“Lo que pudo haber sido” por Alejandro Rivero

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En el cómic “Watchmen”, el guionista inventa un mundo con superhéroes y taquiones, donde el quark strange y el charm se han descubierto en los años 50, el científico loco de turno hace experimentos para intentar encontrar los gluinos, y EEUU gana la guerra de Vietnam. Algo parecido hemos intentado hacer Mitchell Porter y yo en un hilo de PhysicsForums al que llamamos “The Wrong Turn of String Theory“, y para ello usamos varias numerologías, que he repescado aquí.

He titulado el post “Lo que pudo haber sido”, pues es como pensar en una historia alternativa de la física de partículas. Gracias a Francis por hacerme sitio para este guest post. Tenia ganas de hacer un resumen en castellano de todas estas cosas, y mi blog personal tiende a fragmentarse demasiado. No sé si necesito presentarme; ahora me dedico a cuestiones de redes sociales y asuntos informáticos, hace veinte años estudié física en la Universidad de Zaragoza y muchas de las cosas que he ido pensando -y arxivando– las podéis ver en mi página personal allí.

Sí, este post va de numerología. Dicho con más politesse, va de pistas que no tienen más fundamento que la mera numerología. Ya esta dicho. Veamos que tal sale. Si es demasiado denso o me salto cosas, siempre tenemos los comentarios.

1: Contando Partículas, o Numerología de Enteros

El primer gran tema es 128 = 84 + 44.

Hay un montón de papers de verdad, publicados y todo, sobre esta suma. El 128 es el número de componentes de un campo fermiónico en dimensión D=11 (Minkowski, uséase 10 espaciales + 1 temporal). [Aclaración: Alejandro se refiere al gravitino, un fermión de espín 3/2 asociado al gravitón, de espín 2; en D=11 hay fermiones de menos componentes, como los gauginos de espín 1/2 asociados a los bosones gauge; como aclara Alejandro en los comentarios, “cuando se compactifica a dimensiones más bajas, según cual sea la topología del espacio de compactificación, el gravitino se va descomponiendo en objetos tanto de espin 1/2 como de espin 3/2]. El 44 son las componentes del gravitón en D=11. Parece obvio que 128 no es igual a 44, así que la supergravedad se pega un tiro en el pie si insiste en tener igual número de componentes bosónicas que fermiónicas, ¿no?. Pues bueno, se salva porque llega al rescate un campo bosónico extra, un tensor antisimétrico de tres índices, que en D=11 tiene, justo, 84 componentes. ¿Qué significado tiene este campo? Una forma de verlo sería tirar del concepto de “central charges“, y que al colapsar esta supergravedad desde D=11 a D=4 apareciera una carga central con estas componentes. Otra forma, más entretenida, es mirar cuál es la fuente de la famosa membrana (2-brana) de D=11, y resulta que sí, que tanto ésta como su dual, la 5-brana, tienen su fuente en un campo de este tipo.

La construcción es super-elegante, y ahora solo bastaría tirar para abajo en el número de dimensiones usando Kaluza-Klein. Lo cual tiene su truquillo, porque bajo la alfombra de las dimensiones compactificadas se pueden sacar y meter los grados de libertad que queramos. Pero ingenuamente podríamos pensar que si tenemos 128 componentes bosónicas y 128 componentes fermiónicas, algo parecido vamos a tener en D=4.

¿Y qué es lo que tenemos hasta ahora? Bueno, pues depende de los neutrinos. En este post voy a suponer que el mecanismo que da masa a los neutrinos añade las componentes “derechas”, de forma que puede haber simultáneamente masa de Majorana y de Weyl. Lo típico de jugar al balancín (seesaw). Asumiendo estos neutrinos, llevamos observado:

1) Un gravitón, con dos componentes.

2) Un montón de fermiones, a cuatro componentes cada uno, sumando 96 componentes. Aquí me llama la atención que 96=84+12. Si miramos a las masas de los fermiones, tenemos que los de masa extremadamente pequeña, los tres neutrinos, suman 12 componentes. Pero también los de masa extremadamente grande, los tres colores del quark top, suman 12 componentes. Parece que tendríamos que tener una simetría que protege a los fermiones de saltar el balancín, y protegería a 84 de ellos, y otra simetría que debe protegerlos de adquirir una masa de escala electrodébil, y protegería a otros 84. ¿Es este el destino último de la 2-brana y la 5-brana?

3) Los bosones, a saber: El campo SU(3), con sus 8 gluones de espín 1, suma 16 componentes. El campo SU(2)xU(1), sin masa, tendría 8 componentes y el campo de Higgs, sin ruptura, cuatro. De ellas, al romperse la simetría, tres pasan a formar parte de W+, W y Z, así que quedan por un lado 11 componentes en SU(2)xU(1) y por el otro el famoso bosón de Higgs, con una sola. En cualquier caso, suman 16+11+1= 28 componentes. Medio coincidentalmente, el grupo de isometrías de la 7-esfera tiene 28 componentes.

Total: 96 componentes fermiónicas, 30 componentes bosónicas. Eso es lo que los experimentales han encontrado hasta ahora. En total 126 componentes.

La cuenta la revisé hace muy poco en Twitter con Amarashiki, que andaba contando partículas, pero en su origen se debe a una observación de mi antiguo director de tesis, L. J. Boya, que en algún sitio comenta que el MSSM tiene 128+128 componentes. Por cierto que LJ tiene bastantes artículos de interés para los que gustan de E8 y de teoria de representaciones. (Full disclosure: en mis tiempos nos dedicamos a Susy Quantum Mechanics, así que no soy un experto en estos temas, no los he trabajado más allá de conversaciones de seminario).

El MSSM es una lata pero, en general, ¿qué ocurre si activamos el requisito de supersimetría? Pues algo curioso con los bosones gauge masivos: como tienen 3 componentes, se les tiene que pegar por lo menos un fermión de 4 componentes, o dos de Weyl, y eso significa que necesitan una partícula extra en el lado bosonico. El supermultiplete del Z0 se puede completar con el bosón de Higgs que acaba de descubrir el CERN, pero los del W+ y W necesitan otros dos bosones. Los que hayais leido hasta aquí, haced un poco de “hep-ex-fiction” y asumid que en la siguiente ronda del LHC aparece un H+ (y un H). Tendríamos un catálogo de 96 componentes fermiónicas y 32 componentes bosónicas, que incluirían el gravitón y estas dos “por descubrir”. Visto de otro modo, si a las 96 componentes fermiónicas descubiertas les pudiéramos sumar los 32 partners, usease gluinos (16), winos (8), zino (4), fotino (2) y gravitino (2), sumarían 128 componentes. Justo las que necesita un fermión de D=11. Así que el amigo Alan Moore estaba bastante inspirado cuando ponía al Dr Manhattan a buscar esos gluinos. Pero incluso si no se encuentran, no deja de ser curioso que estamos a punto de agotar la física de partículas quedándonos justo con la mitad de las partículas que uno esperaría haber encontrado en SuperGravedad. Bueno, casi la mitad, a falta de ese bosón cargado.

¿Y en dirección inversa, no tendríamos que buscar también los 96 escalares que acompañan a los fermiones del modelo estándar? Pues mira, aquí es donde yo iba camino de Damasco y se me tropezó el caballo y oí una voz que me decía… bueno, no, pero algo así. Resulta que estaba un poco mosca intentando entender por qué el señor Koide habia empleado relaciones que parecían (y sólo parecían) reglas de masas para mesones, y le di vueltas a lo de que el muón tiene más o menos la misma masa que el pión y que, nueva coincidencia numerológica, conocemos seis mesones cargados de espín cero. Justo lo que necesitamos… Mirando con más detalle, resulta que el espectro de “cuerdas abiertas orientadas” de QCD proporciona estos 96 escalares si no dejamos que el quark Top aparezca en los extremos de esta cuerda.

Dicho de otra forma, en lenguaje de grupos: la parte escalar de supersimetría parece tener una simetría global SU(5) que se descompone en SU(3)xSU(2) con asignación de carga eléctrica y de color similar a los 3 quarks dsb y a los dos quarks uc. El producto de una representacion 5 y una anti-5 de SU(5) se descompone en 24 + 1 y esos 24 son justo los 12 sleptones cargados y los 12 sneutrinos. El producto de una representación 5 por otra 5 se descompone en 15 + 10, y ese 15 contiene los 12 antiquarks de un color dado. Esto lo he contado por el arxiv de cuando en cuando, y también en el blog viejo de Dorigo.

Así pues, puede que todo lo que quede de los sfermiones sea el espectro de mesones y diquarks. No hay un modelo dinámico directo, y la cuerda abierta orientada esta prohibida en superstrings. Pero la cuenta de escalares coincide, carga a carga, con la que necesitamos. Ah, y está claro que el truco sólo funciona bien con tres generaciones y un quark top que sea mucho más pesado que QCD, para que no forme mesones y salgan las cuentas. Pocos modelos hay que exijan un mínimo de tres generaciones.

Por cierto, a ver si algún día alguien me explica a quién se le ocurrió llamar “sfermión” a un escalar, que es partícula de Bose.

Intermedio: bajando dimensiones

Volvamos un momento a lo de que nos han salido 28 componentes en el sector bosónico del modelo estándar. Visto como partículas, son 8 portadores de fuerza fuerte, 4 portadores de electrodébil, y un campo de Higgs en doblete. En realidad no pueden ser un subgrupo de SO(8); pero la conexión con la 7-esfera es un falso camino, por mucho que sea el camino que se exploró en la mayoría de los modelos, generalizando a partir de otros que se habían hecho para jugar con Kaluza-Klein en la 3-esfera.

A Witten se le ocurrió otro modelo. Debió pensar en Pati-Salam, SU(4)xSU(2)xSU(2), y jugando a que SU(4) es como SO(6) y a que SU(2)xSU(2) es como SO(4), parece obvio que Pati-Salam es el grupo de simetrías (de isometrías) de la variedad producto de la 5-esfera y la 3-esfera. Esta es una variedad de dimensión 8. Haciendo su cociente arbitrario por cualquier recorrido del grupo U(1), el amigo Edward se dio cuenta de que la resultante iba a ser de dimensión 7 y que su grupo de isometrías sería en general SU(3)xSU(2)xU(1). Esto es, Kaluza-Klein en D=11 prácticamente implica que cuando cocientemos a D=4 nos van a salir de regalo, si buscamos hacerlo de forma no trivial, los mismos grupos que tiene el modelo estándar. Pero estas variedades compactificadas no son esferas, que al tener la máxima simetría posible sería lo más elegante. Son justo su mitad, en un sentido: la esfera es la fibración de S3 sobre S4, y estas variedades son fibración de S3 sobre CP2. En algún sitio cuenta Atiyah de qué manera CP2 y S4 son una la mitad de otra: “branched covering“.

Es bastante interesante que haya que jugar con el modelo de Pati-Salam, sacándolo de un espacio compacto desde D=12. La gente de cuerdas tiene algunos casos en los que trepa a esta dimensión pero tiene que poner signaturas exóticas, 10+2 y cosas así. No se puede hacer una SUGRA decente más allá de D=11, pero parece que hay que visitar esa tierra. Puede que tenga que ver con que Pati-Salam necesita, al romperse, tener un campo que no es un campo gauge, el U(1) correspondiente a la simetría B-L. El espacio de D=12 válido sería el producto directo de una de las variedades de Witten por un U(1), y este grupo daría cuenta de la carga B-L. También Connes en sus modelos encuentra natural usar Pati-Salam primero y luego cocientar. Y hasta Baez y Huerta lo usan en su cuadrado para bajar desde SO(10) al modelo estándar.

El abandono de Kaluza-Klein fue, en mi opinión, otro accidente histórico. La revolución de turno en las supercuerdas dejó desmantelado el campo. Y Francis se pregunta si los cientificos siguen modas.

2: Poniendo Masas, o Numerología de Escalas.

He hablado de Koide, y es un tema que suele salir en comentarios, así que vamos a ello. ¿Me ha servido la visita al mundo de los números enteros y de las teorías de grupos y supercosas, conversión a cuerdas (open strings) incluida, para entender algo de las masas? Pues de momento no, pero tampoco me descuadra. Ya he dicho que me asombra la coincidencia entre masas de QCD (como el pión) y masas del modelo estandar (como el muón). Aproximando un poco aquí y allá, me atrevo a ponerlas todas juntas en seis niveles:

\begin{array}{lllllll}  &\nu_?, t_{rgb}& & & & \\  &\nu_?, b_{rgb}& B^+,B_c^+ & bu, bc & bb, bs, bd & \eta_b, \stackrel{b\bar s,b\bar d}{\bar bs,\bar bd} \\  &\tau, c_{rgb} & D^+, D_s^+& sc,dc & & \eta_c, \stackrel{c\bar u}{\bar cu}\\  &\mu, s_{rgb} & \pi^+, K^+& su, du& ss, sd, dd & K^0,\pi^0, \stackrel{s\bar d}{\bar sd}\\  &\nu_?, d_{rgb} \\  &e, u_{rgb}\end{array}

donde he completado cada nivel para que tenga dos partículas, a base de añadir los neutrinos con lo que sospecho sería su masa antes del see-saw. Creo que tenemos aquí un desdoblamiento o ruptura parcial de Pati-Salam, con leptones y quarks todavía alineados por SU(4), y que podemos plegarlo de nuevo, quedándonos en tres “generaciones”:

\begin{array}{|l|}  \hline \nu_2, b_{rgb}, e, u_{rgb}\\  \hline \tau, c_{rgb} , \nu_3, d_{rgb}\\  \hline \mu, s_{rgb} , \nu_1, t_{rgb} \\  \hline \end{array}

de forma que todas las relaciones de Koide que conocemos unen una partícula de cada nivel: por supuesto la original (e,mu,tau) pero tambien los demás de la “Koide Waterfall“: (s,c,b), (c,b,t) y (u,s,c) y (d,u,s). Cada uno de estos tripletes cumple la ecuación de Koide, aunque podemos argüir que no tiene demasiado mérito dado que sólo el Top tiene una masa medible. Y de alguna manera, la relación de Koide sobrevive al desdoblamiento.

La ecuacion de Koide de un triplete dado es M_i= M_{()} (1 + \lambda_i)^2 con las condiciones \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0 y \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=3. Por tanto M_{()} = (M_1+M_2+M_3)/6. Aquí hay una coincidencia muy llamativa, de las de numerología de escalas de energía. Resulta que

M_{(e\mu\tau)} = 313.8 MeV

la masa correspondiente al triplete de leptones es igual a la masa del quark de QCD. Si ya no había ninguna razón para que el muón y el pión tuvieran masas cercanas, esto es una incógnita mayor, pero ahí esta. Ahora, resulta que es posible encajar las masas de s,c,b usando una masa M_{(scb)} que sea el triple de la de los leptones. Esto es, 941.4 MeV, aunque no hay por que preocuparse del valor concreto, simplemente lo curioso es que basta un factor tres para que encajen un triplete de leptones y uno de quarks. Y una vez encajadas s,c,b podemos predecir la masa del top volviendo a aplicar Koide sobre c,b,t. El resultado: 173.26 GeV.

Es posible que algunos de vosotros hubierais leído en su día la critica de Lubos sobre la ecuación de Koide. Lamentablemente, Motl tiende a ignorar los preprints que considera una pérdida de tiempo, y eso suele incluir los míos. Así que en su crítica desconocía los resultados para quarks. Y seguramente no habría ni siquiera tomado en cuenta las masas de niveles similares a QCD, dado que la ideología dominante es que todos los valores de las masas descienden desde los valores de los acoplos de Yukawa en la escala de Planck, sin ninguna condición especial a la escala de QCD.

Pero visto desde abajo, resulta que la cuerda de QCD tiene la escala de masas necesaria para Koide y los sabores necesarios para imitar supersimetría con tres generaciones. Puede que la supercuerda de 1971, la de los modelos duales de quarks y gluones, fuera después de todo el modelo correcto.

Numerología en acción: la predicción de la masa de quarks y leptones

Nadie sabe cuál es la masa de los quarks, ya que ningún quark puede ser observado de forma libre. Solo conocemos de forma precisa la masa del quark top (cima), ya que su gran masa hace que el error relativo en la medida permita un error absoluto pequeño. Sin embargo, muchos proclaman el descubrimiento de fórmulas matemáticas que permiten calcular la masa de todas (o casi todas) las partículas elementales (leptones y quarks). Quizás la más famosa de todas estas fórmulas es la de Koide (1981),

m_e + m_\mu + m_\tau = \frac{2}{3}(\sqrt{m_e} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau})^2, \qquad m_\tau = 1776.97\,{\rm MeV},

que está justo en el borde de lo permitido por los límites actuales para la masa del tauón, que son

m_\tau = 1776.82 \pm 0.16 \, {\rm MeV}.

En 1992, Królikowski publicó la siguiente fórmula para calcular la masa de los leptones (electrón, muón y tauón),

m_N = \rho_N \,\theta\! \left(\!N^2 + \frac{\varepsilon -1}{N^2}\! \right) \,,

donde m_e \equiv m_1\;,\; m_\mu \equiv m_3\;,\; m_\tau \equiv m_5, \rho_1 = \frac{1}{29} \;,\; \rho_3 = \frac{4}{29} \;,\; \rho_5 = \frac{24}{29} y la fórmula tiene dos parámetros libres \{\theta, \varepsilon\}. Esta fórmula permite obtener

m_\tau = \frac{6}{125} \left(351m_\mu - 136 m_e\right) = 1776.80\;{\rm MeV},

valor que aún se encuentra bien centrado dentro de los márgenes de error experimentales. Para muchos será un gran logro (numerológico). Para otros pura casualidad (numerológica). Tres masas determinadas con dos parámetros. Una masa (del tauón) predicha usando dos masas conocidas (del eletrón y muón).

¿Se puede extender la fórmula de Królikowski a la masa de los quarks? Con solo dos parámetros es imposible recuperar valores razonables para las masas de los seis quarks (incluso teniendo en cuenta que la masa de los quarks más ligeros tiene una gran incertidumbre). Królikowski acaba de publicar un artículo en el que afirma que con seis parámetros, y la misma idea, sí es capaz de lograrlo (Wojciech Krolikowski (Universidad de Varsovia, Polonia), “Predictive empirical mass formula for up and down quarks of three generations,” ArXiv, 4 Nov. 2010). ¡Seis parámetros para determinar las seis masas de los seis quarks! Bueno, no nos alarmemos. Conjetura una relación que permite calcular con cinco parámetros las seis massas de los seis quarks. ¡Ah, bueno!

La nueva fórmula para la masa de los quarks es

m^{(u,d)}_N = \rho_N \;\theta^{(u,d)} \left[N^2 + \frac{\displaystyle\varepsilon^{(u,d)}-1}{displaystyle N^2} - (4\pm \omega)(N-1) \right],

donde m_{u,d} \equiv m^{(u,d)}_1 \;,\; m_{c,s} \equiv m^{(u,d)}_3 \;,\; m_{t,b} \equiv m^{(u,d)}_5 \,. Estas fórmulas tienen seis parámetros para predecir las seis masas de los quarks, que son

m_{u,d} \!=\!\! \left\{ \begin{array}{rrrr}\!\!1.7\!\! & \!\!{\rm to}\!\! & \!\!3.3\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\!\\ \!\! 4.1\!\! & \!\!{\rm to}\!\! & \!\!5.8\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right. \!\!\rightarrow\!\! \left\{ \begin{array}{rr}\!\!2.5\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \\5.0 \!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right.\,,

m_{c,s} \!=\!\! \left\{\begin{array}{lr}\!\!1.27^{+0.07}_{-0.09}\!\! & \!\!{\rm GeV}\!\! \\ \!\!101^{+29}_{-21}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right.\,,

m_{t,b} \!=\!\! \left\{\begin{array}{l}\!\!172.0\pm 2.2\;\, {\rm GeV}\!\! \\ \!\!4.19^{+0.18}_{-0.06}\;\,{\rm GeV}\!\! \end{array}\right..

¿Seis parámetros para predecir seis masas? ¡Qué chorrada! Bueno, resulta que (quizás por casualidad) dos de los seis parámetros son casi iguales. Gracias a ello, Krolikowski conjetura que cinco parámetros permiten determinar las seis masas de los quarks. Podemos determinar la masa de un quark (cualquiera) a partir de la masa de los cinco restantes. Krolikowski elige la masa del quark extraño (¿ha probado con todos? o ¿elige éste porque es el quark en el que mejor “funciona” su conjetura?). Su fórmula para la masa del quark extraño es

m_s = \frac{\displaystyle 25\,(4+9\,\omega)\,m_b+24\,(108+41\,\omega)\,m_d}{\displaystyle 108\,(56 + 25\omega)} = 101\;{\rm MeV},

que es una buena aproximación al mejor valor experimental actual

m_s = 101^{+29}_{-12}\,{\rm MeV}..

Lo dicho. Para muchos será un gran logro (numerológico). Para otros pura casualidad (numerológica). Para mí, una curiosa curiosidad que no me resisto a reportar.

Lo confieso, lo confieso, … hace años, jugando, desarrollé un programa en Mathematica para buscar automáticamente relaciones numerológicas aproximadas. Un completo fracaso. Todos tenemos algún secreto inconfesable… que algún día hay que confesar.

La numerología del Dr. Antonio Alfonso Faus

“La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición” [wiki].

“La numerología es el “arte” de ver “lo que uno quiere donde no lo hay” [Francis].

“Las teorías científicas se etiquetan como “numerología” cuando su inspiración son ciertos patrones numéricos en lugar de observaciones científicas” [wiki].

Hay grandes científicos, inclusos grandes genios de la ciencia, que han sido y/o son numerólogos. Destacan el físico Paul A. M. Dirac, el matemático Hermann K. H. Weyl y el astrónomo Arthur S. Eddington (la hipótesis de los grandes números). Publicar artículos en revistas internacionales si uno es un numerólogo es difícil, casi imposible, por lo que a la “numerología científica” (llamémosle así) se dedican pocos investigadores en activo (salvo quizás los que estudian el principio antrópico en cosmología). Aún así, hay cierto número de físicos “jubilados” (profesores eméritos de diferentes universidades) que dedican su tiempo libre al “arte de la numerología científica.” A nivel internacional destaca James G. Gilson, profesor emérito de la School of Mathematical Sciences, del Queen Mary College, Londres, y en España tenemos a Antonio Alfonso Faus, profesor Emérico del Departamento de Aerotecnica de la E.U.T.I. Aeronáuticos de la Universidad Politécnica de Madrid. Ha publicado una serie de artículos (hay 18 en ArXiv y 40 en la ADS Database) en los que presenta ciertas coincidencias numéricas entre los valores experimentales de ciertas constantes fundamentales de la física que trata de explicar de forma numerológica. Ha publicado en revistas internacionales como Astrophysics & Space Science (AA&S), New Advances in Physics, y podría publicar en Chaos, Solitons & Fractals, si aún se pudieran enviar artículos a dicha revista (que todavía busca editor principal), ya que también se ha interesado por la estructura fractal del universo. Sus dos últimos artículos en la revista de Springer AA&S son “Non-expanding universe: a cosmological system of units,” ArXiv 10 Jan 2010 [el DOI en AA&S todavía no está activado] y “The case for the Universe to be a quantum black hole,” AA&S 325: 113-117, 2010 [gratis en ArXiv, 5 Dec 2009].

La idea básica del trabajo numerológico de Antonio Alfonso Faus es explotar la idea de que la velocidad de la luz es función (decreciente) del tiempo desde el origen del Big Bang, c\equiv c(t)\propto 1/t. Como la expresión exacta no es conocida, Antonio se basa en asumir que ciertas constantes fundamentales son “realmente” constantes (no dependen del tiempo que ha pasado desde el origen del universo). Por ejemplo, la constante de estructura fina, la constante de Planck y la carga eléctrica del electrón. En el caso de la constante de estructura fina asume que la permitividad eléctrica del vacío no es constante e iguala exactamente al inverso de la velocidad de luz, \epsilon=1/c. Obviamente, en esta igualdad las unidades en ambos miembros no coinciden y su valor numérico en el S.I. tampoco. No importa, Antonio utiliza unas unidades “adecuadas” en las que G=c^3. Tampoco coinciden las unidades, pero así es la numerología. Antonio asume como exactas (aunque sin detallar las constantes de proporcionalidad) varias relaciones cósmicas coincidentales, relaciones entre parámetros cosmológicos cuyo valor numérico tiene un órden de magnitud que coincide por casualidad. Por ejemplo, la relación de Steven Weinberg (1972) dada por m^3\propto\hbar^2 H/(G c), y el cálculo de Yakov Borisovich Zel’dovich (1967) del valor de la constante cosmológica (antes de que se descubriera la energía oscura) dada por \Lambda=8\pi G^2 m^6/\hbar^4. El problema de la primera de estas relaciones es que la constante de Hubble (H) no es fácil de calcular y su valor experimental ha bailado bastante en el último siglo, y de la segunda que el concepto de masa de una partícula fundamental (m) no está claro (hay muchos órdenes de magnitud de diferencia entre las partículas más masivas conocidas y las menos masivas conocidas).

¿Qué consecuencias obtiene Antonio de sus ideas numerológicas? Por un lado, el universo no está en expansión cósmica. El corrimiento hacia el rojo cosmológico es aparente y se debe a que la velocidad de la luz (y cualquier otra velocidad) no es constante y decrece con el tiempo. El espaciotiempo tiene una estructura fractal compatible por la teoría de la relatividad de escala de Laurent Nottale. El universo equivale a un agujero negro cósmico y todas las masas (de las partículas elementales) crecen con el tiempo (“mass boom“). La energía oscura no existe. Su contribución a la densidad de materia-energía del universo la proporciona una “resistencia eléctrica cosmológica” debida a que la constante de Rydberg es una constante universal. Etc., etc., …

Realmente curioso, aunque, en mi opinión, sin ningún valor científico más allá del numerológico.

Rizar el rizo: la masa del bosón de Higgs calculada gracias al teorema de los cuatro colores es igual a 125,992 GeV/c²

El 28 de diciembre es el día de los inocentes y de las inocentadas en España. El 28 de diciembre pasado dos indios enviaron un artículo a ArXiv que parece una inocentada, aunque como son indios y el artículo tiene 60 páginas y 63 figuras, no lo será. Afirman que el Modelo Estándar se puede interpretar en el marco de una demostración del teorema de los cuatro colores descubierta por uno de los autores y no aceptada como correcta por el resto de los matemáticos. Una curiosidad pseudocientífica, obviamente, pero que llega al extremo de predecir la masa del bosón de Higgs con 6 dígitos significativos, ¡6 dígitos nada menos! Una predicción numerológica sorprendente. Según estos autores, la masa en reposo del Higgs es de 125,992 GeV. ¡¿Qué pasaría si se descubriera en el LHC del CERN un Higgs que tuviera una masa de 126 GeV?! Soñar es fácil. La vida es sueño y los sueños vida son. Los interesados en esta curiosidad, que raya lo esotérico, quizás disfrutarán del artículo de Ashay Dharwadker, Vladimir Khachatryan, “Higgs Boson Mass predicted by the Four Color Theorem,” ArXiv, 28 Dec 2009. Eso sí, antes deberían hacer los deberes y leerse los artículos de A. Dharwadker, “A New Proof of the Four Colour Theorem,” (2000), y “Grand Unification of the Standard Model with Quantum Gravity,” (2008). He de confesar que para mí ha sido imposible leerme estos documentos y que sólo he leído algunas páginas del primero. Lo que está claro es que los autores “tienen más moral que el Alcoyano.”

Para los que no quieran molestarse en leer el documento buscando la fórmula que da la masa del Higgs (está en la página 56) me permito el placer de repetirla:MH0 = ( MZ+MW+ + MW- )/2 = (91,1875 +80,398+80,398)/2 = 125,992 GeV/c2. Más sencilla, imposible.

Piones, los “másters” del universo (o lo numerológico de la numerología)

La numerología es el “arte” de ver “lo que uno quiere donde no lo hay”. Aunque pueda parecer broma, muchos grandes genios de la física y de la matemática han “creído” en la numerología. De todos es conocido que Newton dedicó la segunda parte de su vida a la política, en su parte pública, y a la numerología bíblica, en su parte privada (“alquimista” de vocación, quiso descubrir lo que Dios había escribo en la Biblia, en su idioma “original”, para que sólo los “supergenios” como él lo descubrieran). En el s. XX ha habido muchos “genios” numérologos, pero destacan entre todos dos grandes genios, Dirac y Eddington.

El valor numerológico de ciertas magnitudes suele ser una aproximación muy mala al valor exacto, pero muchas veces pasan décadas hasta que los físicos experimentales logran demostrar la diferencia (encontrar el valor exacto). Cuanto mayor incertidumbre tenga una magnitud, mejor para el numerólogo (quien más confiará en ella). Por ejemplo, ¿cuántas partículas elementales hay en el universo? Unas 10^80 más o menos. Bien para el numerólogo, el “disfrutón de los más o menos.”

Al grano, Dragan S. Hajdukovic (el de la foto), nos presenta en “Pions- lords of the Universe,” ArXiv preprint, 26 oct 2008 , una relación “mágica” entre la masa del pión (hay 3 piones), la constante de Hubble (difícil de medir experimentalmente) y las constantes físicas fundamentales. Aclaro. Hay 3 piones, uno neutro (π0) con masa 134.98 MeV/c^2, que en realidad son dos partículas “idénticas” formadas por una pareja quark-antiquark (abajo-antiabajo o arriba-antiarriba), y dos piones cargados (π+ y π-) con masa 139.57 MeV/c^2, también formados por una pareja quark-antiquark (arriba-antiabajo y abajo-antiarriba). La constante de Hubble mide la “velocidad” de expansión del universo, un parámetro extremadamente difícil de medir cuyo valor ha fluctuado durante todo el s. XX y sigue haciéndolo en la actualidad en el contexto de un universo que se expande de forma acelerada.

El artículo se inicia con la fórmula “aproximada” (aunque tiene un signo de igualdad) que vemos a la izquierda, que notó por primera vez el Premio Nobel Steven Weinberg en su famoso libro “Gravitation and Cosmology.” El autor “mejora” esta aproximación y sugiere una interpretación para la misma: el vacío cuántico del universo está dominado por la contribución de un gas de piones virtuales de masa gravitatoria nula, por eso no han sido detectados como materia ordinaria (bariónica). El autor sugiere que este gas de piones virtuales son la energía oscura, es decir, más del 70% del universo. Los piones son los “señores” del Universo, según el autor, aunque yo he preferido “los másters del universo.”

Nunca se sabe si las coincidiencias numerológicas encierran algo de verdad, alguna “misteriosa” verdad aún por descubrir. Cuando se “eleva” una coincidencia a “verdad” absoluta, se obtienen “nuevas leyes” de la Naturaleza. Por ejemplo, Dirac (1937-1938) supuso que el cociente H/G (donde H es la constante de Hubble y G la constante de gravitación universal de Newton) es constante en el tiempo desde la Gran Explosión hasta el momento presente. Como H varía desde el inicio de la Gran Explosión, G también debe variar. Dirac “predecía” gracias a su “teoría” la gran debilidad de la gravitación en el presente: un universo antiguo nos da una gravedad débil. Como es bien sabido, dicha relación es incompatible con todo nuestro conocimiento actual sobre cosmogonía (el origen y evolución del universo). Actualmente es insostenible.

Hajdukovic mejora la fórmula de Weinberg, proponiendo la que aparece a la izquierda. En la que reemplaza H0 (que no es constante) por una magnitud de valor comparable a ella que es “aparentemente” constante. En concreto, Ω es la densidad de energía total del universo relativa a la densidad crítica para que el universo sea plano y rH = c/H es el llamado radio de Hubble del Universo. Esta relación es “aparentemente” mucho más exacta que la anterior, pero sigue teniendo cierta incertidumbre (por ejemplo, qué valor se usa para la masa del pión). El autor afirma que la relación anterior tiene una profunda y misteriosa relación con la energía oscura que “domina” el universo en la actualidad. Es debida a la existencia de un gas de piones virtuales sin masa gravitatoria (¿?) que tiene una temperatura “gravitacional”, el responsable último de la energía oscura (que actualmente no tiene explicación convincente, pero se modela como una constante cosmológica de Einstein no nula).

¿Dónde está la energía oscura en la fórmula anterior? Para dejar más clara su idea propone una fórmula aún más precisa todavía (también aparece a la izquierda), que tiene en cuenta el número de grados de libertad de un pión nf y ΩΛ la densidad de energía oscura. Despejando esta última de esta nueva fórmula se obtiene un valor cercano al observado experimentalmente en el WMAP. Pero, cuidado, ¿cuántos grados de libertad tiene un pión? ¿Quién lo sabe? Bueno, el autor propone que ¡es obvio! que son 48 (será para que todo le cuadre).

Este juego de fórmulas, estimaciones, parámetros imposibles de determinar (como nf) a los que se les da un valor “razonable” (bueno, se “ajusta” para que todo funcione y luego se justifica que es el valor más razonable) es muy habitual en el campo de la numerología. En este sentido el artículo de Hajdukovic es un excelente ejemplo y merece ser comentado por ello, aunque sin olvidar que no estamos hablando de “ciencia” sino de “religión.”

PS: por cierto, tres fórmulas matemáticas en una sola entrada y además, todas “mentira”. ¡Qué fuerte!

¿Se puede predecir la masa de las partículas elementales? (o un poco más de Numerología, por favor)

El Modelo Estándar de las Partículas Elementales no explica ni la masa, ni la carga, ni la espín, de las partículas elementales conocidas, sino que impone dichos valores a partir de la evidencia experimental. En palabras de Feynman (traducidas) “Aún queda por resolver una característica muy poco satisfactoria (del Modelo Estándar): las masas de las partículas elementales observadas. No se conoce teoría que explique estos números. Los usamos en todos nuestros cálculos, pero no los entendemos (¿por qué tienen los valores que tienen? ¿de dónde vienen estos números?). En mi opinión (la de Feynman) este es uno de los problemas, desde el punto de vista fundamental (teórico), más serios e interesantes.”

La figura de arriba, extraída de un artículo de E.L. Koschmieder, “Theory of the Elementary Particles,” ArXiv Preprint, 2008, que propone una “explicación”, nos indica que la masa de los mesones (partículas formadas por un quark y un anti-quark) estables siguen un comportamiento lineal en función de la masa del mesón estable más ligero (el pión, partícula predicha por Yukawa). Esto ya se sabía de hace años… pero no había una explicación dentro del Modelo Estándar. Koschmieder trata de explicarla de forma no ortodoxa (numerológica) aludiendo a que refleja una teoría subyacente todavía desconocida. Este tipo de trabajos “numerológicos”, normalmente tienen una capacidad predictiva “cuantitativa” muy limitada (dan aproximaciones burdas). Por ejemplo, en la “teoría” de Koschmieder la masa del neutrino electrónico (el más ligero de los 3 neutrinos conocidos) es igual a la masa del neutrino muónico (el segundo por masa) multiplicada por la constante de estructura fina (que indica la “fuerza” de la fuerza electromagnética entre partículas elementales). Como nadie conoce la masa de los neutrinos (se sabe que no es nula, pero no su valor, sólo la diferencia entre masas de los neutrinos se puede estimar teórica y experimentalmente sin una medida directa)… lo dicho, … como nadie la conoce, pues, por ahora, cualquier valor es “bueno”.

La numerología es una de las “ramas” de la Física más denostada y criticada por todos los “científicos de pro”. Aunque hay grandes físicos que han sido grandes defensores de la misma, como el propio P.A.M. Dirac o A.S. Eddington, la opinión estándar es relacionarla con el principio antrópico (defendido por “famosos” de la talla de S.W. Hawking) y concluir que de sus conclusiones aproximadas no se obtiene ciencia “verdadera”. De todas formas, recordad la importancia que tuvo darse cuenta de que el protón y el neutrón (aparentemente tan distintos) eran la “misma” cosa (hoy en día, le llamamos nucleón), que introdujo el espín isotópico y con él gran parte de la moderna teoría cuántica de campos aplicada a partículas elementales (sustento del Modelo Estándar).

 En esta línea, acaba de aparecer el artículo de T. A. Mir, G. N. Shah, “Order in the mass spectrum of elementary particles,” ArXiv preprint, que propone explicar la figura de arriba usando como parámetro la diferencia de masa entre el pión (hadrón tipo mesón) y el muón (leptón, tipo de electrón de mayor masa). Este nuevo artículo alude a que dicha diferencia (29.318 MeV) es una “unidad fundamental” de masa. De curiosidades “numerológicas”, la vida está llena.

La numerología siempre me recuerda a la famosa “estética” de la proporción del número phi o número dorado o número mágico o  phi = (1+raizcuadrada(5))/2 y a la aparición de los números de Fibonacci en biología. Cuando lees ciertas páginas web y artículos de divulgación parece que es completamente “verdad” que estos números aparecen por doquier (verdad numerológica). ¿Realmente aparecen los números de Fibonacci en la distribución de pétalos en las flores? Dedicaremos uan futura entrada de este blog a este “peliagudo” tema. Sólo quiero adelantar, que científicamente no es así. Hay flores de ciertas especies de plantas que sí siguen una distribución de este tipo, pero la gran mayoría no. Estadísticamente, es mera casualidad. Pero y lo que bonito que queda deshojar (“despetalear”) una margarita (que sí, que no, que sí, que no, …) si uno no sabe cuántos pétalos tiene. De la especia más común en España, hay flores con n (no digo cuántos ni si es par o impar) pétalos, pero que excepcionalmente también presentan n+1 o n-1 pétalos (con menor probabilidad pero nada despreciable). ¿Tienes alguna margarita a mano?

Para saber más (todo un clásico): G. J. Mitchison, “Phyllotaxis and the Fibonacci Series,” Science, 196: 270-275, 15 April 1977. Y un libro curioso, Mario Livio, “The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number,Broadway Books, New York, 2002, que está traducido al español “La proporción aúrea,” 3ra. ed., Ariel, 2006.