Inesperado comportamiento de los solitones oscuros en un superfluido fermiónico

Dibujo20130719 dark solitons in a fermionic superfluid

Los solitones son ondas que aparecen en medios no lineales y se comportan como “partículas” al mantener su forma y velocidad al propagarse, incluso tras interaccionar con otros. Los solitones brillantes (oscuros) son resultado de un exceso (defecto) en la densidad del medio; son muy robustos porque resultan del tira y afloja de dos efectos opuestos, la dispersión y la no linealidad. Se publica en Nature la observación de solitones oscuros en un gas cuántico ultrafrío de átomos de litio-6 (fermiones) con interacción fuerte. Lo sorprendente del nuevo trabajo de físicos del MIT (Cambridge, Massachusetts, EEUU) es que la velocidad de propagación de estos solitones oscuros difiere de las predicciones teóricas para superfluidos con interacción débil en un factor de hasta 20, lo que indica que aún no entendemos bien el régimen de interacción fuerte. Quizás herramientas de la teoría de cuerdas aplicada a gases de Fermi permitan aclarar esta cuestión. Nos lo cuenta Christoph Becker, “Condensed-matter physics: Dark and heavy,” Nature, published online 17 Jul 2013, que se hace eco del artículo técnico de Tarik Yefsah et al., “Heavy solitons in a fermionic superfluid,” Nature, published online 17 July 2013.

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La teoría del caos y los disparos con efecto de un balón de fútbol

Dibujo20130530 Two examples 3D flight using shooting machine display stroboscopic images

Mucha gente cree que el efecto Magnus explica el comportamiento errático del balón de fútbol en los disparos a puerta. Sin embargo, el efecto Magnus no explica por qué Jabulani, el balón oficial en la Copa Mundial de Fútbol de 2010, se movía a veces de forma impredecible, o por qué balones con diferentes costuras se comportan de forma diferente. Taketo Mizota (Instituto Técnico de Fukuoka, Japón) y sus colegas han usado un túnel de viento y una máquina de disparo de balones con rotación para descubrir que el efecto Magnus explica el comportamiento del balón sólo para flujo con número de Reynolds (Re) subcrítico, pero el comportamiento errático del balón aparece para Re supercrítico. En dicho caso, los vórtices que aparecen en la estela del balón interaccionan de forma no lineal entre sí, haciendo que el comportamiento del balón sea caótico e impredecible, para disfrute de algunos espectadores y desazón de los porteros. El efecto mariposa, que pequeños cambios producen grandes consecuencias, es en última instancia el responsable del comportamiento errático del esférico. El artículo técnico es Taketo Mizota et al., “The strange flight behaviour of slowly spinning soccer balls,” Scientific Reports 3: 1871, 22 May 2013. doi:

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La estructura del canto de los pájaros

Dibujo20130227 Elemental gesture dynamics are encoded by song premotor cortical neurons

¿Cuál es la unidad básica del habla? ¿La palabra, la sílaba o el fonema? Para responder a esta cuestión los lingüistas llevan décadas estudiando el canto de los pájaros. Hay estudios que afirman que se trata de la sílaba (unidad con una duración entre 0,1 y 0,25 segundos), mientras que otros apuntan a unidades menores de 0,1 segundos, llamadas “detalles” (gestures en inglés). Nature ha publicado un estudio neurológico en el pinzón cebra (Taeniopygia guttata) que apoya la teoría de los “detalles” (como unidades que conforman las sílabas). Ana Amador (Univ. Chicago) y sus colegas han estudiado las neuronas de una zona del encéfalo llamada HVC (High Vocal Center), esencial para el canto de las aves. La actividad de estas neuronas ha sido registrada mientras los pájaros cantan y cuando se reproduce una grabación de sus cantos mientras están dormidos. Al comparar estas señales se ha descubierto que la actividad de estas neuronas ocurre en las transiciones entre “detalles,” lo que sugiere que estos son las unidades básicas del canto. Obviamente, no se trata de la respuesta definitiva a la cuestión sobre la unidad básica del habla, pero apunta a que la respuesta está en los fonemas. Nos lo cuenta Todd W. Troyer, “Neuroscience: The units of a song,” Nature AOP 27 Feb 2013, que se hace eco del artículo técnico de Ana Amador, Yonatan Sanz Perl, Gabriel B. Mindlin, Daniel Margoliash, “Elemental gesture dynamics are encoded by song premotor cortical neurons,” Nature AOP 27 Feb 2013.

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El caos determinista permite medir la dificultad de un sudoku

El sudoku es un popular pasatiempo cuya resolución corresponde a un problema matemático de satisfacción con restricciones. Mária Ercsey-Ravasz y Zoltán Toroczkai proponen una manera muy curiosa de saber cuando un Sudoku concreto es fácil o difícil de resolver a mano. Han construido un sistema dinámico continuo (un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias) capaz de resolver cualquier sudoku y han observado que los problemas difíciles son los que presentan un transitorio con caos determinista. La duración en tiempo κ de este transitorio permite medir la dificultad de un sudoku utilizando una escala logarítmica (similar a la escala de Richter) vía η = -log κ. Un sudoku es fácil si 0<η≤1, de dificultad media si 1<η≤2, difícil si 2<η≤3, y ultradifícil si η>3. Estos investigadores han sido incapaces de encontrar un sudoku con η>4, aunque no descartan que pueda existir; por ello proponen usar su escala entre 0<η<4. Este interesante artículo técnico es Mária Ercsey-Ravasz, Zoltán Toroczkai, “The Chaos Within Sudoku,” arXiv:1208.0370, Subm. 1 Aug. 2012. Me llamado la atención este trabajo porque estos autores ya presentaron un sistema dinámico caótico similar para resolver el problema k-SAT (con k≥3) que fue portada de Nature Physics, en concreto Mária Ercsey-Ravasz, Zoltán Toroczkai, “Optimization hardness as transient chaos in an analog approach to constraint satisfaction,” Nature Physics 7: 966–970 (2011) [arXiv:1208.0526].

La resolución de un sudoku generalizado a un tablero N×N es un problema NP-completo porque puede ser reescrito como un problema k-SAT de satisfacibilidad booleana (problema NP-completo para k≥3). Por tanto, es un problema intratable salvo que P=NP, ya que todos los algoritmos conocidos para resolverlo, en el peor caso, tienen un coste en tiempo exponencial (en la variable N), aunque, para verificar si una solución es correcta basta un tiempo polinómico. Los análogos continuos para la resolución de problemas NP-completos tienen mucho interés teórico porque ofrecen un nuevo punto de vista para estudiar sus propiedades, aunque por ahora sean solo una mera curiosidad.

Entrar en los detalles matemáticos del sistema dinámico continuo (sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias) que describe un sudoku nos llevaría demasiado lejos (aunque no es difícil), baste decir que los autores escriben el problema del sudoku como un problema k-SAT (algo bien conocido para la mayoría de los que saben lo que es un problema k-SAT) y que aplican la misma técnica que ya usaron en su artículo de Nature Physics (que es muy “natural” para quienes han estudiado redes de neuronas artificiales de Hopfield). Este sistema dinámico incorpora la configuración de números de partida en el tablero y evoluciona desde una condición inicial aleatoria. Si la solución existe y es única, la evolución en tiempo de este sistema acabará alcanzándola.

Para ilustrar el comportamiento caótico del sistema dinámico, los autores han seleccionado un cuadrado vacío del tablero y han dibujado para diferentes instantes de tiempo (t=10, 15 y 20 en la figura) el dígito dominante para dicho cuadrado (utilizando la tabla de colores mostrada en la propia figura) según el sistema dinámico a partir de una condición inicial con dos valores dados, sean s1 y s2, y con el resto seleccionados de forma aleatoria. El diagrama resultante permite visualizar la diferencia entre un problema fácil (arriba) y otro difícil (abajo). En el segundo caso se observa en el plano (s1,s2) una geometría muy irregular característica de los sistemas caóticos deterministas (en la figura el transitorio todavía no ha concluido).

Caracterizar los sistemas caóticos es difícil, por la irregularidad de su comportamiento, por lo que lo habitual es introducir parámetros que caractericen el comportamiento a largo tiempo. Los autores han decidido introducir un parámetro κ que mide la duración del transitorio caótico (que acaba desapareciendo porque el sistema dinámico acaba convergiendo a la solución exacta). Sea p(t) la probabilidad de que la dinámica no haya encontrado la solución correcta en un tiempo t, entonces la teoría de los sistemas caóticos garantiza que p(t) sigue una distribución exponencial exp(-κ t); en esta teoría a κ se le llama tasa de escape del atractor caótico.

Esta figura muestra el comportamiento de κ en función del número inicial de dígitos d en el tablero del sudoku para múltiples problemas obtenidos de la web con dificultad diversa (medida de forma cualitativa); las páginas web de las que se han extraído estos problemas concretos aparecen en las referencias del artículo técnico. Los autores utilizan esta evidencia empírica para proponer el logaritmo del parámetro κ como medida de la dificultad, de forma similar a como se definió la escala Richter para los seísmos.

En resumen, un artículo realmente curioso que nos muestra una curiosa aplicación de la teoría del caos. Obviamente, que nadie se lleve a engaño, el sistema dinámico utilizado para resolver sudokus es muy ineficiente y costoso comparado con los algoritmos más habituales.

Carnaval de Matemáticas 2.X: El “baile” de un fluido viscoso newtoniano que cae sobre una cinta transportadora

A este vídeo de youtube solo le falta una banda musical similar al Bolero de Ravel para que tengamos la sensación de que el fluido viscoso de color dorado está bailando al son de la música; me gusta que los autores hayan elegido una iluminación que logre un color tan dorado, pues yo recuerdo el color de este aceite de silicona como un amarillo mucho más pálido y menos sugerente. César (@EDocet) tuiteó este vídeo de youtube (enlace al vídeo original) como “#AA Fluido newtoniano y comportamiento no lineal en acción. ¡Matemáticos echad un ojo!” El enlace apuntaba a David Bradley, “Viscous fluid on a moving belt,” Sciencebase, Jan. 21, 2012, quien nos dice sin rubor que el líquido es sirope muy viscoso (“a stream of very viscous syrup”) y que es un ejemplo de un fluido no newtoniano (“a wonderfully visual example of a non-Newtonian fluid”). Como bien dice César, Bradley se equivoca, el fluido del vídeo es newtoniano (un aceite de silicona Dow Corning (R) 200). Al leer a Bradley tras ver el vídeo por primera vez me pregunté: ¿también se habrá equivocado César? Visité Twitter para corregirle, pero no, no se equivocaba, su tuit afirmaba con rotundidad que era un fluido newtoniano. ¡Bravo, César! Por ello decidí escribir una entrada sobre este vídeo y anuncié en Twitter que sería para el Carnaval de Matemáticas 2.X, cuyo anfitrión esta semana es el blog Resistencia Numantina del físico soriano Francisco J. Hernández (@fjhheras). He de confesar que nunca he estado en Soria, España, aunque quizás no importa, ya que él trabaja ahora en el grupo de neurobiología del Departamento de Zoología de la Universidad de Cambridge. Mi entrada no tendrá nada que ver con la biomatemática (también he hecho mis pinitos), ni con la neurociencia, la gran pasión de César, lo siento. Bueno, al grano.

El comportamiento del fluido newtoniano que se ve en el vídeo se puede entender como una transición entre dos situaciones extremas. Por un lado, cuando la cinta está parada, la silicona cae y se curva al contactar con la cinta, apareciendo una fuerza tangencial que hace rotar el chorro, que se pone a rotar formando una bobina de fluido de forma cilíndrica (como una cuerda que cae). Por otro lado, cuando la cinta tiene una velocidad alta, la silicona cae formando una catenaria y dejando una traza recta en la cinta transportadora. Conforme la velocidad de la cinta baja, se produce un cambio en el comportamiento del fluido (una bifurcación) que provoca que empiece a oscilar y formar los bucles que se observan en el vídeo. Al bajar más aún la velocidad estos bucles forman figuras con bucles más amplios hasta que, finalmente, cuando la cinta se para de forma definitiva se observa el bobinado del fluido. Permíteme una incursión algo más detallada en estos comportamientos.

Para entender un fenómeno físico conviene tener claro el dispositivo experimental utilizado, que se muestra en esta figura (extraída del reciente artículo de Robert L. Welch, Billy Szeto, Stephen W. Morris, “Frequency structure of the nonlinear instability of a dragged viscous thread,” Submitted to Physical Review E, 9 Jan. 2012ArXiv, aunque el vídeo youtube es parte de un artículo anterior, también de Stephen W. Morris, Jonathan H. P. Dawes, Neil M. Ribe, John R. Lister, “The meandering instability of a viscous thread,” Physical Review E 77: 066218, 2008, ArXiv). Un chorro de aceite de silicona cae desde una altura variable sobre una cinta transportadora que se mueve a cierta velocidad ajustable. El chorro sale con un diámetro d = 8,00±0,02 mm y cae desde una altura H regulable entre 2,0 y 6,0 cm. La velocidad U de la cinta se controla mediante un motor de alta precisión, que permite bajar dicha velocidad desde 9 cm/s hasta cero. El aceite de silicona utilizado es un líquido newtoniano, su viscosidad es constante; te recuerdo que en los fluidos no newtonianos la viscosidad varía con la temperatura y no es constante. Por cierto, este aceite de silicona Dow Corning 200 es muy utilizado en este tipo de experimentos porque es muy estable ante variaciones pequeñas de la temperatura, es decir, su densidad y tensión superficial son prácticamente constantes en el rango de temperaturas considerado en el experimento (su densidad cambia menos del 0,08% por grado centígrado). La cámara de vídeo utilizada filma el reflejo de la cinta y el líquido en un espejo colocado a 45º de la dirección del movimiento de la cinta transportadora con objeto de poder reconstruir a partir de los fotogramas la posición (xy) exacta del chorro líquido. Como indica la figura, el eje x mide los movimientos del fluido transversales a la cinta; el eje y es más curioso y mucho más difícil de reconstruir a partir de los fotogramas; el eje y mide lo que se adelanta o retrasa el punto de incidencia del chorro en la cinta (vuelve a ver el vídeo que abre esta entrada para comprobar que al principio este movimiento es muy ligero y que se vuelve mucho más importante cuando aparecen los primeros meandros, las oscilaciones del chorro en la cinta).

Cuando la cinta transportadora está en reposo (no se ve al final del vídeo), lo que se observaría en el vídeo es similar a un fenómeno muy familiar a todas las personas que han degustado miel. La miel también es un fluido viscoso newtoniano como el aceite de silicona (o como la leche condensada o la pintura de brocha gorda o muchos otros líquidos). Cuando un chorro de miel  cae se estrecha debido a la ley de la conservación de la masa (en física de fluidos se la llama ecuación de continuidad): el producto de la velocidad de una segmento del chorro por el área de su sección transversal se conserva (tiene un valor constante); por tanto, la aceleración de la gravedad estrecha el chorro al caer. Cuando la miel toma contacto con una tostada, o con la mesa, o la miel de su propio recipiente, se enrolla como si se tratara de una cuerda que se deja caer verticalmente al suelo, formando una especie de espiral cilíndrica. El siguiente vídeo de youtube lo ilustra muy bien; te recomiendo verlo (al menos el principio, pues de repite lo mismo en varias ocasiones).

La viscosidad del líquido hace que no se derrame (se extienda horizontalmente) al incidir sobre la superficie de la miel; también impide que se rompa en gotas. Por ello, el chorro de miel se enrolla como una cuerda formando bucles circulares (que en el vídeo, cuando alcanzan cierta altura, se desmoronan por su propio peso). Este fenómeno se llama “bobinado líquido,” aunque entre mis colegas es más conocido por su nombre en inglés efecto “rope-coiling.” ¿Qué tiene que ver este efecto con lo que observas en el primer vídeo de youtube? Los bucles y los “ochos” que forma el líquido en la cinta transportadora son debidos a este efecto, pero se alargan porque la cinta transportadora no está en reposo. Lo mismo ocurriría si sobre la cinta cayera una cuerda (elástica), como nos confirman Mehdi Habibi, Javad Najafi, Neil M. Ribe, “Pattern formation in a thread falling onto a moving belt: An “elastic sewing machine”,” Physical Review E 84: 016219, 2011, de donde extraigo las siguientes dos figuras.

La cuerda se desenrolla y cae sobre una cinta transportadora. Me gusta esta figura porque ilustra muy bien lo que es el movimiento en la coordenada y para el chorro del líquido viscoso. Cuando la cinta se mueve a alta velocidad, la cuerda forma una catenaria (a), pero conforme la velocidad se reduce se pone casi vertical con un codo circular (b) que se desplaza hacia atrás, como se ilustra en las figuras (c) y (d). En esta última configuración es en la que se observa que la cuerda (como el chorro líquido) realiza meandros y movimientos en forma de bucle.

Las configuraciones de la cuerda elástica que cae son más variadas (y complicadas) que las observadas en el chorro de líquido viscoso. El parámetro que controla el tipo de patrón observado es el cociente entre la velocidad lineal de desenrollado de la cuerda (V) y la velocidad de la cinta transportadora (U); en el chorro viscoso el primer parámetro (V) viene determinado por la altura desde la que cae el líquido (y la aceleración de la gravedad). En estas figuras V = 8 cm/s, excepto en (i) y (j) donde V = 30 cm/s. Para U>V, es decir, cuando la cinta es más rápida que la cuerda, se observa una catenaria estacionaria (en la figura (a) se muestra el caso límite U=V=8 cm/s). Para velocidades U más pequeños aparecen curvas biperiódicas, como en (e) y (f), patrones en forma de W, 8, &, y W8 en las figuras (g), (h), (i) y (j), resp., así como patrones de bobinado, en las figuras (k) a (n).

En el caso del fluido viscoso solo se observan algunos de los patrones observados en la cuerda elástica. Esta figura muestra el diagrama de estados en función de la velocidad de la cinta (U) y de la altura del chorro líquido (H), obtenido tras analizar miles de experimentos. Como ocurre en muchos sistemas no lineales, las transiciones entre los diferentes patrones conforme se baja la velocidad de la cinta se producen gracias a bifurcaciones (para un valor de H, los cambios de color en vertical). Un modelo matemático-físico de este sistema permite entender el origen de cada una de estas bifurcaciones (basta un análisis linealizado de las ecuaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes para este fluido), aunque para el análisis por separado de cada una de ellas es suficiente un modelo fenomenológico de Landau, mucho más sencillo, pero con parámetros libres que han de ser ajustados por medio de los experimentos. No entraré en detalles matemáticos, que si bien no son complicados, se pueden encontrar en los artículos citados más arriba (y en otros artículos más teóricos de los mismos autores).

Solo como ilustración de los resultados del análisis matemático, te muestro los resultados experimentales y la curva teórica predicha mediante un análisis lineal para la primera bifurcación que se observa en el vídeo que abre esta entrada. En concreto, para la transición entre el estado estacionario en el que el fluido forma una catenaria y la formación de meandros; se trata de una bifurcación de tipo Hopf (la aparición de un comportamiento oscilatorio a partir de un movimiento no oscilatorio). Para cada altura H fija (5,3 cm en la figura), hay una velocidad crítica para la cinta, Uc (igual a 4,01 cm/s para la figura), tal que con UUc el oscilatorio con una frecuencia ωc=2 Uc √µ (donde µ = 4,62 /cm² en la figura). La amplitud de las oscilaciones transversales dependen de la velocidad de la cinta y el modelo teórico predice que |A|=√((Uc-U)/(µ Uc)), que corresponde a la curva verde. El ajuste entre el resultado teórico y el experimento es muy bueno, aún así el modelo teórico predice un comportamiento de tipo histéresis que no se observa en los resultados experimentales (como se muestra en la figura de abajo).

Como es habitual en los sistemas dinámicos no lineales modelados por ecuaciones en derivadas parciales, se observa una sucesión de bifurcaciones que va dando lugar a la aparición de los diferentes patrones del fluido en la cinta (como la formación de figuras de tipo 8 y W). Todas estas bifurcaciones son consecuencia de la primera bifurcación de Hopf y conducen a una composición de movimientos oscilatorios en x e cuyas frecuencias son múltiplos (armónicos) de la frecuencia de Hopf ωc. Supongo que conocerás las figuras de Lissajous, que se obtienen por la suma de dos movimientos oscilatorios. Los patrones que se observan tienen el mismo origen. Para analizar las frecuencias de estos movimientos oscilatorios se puede utilizar un análisis de Fourier, como muestra la siguiente figura.

En estas figuras se muestran cuatro patrones: meandros (a), figuras en W o bucles por un solo lado (b), figuras en 8 o bucles por los dos lados (c) y bobinados alargados (d). En azul tenéis el espectro de las oscilaciones en x y en verde discontinuo el de las de y. En un recuadro aparece el plano de fases para estos dos movimientos. Los meandros aparecen cuando la componente en x oscila a cierta frecuencia ω y la componente y casi no oscila a dicha frecuencia (aunque oscila un poco a la frecuencia doble, 2ω). Cuando se produce una bifurcación de Hopf, se excitan oscilaciones fuertes en la componente y con una frecuencia ω, que al estar acopladas con la componente x provocan la aparición de dos frecuencias ω y 2ω; este fenómeno es claramente no lineal (ya que en el caso lineal, figuras de Lissajous, no se excitaría ningún armónico). Conforme se reduce la velocidad de la cinta transportadora van apareciendo nuevas bifurcaciones en alguna de las dos componentes, pero no en la otra, lo que provoca un desfase entre ambas componentes. Finalmente, cuando la velocidad es muy lenta, ambas componentes se vuelven a poner en fase y domina la oscilación con frecuencia ω. No sé si me he explicado bien, pero las figuras son bastante claras.

Un análisis matemático riguroso de estas bifurcaciones requiere desarrollar un modelo matemático simplificado del chorro líquido; este modelo no lineal es difícil de estudiar, pero asumiendo que existen velocidades críticas en las que se producen cada una de las bifurcaciones se pueden linealizar dichas ecuaciones alrededor de estos puntos y obtener una buena estimación de sus parámetros. Resulta que se son bifurcaciones de Hopf y que el análisis lineal conduce un valor para la frecuencia de Hopf en muy buen acuerdo con los resultados experimentales. Por ello, este experimento es un arquetipo para estudiar cascadas de bifurcaciones en física de fluidos.

Para acabar, no quiero entrar en muchos detalles matemáticos, que nos llevarían demasiado lejos, me gustaría ilustrar una curiosa aplicación de estas bifurcaciones: el arte abstracto. Las inestabilidades de los chorros líquidos viscosos han sido utilizados por muchos pintores abstractos para obtener efectos muy curiosos en los trazos de pintura sobre el lienzo; destaca el pintor americano Jackson Pollock (abajo un ejemplo con un zoom); no entraré en más detalles, salvo recomendarte la consulta del artículo de Adrzej Herczynski et al., “Painting with drops, jets, and sheets,” Physics Today, June 2011, pp. 31-36 (copia gratis en pdf).

Se observa por primera vez la “ola gigante” de Peregrine en una fibra óptica no lineal

Las “olas gigantes” (rogue waves), que han provocado muchas catástrofes en alta mar, tienen un modelo unidimensional muy sencillo introducido por el difunto matemático británico Howell Peregrine [1], el solitón que lleva su nombre (también llamado “rogón” y “breather de Peregrine”). Las olas gigantes ya habían sido observadas en medios ópticos no lineales en 2007 [2], pero ahora se ha observado por primera vez el rogón en una fibra óptica no lineal [3]. B. Kibler (Univ. de Borgoña, Dijon, Francia) y sus colegas de Francia, Irlanda, Australia y Finlandia, han publicado su descubrimiento en la revista Nature Physics. Esta observación indica que el rogón es una solución matemática mucho más robusta de lo que se pensaba. Las analogías entre sistemas físicos generales y sistemas ópticos es uno de los métodos más interesantes para escudriñar las propiedades de estos sistemas físicos ya que en medios ópticos es fácil obtener medidas de gran precisión. La importancia de este resultado transgrede, por tanto, sus aplicaciones en óptica no lineal y oceanografía, ya que la ecuación no lineal de Schrödinger que tiene como solución al solitón de Peregrine tiene muchísimas aplicaciones en física e ingeniería, incluso en ciencias sociales, por ejemplo, ha sido derivada en cierto límite de la ecuación de Black-Scholes para la evolución de los valores y derivados en la bolsa. Muchos medios se han hecho eco de esta interesante noticia, como “Peregrine’s “Soliton” observed at last,” PhysOrg.com, August 23, 2010, que se hacen a su vez eco de la noticia aparecida en la Universidad de Bristol, 22 August, 2010.

Descubrir una nueva solución matemática de una ecuación muy utilizada en física e ingeniería no significa que dicha solución sea robusta ante perturbaciones y describa algún fenómeno “real” en la Naturaleza. Si no es así, los físicos e ingenieros no serán capaces de observarla en los experimentos (salvo en sistemas metaestables en los que las medidas son muy delicadas). El famoso matemático aplicado británico Howell Peregrine (1938-2007) descubrió una solución de la ecuación de Schrödinger cúbica (NLSE), el solitón (o breather) que lleva su nombre, hace 25 años [1] (la figura que abre esta entrada muestra la ecuación, la gráfica de la solución y la solución matemática). Su solución es cierto límite de dos soluciones más generales previamente conocidas (soluciones de la NLSE que son periódicas). En su momento fue una sorpresa que ambas soluciones tuvieran al solitón de Peregrine como límite común. Peregrine propuso su solución como modelo para la “ola gigante” (rogue wave) que los marineros afirman haber observado en ciertas ocasiones y que se asocia a ciertas catástrofes marítimas, por ello, también se le llama a esta solución “rogón” (del inglés rogon = rogue + soliton). Estas olas gigantes han sido un gran motivo de discusión, pero fueron observadas en laboratorio en medios ópticos no lineales [2]. Sin embargo, en aquella ocasión la ecuación de Schrödinger cúbica no era un buen modelo, por lo tanto, su observación no confirmaba la solución de Peregrine. El nuevo artículo técnico [3], cuyos resultados se ilustran en la figura de arriba, ha logrado obtener las soluciones periódicas de la NLSE en una fibra óptica no lineal utilizando pulsos en el régimen de los femtosegundos. Cuando cierto parámetro (a en la figura de arriba) crece, las soluciones periódicas tienden hacia al solitón de Peregrine, como predice la teoría. La comparación entre los resultados experimentales y las simulaciones numéricas es muy buena (en la figura de arriba, ver las dos figuras pequeñas en la parte de abajo e izquierda). En resumen, un gran trabajo experimental por parte de Kibler et al.

Yo he trabajado en la ecuación NLSE durante muchos años, en un contexto de óptica no lineal, por lo que no podía obviar en este blog esta gran noticia (aunque Peregrine ya no viva para disfrutarla). Un gran resultado experimental que bien podría haberse publicado en Nature, pero quizás ha tenido que limitarse a Nature Physics porque en Nature ya publicaron el artículo [2]. Por cierto, los interesados en las olas gigantes disfrutarán con el libro de Kharif, Pelinovsky y Slunyaev [4].

[1] D. H. Peregrine, “Water waves, nonlinear Schrödinger equations and their solutions,” The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics 25: 16-43, 1983.

[2] D. R. Solli, C. Ropers, P. Koonath, B. Jalali, “Optical rogue waves,” Nature 450: 1054-1057, 13 December 2007.

[3] B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, F. Dias, G. Genty, N. Akhmediev, J. M. Dudley, “The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics,” Nature Physics, Published online 22 August 2010.

[4] Christian Kharif, Efim Pelinovsky, Alexey Slunyaev, “Rogue waves in the ocean,” Springer, 2009.

Cursos en youtube: Caos, fractales y sistemas dinámicos

El verano es buena época para aprender y estudiar (si no estás liado con exámenes). Me permito recomendarte un curso en inglés impartido por el indio S. Banerjee, del Departmento de Ingeniería Eléctrica del IIT Kharagpur, titulado “Chaos, Fractals & Dynamic Systems,” disponible en youtube (el curso está bastante bien):  

01 – Representations of Dynamical Systems [54:56]

02 – Vector Fields of Nonlinear Systems [56:44]

03 – Limit Cycles [56:22]

04 – The Lorenz Equation – I [53:35]

05 – The Lorenz Equation – II [56:37]

06 – The Rossler Equation and Forced Pendulum [58:11]

07 – The Chuas Circuit [54:41]

08 – Discrete Time Dynamical Systems [55:37]

09 – The Logistic Map and Period doubling [55:25]

10 – Flip and Tangent Bifurcations [56:20]

11 – Intermittency Transcritical and pitchfork [55:31]

12 – Two Dimensional Maps [54:49]

13 – Bifurcations in Two Dimensional Maps [53:47]

14 – Introduction to Fractals [52:29]

15 – Mandelbrot Sets and Julia Sets [53:37]

16 – The Space Where Fractals Live [53:59]

17 – Interactive Function Systems [56:03]

18 – IFS Algorithms [55:00]

19 – Fractal Image Compression [51:25]

20 – Stable and Unstable Manifolds [55:24]

21 – Boundary Crisis and Interior Crisis [56:52]

22 – Statistics of Chaotic Attractors [57:04]

23 – Matrix Times Circle : Ellipse [52:26]

24 – Lyapunov Exponent [53:22]

25 – Frequency Spectra of Orbits [55:28]

26 – Dynamics on a Torus [54:41]

27 – Dynamics on a Torus [54:48]

28 – Analysis of Chaotic Time Series [56:10]

29 – Analysis of Chaotic Time Series [51:12]

30 – Lyapunov Function and Centre Manifold Theory [1:00:42]

31 – Non-Smooth Bifurcations [54:19]

32 – Non-Smooth Bifurcations [54:51]

33 – Normal from for Piecewise Smooth 2D Maps [54:10]

34 – Bifurcations in Piecewise Linear 2D Maps [55:32]

35 – Bifurcations in Piecewise Linear 2D Maps [52:59]

36 – Multiple Attractor Bifurcation and Dangerous [59:21]

37 – Dynamics of Discontinuous Maps [56:39]

38 – Introduction to Floquet Theory [57:11]

39 – The Monodromy Matrix and the Saltation Matrix [57:37]

40 – Control of Chaos [54:17]

Solitones en aguas someras y la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili

Cuando decidí iniciar la aventura de este blog me impuse el buen propósito de no hablar en este blog de los temas en los que investigo de forma profesional. No quería aburrir a los potenciales lectores con innumerables detalles técnicos que no puedo quitarme de la cabeza y que sólo tienen interés para los pocos que nos dedicamos a estas cuestiones. Aún así, de vez en cuando se me ve el plumero.

En el año 2000 propuse como proyecto de investigación el estudio numérico y analítico del zoo de soluciones de la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP), con énfasis en las interacciones de múltiples solitones línea, como las que veis en la figura que abre esta entrada. En lugar de considerar su aplicación en el contexto de ondas en aguas someras, como en las fotos de arriba, mi interés se centraba entonces en matrices de líneas de transmisión no lineales. Intuía que la ecuación KP iba a ser ampliamente estudiada durante la primera década del s. XXI. Me ha alegrado ver hoy un artículo de revisión sobre este tema (el zoo de la KP) del genial Yuji Kodama, “KP solitons in shallow water,” ArXiv, 26 Apr 2010 (50 páginas de matemáticas profusamente ilustradas).

La ecuación KP es una ecuación en derivadas parciales en 2+1 dimensiones que es integrable, es decir, se puede escribir la solución más general posible de su problema de valores iniciales o problema de Cauchy. Es una de las pocas ecuaciones en 2+1 dimensiones que se sabe que es integrable. Su solución general tiene dos partes separadas, una de ellas representa un conjunto de solitones y se escribe mediante el determinate de una matriz, la otra representa términos de radiación de pequeña amplitud y se escribe como una integral de Fourier. El artículo de Kodama revisa una técnica diagramática para representar el primer término, las soluciones multisolitónicas utilizando grafos (Kodama les llama diagramas cordales). Estos grafos recuerdan a los diagramas de Feynman y ayudan a la construcción matemática de estas soluciones, así como a la intepretación de sus propiedades. La figura de la izquierda os muestra la representación diagramática de una solución con un único solitón línea. Kodama presenta las reglas de construcción de los diagramas que representan soluciones con múltiples solitones línea.

Abajo tenéis la representación de una solución en la que tres solitones línea colisionan y colapsan para formar un único solitón línea. Con un poco de imaginación podéis ver la película de los hechos. Se ve claro que el solitón línea [1,2] se mueve hacia la izquierda y arriba. Los solitones [1,4] y [3,4] también se mueven hacia la izquierda. Sólo el solitón [2,3] se mueve hacia la derecha. Por eso la solución se denomina 3+1. En t=-8 y t=8 se obervan dos interacciones dobles y en t=0 hay una interacción cuádruple. Hay muchas maneras de imaginarse esta solución. Por ejemplo, los solitones [1,2], [1,4] y [3,4] representan una interacción (vértice) triple que se mueve hacia la izquierda mientras interactúa con un solitón [2,3] que se mueve hacia la derecha. En t=-8 dicho solitón interactúa sólo con el brazo izquierdo y en t=8 sólo con el derecho, en ambos casos introduciendo un desfase que produce un ángulo respecto al vértice triple. No sé si me explico bien… Este tipo de interacción se llama interacción 3+1.

Se pueden representar todo tipo de interacciones múltiples entre solitones línea. Por ejemplo, aquí abajo tenéis la interacción entre 6 solitones líneas, interacción 3+3 (entre dos vértices triples). En este caso hay que tener mucha más imaginación para ver la película de la interacción a partir de tres fotogramas solamente, dada la multiplicidad de interacciones intermedias entre los solitones que muestran las imágenes. La ventaja de la formulación matemática (en este caso del diagrama cordal) es que permite entender fácilmente este tipo de interacciones múltiples entre solitones que aparentan gran complejidad.

Los diagramas cordales (como pasa con los diagramas de Feynman) permiten clasificar todas las posibles soluciones con solitones línea en interacción. Podemos entender las estructuras básicas con las que se forman todas las interacciones posibles, como la soluciones patrón en X o en T (no entraré en detalles). ¿Todas estas soluciones son estables y robustas? El análisis matemático formal de estas soluciones a partir de los diagramas cordales factibles no garantiza la estabilidad y robustez de dichas configuraciones. Este es un punto que no se debe olvidar nunca, todas estas soluciones teóricas posibles no son estables. Las soluciones que no son establse no pueden darse en la Naturaleza. El estudio analítico de la estabilidad de las soluciones generales está fuera de lo que permiten nuestro conocimiento actual. Incluso de soluciones con tres solitones en interacción es muy difícil. Por ello, lo habitual, como hace Kodama en su artículo de revisión, se recurre a presentar simulaciones numéricas que confirman la estabilidad y robustez. Kodama nos presenta este estudio sólo para alguna de las soluciones patrón que ha obtenido.

Las soluciones estables con múltiples solitones líneas en interacción se han observado en la Naturaleza (como muestran las fotos de Mark Ablowitz que abren esta entrada), sin embargo, la utilidad real de un modelo matemático se demuestra cuando se replican estas observaciones experimentalmente en un laboratorio. Mi interés personal en el año 2000 por las matrices de líneas de transmisión no lineales llevaba implícito el hecho de que realizar medidas eléctricas en  un circuito es mucho más fácil que medir ondas en la superficie, pongamos, de un tanque de agua. Yo pensaba que podría reproducir y estudiar las interacciones de múltiples solitones línea con facilidad. Al final, mi proyecto de investigación se quedó en eso, en un proyecto. Sin financiación la investigación es difícil y al final me quedé con lo fácil, unas simulaciones numéricas por ordenador que siempre dejan el mal sabor de boca de ¿y si en la Naturaleza no se observa lo que uno simula en el ordenador?

Por ello, me ha dejado un buen sabor de boca el artículo de Kodama que acaba mencionando su trabajo reciente en colaboración con un físico experimental, Harry Yeh (en concreto, Harry Yeh, Wenwen Li, Yuji Kodama, “Mach reflection and KP solitons in shallow water,” ArXiv, 2 Apr 2010). Utilizando una nueva técnica para la medida de las ondas en la superficie de un tanque de agua mediante un láser, llamada fluorescencia inducida por láser (LIF), han logrado reproducir experimentalmente las soluciones de la ecuación KP con una precisión alucinante. La figura de abajo muestra un resultado de su trabajo. Las tres figuras de arriba son resultados experimentales y las tres figuras de abajo son resultados numéricos. Los solitones líneas en estas figuras se mueven hacia la izquierda. Aunque los resultados experimentales muestran cierta dispersión, el modelo teórico da cuenta de los mismos con una exactitud sorprendente. ¡Alucinante!

La mayoría de los lectores de este blog pensarán que chochea la Mula Francis con estos desvaríos. ¿Alucinantes? Bueno, es lo que pasa cuando uno habla de temas relacionados con su propio trabajo… por cierto, ya hace unos años que no estudio numéricamente la ecuación KP, ahora me dedico a otras ecuaciones y otros tipos de solitones. La vida da muchas vueltas… y yo he disfrutado mucho con el trabajo de Kodama, a quien sigo admirando no sin cierta devoción.

“Balas acústicas” para localizar y destruir tumores cancerígenos gracias a una nueva lente acústica no lineal

La energía acústica de ondas sonoras enfocadas tiene múltiples aplicaciones.Para enfocar esta energía en un objetivo, el sonido se redirige de manera que las ondas se superponen y amplifican las unas a las otras. Alessandro Spadoni y Chiara Daraio han diseñado una lente acústica no lineal que enfoca fuentes sonoras de gran amplitud en “balas acústicas” (solitones o pulsos acústicos compactos) que pueden ser utilizados para localizar y destruir tumores cancerígenos de forma no invasiva. La lente está formada por esferas de acero alineados en cadenas paralelas. Controlando esta disposición de esferas se puede controlar la velocidad del sonido que viaja a través de ellas, permitiendo que actúen como una lente que enfoca las ondas sonoras en un único punto, donde se concentra toda la energía acústica. Las “balas acústicas” conservan su forma compacta después de atravesar las esferas y pueden penetrar tejidos biológicos sin dificultad. El artículo técnico es Alessandro Spadoni, Chiara Daraio, “Generation and control of sound bullets with a nonlinear acoustic lens,” PNAS 107: 7230-7234, April 20, 2010.

Los ultrasonidos son muy utilizados en imagen en medicina (y en ciencia de los materiales) para visualizar de forma no invasiva el interior del cuerpo humano (y de materiales). El gran problema de los ultrasonidos es que es difícil obtener pulsos compactos, no oscilatorios y de gran amplitud (“balas acústicas”). Trabajos reciente han intentado lograrlo utilizado metamateriales que permiten el desarrollo de superlentese y de hiperlentes. La nueva lente no lineal publicada en PNAS utiliza una matriz de partículas esféricas (21 ristras de 21 esferas cada una) que se comporta para la onda sonora como un medio efectivo que se puede modelar mediante la ecuación de Korteweg-de Vries. Esta ecuación permite la propagación de un tipo de ondas no lineales que se llaman solitones. La gran ventaja de este tipo de ondas es que una vez que abandonan el medio en el que se han generado mantienen su forma durante cierto tiempo por lo que pueden ser utilizadas como “balas acústicas” para destruir tumores.

Un gran trabajo técnico que nos muestra una nueva aplicación de los solitones (muy utilizados en fibra óptica para comunicaciones de muy larga distancia). A los que trabajamos en teoría de solitones nos resulta muy interesante este artículo. A los demás supongo que lo único que les interesará es que este nuevo avance tendrá, en un futuro no muy lejano, muchas aplicaciones biomédicas.

A) Prototipo con 21 ristras de 21 esferas de acero; B) Velocidad de fase de las ondas en función de la fuerza de compresión; y C) Funcionamiento como lente acústica no lineal. (C) PNAS

La matemática del amor: modelos estocásticos de las relaciones interpersonales y románticas

La ecología humana permite comprender cómo nos relacionamos con los demás y permite desarrollar modelos matemáticos de nuestro comportamiento, basados en ecuaciones diferenciales ordinarias y estocásticas no lineales. Strogatz en 1988 introdujo el primer modelo matemático del amor (o del enamoramiento). Sprott en 1994 introdujo términos no lineales y una dinámica mucho más interesante. Desde entonces muchos otros lo han mejorado. La última aportación es el artículo de Cherif y Barley que introduce un modelo estocástico del amor. Una buena excusa, como cualquier otra, para recordar el amor, las matemáticas y el amor a las matemáticas. Un tema tan apasionante seguro que levanta pasiones. El artículo técnico es Alhaji Cherif, Kamal Barley, “Stochastic Nonlinear Dynamics of Interpersonal and Romantic Relationships,” ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009.  Por cierto, esta entrada es la mejor excusa posible para recordar al genial Kiyosi Ito, uno de los padres de la teoría de ecuaciones estocásticas, primer ganador del Premio Gauss de la IMU, quien concede las Medallas Fields, concedido en el ICM 2006 de Madrid, quien falleció el 10 de noviembre de 2008, ya entonces (agosto 2006) estaba muy enfermo y recogió el premio su hija (actriz y cantante famosa en Japón), que se hizo la foto de rigor con Su Majestad Juan Carlos I de España.

Las relaciones románticas son las relaciones interpersonales más importantes en la vida social humana, especialmente durante la adolescencia. Más del 70% de los estudiantes de formación secundaria declaran que están viviendo o han vivido una relación romántica. En adultos la mayoría de estas relaciones fracasa, en el sentido de que no concluye en la formación de una pareja, compromiso estable o matrimonio. El estudio experimental de las relaciones románticas es difícil, por ello los expertos en ecología humana recurren a modelos matemáticos similares a los utilizados en ecología. Esta rama de la ciencia se inició con el análisis mediante ecuaciones diferenciales lineales de las relaciones románticas en la obra Romeo y Julieta de Shakespeare que realizó Strogatz en 1988 con fines docentes (“Love affairs and differential equations“). Desde entonces muchísimos matemáticos han utilizado las “ecuaciones del amor” para facilitar la docencia de la dinámica de sistemas no lineales (como Sprott en “Dynamical models of love,” quien también ha estudiado la felicidad en “Dynamical models of happiness“). Estos autores han introducido correcciones no lineales al modelo de Strogatz y lo han extendido, por ejemplo, a los triángulos amorosos. Además, se han utilizado modelos matemáticos más avanzados como ecuaciones con retrasos y modelos estocásticos, como los desarrollados por Cherif y Barley en el nuevo artículo que comentamos.

Dibujo20091103_Strogatz_model_Typology_and_Characterization_of_Romantic_StyleLos modelos más sencillos son del tipo Strogatz-Sprott y se basan en cuatro estados posibles de enamoramiento que se muestran en la figura de la izquierda: (I) deseo correspondido (eager beaver), saber que la otra persona nos ama refuerza nuestro propio amor hacia ella; (II) amor precavido (cautious lover), rechazamos nuestros propios sentimientos pero los de la otra persona refuerzan nuestro amor; (III) amor ermitaño (hermit), rechazamos nuestros propios sentimientos y los de la otra persona; y (IV) tímido narcisista (narcissistic nerd), nuestro amor es intenso pero nos hecha para atrás que la otra persona también nos ame. El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales acopladas para las variables X_{1}, X_{2} que miden el amor hacia la persona amada, correspondiendo los valores positivos a sentimientos positivos (amistad, pasión, en función de la magnitud del valor) y valores negativos a sentimientos negativos (antagonismo, desdén). El modelo propuesto es el siguiente 

\frac{dX_{1} }{dt} =-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon_1 X_{2} ^{2} \right)+A_{1},

\frac{dX_{2} }{dt} =-\alpha _{2} X_{2}+\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon_2 X_{1} ^{2} \right)+A_{2},

donde las constantes A_{i} representan la atracción hacia al otro. Los parámetros \alpha _{i} indican el grado con que un individuo ha internalizado sus propios sentimientos y su propia autoestima. Los parámetros $\beta _{i}$ representan el efecto de refuerzo que los sentimiento de la otra persona provoca en nosotros. La constante \varepsilon_i introduce una función de retorno que, según los autores, modela el amor entre Steve Urkel y Laura Winslow en la teleserie “Cosas de casa”: Cuando Steve se desespera, el antagonismo de Laura se reduce por su sentimiento de compasión hacia él.

Este sistema dinámico tiene un punto de equilibrio dado por

\bar{X}_{1} =\frac{\alpha _{2} A_{1} +\beta _{1} A_{2} }{\alpha _{1} \alpha _{2} -\beta _{1} \beta _{2}},

\bar{X}_{2} =\frac{\alpha _{1} A_{2} +\beta _{2} A_{1} }{\alpha _{1} \alpha _{2} -\beta _{1} \beta _{2}},

que es no negativo y asintóticamente estable si y sólo si

R_d = \frac{\beta_1 \beta_2}{\alpha_1 \alpha_2}d_1 d_2 <1,

donde d_{j} =\frac{dg\left(\bar{X}_{j} \right)}{dX_{j} } y g\left(u\right) es la función de  retorno linealizada. En cualquier otro caso, el equilibrio es inestable.

Dibujo20091103_Transition_table_with_nonlinear_rates_in_continuous_markov_process_model_of_loveBasándose en este modelo, Alhaji Cherif y Kamal Barley introducen un nuevo modelo de carácter estocástico que presenta una mayor diversidad de comportamientos dinámicos. Este modelo corresponde a una proceso de Markov continuo cuya tabla de transición aparece a la izquierda y que conduce a una ecuación diferencial estocástica en el sentido de Ito, de la forma

dX=\mu \left(t,X_{1} ,X_{2} \right)dt+D\left(t,X_{1} ,X_{2} \right)dW.

Supongo que la mayoría de los lectores de este blog no conocerán este tipo de modelos matemáticos, así que no entraré en muchos detalles (los interesados en lo mínimo de lo mínimo pueden consultar T.E. Govindan, “Ecuaciones diferenciales estocásticas“). Hoy en día hay muy buenos métodos numéricos (y software en Internet) para la resolución de este tipo de ecuaciones estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas para el modelo de Cherif-Barley son

dX_{1} =\left[-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} \right]dt-\sqrt{\alpha _{1} X_{1} } dW_{1} +\sqrt{\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} } dW_{2},

dX_{2} =\left[-\alpha _{2} X_{2} +\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} \right]dt+\sqrt{\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} } dW_{3}-\sqrt{\alpha _{2} X_{2} } dW_{4}.

Dibujo20091103_sustained_oscillations_in_stochastic_model_of_love_where_deterministic_model_do_not_show_them

Lo más interesante del modelo estocástico es que presenta comportamientos que no se observan en el modelo determinista, con lo que su dinámica es mucho más rica e interesante. La figura de arriba muestra comportamiento oscilatorio para valores de los parámetros para los que el sistema determinista no lo presenta. La figura de abajo muestra la aparición de dos puntos de equilibrio estables y la transición (difusión) entre ellos. 

Dibujo20091103_diffusion_between_two_locally_stable_equilibria_stochastic_dynamics_love_affair

El análisis de los resultados del modelo de Cherif-Barley en su propio artículo es pobre, pero se me antoja que los resultados son muy interesantes y darían para una extensa discusión. Sin embargo, como siempre, mi intención es solo mostraros cosas curiosas que os llamen la atención y os provoquen una lectura de artículos técnicos que de otra manera, quizás, nunca llegaríais a conocer.

Los profesores de mateamática aplicada o de asignaturas de modelado de sistemas podrían proponer a sus estudiantes como práctica el desarrollo de un modelo del amor y las relaciones románticas. Ya algunos lo han hecho, como nos cuenta Kari, guapa estudiante de física en Perú, en su blog y con bastante éxito entre los alumno, según ella misma. Los alumnos tuvieron que exponer sus trabajos y sus razonamientos fueron realmente curiosos: “No podía creer como defendían sus puntos de vista hablando tan abiertamente de ese tema del cual a muchos en más de 3 años nunca escuché hablar y teniendo en cuenta que la última conversación que tuve con ellos fué sobre las propiedades del Hamiltoniano cuántico.”