Un motor térmico basado en átomos ultrafríos

Dibujo20131024 ultracold atom heat engine - science mag

El efecto termoeléctrico es la producción de una corriente eléctrica (transporte de electrones) gracias a una diferencia de temperatura (gradiente térmico). Un efecto similar es el transporte de átomos entre dos nubes de átomos ultrafríos, ambas con el mismo número de átomos, cuando una de ellas es calentada por un láser. La nube de átomos caliente se expande, reduciendo su densidad, por lo que uno espera un flujo de partículas del depósito más frío y más denso al más caliente y menos denso. Sin embargo, se observa el efecto contrario, las partículas fluyen de la nube de átomos más caliente a la más fría. El transporte de los átomos ocurre desde el depósito con un potencial químico menor al que tiene uno mayor, es decir, el sistema se comporta como un motor térmico de átomos ultrafríos. Este curioso experimento se publica en Science y podría tener aplicaciones en sistemas de refrigeración de circuitos nanoelectrónicos. El artículo técnico es Jean-Philippe Brantut et al., “A Thermoelectric Heat Engine with Ultracold Atoms,” Science, AOP, Oct 24, 2013 [DOI]; arXiv:1306.5754 [cond-mat.quant-gas].

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Francis in Mapping Ignorance: Transferencia anómala de calor de lo frío a lo caliente

He liquid He vapor between two plates

Te recomiendo leer mi última contribución al blog Mapping Ignorance, “Read it twice: Heat transfer from a cooler body to a hotter body,” May 16, 2013. El primer párrafo, en inglés, dice “Without any conflict with the second law of thermodynamics, heat can flow from a cooler but constantly heated body to another thermally connected and constantly hotter body. This anomalous heat transfer has been demonstrated in a two-phase liquid-vapor system composed of a Rayleigh–Bénard convection (RBC) cell filled one-half with normal liquid helium and one-half with helium vapor.” Seguir leyendo…

Mi contribución se basa en el artículo de Pavel Urban, David Schmoranzer, Pavel Hanzelka, Katepalli R. Sreenivasan, and Ladislav Skrbek, “Anomalous heat transport and condensation in convection of cryogenic helium,” PNAS 110(20): 8036-8039, May 14, 2013; además recomiendo consultar a Joseph J. Niemela, “Weather and anomalous heat flow occurring near absolute zero,” PNAS 110(20): 7969-7970, May 14, 2013.

Cuántos grados calienta tu lata de cerveza la condensación de humedad en su superficie

En un día de verano, caluroso y húmedo, habrás observado que el líquido de tu lata de cerveza (o de refresco) se calienta al mismo tiempo que se cubre de una capa de humedad por condensación. Estimando el espesor de la capa de agua condensada en la superficie de la lata se puede estimar el incremento de temperatura del líquido. ¿Cuántos grados centígrados son debidos al calor latente de condensación? El cálculo (sin pérdidas) es sencillo. El área superficial de la lata es de unos 300 cm², por lo que la capa de condensación delgada, pongamos que con un espesor medio de unos 0,1 mm, contiene unos 3 gramos de agua. El calor latente de condensación del agua cerca de 0 ºC es de 600 cal/g, por lo que si todo el calor latente se transfiere a los 33 cl de líquido (supuesto que todo es agua), la temperatura sube en 3 * 600 / 333 ≈ 5,4 ºC. Por supuesto, este cálculo desprecia otros efectos y sobreestima el efecto de la condensación al no considerar ningún tipo de pérdidas. Un cálculo teórico detallado es más complicado. Lo más fácil es realizar el experimento en laboratorio bajo condiciones controladas. Y más fácil aún es que otros lo hagan por tí, como Dale R. Durran, Dargan M. W. Frierson, “Condensation, atmospheric motion, and cold beer,” Physics Today 66: 74-75, April 2013 [copia gratis]. Los detalles del experimento (realizado por estudiantes de grado) en Dale R. Durran, Dargan M. W. Frierson, “An experiment uses cold beverages to demonstrate the warming power of latent heat,” Physics Today, Supp. Info., March 28, 2013.

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Lo que pasa dentro de una tetera mientras se calienta el agua

El transporte de calor en el agua dentro de un tetera puesta al fuego pasa de forma sucesiva por estar dominado por la conducción, la convección y la ebullición. Mirar en el interior de una tetera es muy difícil, por ello, para ilustrar estos tres fenómenos y las transiciones entre ellos, este vídeo utiliza una celda de Hele-Shaw: el líquido se encierra en un contenedor rectangular delgado formado dos placas de cristal transparente de 50 mm por 25 mm, puestas en vertical y separadas por 1 mm de distancia; la celda se calienta por abajo mientras la parte superior está abierta. Para reconstruir los perfiles de temperatura los autores han utilizado un curioso mecanismo, mirar un retícula y ver cómo se deforma la imagen por el cambio del índice de refracción del líquido caliente. En lugar de agua han utilizado etanol porque su punto de ebullición (78 ºC) es más bajo. El vídeo participa en la APS-DFD Gallery of Fluid Motion 2012 #83753. Más información en S. Wildeman, H. Lhuissier, C. Sun, D. Lohse, “Inside a kettle,” arXiv:1210.3693, Subm. 13 Oct 2012.

XXXIV Carnaval Física: La física de las torres de perdigones de Jeréz

En 1782, el británico William Watts patentó una nueva tecnología para la fabricación de perdigones de plomo para munición, las “torres de perdigones” que reemplazaron el uso de moldes o la inmersión de gotas de plomo en barriles de agua. En estas torres se dejan caer gotas de plomo desde una gran altura (en Baltimore, Maryland, EEUU, hay una que alcanza los 71 m) que adoptan una forma esférica mientras se enfrían durante su caída libre gracias a la tensión superficial. Hay torres de perdigones por todo el mundo (en España las hay en Jerez y en Sevilla). En un torre moderna de finales del s. XX se producen unos diez mil perdigones por segundo. Se vierten unas cinco toneladas de plomo fundido por hora en un recipiente de cobre con 2400 agujeros en su fondo. Los chorros de plomo fundido en caída libre, casi de forma inmediata, se ponen a gotear gracias a la inestabilidad de Plateau-Rayleigh, de manera similar a como gotea un grifo de agua con un caudal bajo. ¿Cómo depende el tamaño del perdigón de la altura de la torre? Nos explican la física y la termodinámica de las torres de perdigones Trevor C. Lipscombe, Carl E. Mungan, “The Physics of Shot Towers,” The Physics Teacher 50: 218-220, April 2012 [acceso gratuito]. He obtenido los dibujos que abren esta entrada de “Metalurgia,” Colectivo Proyecto Arrayanes (gracias a César @EDocet).

Una gota de plomo líquido de masa m cae desde una altura H en una torre de perdigones. La solidificación de la gota requiere una energía igual a  m L, donde L = 24,7 kJ/kg es el calor latente de fusión del plomo. En la parte inferior de la torre hay una cuba de agua que amortigua el impacto y enfría los perdigones hasta la temperatura ambiente. Para evitar la producción de grandes cantidades de vapor de agua, la temperatura del perdigón al alcanzar el agua debe ser menor que el punto de ebullición del agua. Por tanto, la altura de la torre debe garantizar que tras su solidificación, el perdigón debe perder una energía térmica adicional durante su vuelo de al menos m c ΔT, donde c = 128 J /kg/K es el calor específico del plomo y ΔT = 227 K es la diferencia de temperatura entre el punto de fusión del plomo (600 K) y el punto de ebullición del agua (373 K). Un cálculo termodinámico sencillo en función del tiempo de caída (que se puede estimar suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad al cuadrado, pues el número de Reynolds para este problema ronda los 2500) y del coeficiente de transferencia de calor del perdigón con el aire, permite obtener (los detalles son sencillos y se pueden consultar en el artículo de Lipscombe y Mungan) que el radio del perdigón R está relacionado con la altura H de la caída y la masa original de la gota de plomo están relacionados por la fórmula

R = α H5/8, donde α = 1,2 × 10-4 m3/8.

Esta fórmula sublineal implica que un perdigón de hasta 1,2 mm de radio se puede producir con una torre de al menos 40 metros. Para producir un perdigón con un radio de 1,9 mm se requeriría el doble de altura, unos 80 metros.

En resumen, los detalles del análisis termodinámico de la fabricación de perdigones en un torre de caída libre no son complicados y pueden ser utilizados para ilustrar la termodinámica de la transferencia de calor en cursos de física y/o ingeniería.

Esta entrada participa en la en la XXXIV Edición del Carnaval de la Física, alojada en esta ocasión en el blog colaborativo Hablando de Ciencia.

El demonio de Maxwell cuántico que convierte información en energía

La segunda ley de la termodinámica afirma que en un sistema aislado la entropía nunca decrece. El demonio de Maxwell (1867) logra violar esta ley actuando directamente sobre los grados de libertad microscópicos del sistema. Szilard demostró que un demonio de Maxwell clásico puede extraer de un ciclo termodinámico como mucho un trabajo igual a k T log(2), donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Físicos japoneses han demostrado que un demonio de Maxwell cuántico puede extraer hasta el doble, 2 k T log(2), gracias al uso del entrelazamiento cuántico; este valor corresponde a la diferencia entre la información cuántica mutua entre el demonio y el sistema realimentado de control necesario para controlar sus acciones. En este sentido, este trabajo se puede interpretar como la conversión de información en energía. El campo de la termodinámica de la información cuántica promete sorpresas experimentales muy interesantes en los próximos años. Nos lo cuenta KFC, “Entangled Particles Break Classical Law of Thermodynamics, Say Physicists. Japanese physicists show how to extract more energy from entangled particles than is possible with classical thermodynamics,” The Physics ArXiv Blog, August 1, 2012, haciéndose eco del artículo técnico de Ken Funo, Yu Watanabe, Masahito Ueda, “Thermodynamic Work Gain from Entanglement,” arXiv:1207.6872, Subm. 30 Jul 2012.

La figura que abre esta entrada muestra el protocolo de transferencia de entropía que utiliza el demonio de Maxwell cuántico. La parte (a) muestra que los subsistemas A y B están inicialmente entrelazados y hay una entropía negativa debido a la correlación entre ambos subsistemas igual a -I\left(\rho^{A}:\rho^{B}\right). La entropía de los subsistemas A y B se puede reducir una cantidad  I\left(\rho^{A}:\rho^{B}\right) si se realiza una transformación unitaria del estado total. La parte (b) muestra que al realizar una medida del subsistema A se produce una transferencia de entropía del sistema hacia una memoria M. La correlación cuántica entre el sistema AB y la memoria M implica una ganancia de entropía igual a -I\left(\rho^{AB}:X^{M}\right), que se compensa con la entropía positiva que gana la memoria M, igual a I\left(\rho^{AB}:X^{M}\right). La parte (c) muestra el sistema realimentado de control, cuyo papel es clave en el protocolo. Este sistema de control actúa sobre los subsistemas A y B, produciendo una entropía negativa -I\left(\rho^{A}:X^{M}\right) y -I\left(\rho^{B}:X^{M}\right), cuyo origen es la correlación inicial -I\left(\rho^{A}:\rho^{B}\right) y la ganancia debida a la información -I\left(\rho^{AB}:X^{M}\right). Como consecuencia, la entropía total de los subsistemas A y B disminuye y se puede extraer trabajo útil de ellos. La correlación I\left(\rho^{A}:\rho^{B}|X^{M}\right) entre los subsistemas A y B, aunque no nula, no puede ser utilizada para extraer trabajo (al menos que se realice otra transformación unitaria en el sistema total).

Como esta explicación es muy técnica, requiere un comentario para legos (que obviamente incluirá “licencias poéticas” que los japoneses no han podido demostrar en su artículo). El demonio de Maxwell clásico actúa de la siguiente forma. Imagina dos cajas llenas de sendos gases a la misma temperatura. Entre ambas cajas se encuentra una trampilla bajo el control del demonio. El demonio deja pasar las moléculas lentas que se acercan a la trampilla desde la caja izquierda a la derecha, e impide que las moléculas lentas de la derecha salgan de ella. Además, el demonio deja pasar las moléculas rápidas que se acercan a la trampilla desde la caja derecha a la izquierda, e impide que las moléculas rápidas de la izquierda salgan de ella. Como resultado de la acción el demonio, la caja izquierda se calienta (la velocidad promedio de sus moléculas crece) y la caja derecha se enfría. Este gradiente de temperatura nos permite extraer trabajo útil del sistema. En el protocolo de acción del demonio cuántico se supone que las partículas de ambas cajas están entrelazadas, de tal forma que la acción del demonio sobre una de ellas implica la acción sobre la otra (es decir, al dejar pasar una partícula rápida de la caja derecha a la izquierda, también se está dejando pasar una lenta de la izquierda a la derecha). Por ello, la acción del demonio conduce a la producción del doble de trabajo en el caso cuántico que en el clásico.

Cómo medir la eficiencia energética de tu propio coche

Pere Roura (Universitat de Girona) y Daniel Oliu nos cuentan en “How energy efficient is your car?,” AJP 80: 588-593, July 2012, cómo medir de forma práctica la eficiencia energética de tu propio coche. Como ejemplo utilizan su Volkswagen Lupo 3L, un coche diseñado para ser muy eficiente con un motor diésel de tres cilindros, un peso de 830 kg y un consumo récord de solo 3 litros a los 100 km. Según su estudio solo el 28% de la energía del combustible se transfiere a las ruedas, lo que sin lugar a dudas es todo un récord en eficiencia para un vehículo comercial. Sin embargo, también nos recuerda que el 72% de la energía del combustible se pierde por aerodinámica, fricción, pérdidas mecánicas y térmicas. En los vehículos de gasolina, la eficiencia suele ser mucho menor. Para un vehículo típico se estima que solo el 12-13% de la energía del combustible se transmite a las ruedas, según el estudio de Joseph A. Carpenter, Jr. (Department of Energy, USA) et al., “Road Transportation Vehicles,” MRS Bull. 33: 439–444, 2008 [copia gratis], del que he extraído la figura de abajo.

 

Roura y Oliu nos proponen experimentos sencillos que los estudiantes de grado en ingeniería industrial, mecánica y otras titulaciones similares pueden ejecutar solo con conocimiento básicos de mecánica (resistencia del aire y a la rodadura) y termodinámica (ciclos térmicos). No traduciré todo su artículo, solo presentaré un breve resumen con las figuras clave, para que veáis cómo se realizan los experimentos y cómo se obtienen los resultados. Animo a los interesados en más detalles que consulten el artículo en la revista (American Journal of Physics), si tienen acceso, o que le pidan por correo electrónico una copia a Pepe Roura (que seguro que estará encantado por el interés despertado por su artículo).

Lo primero, calibrar el indicador de consumo de combustible del propio coche, comparando el consumo real (en litros por cada 100 km) y la lectura del sensor en una distancia grande, por ejemplo, 850 km. En el caso del Volkswagen Lupo 3L, la pantalla subestima el consumo real por un factor de 0,93.

El primer experimento tiene por objeto medir la eficiencia térmica del motor, comparando el consumo de combustible del coche a velocidad constante en varios tramos de carretera, tanto de pendiente ascendente como descendente. La diferencia entre el consumo de combustible por unidad de distancia cuando se va pendiente arriba (cu) y cuando se va pendiente abajo (cd) es igual a cu − cd = 2 m g h /(η QF d), donde m g h es el cambio en energía potencial del coche y el pasajero, d es la longitud de carretera recorrida, QF es la densidad de energía del combustible (3,56 × 107 Julios por litro para el diésel) y η es la eficiencia térmica del motor.

Este figura muestra el resultado obtenido para el consumo medio y para la eficiencia térmica del motor, cuyo valor está alrededor del 40% (dentro de las incertidumbres experimentales no depende significativamente de la velocidad). Este valor es bastante razonable para un motor diésel y no se puede esperar una eficiencia del motor superior al 40% salvo en los motores de camiones pesados o cuando se usan en sistemas de generación de energía eléctrica. Por supuesto, en este valor de la eficiencia no se han tenido en cuenta las pérdidas mecánicas del motor.

Estimar la resistencia del aire (FR) y la resistencia a la rodadura (FD) se puede realizar midiendo el tiempo (Δt) necesario para incrementar la velocidad del vehículo en una cantidad fija, pongamos Δv = 10 km/h; este tiempo depende de si el vehículo va cuesta arriba Δt+ o cuesta abajo Δt-. Los autores del artículo deducen la fórmula F = FR + FD = (1/Δt+ 1/Δt-) m Δv/2; la figura de arriba muestra que F sigue una trayectoria parabólica con la velocidad F = A + B v2, donde A = 110 N, y B =  0,33 N s2/m2. Como resultado, el coeficiente de fricción de los neumáticos con el asfalto αR, donde FR = αR N, se estima en αR = 0,011, un valor bajo, ya que según otros estudios el valor normal para los neumáticos está entre 0,010 y 0,015.

El coeficiente aerodinámico αD se define a partir de la fórmula  FD = αD ρ S v2/2, donde la densidad del aire ρ = 1,22 kg/m3 (a 500 m sobre el nivel del mar), el área de la sección transversal del coche es S (unos 1,56 m2 para el coche estudiado) y su velocidad media es v. El valor calculado es αD = 0,35, que está en la banda alta de los valores típicos para un coche que están entre 0,3 y 0,35, indicando que el Volkswagen Lupo 3L no es muy aerodinámico.

El consumo de combustible a menos de 2000 rpm es mayor rodando a 80 km/h que a 50 km/h, mientras que a 2700 rpm, este orden se invierte. En esta figura se muestra el efecto en el consumo de la marcha utilizada (cuarta, tercera y segunda) a estas dos velocidades 50 kmh y 80 km/h. La línea continua corresponde al trabajo mecánico (“work”) realizado por el motor, calculado multiplicando el consumo medio de combustible (c) y la eficiencia térmica del motor (η). A 50 km/h, la figura indica que el 60% de la energía del combustible se pierde en forma de calor dentro del motor y sólo el 40% realiza trabajo mecánico (línea gruesa). A 80 km/h el consumo de combustible crece debido al incremento en la resistencia del aire (la resistencia a la rodadura casi no cambia). Por ello, en términos generales, el consumo de combustible es superior a 80 km/h que a 50 km/h. Sin embargo, este orden se invierte por encima de unas 2000 rpm debido al incremento las pérdidas por fricción en el propio motor (que crecen con las revoluciones).

La eficiencia energética global del motor (ηB), llamada en inglés “brake efficiency,” se define como el cociente entre el trabajo útil desarrollado por el motor y la energía del combustible, es decir, ηB = Wu/(QF c), donde Wu es el trabajo útil por unidad de distancia, c es el combustible que se consume a lo largo de cierta distancia y QF es la densidad de energía del combustible. Como muestra la figura de arriba, esta eficiencia energética global no es constante y mejora conforme crece la marcha utilizada. Por ello se suele recomendar conducir a una marcha alta cuando se viaja a mayor velocidad.

Resumiendo todos los resultados se obtiene la figura que abre esta entrada. En un viaje típico, de cada 100 litros de combustible (diésel), solo 40 litros se convierten en trabajo, pero gran parte de este trabajo se consume en la fricción, con lo que solo unos 28 litros se transfieren a las ruedas. Este valor es más alto que el valor típico para un motor de gasolina, que está entre 12 y 13 litros.

Lo interesante de este estudio (aproximado) no son los resultados sino el método. Sencillo y fácil de repetir, cualquiera puede ponerlo en práctica con su propio vehículo, algo especialmente recomendado a los estudiantes de ingeniería. Por supuesto, si algún valiente se atreve que nos cuente sus resultados en los comentarios.

El padre de la física de estado sólido y de la materia condensada: Albert Einstein

Einstein fue el padre de la teoría de la relatividad y uno de los dos abuelos de la mecánica cuántica (junto a Planck). El artículo de 1907 de Einstein sobre la teoría del calor específico de los sólidos introdujo por primera vez la idea de que las vibraciones de la red de átomos de un sólido son responsables de sus propiedades termodinámicas, en particular de su calor específico. Dicho artículo fue el primero de una serie de artículos de Einstein que crearon la física del estado sólido y con ella la física de la materia condensada. La esencia del genio en estado en puro. Nos lo contó Manuel Cardona (Max-Planck-Institut für Festkörperforschung, Stuttgart, Alemania), “Albert Einstein as the Father of Solid State Physics,” pp. 85-114, Cien Años de Herencia Einsteniana, Universitat de Valencia, 2005. El artículo de Cardona, Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica en el año 1988,  forma parte de un ciclo de conferencias de hace un lustro cuyas actas merecen una relectura de vez en cuando. 

Tras su año milagroso (annus mirabilis), 1905, Einstein se dedicó a estudiar la teoría del calor en los sólidos. En concreto, las propiedades dinámicas de los fonones (vibraciones de la red de átomos) en un sólido aislante. La teoría de los electrones en un sólido tuvo que esperar al desarrollo de la estadística de Fermi-Dirac en 1926. Einstein consideró el caso más sencillo, que todos los átomos vibran a la misma frecuencia, sea la frecuencia media de vibración, llamada frecuencia de Einstein en su honor. Estas frecuencias se comportan como bosones, es decir, como fotones, por ello se llaman fonones, por lo que se estudian gracias a la teoría (cuántica) de la radiación de Planck. En 1911, Nernst (Premio nobel de Química en 1920) y su estudiante de doctorado Lindermann extendieron la teoría de Einstein a dos frecuencias de vibración (hoy corresponden a las frecuencias medias de vibración de los fonones llamadas acústicas y ópticas). También dicho año P. Debye estudió la teoría de las vibraciones elásticas de un sólido que incluía tanto un espectro discreto de frecuencias como uno continuo (hasta frecuencia cero). La teoría de Debye es más exacta que la de Einstein (y la de Nernst-Lindermann) para algunos materiales, como el diamante, como muestra la figura que acompaña esta entrada.

La importancia del artículo de Einstein de 1907, desde el punto de vista teórico, como catalizador y origen de toda la física del estado sólido es similar a la del descubrimiento por parte de H. Kamerlingh Onnes de la superconductividad en 1911. De hecho, Einstein escribió un modelo teórico de la superconductividad en 1922, pero sus ideas cayeron en saco roto pues no se conocía la teoría de Fermi-Dirac para un gas de electrones; aún así, su idea de que un estado coherente (hoy diríamos un estado de Bose-Einstein) era clave se confirmó muchas décadas más tarde gracias a la teoría BCS. Ya sabrás que las ideas del indio N. Bose sobre un estado coherente en un gas de fotones (o bosones) son de 1924.

La entropía termodinámica, la entropía de von Neumann y la segunda ley de la termodinámica en sistemas cuánticos mesoscópicos

¿Se puede introducir una entropía termodinámica para un sistema cuántico mesoscópico? Sí. ¿Qué relación hay entre la entropía de von Neumann y dicha entropía termodinámica? No son iguales cuando el sistema está acoplado fuertemente. ¿Es válida la segunda ley de la termodinámica? Para la entropía termodinámica sí, pero para la entropía de von Neumann no. Estas cuestiones pueden parecer baladíes pero han corrido muchos ríos de tinta discutiéndolas desde diferentes enfoques. La figura la he extraído de un artículo reciente que me ha hecho recordar lo obvio, que no por ampliamente conocido y reiterado, ha de ser obviado cuando se discuten este tipo de cuestiones. La figura compara la entropía (termodinámica) de un conjunto de osciladores armónicos cargados (curva en negro), con la entropía (termódinámica) de dichos osciladores acoplados por un campo magnético externo (curva en rojo) y con la entropía de von Neumann para dichos osciladores (curva en azul). La entropía de von Neumann se desvía de la entropía termodinámica para un sistema mesoscópico que esté entralazado con su entorno. En el régimen de acoplamiento débil, ambas entropías se pueden identificar, pero para acoplamiento fuerte, son muy diferentes. La entropía de von Neumann no tiene por qué ser nula en el cero absoluto de temperaturas y por tanto no puede ser utilizada para definir una temperatura del sistema. Sólo la entropía termodinámica permite hacerlo. El uso de la entropía de von Neumann para afirmar que la física de los sistemas cuánticos mesoscópicos viola la segunda ley de la termodinámica es un sinsentido en todos los sentidos. Lo que siempre hay que tener claro es que la entropía termodinámica es la que debe ser usada para verificar la segunda ley de la termodinámica y que la entropía de von Neumann tiene otros usos (medir la cantidad total de información cuántica en el sistema o cuantificar el entrelazamiento entre sus estados). Como ya hemos dicho en múltiples ocasiones en este blog, lo obvio, si bueno, dos veces obvio. El artículo en cuestión es Malay Bandyopadhyay (Universidad de Toronto, Canadá), “Does the second law hold in the quantum regime?,” Physica Scripta 81: 065004, 19 mayo 2010 [artículo de acceso gratis], que me ha hecho recordar G. W. Ford, R. F. O’Connell, “A Quantum Violation of the Second Law?,” Physical Review Letters 96: 020402, 18 January 2006 [preprint en ArXiv]. Más información, valga la redundancia, sobre información, información cuántica y entropía de von Neumann en Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, “Información y computación cuántica,” Nature 404: 247-255, 2000 (traducción y revisión de Adán Cabello, 2002).

Las cuatro leyes de la termodinámica describen de forma fenomenológica los sistemas físicos macroscópicos y permiten determinar sus cambios de volumen, presión y temperatura. La ley cero introduce el concepto de equilibrio térmico y permite definir el concepto de temperatura. La primera ley es la ley de la conservación de la energía. La segunda ley introduce el concepto de entropía y que en un sistema fuera del equilibrio la entropía crece asintóticamente hasta alcanzar un valor máximo constante en equilibrio. Finalmente, la tercera ley afirma que conforme la temperatura se acerca al cero absoluto, la entropía del sistema se aproxima a un valor mínimo constante. Es decir, la entropía depende de la temperatura y se puede definir el concepto de cero absoluto. Estas leyes para sistemas físicos macroscópicos se pueden deducir/entender en el contexto de la mecánica estadística (clásica) y la mecánica estadística cuántica. En un sistema cuántico (microscópico) con muy pocos grados de libertad, estas leyes y estos conceptos termodinámicos pierden su significado. Pero, ¿qué pasa en un sistema (cuántico) mesoscópico?

La entropía de von Neumann para muchos sistemas cuánticos mesoscópicos no cumple con la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, para todo sistema mesoscópico se puede definir una entropía termodinámica, por ejemplo a partir de su energía libre, que sí cumple con la segunda ley de la termodinámica (el artículo de Ford y O’Connell en PRL nos indica una posible manera de hacerlo). En sistemas mesoscópicos débilmente acoplados con el entorno las entropías de von Neumann y termodinámica coinciden, pero en sistemas fuertemente acoplados con el entorno no es así. Bandyopadhyay nos ilustra estas cuestiones utilizando dos ejemplos, un sistema de osciladores cargados acoplado a un baño térmico sometido, por un lado, a un campo magnético externo y, por otro lado, a un campo eléctrico rápidamente oscilatorio. Cuando el acoplamiento es finito, aunque sea pequeño, el estado fundamental (el de mínima energía) del sistema acoplado no coincide con el sistema libre, siendo la diferencia proporcional a la energía de acoplamiento. Este exceso de energía en el cero absoluto de temperaturas, lleva a inducir erróneamente que se observa una violación cuántica de la segunda ley de la termodinámica (por ejemplo, gracias a transiciones por efecto túnel desde el estado fundamental con acoplamiento al estado fundamental libre). Esta violación es muy pequeña, por supuesto, pero es una violación al fin y al cabo. Una violación que permitiría un perpetuum mobile cuántico, permitiría un proceso cíclico para extraer energía “gratis” del entorno cuántico. Extraer energía “gratis” del vacío cuántico es un sueño de novela de ciencia ficción y quizás en dicho reino permanecerá siempre.

Entropía termodinámica, entropía de von Neumann para la matriz de densidad reducida para un sistema cuántico, entropía de la información de Shannnon, entropía en agujeros negros, etc. Muchas entropías que a veces coinciden pero que a veces no lo hacen. Muchas entropías con las que tenemos que lidiar con extremo cuidado para no abusar de su uso, para no violar el contexto en el que son aplicables. Contextos que no son disjuntos, pero tampoco coincidentes.

La gravedad como una manifestación macroscópica de la termodinámica del vacío en teoría cuántica de campos

Dibujo20090902_general_gravitational_lagrangian_results_in_thermodynamicsLa segunda ley de la termodinámica y la gravedad de Einstein están intimamente relacionadas. Las ideas de Bekenstein y Hawking que asocian entropía y temperatura a los agujeros negros han llevado a algunos autores a pensar que la gravedad tiene un origen termodinámico. Ted Jacobson ya lo propuso en 1995: las ecuaciones de Einstein son ecuaciones de estado para el vacío cuántico. Los españoles Elizalde y Silva demostraron en 2008 que lo mismo ocurre para cualquier teoría de la gravedad que dependa del escalar de Ricci. Ahora Ram Brustein y Merav Hadad demuestran que también es cierto para cualquier teoría de la gravedad que dependa de la métrica. Más general, casi, imposible. Ideas que nos llevan a una nueva vía para entender la gravedad. El artículo original de Ted Jacobson, “Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State,” Phys. Rev. Lett. 75: 1260-1263, 1995. Emilio Elizalde, Pedro J. Silva, “f(R) gravity equation of state,” Phys. Rev. D 78: 061501, 2008. El nuevo Ram Brustein, Merav Hadad, “Einstein Equations for Generalized Theories of Gravity and the Thermodynamic Relation dQ = T dS are Equivalent,” Phys. Rev. Lett. 103: 101301, 2009.

Cualquier horizonte de sucesos acelerado tiene una relación entre su entropía y su área similar a la de un agujero negro. Esta relación es muy general como se puede demostrar utilizando la carga de entropía de Noether. ¿Qué pasa con otras teorías de la gravedad? Sorprendentemente, esta relación es muy general e independiente de la teoría utilizada. ¿Por qué? No se sabe, pero Brustein y Hadad sugieren que es debido a que la gravedad es un fenómeno de origen termodinámico. ¿Termodinámica de qué? Ellos creen que es la termodinámica del vacío (estado de mínima energía) en teorías cuánticas de campos (en las que se asume la relatividad especial, pero no la general). Brustein y Hadad han sido capaces de identificar las cantidades termodinámicas más importantes (como temperatura y entropía) a partir de un lagrangiano para una teoría de la gravedad completamente general: basta que dependa del tensor métrico fundamental. Más aún, en dicha teoría si el tensor de energía-momento es semidefinido positivo, necesariamente se cumple la segunda ley de la termodinámica.

¿Por qué están íntimamente ligadas la termodinámica y la gravedad? Es difícil ofrecer una respuesta en la actualidad. Los autores especulan que la entropía de los agujeros negros es el resultado del entrelazamiento (entanglement) cuántico de grados de libertad ocultos (que tendrá que describir una teoría cuántica de la gravedad).