Francis en la mesa redonda “Matemáticas y redes sociales”

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Hoy 5 de noviembre a las 19:30 en la Residencia de Estudiantes del CSIC, Madrid, organizada por el ICMAT tendrá lugar una mesa redonda sobre la relación entre las matemáticas y las redes sociales. La actividad se engloba en el programa de la Semana de la Ciencia del ICMAT que también incluye una serie de conferencias dirigidas a estudiantes de secundaria. Participamos en la mesa José Antonio Bassas (Universidad de Sevilla, @Eliatron), Clara Grima (Universidad de Sevilla, @ClaraGrima), Esteban Moro (Universidad Carlos III de Madrid, @EstebanMoro), Daniel Mediavilla (Materia, @DaniMateria) [no sé si al final podrá estar] y un servidor, Francisco Villatoro (Universidad de Málaga, @emulenews). Modera la mesa Ignacio Fernández Bayo (AECC, Divulga, @IFBayo). La mesa redonda será a transmitida en directo vía streaming a partir de las 19:30 h. (GMT +1) gracias a Edad de Plata en este enlace. Más información en Instituto de Ciencias Matemáticas, “Matemáticas y redes sociales, juntas en la Semana de la Ciencia,” Madri+d, 5 Nov 2013.

Te recomiendo leer la entrevista que me hicieron en Instituto de Ciencias Matemáticas, ““Hay que transmitir cómo el descubrimiento matemático es similar a explorar un territorio desconocido”,” Madri+d, 31 Oct 2013. “Estamos rodeados de matemáticas por doquier, pero alguien nos tiene que abrir los ojos para que las veamos. […] Es muy gratificante el apoyo de los compañeros, pero el reconocimiento de la divulgación de forma oficial en el ámbito académico, por ahora, brilla por su ausencia. […] La situación actual [de la divulgación matemática en España] me parece prometedora.”

La demostración de Gödel de la existencia de Dios

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Ha vuelto a ser noticia la demostración ontológica del matemático Kurt Gödel (1906–1978) de la existencia de Dios. Se trata de un simple ejercicio de lógica modal que Gödel realizó en 1941 sin mayor interés desde el punto de vista teológico. Su idea era corregir el gran problema de la demostración de San Anselmo. Aunque Gödel era creyente, no era practicante, por lo que nunca habló de la demostración hasta febrero de 1970, cuando pensaba que se acercaba la hora de su muerte. Le enseñó la demostración a su alumno Dana Scott, filósofo y matemático, quien hizo una copia para poderla publicar, pero Gödel no se lo permitió. Tras su muerte, Scott publicó dos versiones de la demostración en 1987 (de hecho, Gödel atesoraba varias). Desde entonces se han publicado muchas otras versiones que refinan los detalles de la demostración. En esta entrada me centraré en la versión de C. Anthony Anderson, “Some emendations of Gödel’s ontological proof,” Faith and Philosophy 7: 291-303, 1990, y su discusión detallada por Christopher Small, “Kurt Gödel’s Ontological Argument,” Part I, Part II & Part III.

Dibujo20131102 pikachu Recomiendo leer la entrada en la wikipedia “Gödel’s ontological proof,” a Trébede, “La prueba matemática de Gödel de la existencia de Dios,” Rescoldos en la trébede, 30 Jun 2011, y la divertida e ingeniosa entrada de Enrique, “Pikachu existe y puedo demostrarlo,” Cuentos Cuánticos, 02 Nov 2013. Prometí mencionar a Pikachu en esta entrada y más abajo lo encontrarás.

Ante todo, te aclaro lo que no vas a encontrar en esta entrada: una explicación en detalle la demostración (la figura de abajo es la versión que aparece en la wikipedia). Lo que pretendo es justificar el tipo de demostración siguiendo la línea de la discusión de Christopher Small. Por supuesto, debes tener presente que en todas las demostraciones matemáticas de la existencia de Dios el argumento es similar. Se define un objeto matemático llamado “Dios” que cumple con una propiedad muy sencilla y se introducen una serie de reglas de razonamiento lógico (axiomas) asociados a dicha propiedad. La demostración matemática procede paso a paso hasta asegurar la existencia de este objeto en un universo en el que sean válidas dichas reglas. Nada más y nada menos. No hay ninguna relación entre el objeto matemático “Dios” y lo que tú puedas pensar que es Dios, seas creyente o ateo.

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Cauchy y el rigor en el análisis matemático

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Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,” Notices of the AMS 60: 1334-1338, Nov. 2013.

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Soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos de luz

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En 1989 Antonio Fernández Rañada (Univ. Complutense, Madrid) introdujo una solución tridimensional de las ecuaciones de Maxwell con la topología de un nudo, a la que llamó hopfión (porque se inspiró en el fibrado de Hopf), que en 2008 se demostró de forma experimental. Hridesh Kedia (Universidad de Chicago, Illinois, EEUU) y sus colegas, entre ellos el español Daniel Peralta-Salas (contratado Ramón y Cajal en el Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC, Madrid), han encontrado una familia de soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos tipo trébol (tres lazos), con cinco lazos e incluso más. Estas soluciones para un campo electromagnético clásico son de tipo campo nulo, porque los dos invariantes de las ecuaciones de Maxwell tienen valor nulo (en concreto, en todo punto el campo eléctrico es ortogonal (perpendicular) al magnético y ambos campos tienen idéntico módulo). La nueva familia de soluciones tipo nudo es estable y permite formar cadenas de nudos enlazados unos con otros. Todavía no se han verificado de forma experimental en laboratorio, pero nada parece impedir que sea posible (utilizando alguna variante de la técnica utilizada en 2008 para producir el hopfión). El artículo técnico es Hridesh Kedia, Iwo Bialynicki-Birula, Daniel Peralta-Salas, William T. M. Irvine, “Tying Knots in Light Fields,” Phys. Rev. Lett. 111: 150404, 10 Oct 2013. El artículo que introdujo el hopfión es Antonio Fernández Rañada, “A topological theory of the electromagnetic field,” Letters in Mathematical Physics 18: 97-106, Aug. 1989, y el que lo observó en laboratorio es William T. M. Irvine, Dirk Bouwmeester, “Linked and knotted beams of light,” Nature Physics 4: 716-720, Aug. 2008.

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No es posible oír la densidad de un tambor

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En 1966, el matemático Mark Kac preguntó: ¿es posible oír la forma de un tambor? En 1992, Gordon, Webb y Wolpert demostraron que es imposible, encontraron un contraejemplo (dos dominios isoespectrales). Paolo Amore (Univ. de Colima, México) se pregunta: ¿es posible oír la densidad de un tambor? Su respuesta también es negativa. La figura que abre esta entrada muestra dos tambores isoespectrales con densidad variable (el sombreado oscuro indica mayor densidad). Los dominios isoespectrales tienen la misma área, perímetro y masa total. Su demostración consiste en extender trabajos previos al caso heterogéneo, es decir, considerar un problema generalizado de autovalores para el operador laplaciano y utilizar simulaciones numéricas. Las vibraciones de un tambor no homogéneo están descritas por las autofunciones del problema de valores propios de la ecuación de Helmholtz (-Δ)ψ = λ Σψ, donde Σ> 0 es la densidad de la membrana; con un cambio de variables Amore transforma el problema en (-Δ’)ψ = λ ψ, lo que le permite aplicar resultados previos. Los interesados en más detalles disfrutarán con el artículo Paolo Amore, “One cannot hear the density of a drum (and further aspects of isospectrality),” arXiv:1307.0279 [math-ph] (accepted in Phys. Rev. E).

Cómo afecta el flujo de sangre en el ventrículo izquierdo a su función cardíaca

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Hace una década estuve estudiando cómo simular por ordenador el flujo de sangre en el ventrículo izquierdo para compararlo con las medidas de la perfusión cardíaca en los ecocardiógrafos de contraste. Al final todo quedó en una solicitud de proyecto de investigación que no nos concedieron y decidí cambiar de tema de estudio; sin embargo, me sigue gustando leer artículos científicos que presentan los resultados que nosotros podríamos haber obtenido. Se publica en Physics of Fluids una simulación del flujo de sangre en el ventrículo izquierdo que muestra que los patrones del flujo no afectan a la función cardíaca (su efecto es insignificante), aunque mejoran el mezclado de la sangre y el tiempo de residencia de las células sanguíneas en el ventrículo. Me ha sorprendido que este resultado fuera el mismo que imaginaba el cardiólogo con el que yo colaboraba. Quizás los que rechazaron nuestro proyecto también lo imaginaban. Por cierto, hoy en día muchos cardiólogos utilizan en su práctica clínica la ecocardiografía de contraste que permite visualizar el flujo de la sangre en el ventrículo izquierdo gracias a la cavitación de las microburbujas (que producen los contrastes que se inyectan por vía intravenosa, normalmente femoral). Aunque influya poco en la función cardíaca, el flujo depende mucho de la condición cardíaca y un flujo anómalo permite detectar muchas patologías. El nuevo artículo es Jung Hee Seo, Rajat Mittal, “Effect of diastolic flow patterns on the function of the left ventricle,” Physics of Fluids 25: 110801, 23 Aug 2013.

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Sobre las teorías de Kaluza-Klein y la supergravedad en D=11

El verano es la época ideal para conversar. En los últimos días Amarashiki (@riemannium,TSOR), Alejandro Rivero (@arivero,web) y Kac-Moody (@1KacMoody1) han mantenido una interesante charla sobre la supergravedad (Sugra) y las teorías de Kaluza-Klein (KK) en Twitter sobre la cuestión “¿por qué se abandonó la línea de investigación en [teorías de Kaluza-Klein y Sugra] en 1985?,” que surgió al hilo de la entrada de Alejandro como invitado en mi blog (“Lo que pudo haber sido“). No soy experto en estas lides, pero yo creía que la razón estaba bastante clara: la primera revolución de la teoría de supercuerdas en el verano de 1984 y los problemas que antes de dicho verano se habían detectado en las teorías de supergravedad en 11 dimensiones relacionados con la quiralidad del modelo estándar y con sus divergencias ultravioletas (se trata de una teoría no renormalizable). Para los expertos en Kaluza-Klein y supergravedad cambiar de tópico de trabajo a la teoría de supercuerdas prometía muchos más éxitos. Por todo ello creo que fueron abandonadas estas ideas. Como sus problemas aún no han sido resueltos y se cree que no tienen una solución elegante, siguen abandonadas. Permíteme recordar la situación de las teorías de Kaluza-Klein y de supergravedad antes del verano de 1984 (me basaré, como no, en M.J. Duff, B.E.W. Nilsson, C.N. Pope, “Kaluza-Klein Supergravity,” Physics Reports 130: 1-142, 1986, y en M.J. Duff, “Supergravity, Kaluza-Klein and superstrings,” pp. 18-60 en 11th Intl. Conf. General Relativity and Gravitation, Cambridge UP, 1987).

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“Lo que pudo haber sido” por Alejandro Rivero

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En el cómic “Watchmen”, el guionista inventa un mundo con superhéroes y taquiones, donde el quark strange y el charm se han descubierto en los años 50, el científico loco de turno hace experimentos para intentar encontrar los gluinos, y EEUU gana la guerra de Vietnam. Algo parecido hemos intentado hacer Mitchell Porter y yo en un hilo de PhysicsForums al que llamamos “The Wrong Turn of String Theory“, y para ello usamos varias numerologías, que he repescado aquí.

He titulado el post “Lo que pudo haber sido”, pues es como pensar en una historia alternativa de la física de partículas. Gracias a Francis por hacerme sitio para este guest post. Tenia ganas de hacer un resumen en castellano de todas estas cosas, y mi blog personal tiende a fragmentarse demasiado. No sé si necesito presentarme; ahora me dedico a cuestiones de redes sociales y asuntos informáticos, hace veinte años estudié física en la Universidad de Zaragoza y muchas de las cosas que he ido pensando -y arxivando– las podéis ver en mi página personal allí.

Sí, este post va de numerología. Dicho con más politesse, va de pistas que no tienen más fundamento que la mera numerología. Ya esta dicho. Veamos que tal sale. Si es demasiado denso o me salto cosas, siempre tenemos los comentarios.

1: Contando Partículas, o Numerología de Enteros

El primer gran tema es 128 = 84 + 44.

Hay un montón de papers de verdad, publicados y todo, sobre esta suma. El 128 es el número de componentes de un campo fermiónico en dimensión D=11 (Minkowski, uséase 10 espaciales + 1 temporal). [Aclaración: Alejandro se refiere al gravitino, un fermión de espín 3/2 asociado al gravitón, de espín 2; en D=11 hay fermiones de menos componentes, como los gauginos de espín 1/2 asociados a los bosones gauge; como aclara Alejandro en los comentarios, “cuando se compactifica a dimensiones más bajas, según cual sea la topología del espacio de compactificación, el gravitino se va descomponiendo en objetos tanto de espin 1/2 como de espin 3/2]. El 44 son las componentes del gravitón en D=11. Parece obvio que 128 no es igual a 44, así que la supergravedad se pega un tiro en el pie si insiste en tener igual número de componentes bosónicas que fermiónicas, ¿no?. Pues bueno, se salva porque llega al rescate un campo bosónico extra, un tensor antisimétrico de tres índices, que en D=11 tiene, justo, 84 componentes. ¿Qué significado tiene este campo? Una forma de verlo sería tirar del concepto de “central charges“, y que al colapsar esta supergravedad desde D=11 a D=4 apareciera una carga central con estas componentes. Otra forma, más entretenida, es mirar cuál es la fuente de la famosa membrana (2-brana) de D=11, y resulta que sí, que tanto ésta como su dual, la 5-brana, tienen su fuente en un campo de este tipo.

La construcción es super-elegante, y ahora solo bastaría tirar para abajo en el número de dimensiones usando Kaluza-Klein. Lo cual tiene su truquillo, porque bajo la alfombra de las dimensiones compactificadas se pueden sacar y meter los grados de libertad que queramos. Pero ingenuamente podríamos pensar que si tenemos 128 componentes bosónicas y 128 componentes fermiónicas, algo parecido vamos a tener en D=4.

¿Y qué es lo que tenemos hasta ahora? Bueno, pues depende de los neutrinos. En este post voy a suponer que el mecanismo que da masa a los neutrinos añade las componentes “derechas”, de forma que puede haber simultáneamente masa de Majorana y de Weyl. Lo típico de jugar al balancín (seesaw). Asumiendo estos neutrinos, llevamos observado:

1) Un gravitón, con dos componentes.

2) Un montón de fermiones, a cuatro componentes cada uno, sumando 96 componentes. Aquí me llama la atención que 96=84+12. Si miramos a las masas de los fermiones, tenemos que los de masa extremadamente pequeña, los tres neutrinos, suman 12 componentes. Pero también los de masa extremadamente grande, los tres colores del quark top, suman 12 componentes. Parece que tendríamos que tener una simetría que protege a los fermiones de saltar el balancín, y protegería a 84 de ellos, y otra simetría que debe protegerlos de adquirir una masa de escala electrodébil, y protegería a otros 84. ¿Es este el destino último de la 2-brana y la 5-brana?

3) Los bosones, a saber: El campo SU(3), con sus 8 gluones de espín 1, suma 16 componentes. El campo SU(2)xU(1), sin masa, tendría 8 componentes y el campo de Higgs, sin ruptura, cuatro. De ellas, al romperse la simetría, tres pasan a formar parte de W+, W y Z, así que quedan por un lado 11 componentes en SU(2)xU(1) y por el otro el famoso bosón de Higgs, con una sola. En cualquier caso, suman 16+11+1= 28 componentes. Medio coincidentalmente, el grupo de isometrías de la 7-esfera tiene 28 componentes.

Total: 96 componentes fermiónicas, 30 componentes bosónicas. Eso es lo que los experimentales han encontrado hasta ahora. En total 126 componentes.

La cuenta la revisé hace muy poco en Twitter con Amarashiki, que andaba contando partículas, pero en su origen se debe a una observación de mi antiguo director de tesis, L. J. Boya, que en algún sitio comenta que el MSSM tiene 128+128 componentes. Por cierto que LJ tiene bastantes artículos de interés para los que gustan de E8 y de teoria de representaciones. (Full disclosure: en mis tiempos nos dedicamos a Susy Quantum Mechanics, así que no soy un experto en estos temas, no los he trabajado más allá de conversaciones de seminario).

El MSSM es una lata pero, en general, ¿qué ocurre si activamos el requisito de supersimetría? Pues algo curioso con los bosones gauge masivos: como tienen 3 componentes, se les tiene que pegar por lo menos un fermión de 4 componentes, o dos de Weyl, y eso significa que necesitan una partícula extra en el lado bosonico. El supermultiplete del Z0 se puede completar con el bosón de Higgs que acaba de descubrir el CERN, pero los del W+ y W necesitan otros dos bosones. Los que hayais leido hasta aquí, haced un poco de “hep-ex-fiction” y asumid que en la siguiente ronda del LHC aparece un H+ (y un H). Tendríamos un catálogo de 96 componentes fermiónicas y 32 componentes bosónicas, que incluirían el gravitón y estas dos “por descubrir”. Visto de otro modo, si a las 96 componentes fermiónicas descubiertas les pudiéramos sumar los 32 partners, usease gluinos (16), winos (8), zino (4), fotino (2) y gravitino (2), sumarían 128 componentes. Justo las que necesita un fermión de D=11. Así que el amigo Alan Moore estaba bastante inspirado cuando ponía al Dr Manhattan a buscar esos gluinos. Pero incluso si no se encuentran, no deja de ser curioso que estamos a punto de agotar la física de partículas quedándonos justo con la mitad de las partículas que uno esperaría haber encontrado en SuperGravedad. Bueno, casi la mitad, a falta de ese bosón cargado.

¿Y en dirección inversa, no tendríamos que buscar también los 96 escalares que acompañan a los fermiones del modelo estándar? Pues mira, aquí es donde yo iba camino de Damasco y se me tropezó el caballo y oí una voz que me decía… bueno, no, pero algo así. Resulta que estaba un poco mosca intentando entender por qué el señor Koide habia empleado relaciones que parecían (y sólo parecían) reglas de masas para mesones, y le di vueltas a lo de que el muón tiene más o menos la misma masa que el pión y que, nueva coincidencia numerológica, conocemos seis mesones cargados de espín cero. Justo lo que necesitamos… Mirando con más detalle, resulta que el espectro de “cuerdas abiertas orientadas” de QCD proporciona estos 96 escalares si no dejamos que el quark Top aparezca en los extremos de esta cuerda.

Dicho de otra forma, en lenguaje de grupos: la parte escalar de supersimetría parece tener una simetría global SU(5) que se descompone en SU(3)xSU(2) con asignación de carga eléctrica y de color similar a los 3 quarks dsb y a los dos quarks uc. El producto de una representacion 5 y una anti-5 de SU(5) se descompone en 24 + 1 y esos 24 son justo los 12 sleptones cargados y los 12 sneutrinos. El producto de una representación 5 por otra 5 se descompone en 15 + 10, y ese 15 contiene los 12 antiquarks de un color dado. Esto lo he contado por el arxiv de cuando en cuando, y también en el blog viejo de Dorigo.

Así pues, puede que todo lo que quede de los sfermiones sea el espectro de mesones y diquarks. No hay un modelo dinámico directo, y la cuerda abierta orientada esta prohibida en superstrings. Pero la cuenta de escalares coincide, carga a carga, con la que necesitamos. Ah, y está claro que el truco sólo funciona bien con tres generaciones y un quark top que sea mucho más pesado que QCD, para que no forme mesones y salgan las cuentas. Pocos modelos hay que exijan un mínimo de tres generaciones.

Por cierto, a ver si algún día alguien me explica a quién se le ocurrió llamar “sfermión” a un escalar, que es partícula de Bose.

Intermedio: bajando dimensiones

Volvamos un momento a lo de que nos han salido 28 componentes en el sector bosónico del modelo estándar. Visto como partículas, son 8 portadores de fuerza fuerte, 4 portadores de electrodébil, y un campo de Higgs en doblete. En realidad no pueden ser un subgrupo de SO(8); pero la conexión con la 7-esfera es un falso camino, por mucho que sea el camino que se exploró en la mayoría de los modelos, generalizando a partir de otros que se habían hecho para jugar con Kaluza-Klein en la 3-esfera.

A Witten se le ocurrió otro modelo. Debió pensar en Pati-Salam, SU(4)xSU(2)xSU(2), y jugando a que SU(4) es como SO(6) y a que SU(2)xSU(2) es como SO(4), parece obvio que Pati-Salam es el grupo de simetrías (de isometrías) de la variedad producto de la 5-esfera y la 3-esfera. Esta es una variedad de dimensión 8. Haciendo su cociente arbitrario por cualquier recorrido del grupo U(1), el amigo Edward se dio cuenta de que la resultante iba a ser de dimensión 7 y que su grupo de isometrías sería en general SU(3)xSU(2)xU(1). Esto es, Kaluza-Klein en D=11 prácticamente implica que cuando cocientemos a D=4 nos van a salir de regalo, si buscamos hacerlo de forma no trivial, los mismos grupos que tiene el modelo estándar. Pero estas variedades compactificadas no son esferas, que al tener la máxima simetría posible sería lo más elegante. Son justo su mitad, en un sentido: la esfera es la fibración de S3 sobre S4, y estas variedades son fibración de S3 sobre CP2. En algún sitio cuenta Atiyah de qué manera CP2 y S4 son una la mitad de otra: “branched covering“.

Es bastante interesante que haya que jugar con el modelo de Pati-Salam, sacándolo de un espacio compacto desde D=12. La gente de cuerdas tiene algunos casos en los que trepa a esta dimensión pero tiene que poner signaturas exóticas, 10+2 y cosas así. No se puede hacer una SUGRA decente más allá de D=11, pero parece que hay que visitar esa tierra. Puede que tenga que ver con que Pati-Salam necesita, al romperse, tener un campo que no es un campo gauge, el U(1) correspondiente a la simetría B-L. El espacio de D=12 válido sería el producto directo de una de las variedades de Witten por un U(1), y este grupo daría cuenta de la carga B-L. También Connes en sus modelos encuentra natural usar Pati-Salam primero y luego cocientar. Y hasta Baez y Huerta lo usan en su cuadrado para bajar desde SO(10) al modelo estándar.

El abandono de Kaluza-Klein fue, en mi opinión, otro accidente histórico. La revolución de turno en las supercuerdas dejó desmantelado el campo. Y Francis se pregunta si los cientificos siguen modas.

2: Poniendo Masas, o Numerología de Escalas.

He hablado de Koide, y es un tema que suele salir en comentarios, así que vamos a ello. ¿Me ha servido la visita al mundo de los números enteros y de las teorías de grupos y supercosas, conversión a cuerdas (open strings) incluida, para entender algo de las masas? Pues de momento no, pero tampoco me descuadra. Ya he dicho que me asombra la coincidencia entre masas de QCD (como el pión) y masas del modelo estandar (como el muón). Aproximando un poco aquí y allá, me atrevo a ponerlas todas juntas en seis niveles:

\begin{array}{lllllll}  &\nu_?, t_{rgb}& & & & \\  &\nu_?, b_{rgb}& B^+,B_c^+ & bu, bc & bb, bs, bd & \eta_b, \stackrel{b\bar s,b\bar d}{\bar bs,\bar bd} \\  &\tau, c_{rgb} & D^+, D_s^+& sc,dc & & \eta_c, \stackrel{c\bar u}{\bar cu}\\  &\mu, s_{rgb} & \pi^+, K^+& su, du& ss, sd, dd & K^0,\pi^0, \stackrel{s\bar d}{\bar sd}\\  &\nu_?, d_{rgb} \\  &e, u_{rgb}\end{array}

donde he completado cada nivel para que tenga dos partículas, a base de añadir los neutrinos con lo que sospecho sería su masa antes del see-saw. Creo que tenemos aquí un desdoblamiento o ruptura parcial de Pati-Salam, con leptones y quarks todavía alineados por SU(4), y que podemos plegarlo de nuevo, quedándonos en tres “generaciones”:

\begin{array}{|l|}  \hline \nu_2, b_{rgb}, e, u_{rgb}\\  \hline \tau, c_{rgb} , \nu_3, d_{rgb}\\  \hline \mu, s_{rgb} , \nu_1, t_{rgb} \\  \hline \end{array}

de forma que todas las relaciones de Koide que conocemos unen una partícula de cada nivel: por supuesto la original (e,mu,tau) pero tambien los demás de la “Koide Waterfall“: (s,c,b), (c,b,t) y (u,s,c) y (d,u,s). Cada uno de estos tripletes cumple la ecuación de Koide, aunque podemos argüir que no tiene demasiado mérito dado que sólo el Top tiene una masa medible. Y de alguna manera, la relación de Koide sobrevive al desdoblamiento.

La ecuacion de Koide de un triplete dado es M_i= M_{()} (1 + \lambda_i)^2 con las condiciones \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0 y \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=3. Por tanto M_{()} = (M_1+M_2+M_3)/6. Aquí hay una coincidencia muy llamativa, de las de numerología de escalas de energía. Resulta que

M_{(e\mu\tau)} = 313.8 MeV

la masa correspondiente al triplete de leptones es igual a la masa del quark de QCD. Si ya no había ninguna razón para que el muón y el pión tuvieran masas cercanas, esto es una incógnita mayor, pero ahí esta. Ahora, resulta que es posible encajar las masas de s,c,b usando una masa M_{(scb)} que sea el triple de la de los leptones. Esto es, 941.4 MeV, aunque no hay por que preocuparse del valor concreto, simplemente lo curioso es que basta un factor tres para que encajen un triplete de leptones y uno de quarks. Y una vez encajadas s,c,b podemos predecir la masa del top volviendo a aplicar Koide sobre c,b,t. El resultado: 173.26 GeV.

Es posible que algunos de vosotros hubierais leído en su día la critica de Lubos sobre la ecuación de Koide. Lamentablemente, Motl tiende a ignorar los preprints que considera una pérdida de tiempo, y eso suele incluir los míos. Así que en su crítica desconocía los resultados para quarks. Y seguramente no habría ni siquiera tomado en cuenta las masas de niveles similares a QCD, dado que la ideología dominante es que todos los valores de las masas descienden desde los valores de los acoplos de Yukawa en la escala de Planck, sin ninguna condición especial a la escala de QCD.

Pero visto desde abajo, resulta que la cuerda de QCD tiene la escala de masas necesaria para Koide y los sabores necesarios para imitar supersimetría con tres generaciones. Puede que la supercuerda de 1971, la de los modelos duales de quarks y gluones, fuera después de todo el modelo correcto.

El espaciotiempo en la teoría de cuerdas y el principio de reciprocidad de Born

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Mucha gente afirma que la teoría de cuerdas (teoría M) describe campos cuánticos de objetos extensos (cuerdas y branas) en un espaciotiempo plano con dimensiones extra. Sin embargo, la dualidad T y la simetría del espejo indican que en la escala de Planck el espaciotiempo en teoría cuerdas es muy exótico (muy alejado de la intuición clásica sobre lo que es un espaciotiempo plano). Djordje Minic (Virginia Tech, VA, USA) y varios colegas proponen usar el principio de reciprocidad de Born (1935) para (re)interpretar la geometría del espaciotiempo en la teoría de cuerdas usando un nuevo objeto matemático que bautizan como geometría de Born. Una idea curiosa, aún en fase emergente, pues sólo ha sido aplicada a la teoría de cuerdas bosónicas, que nos recuerda que “hay mucho sitio en el fondo” (parafraseando a Feynman pero en referencia a la escala de Planck). El artículo técnico es Laurent Freidel, Robert G. Leigh, Djordje Minic, “Born Reciprocity in String Theory and the Nature of Spacetime,” arXiv:1307.7080, Subm. 26 Jul 2013.

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Comparan experimentos y simulación SPH para saltos hidráulicos

Dibujo20130724 Experimental device in action - empty tank - partially filled with water

Los que trabajamos en métodos numéricos disfrutamos con los artículos que comparan resultados numéricos con resultados experimentales. Me han gustado los resultados sobre saltos hidráulicos y rotura de ondas obtenidos en la ETSI Navales de la Universidad Politécnica de Madrid. Más abajo os presento un vídeo de los resultados experimentales (su web incluye muchos más). Supongo que los lectores poco interesados en física computacional de fluidos no apreciarán este tipo de estudios comparados, pero quizás alguno sea aficionado a los gráficos por ordenador y a la simulación de fluidos para películas de Hollywood, en cualquier caso, no me resisto a recomendar la lectura de los dos artículos de Benjamin Bouscasse, Andrea Colagrossi, Antonio Souto-Iglesias, José Luis Cercós Pita, “Mechanical energy dissipation induced by sloshing and wave breaking in a fully coupled angular motion system. Part II: Experimental Investigation,” arXiv:1307.6064, 23 Jul 2013, y “Mechanical energy dissipation induced by sloshing and wave breaking in a fully coupled angular motion system. Part I: Theoretical formulation and Numerical Investigation,” arXiv:1307.6064, 23 Jul 2013.

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