el pegamento de la etiqueta para producirlas? ¿Tiene suficiente agua el pegamento para producirlas, o es necesario que la botella se encuentre un ambiente con alto grado de humedad? Por supuesto, si prefieres beber acompañado tendrás mejores cosas que preguntarte ante una buena copa de vino, pero si estás solo, por lo que sea, por qué no pensar en ello. Bueno, el artículo P. Broadbridge, G. R. Fulford, N. D. Fowkes, D. Y. C. Chan, and C. Lassig, “Bubbles in Wet, Gummed Wine Labels,” SIAM Review, Volume 41, Issue 2, Pages 363-372, 1999, nos ofrece una respuesta.
El artículo, cuya lectura es sencilla y la recomiendo a todos los interesados, muestra que la formación de burbujas en la etiqueta es debida a la absorción de agua por el papel que se encontraba disuelta en el pegamiento, acompañada dicha absorción por una expansión hidroscópico de dicho papel. La mayor parte de este agua no es absorbida por el papel sino que se evapora hacia el exterior generando las fuerzas de presión que “despegan” el papel en el centro de la burbuja. Los autores presentan un modelo de lubricación (una de las aproximaciones más sencillas en mecánica de fluidos) para las “tiras” de pegamento con la que se impregna la etiqueta en una cámara de presión que logra que ésta se pegue uniformemente en la botella. De hecho, tras el pegado, todas las etiquetas quedan “perfectamente” lisas. Sin embargo, alrededor del 5% acaban generando las tan temidas burbujas. Para el estudio del desarrollo de la burbuja, los autores aplican la teoría del pandeo (buckling) de estructuras mecánicas elásticas para explicar cómo la expansión del papel genera la burbuja. La geometría del modelo es muy sencilla, pero no por ello menos efectiva. El artículo merece la pena, ilustrando cómo un modelo matemático sencillo puede aportar mucha información sobre un problema real de importancia tecnológica (de hecho la industria enológica o vinatera australiana tiene ciertas pérdidas achables a devoluciones de lotes de botellas en las que aparecen estas burbujas con mayor frecuencia estadística de la habitual, ocurre en 1 de cada 20 cajas de botellas).
Es bonito la historia de este artículo. En un congreso organizado por el Grupo de Estudio de Problemas Matemáticos en la Industria Australiano (en concreto, el 1996 “Australian Mathematics-in-Industry Study Group, MISG) fueron invitados diferentes representantes de la industria que ofrecieron a los 160 matemáticos participantes problemas que ellos consideraban interesantes y a la vez importantes. Herbert Hruby, de las bodegas Southcorp Wines Pty. Ltd., presentó este problema. Los matemáticos se repartieron en grupos que se reunieron en varias sesiones regularmente con objeto de resolver este problema, y otros también propuestos. Este problema en concreto atrajo a una docena de matemáticos a “tiempo completo” y al menos otros doce que “revolotearon” por varios problemas.
En la página de Pedro Reina tienes un código que automáticamente resuelve los problemas de números y letras del programa (más de 15 años en antena) de “Cifras y Letras” (si quieres en vivo y en directo, para que no tengas el problema de Jose Mari
Políticamente incorrecto, altivo al extremo, es el prototipo del empollón, inadaptado, que busca que “todos hablen de él, aunque sea mal.” Agitador político, tuvo problemas con el gobierno y llegó a estar en prisión. Trató de entrar en la École Polytechnique, la élite universitaria francesa, dos veces, pero en ambas cateó. Su arrogancia le llevó a afirmar que “las preguntas que le hicieron eran tan triviales, que no sé dignó a contestarlas” (en realidad, quizás influyera más que su padre se acababa de suicidar por cuestiones políticas, eran tiempos políticamente muy revueltos en Francia). Fue aceptado en 1829 en una universidad de “segunda”, la École Normale, pero al año siguiente lo expulsaron por conducta inapropiada. En cualquier caso, era una “niña bonita” (admirado por muchos de sus profesores) por su extrema inteligencia para las matemáticas. En palabras de Klein, “mozalbete descarado, casi petulante, … es un matemático de completa claridad y madurez formal, con una prodigiosa profundidad”.
