Un millón de dólares, Grigory Perelman, el 7 de junio de 2010, París y la existencia de Dios

Mucho se ha dicho sobre si Grigory Perelman ha aceptado o no el millón de dólares que se le ha concedido como Premio del Milenio por demostrar la conjetura de Poincaré. Muchos creen que no lo ha aceptado. No es cierto. Todavía no ha dicho su última palabra. Según Jim Carlson, director del Instituto Clay, “Perelman todavía está pensándoselo. Todavía no ha dado su respuesta final.” Jim sigue en contacto con Grisha: “le envío un correo electrónico (e-mail) de vez en cuando.” ¿Qué pasará con el dinero si Perelman rechaza el premio? Jim Carlson afirma que todavía no lo han decidido. Para qué preocuparse y cambiar la normativa si todavía Perelman no ha dado su última palabra al respecto. Cuando se sepa si lo acepta o no será publicado en la página web del Instituto Clay, mientras tanto cualquier otra noticia es prensa rosa (o amarilla). Pero, ¿va a ser eterno esto? ¿Hay alguna fecha tope? Sí, la fecha tope es el 7 de junio de 2010 a las 11:30 AM. En ese momento Grigory Perelman tendrá que dar su última respuesta, si acepta o no el premio. El comunicado oficial con dicha decisión será publicado el 7 de junio a las 12:00 AM desde París (luego la hora será la hora española).

¿Qué pasará…? Se aceptan conjeturas…

¿La existencia de Dios? La mula Francis ha perdido la cabeza. Quizás sí, quizás no. Un amigo de Perelman afirma que “Gregory está firmemente convencido de haber probado matemáticamente la existencia de Dios.” Si lo ha hecho y lo publica le tendrán que conceder el premio más cuantioso de todos los que existen en el mundo, el Premio Templeton, d0tado con un millón de libras. La cuestión no es si lo ha hecho o no, la cuestión es si no se le cruzan los cables en la mollera a los que conceden el Premio Templeton y acaban concediéndoselo a Perelman a sabiendas de que, lo mismo se le cruzan los cables a él, y este premio sí que lo acepta a la primera. Os recuerdo que este año ganó el Premio Templeton el madrileño (nacionalizado estadounidense) Francisco José Ayala, biólogo, neodarwinista y creyente (para los que no son españoles, en España, “creyente” significa católico).

Bueno, más allá de las bromas, más allá de lo serio, he visto esto en la prensa rosa rusa “Grigory Perelman Uncertain if He Should Be Rewarded for Proving Existence of God,” Pravda.Ru, 07 may 2010.

PS (10 junio 2010): “El matemático Perelman no acude a recoger su premio de un millón de dólares. Ausencia del genio ruso en la reunión de París para celebrar la resolución de la conjetura de Poincaré,” El País, 09/06/2010, visto en “El dinero y la genialidad,” La aventura de las matemáticas, Junio 10, 2010, que también enlaza a “Matemático ruso Perelman no llegó a París donde lo espera un premio de $1 millón,” RIA Novosti, 08 junio 2010 [en portada en Menéame].

PS (01 julio 2010): Un diario ruso publica la noticia “Matemático ruso Perelman rechaza definitivamente el permio de $1 millón,” 01/ 07/ 2010 [visto en Menéame]. “Perelman notificó al Instituto Clay sobre el rechazo del premio hace una semana aproximadamente. El propio matemático señaló que vaciló durante bastante tiempo antes de tomar la decisión definitiva. “Resumiendo puedo decir que la causa fundamental radica en que no estoy de acuerdo con la comunidad matemática organizada. No me gustan las decisiones que toma, las considero injustas”, declaró.El anuncio oficial en la página web del Instituto Clay (sin enlace específico): “Note: July 1, 2010. On June 8-9 CMI held a conference in Paris to celebrate the resolution of the Poincaré conjecture by Grigoriy Perelman. Dr. Perelman has subsequently informed us that he has decided not to accept the one million dollar prize. In the fall of 2010, CMI will make an announcement of how the prize money will be used to benefit mathematics.”

El estado actual de la teoría de todo excepcionalmente simple del físico surfero Garrett Lisi

En este blog hemos hablado en varias ocasiones de la Lisimanía, el morbo provocado por la teoría de todo basada en el grupo de Lie excepcional E8 propuesta por el físico Garrett Lisi a finales de 2007. Ya dijimos que dicha teoría es clásica y nadie sabe cómo construir su versión cuántica. La física de partículas elementales es algo más que una simple aplicación de la teoría de grupos, aunque dicha aplicación sea la que aporte la simetría y la belleza a la teoría. La teoría de Lisi también tiene algunos problemas como teoría clásica de campos como ya nos indicaron Jacques Distler y Skip Garibaldi. Lisi no ha sido capaz de resolver estos problemas todavía. Quizás por ello hay muy pocos investigadores dedicados a estudiar sus ideas. Brilla con luz propia Lee Smolin, que desde el primer momento consideró las ideas de Lisi como muy prometedoras. Junto a uno de sus (ahora ex-) postdocs, Simone Speziale, Smolin le ha estado dando vueltas de tuerca a la teoría de Lisi desde un enfoque diferente al original: usar una acción (clásica) de Plebanski en lugar de la acción propuesta por Lisi (Lee Smolin, “The Plebanski action extended to a unification of gravity and Yang-Mills theory,” Phys. Rev. D 80: 124017, 2009, disponible en ArXiv). La ventaja de esta idea es que hace que parezca más realista que alguna vez  se llegue a construir una versión cuántica de la teoría de Lisi siguiendo las ideas aplicadas en la gravedad cuántica de bucles (el uso de las llamadas variables de Ashtekar). ¿Por qué volver a hablar de la teoría de Lisi? Porque un nuevo artículo de Lisi, junto a Speziale y a Smolin, ha logrado resolver gracias al uso de la acción de Plebanski, uno de los problemas más importantes de su teoría: el mecanismo (clásico) de ruptura de la simetría. El artículo técnico A. Garrett Lisi, Lee Smolin, Simone Speziale, “Unification of gravity, gauge fields, and Higgs bosons,” ArXiv, 27 Apr 2010, afirma haber resuelto este problema incluyendo la aparición de un multiplete de bosones de Higgs. Desafortunadamente, para mí, que no soy experto en estas lides, el artículo es un puro ejercicio de álgebra (grupos y álgebras de Lie) muy al estilo del artículo original de Lisi, aunque mucho peor ilustrado (sin grafos de raíces con colores). Un artículo que carece de ideas físicas que subyagan al juego de los símbolos. Los buenos artículos de física teórica siempre están repletos de física (algo que los hace incomprensibles para los matemáticos). Así que en mi modesta opinión este nuevo artículo es bastante flojo.

Permitidme recordar algunas ideas de la teoría de Lisi. La teoría de la relatividad general de Einstein es una teoría gauge clásica basada en el grupo de Lie SO(3,1), por lo que puede unificarse fácilmente con una teoría gauge tipo Yang-Mills basada en el producto de grupos SU(3)×SU(2)×U(1). Basta tomar un grupo G más grande que contenga a SO(3,1) como subgrupo y que contenga a un graupo más grande que el del modelo estándar como subgrupo cociente G/SO(3, 1). El uso de este grupo G como grupo en la teoría de la gravedad de Einstein permite incorporar todo el modelo estándar en una teoría de gran unificación. No es algo difícil de hacer. La cuestión es si sirve para algo. Me explico. Antes de nada, Garrett Lisi lo hizo usando G=E8. Al grano. Quiero decir que la teoría de la gravedad de Einstein funciona muy bien como está y no hay que cambiarla en lo más mínimo. Lo que necesitamos es una teoría cuántica de la gravedad para poder entender la gravedad donde la teoría de Einstein no es aplicable. La cuestión es si la teoría clásica de la gravedad con el grupo G tiene una versión cuántica consistente. La teoría de la gravedad de Einstein no la tiene. La teoría de Garrett Lisi, tampoco. ¿Se puede construir una teoría cuántica consistente cuya versión clásica sea la teoría de Lisi? Nadie sabe hacerlo y la opinión general es que es tan difícil como construir una teoría cuántica consistente de la gravedad de Einstein. Luego si se logra lo segundo, no queremos para nada lo primero. La teoría de todo excepcionalmente simple de Garrett Lisi, tras tres años en el punto de mira de muchos físicos teóricos, sigue estando prácticamente donde estaba al principio, a la espera de ideas físicas que la soporten y de herramientas matemáticas que permitan resolver sus problemas.

Una mariposa mecánica que puede volar y permite entender cómo controlan su vuelo las mariposas

¿Cómo controla su vuelo una mariposa? Para estudiar si un controlador realimentado sencillo es el responsable, dos japoneses, Hiroto Tanaka (Universidad de Harvard, Cambridge, EEUU) e Isao Shimoyama (Universidad de Tokyo, Japón), han fabricado una sencilla mariposa mecánica que puede volar. Han analizado mediante cámaras de alta velocidad los movimientos de mariposas y los han comparado con los de sus mariposas mecánicas, utilizando dos estrategias de control del vuelo, con y sin realimentación. Sus resultados pueden resultar sorprendentes, pues muestran que no es necesario un control realimentado para lograr un vuelo estable similar al de sus “primos” lepidópteros. El artículo técnico, realmente interesante y de acceso gratuito, es Hiroto Tanaka, Isao Shimoyama, “Forward flight of swallowtail butterfly with simple flapping motion,” Bioinspiration & Biomimetics 5: 026003, 20 May 2010. Obviamente, los biólogos dirán que la fabricación de un modelo mecánico de un animal que imite sus movimientos no implica que el sistema de control utilizado en dicho modelo tenga alguna relación con el sistema de control (neuronal) utilizado por el animal. Es cierto, pero el artículo me ha resultado realmente curioso y refrescante. Los físicos e ingenieros mecánicos disfrutarán con el modelo mecánico del lepidóptero (sencillo y bien detallado en el artículo) y con los detalles sobre los parámetros aerodinámicos del vuelo ajustados a partir de los vídeos grabados a más de 1000 fotogramas por segundo. Fabricar una mariposa artificial que vuele es una excusa ideal para que un ingeniero industrial desarrolle un proyecto fin de carrera en biomecánica animal diferente de las habituales “cucarachas” (hexápodos con patas en línea) y “arañas” (hexápodos y octópodos con patas en círculo).

La entropía termodinámica, la entropía de von Neumann y la segunda ley de la termodinámica en sistemas cuánticos mesoscópicos

¿Se puede introducir una entropía termodinámica para un sistema cuántico mesoscópico? Sí. ¿Qué relación hay entre la entropía de von Neumann y dicha entropía termodinámica? No son iguales cuando el sistema está acoplado fuertemente. ¿Es válida la segunda ley de la termodinámica? Para la entropía termodinámica sí, pero para la entropía de von Neumann no. Estas cuestiones pueden parecer baladíes pero han corrido muchos ríos de tinta discutiéndolas desde diferentes enfoques. La figura la he extraído de un artículo reciente que me ha hecho recordar lo obvio, que no por ampliamente conocido y reiterado, ha de ser obviado cuando se discuten este tipo de cuestiones. La figura compara la entropía (termodinámica) de un conjunto de osciladores armónicos cargados (curva en negro), con la entropía (termódinámica) de dichos osciladores acoplados por un campo magnético externo (curva en rojo) y con la entropía de von Neumann para dichos osciladores (curva en azul). La entropía de von Neumann se desvía de la entropía termodinámica para un sistema mesoscópico que esté entralazado con su entorno. En el régimen de acoplamiento débil, ambas entropías se pueden identificar, pero para acoplamiento fuerte, son muy diferentes. La entropía de von Neumann no tiene por qué ser nula en el cero absoluto de temperaturas y por tanto no puede ser utilizada para definir una temperatura del sistema. Sólo la entropía termodinámica permite hacerlo. El uso de la entropía de von Neumann para afirmar que la física de los sistemas cuánticos mesoscópicos viola la segunda ley de la termodinámica es un sinsentido en todos los sentidos. Lo que siempre hay que tener claro es que la entropía termodinámica es la que debe ser usada para verificar la segunda ley de la termodinámica y que la entropía de von Neumann tiene otros usos (medir la cantidad total de información cuántica en el sistema o cuantificar el entrelazamiento entre sus estados). Como ya hemos dicho en múltiples ocasiones en este blog, lo obvio, si bueno, dos veces obvio. El artículo en cuestión es Malay Bandyopadhyay (Universidad de Toronto, Canadá), “Does the second law hold in the quantum regime?,” Physica Scripta 81: 065004, 19 mayo 2010 [artículo de acceso gratis], que me ha hecho recordar G. W. Ford, R. F. O’Connell, “A Quantum Violation of the Second Law?,” Physical Review Letters 96: 020402, 18 January 2006 [preprint en ArXiv]. Más información, valga la redundancia, sobre información, información cuántica y entropía de von Neumann en Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, “Información y computación cuántica,” Nature 404: 247-255, 2000 (traducción y revisión de Adán Cabello, 2002).

Las cuatro leyes de la termodinámica describen de forma fenomenológica los sistemas físicos macroscópicos y permiten determinar sus cambios de volumen, presión y temperatura. La ley cero introduce el concepto de equilibrio térmico y permite definir el concepto de temperatura. La primera ley es la ley de la conservación de la energía. La segunda ley introduce el concepto de entropía y que en un sistema fuera del equilibrio la entropía crece asintóticamente hasta alcanzar un valor máximo constante en equilibrio. Finalmente, la tercera ley afirma que conforme la temperatura se acerca al cero absoluto, la entropía del sistema se aproxima a un valor mínimo constante. Es decir, la entropía depende de la temperatura y se puede definir el concepto de cero absoluto. Estas leyes para sistemas físicos macroscópicos se pueden deducir/entender en el contexto de la mecánica estadística (clásica) y la mecánica estadística cuántica. En un sistema cuántico (microscópico) con muy pocos grados de libertad, estas leyes y estos conceptos termodinámicos pierden su significado. Pero, ¿qué pasa en un sistema (cuántico) mesoscópico?

La entropía de von Neumann para muchos sistemas cuánticos mesoscópicos no cumple con la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, para todo sistema mesoscópico se puede definir una entropía termodinámica, por ejemplo a partir de su energía libre, que sí cumple con la segunda ley de la termodinámica (el artículo de Ford y O’Connell en PRL nos indica una posible manera de hacerlo). En sistemas mesoscópicos débilmente acoplados con el entorno las entropías de von Neumann y termodinámica coinciden, pero en sistemas fuertemente acoplados con el entorno no es así. Bandyopadhyay nos ilustra estas cuestiones utilizando dos ejemplos, un sistema de osciladores cargados acoplado a un baño térmico sometido, por un lado, a un campo magnético externo y, por otro lado, a un campo eléctrico rápidamente oscilatorio. Cuando el acoplamiento es finito, aunque sea pequeño, el estado fundamental (el de mínima energía) del sistema acoplado no coincide con el sistema libre, siendo la diferencia proporcional a la energía de acoplamiento. Este exceso de energía en el cero absoluto de temperaturas, lleva a inducir erróneamente que se observa una violación cuántica de la segunda ley de la termodinámica (por ejemplo, gracias a transiciones por efecto túnel desde el estado fundamental con acoplamiento al estado fundamental libre). Esta violación es muy pequeña, por supuesto, pero es una violación al fin y al cabo. Una violación que permitiría un perpetuum mobile cuántico, permitiría un proceso cíclico para extraer energía “gratis” del entorno cuántico. Extraer energía “gratis” del vacío cuántico es un sueño de novela de ciencia ficción y quizás en dicho reino permanecerá siempre.

Entropía termodinámica, entropía de von Neumann para la matriz de densidad reducida para un sistema cuántico, entropía de la información de Shannnon, entropía en agujeros negros, etc. Muchas entropías que a veces coinciden pero que a veces no lo hacen. Muchas entropías con las que tenemos que lidiar con extremo cuidado para no abusar de su uso, para no violar el contexto en el que son aplicables. Contextos que no son disjuntos, pero tampoco coincidentes.

Publicado en Science: Pendientes para la oreja utilizados como pasaportes entre Mesopotamia y la India en el III Milenio A.C.

¿Qué son estos objetos arqueológicos encontrados en Dholavira, en Pakistán? Son pendientes para la oreja. ¿Para qué servían? Estudios recientes parecen indicar que eran utilizados  como pasaportes en el tráfico comercial entre Mesopotamia y la India. ¿Comercio marítimo, terrestre o ambos? Probablemente sólo marítimo, ya que la mayoría de los restos hindúes encontrados en la península arábiga lo han sido en ciudades portuarias. Me ha llamado la atención que se utilizaran pendientes como pasaportes. Nos lo cuenta Andrew Lawler en “News Focus: The Coastal Indus Looks West,” Science 328: 1100-1101, 28 May 2010, y “Profile: Maurizio Tosi: ‘The Cobra’ Uncovers Ancient Civilizations—And Cold War Political Secrets,” News Focus, Science 328: 1101, 28 May 2010. En el segundo artículo destaca el papale del arqueólogo Maurizio Tosi quien descubrió en 1981 restos hindúes en Omán que fueron una de las primeras pruebas que demostraban la existencia de un tráfico comercial entre la India (en concreto) y Mesopotamia durante el tercer milenio A.C.

Cómo dibujar un elefante con solo cuatro números complejos

John von Neumann afirmó: “con cuatro parámetros puedo ajustar un elefante, y con cinco puedo lograr que mueva su trompa.” Enrico Fermi le recordó esta frase a Freeman Dyson en una conferencia en 1953 y desde entonces es ampliamente conocida entre los físicos. ¿Cómo se puede ajustar con sólo cuatro números una curva cerrada con forma de elefante? Muy fácil, se ajustan las dos componentes (x(t),y(t)) de la curva con una serie de Fourier y truncamos esta serie de tal forma que obtenemos una aproximación “suavizada” de la curva original (en la que hemos eliminado las altas frecuencias). Jugando un poquito es fácil obtener figuras realmente complicadas con sólo unos pocos números. Con cuatro números reales es difícil obtener algo que se parezca a un elefante, pero con cuatro números complejos es realmente fácil. La figura que abre esta entrada muestra un ejemplo, incluyendo la serie de Fourier y los 4 parámetros complejos necesarios. La parte real del quinto parámetro permite mover la trompa del elefante. Este tipo de técnica es ampliamente utilizada en el Reconocimiento de Imágenes utilizando contornos (a los contornos activos se les suele llamar snakes), aún así, me parece que a veces hay que recordar incluso lo ampliamente conocido. Una curiosidad que nos cuentan Jürgen Mayer, Khaled Khairy y Jonathon Howard en “Drawing an elephant with four complex parameters,” Notes and Discussions, American Journal of Physics 78: 648-649, June 2010.

Publicado en Nature: Imagen por radar de la topografía transversal del gran cañón del casquete polar marciano

Sorprendentes imágenes por radar del casquete polar en el norte del planeta Marte, que contiene suficiente agua para cubrir todo la superficie del planeta con una profundidad de varios metros. El gran cañón Chasma Boreal, con más de 500 km. de longitud, 100 km. de anchura y casi 2 km. de profundidad, aparece en todo su esplendor gracias a los datos de la sonda Mars Reconnaissance Orbiter. Gracias a estas imágenes por radar, John Holt y sus colegas han estudiado los procesos que pueden haber llevado a su formación. Básicamente, procesos de deposición, en lugar de un suceso catastrófico. Isaac Smith y John Holt también publican en Nature otro artículo en el que propone que los procesos de deposición también son claves para entender la formación de las estructuras en forma de espiral que se observan en el casquete polar marciano. Estructuras que han emigrado hacia los polos en los últimos dos millones de años mientras se elevaban sobre el terreno. Los artículos técnicos para los interesados en más detalles son J. W. Holt et al., “The construction of Chasma Boreale on Mars,” Nature 465: 446–449, 27 May 2010, y Isaac B. Smith, John W. Holt, “Onset and migration of spiral troughs on Mars revealed by orbital radar,” Nature 465: 450–453, 27 May 2010. También es interesante la lectura de “Desvelan los misterios del casquete helado del norte de Marte tras 40 años de incertidumbre,” SINC, Norteamérica, 26 mayo 2010 [visto en Menéame].

Simulación de cómo se observaría un bosón de Higgs que decae en cuatro muones en el detector ATLAS del LHC en el CERN

Me ha llamado la atención esta figura que presenta cómo se observaría en los detectores interiores del experimento ATLAS del LHC la desintegración de un bosón de Higgs del modelo estándar que decaiga en un par de bosones vectoriales Z, que a su vez decaigan en un pareja de muones cada uno (el Higgs es detectado por la traza de los cuatro muones en los detectores externos de ATLAS). Como vemos la colisión es muy complicada y reconstruirla a mano a partir de los datos de los detectores es casi imposible. Los ordenadores serán los que observen por primera vez un bosón de Higgs en el LHC del CERN. ¿Quién será el primero en ver una colisión como ésta en el LHC? Será un físico o será un informático. Esta simulación utiliza el software Athena que está basado en el simulador de colisiones GEANT4 y utiliza técnicas de computación en grid. Los interesados en más detalles sobre la informática detrás de las simulaciones del detector ATLAS disfrutarán con The ATLAS Collaboration, “The ATLAS Simulation Infrastructure,” ArXiv, 25 May 2010.