Cauchy y el rigor en el análisis matemático

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Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,” Notices of the AMS 60: 1334-1338, Nov. 2013.

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La Revolución Francesa, bajo las consignas de libertad, igualdad y fraternidad, fue acompañada de una revolución matemática. Por primera vez, la élite de los ingenieros militares y civiles comenzó a recibir una formación matemática en París que comprendía las matemáticas más avanzadas del momento. Estos ingenieros aplicaron las matemáticas que estudiaron a los problemas más acuciantes del mundo moderno: infraestructuras, la navegación, la minería, la energía e incluso a la guerra. El buque insignia de esta revolución fue la École Polytechnique (que fue rebautizada como École Royale Polytechnique tras la derrota de Napoleón y el regreso de la monarquía). En esta institución Cauchy dejó su huella como estudiante y como profesor.

Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad. Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario. Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. No estaban claros conceptos tan básicos como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos más. Cauchy admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El álgebra presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos del siglo XVIII como una herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora de resolver problemas prácticos. Por el contrario, el análisis era muy útil en todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa. Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al análisis. Por ello decidió revisar todo el análisis desde el punto de vista de la geometría y apoyado por el álgebra como herramienta.

Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.

El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.

Un matemático es una máquina de demostrar teoremas con absoluto rigor. La máxima revolucionaria de Bourbaki es Vive la rigueur!

Coda final. Esta entrada participa en la edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia. Me hubiera gustado escribir una entrada sobre las Matemáticas de la Vida gracias a la Química, pero ya impartí una charla sobre el tema que puedes volver a ver siguiendo este enlace.

17 pensamientos en “Cauchy y el rigor en el análisis matemático

  1. Más gracia me hacía el teorema de Bolzano: “Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto, entonces existe al menos un valor c € (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0.” Y yo pensaba, “por coj…”.

    La verdad es que todas esas demostraciones con épsilons y deltas me parecían un poco artificiosas, aunque sí que pienso los inventos de infinitésimo e infinito fueron de gran utilidad.

    • !Jaja! tienes razón Curioso muy divertido también el teorema de bolzano.

      Pero al final tienes mucha razón, las demostraciones con épsilons y deltas SON muy artificiosas a mi en lo personal nunca me terminaron por convencer del todo en la corriente intuicionista, hay demostraciones que me dejaron casi horrorizado como por ejemplo no sé si conozcas la prueba de que todo intervalo abierto en R es unión a lo sumo numerable de conjuntos abiertos en la topología inducida por la métrica usual, es rarísima, igual que la existencia de conjuntos de vitali en R, ó muchos corolarios del lema de zorn.

      La propiedad del supremo es definitivamente muy extraña, pero lo es en el sentido que alguien por aquí ha mencionado mucho, no parece ser (junto con la propiedad arquimediana) una buena descripción de nuestro mundo a escala fundamental, las propiedades de densidad, los infinitésimos, los conjuntos no construibles etc.. de hecho ahora me viene a la mente la relevancia del axioma de elección para la física, no sé si tal vez alguien haya intentado construir modelos a base de objetos construidos aceptando la negación del axioma de elección creo recordar que Baez he Isham hablaban sobre topos y sitios para fundamentar la “lógica” que debería gobernar la geometría a la escala de planck

      Me pregunto … ¿Tendrá sentido hablar de un objeto que existe pero no es construible en el mundo físico?

      Cuando digo existe me refiero a que las leyes de la física lo permiten pero no se encuentra materialmente en el mundo físico o al menos no lo podemos medir o encontrar en el sentido pooperiano

      • la prueba de que todo intervalo abierto en R es unión a lo sumo numerable de conjuntos abiertos en la topología inducida por la métrica usual, es rarísima

        Al revés, que todo conjunto abierto es unión de intervalos abiertos :)

        La demostración no parece rarísima si uno piensa primero cuáles tienen que ser esos intervalos abiertos: aquellos cuyos dos extremos son racionales. Partiendo con los alumnos de esa sospecha (fácil de inducir viendo cómo un intervalo cualquiera es cubierto por intervalos con extremos racionales), ya todo es cuesta abajo.


        Cogemos cualquier punto x del abierto A en cuestión. Por ser abierto, A contiene a un entorno de x. Entre x y cada extremo del entorno hay un racional, luego x pertenece a un intervalo I(x) con extremos racionales que, al estar contenido en el entorno de x, está totalmente contenido en A.

        Así A es la unión de todos los intervalos I(x). Pero, como tienen extremos racionales, y solo hay una cantidad numerable de racionales, solo puede haber una cantidad numerable de I(x) distintos.

        No hace falta sacar los épsilon a pasear :)

        En cambio, si uno trata de hacer una demostración más constructiva, rellenando huecos de A con intervalos de longitud cada vez más pequeña, o simplemente copiando a R la demostración del caso general (“todo espacio métrico separable es segundo-numerable”), supongo que los alumnos sí pueden hacerse más confusión.

  2. Cualquiera que haya estudiado variable compleja con algo de rigor no podrá olvidar jamás los teoremas de Cauchy. Estupenda entrada, francis.

  3. Muy buen artículo Francis.

    Es muy ilustrativo por que la mayoría de los estudiantes de Matemáticas cuando ingresan a los estudios superiores (me incluyo) se ven absolutamente abrumados por el extremo rigor de las demostraciones en Matemáticas. Muchas veces en los primeros periodos escolares creo recordar el miedo que me infundía el mar de detalles y !la existencia de libros completos de contraejemplos! al menos en el análisis real.

    Entiendo, y absolutamente no dudo ni por un segundo la relevancia del rigor para formar un Matemático (Creo que muchos sostendrán que es el rigor lo que diferencia a un profesional de un aficionado), Pero yo recuerdo con mucho más cariño los momentos de mi educación elemental cuando se era permitido usar la intuición, argumentos intuitivos eran muchas veces suficientes y muchos mejor aún… las Matemáticas eran un juego.

    La importancia de la intuición no es un juego de niños hay un paper bellísimo de William Thurston en el que defiende al intuicionismo sobre el rigor como fuente primaria en Matemáticas. En lo personal creo que el rigor casi siempre oculta mucha de la belleza.. pero en fin su belleza tiene establecer una verdad absoluta.

    A mi después de varios años de estudiar Matemáticas me sigue divirtiendo más estudiar teoría de grupos finitos haciendo tablas y grafos de cayley a fuerza bruta, ecuaciones diferenciales con argumentos intuitivos tipo series como los físicos los usan y tensores con índices en cartas concretas, repito no niego lo bello del rigor y lo elegantes que se miran las formas diferenciales sin índices pero muchas veces ya me he olvidado de lo divertido que es hacer Matemáticas perdido en alguna implicación

  4. Tanto Cauchy como el grupo de Bourbaki son personas que encuentro fascinante su concepción de como se deben hacer matemáticas.

    Es curioso para mí ver como gran parte de los científicos, ingenieros e incluso matemáticos se encariñan con la intuición, por el contrario, yo adoro el rigor por sobre todo por eso constantemente me frustro y hago corajes debido a que los libros que encuentron son laxos en este sentido (ademas de que estudiar física no lo hace mejor, trabajan con infinitesimos sin antes construirlos en la teoría). Especial afecto le tengo a la lógica matemática.

  5. Que muchos matemáticos, como Cauchy, necesitasen convertir la matemática en algo absolutamente formal (con sumo rigor), de modo que todas “sus verdades” fueran demostrables a partir de unos pocos principios básicos, obviamente autodemostrables (tautológicos), tiene algo de dictatorial… de tiránico por así decirlo. ¿Qué tipo de persona puede y necesita aspirar a eso? Pq Cauchy lo sufría bastante.

    En cualquier caso, una demostración es una manifestación de potencia, es decir: cuando se demuestra un teorema se pone de manifiesto que sus verdadedes son firmes, estables, fuertes, que no se pueden tumbar (negar) por así decirlo. L
    Además, cabe atender que la potencia suele manifestarse a través de la simplicidad: todo lo fuerte va en línea recta.

    Desde esta óptica, pues, se puede considerar el formalismo matemático una expresión de poder, de potencia, de fuerza intelectual… de rigor como decía Cauchy. Ahora bien, cabe recordar que está demostrado, ya desde Kant a raíz de Platón, que no todas las verdades matemáticas son demostrables, con lo cual resulta imposible, o sea absurdo, reducirlas a una simple tautología como pedía Leibniz por ejemplo, o más tarde todos los idealistas del siglo XIX y XX: Hegel, Frege, Peano, Russell, Hilbert, etc. Inevitablemente los idealistas tubieron que abdicar ante el riguroso trabajo de Gödel, que a nivel histórico, de hecho, no aportó nada realmente nuevo. Pues quien quien había entendido a Kant (muy pocos), como era el caso de Poincaré, ya tenía claro que hay algo aún más potente que la demostración pura y dura: la intuición. Einstein también pensaba lo mismo.

    ¿Por qué el academicismo nunca ha tratado nada bien la intuición? El problema de la intuición, respecto al formalismo, es que el formalismo permite un método, es decir, permite establecer un mecanismo para guiar el pensamiento. Entonces, es posible que incluso los tontos sean capaces de realizar un tarea intelectual compleja con sólo aplicar a rajatabla el método. Y desengañémonos, todos los profesores y todas las escuelas masificadas han soñado siempre con eso: que exista un mecanismo que haga que incluso los más tontos de clase lleguen a conocer todas las verdades posibles ¡Pues se presupone que se pueden alcanzar todas las verdades posibles a través de un simple método!

    La intuición, por contra, y como decía Nietzsche por ejemplo, no recorre caminos, sino que salta de cima en cima… y para eso se precisan de hombres altos y robustos.

    Lo que fastidia a muchos de la intuición es que sus verdades o se pillan o no se pillan… muchas veces cuestan demostrar. El ejemplo es que muchas intuiciones matemáticas de Poincaré tardaron más de 50 años en poder ser demostradas, es decir, sistematizadas.

    • Parte de las fórmulas de Ramanujan resultaron verdaderas y parte falsas. A partir de ahí, el debate sobre si la intuición debe ser la última palabra en las matemáticas es perfectamente sobrante.

      Y, si no es la última, alguna otra deberá serlo. Por ejemplo, una que proporcione demostraciones más fiables que la iluminación de un tío que diga: “Entré en trance y la diosa me lo reveló”.

      Poincaré, ya tenía claro que hay algo aún más potente que la demostración pura y dura: la intuición

      Claro que es más potente; pero la pregunta es: ¿y qué? La demostración no pretende ser “potente” sino ser más segura, favorecer la comunicación de la estructura global de lo conocido, y facilitar el re-pensarla desde puntos de vista originales. La intuición no hace ninguna de estas tres cosas, importantes en un grupo de más de una persona.

      • Pedro, es usted profesor, verdad?! XD

        Me hace gracia: dices que la demostración es más segura que la intuición ¿Qué entiendes por seguro? Pues yo puedo demostrar cualquier cosas siempre y cuando se me acepten unos principios y unas leyes de inferencia ¡Así, incluso se puede demostrar a Dios! Como hizo Gödel con suma astucia, por ejemplo. Y así mismo Cauchy elaboró su “teorema del valor intermedio”: aceptando de antemano la existencia del infinitesimal. Bueno, el primero en hacerlo fue Lagrange en su famosa “mecanica analítica” cuando nos confiesa en el prólogo: “cuando nosotros hemos cogido el espíritu del método infinitesimal, y lo ha verificado la exactitud de sus resultados por el método geométrico de primeras y últimas proporciones, o por el método analítico de funciones derivadas, nosotros podemos emplear las cantidades infinitamente pequeñas como un medio seguro y valiosos de acortar y simplificar nuestras pruebas”. En efecto, Lagrange reconoce que el infinitesimal no es una verdad matemática demostrada, sino que la toma por una verdad porque resulta útil, segura y efectiva para demostrar o sea, para probar teoremas. Ahí tiene, señor Pedro: la demostración no es lo más seguro que tenéis en matemáticas ¡De risa no!?

        En cualqueir caso todo eso parecía tenerlo bastante claro Poincaré, como tenía claro que la matemática no es propiamente una ciencia de demostraciones (una ciencia estrictamente formal, rigurosa, en fin, como esa esquelética lógica proposicional que construían los logicistas a finales del s.XIX), sino más bien una ciencia que se dedica a creaciones abstractas y generales que tenían un único interés: que fueran coherentes y comprensibles. Y por eso poincaré reconocía que la matemática, como creación humana, se sustentaban sobre la intuición. La deducción lógica, la demostración propiamente dicha, a su entender, solo era una manera de justificar a posteriori la intuición, y acaso de pulirla.

        En fin, lo que de ordinario sucede con la intuición es que es algo bastante desconocido. A veces tomamos por intuitivo simplemente cualquier pensamiento aleatorio que nos viene a la cabeza, una creencia o una convicción. Pero, ¿qué tiene eso que ver con la intuición?

      • TdP, sinceramente no veo en qué crees estar contradiciendo nada de lo que yo haya dicho ni nada que yo piense, ni que piensen todos esos matemáticos profesores que tan exaltado te ponen.

        Por ejemplo:
        Lagrange reconoce que el infinitesimal no es una verdad matemática demostrada, sino que la toma por una verdad porque resulta útil, segura y efectiva para demostrar o sea, para probar teoremas.

        Pues claro, tampoco el axioma de las paralelas es una verdad; o, dicho con precisión, hace como un siglo que a los matemáticos no nos importa si es una verdad, si no, o si qué. No es asunto nuestro.

        De todas formas, nota que es una falacia suponer que lo que Lagrange o Cauchy considerasen una demostración yo tengo que considerarlo también en el año 2013. Pareces creer que lo que dijera Lagrange prueba algo sobre lo que yo diga, y no es así. Ni Lagrange llamaba función a lo mismo que yo, ni infinitesimal, ni demostración.

        La deducción lógica, la demostración propiamente dicha, a su entender, solo era una manera de justificar a posteriori la intuición, y acaso de pulirla.

        Pues claro, y ahora hacemos GOTO 10 y volvemos al principio: incluso en el caso inhumano de Ramanujan, hay intuiciones que a posteriori resultan justificadas y otras falsas. Por tanto esa justificación es necesaria, porque cabe la refutación incluso si no podemos concebirla como posible.

        Sin ir más lejos, antes de la famosa conjetura de Poincaré, Poincaré creyó durante varios años en otra versión que él mismo descubrió que era falsa.

  6. “Además, cabe atender que la potencia suele manifestarse a través de la simplicidad: todo lo fuerte va en línea recta”…

    Me gustaría matizar lo siguiente. No todo lo fuerte va en línea recta, las estrellas son fuertes y se curvan, el planeta pesa mucho y es redondo. etc. Yo hablaría de intensidad en vez de potencia, ésta se asocia con un estado energético latente, no dinamizado. Si nos ponemos tiquismiquis resulta que el movimiento de objetos y partículas es curvilíneo y no rectilíneo. La energía potencial, según Wikipedia, es la energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. También lo “débil” traza una línea más o menos recta: un auto, una bici, una bala, un cohete que se eleva. Entonces la intensidad y el movimiento son híbridos: fuerte y débil, curvo y recto. La intuición es importante pero no me parece que sea aplicable a todos los científicos, dependerá de la personalidad de cada uno. Y coincido con lo que dice Pedro Terán.

  7. Yo veo más al rigor como una forma de libertad, tanto en matemáticas como en muchas disciplinas. Sólo si se es riguroso se puede ser verdaderamente libre. Entender y manejar los conceptos es fundamental a la hora de crear algo con cierto sentido y utilidad, y eso creo que es el rigor.
    Vean a cualquier persona rigurosa con su disciplina (desde matemáticos hasta cocineros) y notarán la gran libertad con la que se maneja. Esa libertad fue una de las cosas que más me sorprendió cuando empecé a estudiar matemáticas. Y fue de esa manera que acepté al rigor como un camino para lograr esa libertad necesaria.
    Tampoco me parece que el rigor esté solamente en las demostraciones con abiertos, épsilons y deltas, o en remplazar la palabra “existe” con una E dada vuelta; eso es sólo una parte. La lógica es una herramienta (“No puedes encontrar la verdad con la lógica si no la has encontrado antes sin ella” G. K. Chesterton) que puede ayudarnos mucho, pero es insuficiente para que podamos afirmar nuestra “rigurosidad”. El rigor también debe encontrarse en la justificación de lo que se define, a pesar de que se tenga una libertad absoluta para hacerlo. Saber adónde se quiere llegar y por qué se elige tal o cuál camino.
    La libertad sin rigor es un sinsentido que se encuentra en cada exámen de un mal alumno de matemáticas. El rigor sin libertad es aún mucho más vacío e inútil, lamentablemente muy común en los malos profesores de matemáticas.

  8. TDP, desconozco el argumento de Gödel para demostrar la existencia de Dios, pero si por un casual tiene algo que ver con su teorema de incompletitud resulta que para demostrarlo hay que recurrir a metalenguajes lógicos, esto conduce a una circularidad que tiende al infinito.

    El uso del infinitésimo es más antiguo que Lagrange. Giordano Bruno lo usó; y Leibniz, que conocía el argumento bruniano, mejoró su desarrollo. Si Bruno conocía el tema, quiere decirse que había una tradición infinitesimal anterior a él.

    Ninguno niega que el intuicionismo tenga valor, pero no tiene un valor absoluto, esto sería dogmatismo.

    • Artemio, sólo 2 cosas:
      1) la demostración de Gödel sobre Dios no surge de su teorema de incompletitud.

      2) Ya sé que el uso del infinitesimal es anterior a Lagrange. Pero se necesitaron casi 2 siglos para que se aceptara su uso de forma general. A lo largo del s.XVIII hubo un intenso debate acerca del infinitesimal, sobre si existe o no y por tanto si era lícito usarlo o no. Al final, Lagrange reconoce que lo usa, no porque sea algo que esté probado que existe, sino porque resulta sumamente efectivo para “probar” otras cosas haciendo valer, en el campo de las matemáticas, esa máxima maquiavélica (en realidad es de Napoleón) que dice: el fin justifica los medios.

      • El debate sobre el cálculo infinitesimal es fascinante, aunque Lagrange era muy escéptico al respecto. Fue Cauchy el que lo dio por bueno en la línea de Bruno y Leibniz y las fluxiones de Newton. De todas maneras, estudiar las contribuciones a este asunto efectuadas por esos dos genios de la matemática que fueron Lagrange y Cauchy sobrepasa con creces mi conocimiento de la materia.

        Respecto del argumento de la divinidad de Gödel, te remito a mi comentario en la otra entrada de Francis, entiendo que el argumento godeliano requiere “orientalizarlo”, hacerlo yin yang ;-)

  9. Adenda. TDP, si entiendes que el concepto de infinito es intuitivo, que no lo sé, no te arriendo la ganancia. Operar con infinitos matemáticos es difícil, si el infinito delimita un espacio infinito quiere decirse que el límite abre una grieta por la cual o bien se cuela la nada o bien se cuela otro infinito. Es decir, aun numerando los infinitos persiste el problema del límite. Claro, es sencillo postular que el infinito es ilimitado, carece de límite, pero entonces resulta que el infinito es estático, finito en su infinitud, lo que parece contradictorio.

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