La demostración de Gödel de la existencia de Dios

Ha vuelto a ser noticia la demostración ontológica del matemático Kurt Gödel (1906–1978) de la existencia de Dios. Se trata de un simple ejercicio de lógica modal que Gödel realizó en 1941 sin mayor interés desde el punto de vista teológico. Su idea era corregir el gran problema de la demostración de San Anselmo. Aunque Gödel era creyente, no era practicante, por lo que nunca habló de la demostración hasta febrero de 1970, cuando pensaba que se acercaba la hora de su muerte. Le enseñó la demostración a su alumno Dana Scott, filósofo y matemático, quien hizo una copia para poderla publicar, pero Gödel no se lo permitió. Tras su muerte, Scott publicó dos versiones de la demostración en 1987 (de hecho, Gödel atesoraba varias). Desde entonces se han publicado muchas otras versiones que refinan los detalles de la demostración. En esta entrada me centraré en la versión de C. Anthony Anderson, “Some emendations of Gödel’s ontological proof,” Faith and Philosophy 7: 291-303, 1990, y su discusión detallada por Christopher Small, “Kurt Gödel’s Ontological Argument,” Part I, Part II & Part III.

Recomiendo leer la entrada en la wikipedia «Gödel’s ontological proof,» a Trébede, «La prueba matemática de Gödel de la existencia de Dios,» Rescoldos en la trébede, 30 Jun 2011, y la divertida e ingeniosa entrada de Enrique, «Pikachu existe y puedo demostrarlo,» Cuentos Cuánticos, 02 Nov 2013. Prometí mencionar a Pikachu en esta entrada y más abajo lo encontrarás.

Ante todo, te aclaro lo que no vas a encontrar en esta entrada: una explicación en detalle la demostración (la figura de abajo es la versión que aparece en la wikipedia). Lo que pretendo es justificar el tipo de demostración siguiendo la línea de la discusión de Christopher Small. Por supuesto, debes tener presente que en todas las demostraciones matemáticas de la existencia de Dios el argumento es similar. Se define un objeto matemático llamado “Dios” que cumple con una propiedad muy sencilla y se introducen una serie de reglas de razonamiento lógico (axiomas) asociados a dicha propiedad. La demostración matemática procede paso a paso hasta asegurar la existencia de este objeto en un universo en el que sean válidas dichas reglas. Nada más y nada menos. No hay ninguna relación entre el objeto matemático “Dios” y lo que tú puedas pensar que es Dios, seas creyente o ateo.

Hazlo y publícalo ya, aunque se pueda hacer mejor, no importa, pero publícalo ya

En la ciencia actual el prestigio está asociado al impacto y éste al número de citas recibidas. Hacer algo importante sin molestarse en afinar los detalles es mucho mejor, pues los revisores no pondrán inconvenientes y el trabajo recibirá gran número de citas de quienes refinen los detalles. Yitang (Tom) Zhang (de la Universidad de New Hampshire) ha demostrado que existen infinitos pares de primos separados menos de una distancia de 70.000.000; es obvio que no es lo mismo que demostrar la conjetura de los primos gemelos, pero no importa. Lo importante es saber si la constante 70.000.000 puede ser reducida usando las técnicas de Zhang y por supuesto que puede serlo, y mucho. ¿Tiene que molestarse Zhang en hacerlo? No, todo lo contrario, para ser una persona de éxito tiene que dejar que los demás lo hagan por él, pues ello incrementará su «índice de impacto» (quiero decir, su número de citas) y cuanto antes publique él su resultado mucho mejor. La demora cercena el éxito de los demasiado egoístas que ignoran como funciona la ciencia actual.

La página web «Bounded gaps between primes,» PolyMath, [última edición hoy] 24 jun 2013, nos indica que los 70.000.000 del 14 de mayo obtenidos por Zhang bajaron a 4.801.744 el 4 de junio, a 248.898 el 14 de junio, y, poco a poco, hasta hoy, 24 de junio, hasta sólo 10.206, un número que seguirá bajando durante meses y años. Por supuesto, todo el mundo sabe que el número nunca bajará hasta 2 utilizando las técnicas de Zhang, son demasiado «torpes,» pero la cuestión no es hasta dónde bajará este número, que bajar más, bajará más, si no el gran número de citas que está recibiendo el trabajo de Zhang por ser un trabajo inacabado del tipo «hazlo y pubícalo ya, y no te molestes en mejorarlo que otros lo harán más rápido y mejor que tú.» En ciencia, siempre se citará al padre de la idea.

Cuento esto porque muchos de los lectores de este blog creen que han descubierto algo «grande» y creen que si lo publican algún «listo» se lo robará. Así no funciona la ciencia y lo que se publica por la vía estándar queda para siempre. Los que ocultan sus supuestos descubrimientos no hacen ciencia, hacen paraciencia. Y la paraciencia siempre queda en el olvido.

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones

El producto vectorial, que a partir de dos vectores nos da un tercer vector, es bien conocido en un espacio de tres dimensiones. ¿Se puede definir un producto vectorial en más de tres dimensiones? Beno Eckmann demostró en 1943 usando topología algebraica que el producto vectorial en dicho caso solo existe en siete dimensiones. De hecho, la relación entre el producto vectorial en siete dimensiones y los octoniones es la misma que entre el tridimensional y los cuaterniones; hay una relación íntima entre las propiedades del producto vectorial y el teorema 1,2,4,8 de Adolf Hurwitz (1898). Se han publicado varias demostraciones más sencillas que la de Eckmann, pero destaca la más reciente, Peter F. McLoughlin, «When does a cross product on R^{n} exist?,» arXiv:1212.3515 (que agradece los comentarios y revisión del experto español Alberto Elduque). La nueva demostración se puede calificar de «elemental» y por tanto se puede incorporar en un primer curso de álgebra lineal y geometría.

VIII Carnaval de Matemáticas: La paradoja de Banach-Tarski y el axioma de elección

Esta tira cómica de Xkcd nos ilustra la paradoja de Banach-Tarski y nos recuerda la necesidad de usar el axioma de elección en su demostración. Sin embargo, el teorema de Banach-Tarski se puede demostrar sin utilizar el axioma de elección, basta usar el teorema de Hahn-Banach, que equivale a una especie de versión débil del axioma de elección. Os recuerdo a los despistados que el teorema de Banach-Tarski afirma que se puede dividir una esfera en un conjunto finito de partes disjuntas (conjuntos no medibles según Lebesgue) que pueden ser rotadas, trasladadas y vueltas a unir para dar lugar a dos esferas idénticas a la original. Este teorema se suele demostrar utilizando el axioma de elección. Los interesados pueden encontrar una demostración magistralmente simple del genial Terence Tao en su exposición «The Banach-Tarski Paradox,» Classroom Notes, UCLA, 2004. Sin embargo, el axioma de elección no es necesario. Se puede demostrar el teorema de Banach-Tarski utilizando el teorema de Hahn-Banach como demostró Janusz Pawlikowski (1991) como corolario trivial de la demostración de Matthew Foreman y Friedrich Wehrung (1991) de que dicho teorema implica la existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue. Quizás debemos recordar que el axioma de elección implica el teorema de Hahn-Banach, que se puede demostrar utilizándolo, pero no al contrario, ya que el teorema de Hahn-Banach puede ser demostrado sin utilizar el axioma de elección. No he podido resistir la tentación de hablar del teorema de Banach-Tarski como mi contribución a la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas organizado este mes por Juan Martínez-Tébar, «Los Matemáticos no son Gente Seria.» Quizás es una contribución muy técnica, pero es que Claudi y Tarski me recuerdan (gracias a Google) el artículo Enric Trillas y Clausi Alsina, «Logic: going farther from Tarski?,» Fuzzy Sets and Systems 53: 1-13, 1993 (el título promete más de lo que ofrece el artículo pero eso es lo de menos aquí).

El axioma de elección nos dice que si tenemos un conjunto no vacío, X, entonces para cada subconjunto no vacío S de X es posible elegir algún elemento s de S. Esto es, existe una función f que asigna a cada conjunto no vacío S de X un representante f(S) en S. Puede parecer un resultado matemático «obvio» (o intuitivo), pero cuando hablamos de conjuntos arbitrarios, cuyo cardinal puede ser infinito, lo obvio a veces no es tan obvio. Lo más curioso es que es un resultado matemático que no se puede demostrar (salvo a partir de algún resultado equivalente, como que todo espacio vectorial tiene una base). Por ello se denomina axioma. Más aún, este axioma es independiente del resto de los axiomas de la matemática (la aritmética de Zermelo-Fraenkel, por ejemplo), como demostró Paul J. Cohen en 1963 (Medalla Fields en 1966 por ello) utilizando ideas previas de Kurt Gödel (circa 1935-1938). Los matemáticos constructivistas prescinden del axioma de elección y desarrollan una matemática completa y consistente sin utilizarlo para nada, una matemática que, para sorpresa de muchos, es casi idéntica a la matemática que lo utiliza. Aún así, muchos creen que para todo teorema demostrado utilizando el axioma de elección, si existe su demostración sin dicho axioma, esta última es mucho más complicada que la primera. Aunque no siempre es así.

Antes de presentar la prueba de Terence Tao, un breve comentario sobre Terry. Tao obtuvo la Medalla Fields en 2006 en el ICM de Madrid y sigue siendo una referencia todoterreno en la matemática actualidad. Terry es el matemático bloguero por excelencia y su blog «What’s New» es editado todos los años en forma de libro por la American Mathematical Society. Si eres matemático, te recomiendo dicho blog, la mayoría de las veces muy técnico, pero siempre con grandes ideas de las que disfrutar.

Al grano. El grupo de Lie de las rotaciones en el el espacio tridimensional, SO(3), es un grupo continuo cuyo cardinal es infinito no numerable (hay tantas rotaciones en el espacio como valores reales posibles para tres ángulos). SO(3) contiene subgrupos G cuyo cardinal es infinito numerable (cuyas rotaciones tienen un subíndice natural, un número como 1, 2, 3, …). La primera versión del teorema de Banach-Tarski afirma que existe un subgrupo numerable G de SO(3) que se puede partir en cuatro trozos (subconjuntos disjuntos), convenientemente rotados, permiten construir dos copias idénticas de G cada una formada solo por dos de dichos trozos. En símbolos podemos escribir el siguiente teorema

Teorema: Existe un subgrupo numerable G of SO(3) con una partición G=G₁∪G₂∪G₃∪G₄, y dos rotaciones A,B en SO(3) tales que G=G₁∪ AG₂ y G=G₃∪ BG₄.

Demostración: Lo primero que se necesitan son dos rotaciones A y B tales que el subgrupo G de SO(3) generado por las cuatro rotaciones A, B, A^-1, B^-1 sea un subgrupo de cardinal numerable no finito; este subgrupo está formado por I, A, B, A^-1, B^-1, AB, AB^-1, BA, BA^-1, B^-1A, B^-1A^-1,AAB, AAB^-1, etc., por todas las «palabras» con un número arbitrario de «letras» formadas por las cuatro «letras» A, B, A^-1, B^-1. Es muy fácil encontrar dos rotaciones tales que no hay dos «palabras» iguales en este conjunto de «palabras» (los detalles y el álgebra los postergaremos al final de esta entrada para no «ensuciar» la demostración).

Llamemos G(A) a todos las «palabras» de G que empiezan con A (es decir, por I, A, AB, AB^-1, AAB, AAB^-1, ABA, ABA^-1, etc.); ídem para G(B), G(A^-1) y G(B^-1). Obviamente, el grupo G se puede partir de la forma G={I}∪G(A)∪G(B)∪G(A^-1)∪G(B^-1), donde por {I} se denota el grupo trivial formado solo por el elemento identidad. Ahora viene la sorpresa. El grupo G también se puede escribir como G=G(A)∪ AG(A^-1), ya que todas las «palabras» de G empiezan por A o son una palabra que se obtiene de quitarle la A^-1 inicial a una palabra de G(A^-1), es decir, pertenecen a G(A) o a AG(A^-1).  De igual forma G=G(B)∪ BG(B^-1).

Casi hemos acabado, pero no hemos acabado aún, ya que hemos partido G en 5 partes y hemos obtenido dos copias de G usando solo cuatro de dichas partes, pero queríamos partir G en cuatro partes. Necesitamos añadir la identidad a G(A) para que se transforme en G₁. Piensa un poco, si quieres, pero la respuesta es muy fácil, bastan palabras por la inversa de A, de tal forma que G₁=G(A)∪{ I, A^-1, A^-2, A^-3, …}, y G₂=G(A^-1)\{A^-1, A^-2, A^-3, …} (el operador \ es la diferencia de conjuntos). Obviamente, G₃=G(B), G₄=G(B^-1), y ya hemos acabado la demostración.

El teorema anterior no requiere el axioma de elección, pero el siguiente corolario, que extiende dicho resultado del grupo de rotaciones numerable G a la esfera S² sí requiere su uso.

Corolario (paradoja de Hausdorff):  Existe un subconjunto numerable C de la esfera S² y una descomposición S²\C = Ω₁∪ Ω₂ ∪ Ω₃∪ Ω₄ tal que S²\C = Ω₁∪ AΩ₂ ∪ Ω₃∪ BΩ₄, para dos matrices de rotación A, B en SO(3).

Demostración: Sean A, B, G, G₁, G₂, G₃, y G₄ los mismos que en el teorema anterior. Cada rotación en G tiene dos puntos fijos en la esfera S² (la intersección en S² de su eje de rotación); sea C la unión de todos estos puntos fijos (obviamente un subconjunto numerable de S²). El grupo de rotación G actúa de forma libre sobre S²\C  (es decir, para todo x en dicho conjunto y g en el grupo, la ecuación gx=x tiene como única solución g=I, la identidad). Tomemos el subconjunto X de S²\C obtenido tomando un representante en S²\C de cada órbita del grupo G, entonces el axioma de elección nos permite obtener un recubrimiento S²\C = ∪_x Gx (donde la unión es para todos los x en X); recuerda que la órbita Gx son todos los elementos que se obtienen de aplicar cualquier elemento g de G a x. Ahora tomando por definición Ω_i = ∪_x G_ix, el corolario queda demostrado a partir del teorema anterior.

El conjunto numerable C puede ser eliminado utilizando el siguiente lema.

Lema. Sea C un subconjunto numerable de la esfera S². Entonces existe una descomposición S² = Σ₁ ∪ Σ₂, tal que S²\C = Σ₁ ∪ R Σ₂, para alguna rotación R en SO(3).

Demostración: Tomemos una rotación aleatoria R. Como C es numerable, podemos asegurar con probabilidad igual a la unidad que cualquier par de elementos de C pertenece a R-órbitas diferentes, es decir, Rⁱ ∩ R^j = Ø, para i ≠ j. Eligiendo Σ₂= C ∪ RC ∪ R²C ∪ …, y Σ₁= S²\Σ₂, obtenemos el resultado que queríamos demostrar.

Combinando este lema con el corolario anterior obtenemos un nuevo corolario.

Corolario. Existe una partición de S² = Γ₁ ∪ Γ₂ ∪ … ∪ Γ₈, y matrices de rotación R₁, R₂, … R₈ de SO(3) tales que S² = ∪_i R_i Γ_i = ∪_j R_j Γ_j donde i=1,2,3,4 y j=5,6,7,8.

Finalmente, como la bola (esfera sólida) B³ (la bola sin su punto central) en coordenadas polares corresponde al producto de la esfera S² y el intervalo (0,1], se puede concluir lo siguiente.

Corolario (paradoja de Banach-Tarski). Existe una partición de la bola B³ = E₁ ∪ E₂ ∪ … ∪ E₈, y matrices de rotación R₁, R₂, … R₈ de SO(3) tales que B³ = ∪_i R_i E_i = ∪_j R_j E_j donde i=1,2,3,4 y j=5,6,7,8.

En la demostración original de la paradoja de Banach-Tarski se elimina el problema de que el centro de la bola no esté incluido gracias al uso de traslaciones, además de rotaciones (los llamados movimientos en el espacio). Tao nos deja completar la prueba para este caso como ejercicio. Ahora bien, os lo ahorraré ya que para la «duplicación» de la calabaza en la tira cómica de Xkcd basta este resultado (las calabazas de Halloween son huecas).

Este resultado matemático puede resultar paradójico pero es importante recordar que alguno de los conjuntos E_i tiene que ser no medible según Lebesgue, lo que quiere decir que es un conjunto similara a un fractal, un conjunto muy intrincado y difícil (si no imposible) de imaginar. Los conjuntos que no son medibles según Lebesgue son «bestias» o «monstruos» más allá de lo que nuestra imaginación (no matemática) puede alcanzar.

Ahora para acabar nos quedaría demostrar que existen la rotaciones A,B en SO(3) que utilizamos en el teorema. Lo más sencillo es escribir dos ejemplos concretos de forma explícita: A será la matriz de rotación respecto al eje z con un ángulo θ tal que cos(θ)=3/5 y sin(θ)=4/5; y B es la matriz de rotación respecto al eje x también con un ángulo  θ tal que cos(θ)=3/5 y sin(θ)=4/5; sus inversas  A^-1 y B^-1 son obviamente las matrices correspondientes a un ángulo -θ (las matrices 3×3 traspuestas de las anteriores). Es fácil demostrar que ninguna composición no trivial de estas cuatro matrices da la identidad; el secreto es que los números 3, 4 y 5 son primos entre sí. Eliminando el denominador común, basta probar que ninguna composición no trivial de 5A, 5B, 5A^-1 y 5B^-1 da una matriz divisible entre 5. Un resultado casi obvio que dejamos al lector, para que piense un poco.

Con esto damos por terminada nuestra pequeña incursión matemática en la paradoja de Banach-Tarski. Espero no haber aburrido a los que odian la matemática porque no la entienden y tampoco a los que la aman porque las demostraciones hayan sido demasiado técnicas. Pero un Carnaval de Matemáticas bien merece algún que otro artículo que haga una incursión técnica en las paradojas para la intuición que atesora el Gran Libro de las demostraciones de Erdös.

Pierre de Fermat, la demostración de su último teorema y la filología clásica

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos cuadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra cuadratum potestandem in duos ejusdem nominis dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caparet.

Esta famosísima frase fue escrita por Pierre de Fermat en el margen de una página de un ejemplar del libro «La Aritmética» de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621). La traducción al español que nos ofrece la wikipedia es la siguiente:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él.

Matemáticamente: la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no admite  soluciones enteras para n = 3, no admite soluciones enteras para n = 4, y «generalizando» no admite soluciones para n> 4.

La mayoría de los historiadores de la ciencia creen que Fermat conocía la demostración para n=4 (aquí tenéis una posible versión) y probablemente también para n=3 (posiblemente en la misma línea de una de las demostraciones de Euler, aquí tenéis una en esta línea). ¿Conocía la prueba para n>4? La opinión de la mayoría de los historiadores es que no, es decir, que él creía que sí la conocía pero que su demostración era errónea (quizás en la línea de alguna de las demostraciones erróneas de Euler).

Vittorio Pizzigoni, «Classical Philology. Notes on Fermat’s way of thinking,» ArXiv, 29 Dec 2009 [italiano], afirma que la Fermat no conocía la demostración gracias a un sencillo análisis etimológico y filológico de la frase escrita en el margen. Fermat usa la palabra «generaliter» y según Vittorio el significado exacto de su frase es que a partir de una demostración de los casos n=3 y n=4, Fermat creía que era «trivial» demostrar el caso general, es decir, la «demostración» de Fermat se basa fundamentalmente en «generalizar» los casos n=3 y n=4. Vittorio propone siguiendo esta línea de pensamiento, una demostración extraordinariamente sencilla (e incorrecta) para n>4, que según él podría ser la demostración que tenía en mente el propio Fermat.

Obviamente, este tipo de demostraciones sólo tienen sentido si son presentadas por historiadores expertos en la matemática de Pierre de Fermat y su época. No es el caso de Vittorio. Pero, bueno, me ha llamado la atención el artículo. Si alguno sabe italiano, le animo a leerlo, son sólo dos páginas.

Posible demostración breve del teorema de los cuatro colores en sólo 60 páginas

La demostración del teorema de los cuatro colores de Kenneth Appel y Wolfgang Haken obtenida mediante ordenadores en 1976 no gusta a muchos matemáticos pues es extremadamente larga (cientos de páginas de análisis matemático que concluyen con el análisis de 1936 contraejemplos que han de ser verificados sistemáticamente por ordenador). La demostración se ha simplificado un poco gracias al trabajo de Robertson, Sanders, Seymour y Thomas en 1997, pero todavía requiere ordenadores y es mucho más larga de lo que cualquier matemático puede comprender directamente. ¿Es posible demostrar el teorema de los cuatros colores de forma breve? Jin Xu proclama que ha obtenido dicha demostración en sólo 60 páginas de matemáticas, «Mathematical Proofs of Two Conjectures: The Four Color Problem and The Uniquely 4-colorable Planar Graph,» ArXiv, 9 Nov 2009. Desafortunadamente todavía no he tenido tiempo de leerme dicha demostración (necesitaré una semanita por lo menos).

Esta entrada es sólo para lanzar la liebre a ver si alguien sabe algo más que yo sobre lo que opinan los expertos al respecto de este nuevo candidato a demostración breve del teorema de los cuatro colores.

El problema de Rado del hombre y el león en tiempo finito tiene estrategias ganadoras para ambos

El problema de Richard Rado del león y el hombre considera a ambos con igual velocidad máxima encerrados en un disco cerrado (el ruedo de una plaza de toros) y se pregunta ¿alcanzará el león al hombre? ¿Habrá una estrategia óptima para que el hombre evite ser atrapado? Piensa un poco antes de seguir leyendo. El problema se formuló en los 1920 y se pensaba que el hombre siempre sería atrapado, pero en 1952 Besicovitch demostró que podía sobrevivir. ¿Has pensado en el problema? ¡A qué esperas, hazlo ahora! ¿Existe una estrategia ganadora siempre para alguno de los dos? Usando la estrategia de Besicovitch el hombre gana siempre si el juego dura un tiempo infinito. ¿Qué pasa si el juego dura un tiempo finito? En un disco, el hombre gana siempre. ¿Qué pasa en una región más general que un disco? Si la región es un espacio métrico compacto (cerrado y acotado) entonces o el león o el hombre o los dos tienen una estrategia ganadora. ¿Los dos? Sí, por paradójico que parezca, hay estrategias ganadoras que dependen del tiempo final, en función de este tiempo o gana siempre el hombre o gana siempre el león, para ciertas regiones compactas. La matemática a veces nos ofrece este tipo de sutilezas. Nos lo cuentan B. Bollobás, I. Leader, M. Walters, «Lion and Man — Can Both Win?,» ArXiv, Submitted on 14 Sep 2009.

La estrategia ganadora de Besicovitch para el hombre en el disco es la siguiente. Supongamos que el hombre y el león son puntuales. Se divide el tiempo en una sucesión de intervalos de longitud . En el paso el hombre corre a máxima velocidad durante un intervalo en una línea recta perpendicular a su radio vector inicial en este paso en la dirección del semiplano en el que no se encuentre el león (si el león estuviera en el propio radio vector, no importa qué dirección toma). Obviamente, el león no podrá capturar al hombre en este intervalo de tiempo. Repitiendo este procedimiento sucesivamente, el hombre siempre evitará ser capturado. Piensa un poco el argumento y verás que funciona (usa una hoja de papel si lo consideras necesario). ¿Qué pasa si transcurre un tiempo muy largo? Sea la distancia del hombre respecto del origen al iniciarse el paso de tiempo , entonces . Si la serie es infinita, entonces el hombre nunca será capturado, además si la serie es finita, entonces estará acotada, por lo que multiplicándola, si es necesario, por una constante, se puede lograr que el hombre nunca abandone el ruedo (el círculo). ¿Cómo lograrlo? Muy fácil, por ejemplo utilizando .

Besicovitch nos ofrece una estrategia ganadora para el hombre. ¿Significa que no existe una estrategia ganadora para el león? Se puede demostrar que en el disco es así, no existe modo en que el león capture al hombre si éste usa su estrategia ganadora. Sin embargo, la matemática es muy sutil y utilizando el Axioma de Elección se puede demostrar que en regiones compactas más complicadas que el disco y cuando el juego dura un tiempo finito, puede ocurrir que haya una estrategia ganadora siempre para el hombre, siempre para el león, o que dependa de la duración del juego quien tiene la estrategia óptima. Los interesados en más detalles sobre la demostración (basada en discretizar la región, obtener las estrategias ganadoras en el caso discreto y calcular el límite continuo de dichas estrategias), pueden recurrir al artículo original. No os asustéis, la demostración no es difícil de seguir, basta recordar las demostraciones de límites tipo del curso de cálculo de primero de carrera.

Demostrada la conjetura de Arf-Kervaire sobre hiperesferas exóticas tras 45 años de intentos fallidos

Arf y su invariante cuadrático en un billete turco. Fuente: http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/kervaire.html

La mayoría de los grandes avances matemáticos son extremadamente técnicos, prácticamente imposibles de explicar al público en general. El 21 de abril de 2009 en Edimburgo, en una conferencia que celebraba el 80 aniversario del genial Sir Michael Atiyah, los asistentes quedaron boquiabiertos. Michael Hopkins presentó un artículo en el que junto a Mike Hill y Doug Ravenel demostraba la conjetura de Arf-Kervaire-Browder que llevaba abierta 45 años y que afirmaba que sólo había un número finito de dimensiones en las que existían hiperesferas exóticas con un invariante de Arf-Kervaire igual a 1. Un gran avance en topología algebraica, complejo campo de las matemáticas puras que brega con los objetos más exóticos que la mente humana puede imaginar.

Muchos se han hecho eco de este gran avance (que rescato de entre mis borradores). Como Davide Castelvecchi, «Hypersphere Exotica: Kervaire Invariant Problem Has a Solution! A 45-year-old problem on higher-dimensional spheres is solved–probably,» Scientific American Magazine, August 2009 (lo veréis en Investigación y Ciencia en español en un par de meses) y Philip Ball, «Hidden riddle of shapes solved. Mathematicians crack the Kervaire invariant problem,» News, Nature, 1 May 2009.

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que asocia números (que cuentan cosas) a (hiper)superficies de tal manera que son invariantes (no cambian) cuando aplicamos ciertas transformaciones (topológicas) a dichas (hiper)superficies. El invariante de Arf-Kervaire asocia un número 0 o 1 a una (hiper)superficie (usando una forma cuadrática que depende de ciertos grupos de homología impares). Este invariante es siempre 0 excepto para ciertas (hiper)superficies exóticas de dimensión n=2^k−2, como probó William Browder en 1969. Se conocen ejemplos en dimensión n = 2, 6, 14, 30, y 62. No se conoce ningún ejemplo en dimensión n=126. ¿Existen ejemplos con dimensión mayor que 126? No, como han demostrado Hopkins, Hill y Ravenel. El artículo está sometido a una revista internacional pero la opinión de la mayoría de los expertos es que la demostración es correcta. Queda pendiente el caso n=126, para el que no se conoce ningún ejemplo y para el que la demostración no es aplicable. Aún así,

Uno de los problemas más importantes de la topología algebraica y también de la geometría algebraica (según el experto Nick Kuhn de la Universidad de Virginia, en Charlottesville) ha sido resuelto cuando muchos pensaban que nunca verían una solución en su vida (como el experto Mark Hovey de la Universidad de Wesleyan, en Middletown, Connecticut).

«Many people have thought they’ve solved it but have been wrong. The solution to this problem seems to indicate new and deep connections between topology on the one hand and algebra and number theory on the other. The exploration of these new connections will enrich the subject for years to come.»

¿Para qué sirve este nuevo resultado matemático? «Para qué sirve, para qué sirve,… siempre con el para qué sirve, no basta con que sea un gran avance matemático, tiene que servir para algo.» Las matemáticas utilizadas para la demostración son también utilizadas en teoría cuántica de campo, en teoría de cuerdas y en teoría de branas, con lo que se espera que la demostración sea importante en cosmología (teórica) cuántica. La verdad es que estas teorías de la física matemática son tan abstractas como la matemática misma, con lo que para la mayoría de los mortales este tipo de aplicaciones tienen una mínima importancia.

Esta demostración encumbra a Hopkins como el number one de la topología algebraica actual («clearly the leading algebraic topologist of the day«). Este resultado, aunque con menor repercusión mediática, es similar a la demostración del último teorema de Fermat, lo importante son las nuevas técnicas desarrolladas en la demostración y no el resultado en sí mismo («the solution of the Kervaire invariant problem is like the proof of Fermat’s last theorem in the 1990s; the importance lies with the new tools, techniques and insights that were developed to get the solution«).

¿Por qué en la conferencia de Edimburgo muchos asistentes quedaron boquiabiertos? Porque todo el mundo pensaba o creía que habría infinitas dimensiones en las que las variedades (hipersuperficies) pudieran tener un invariante de Arf-Kervaire no nulo.

Aún queda un problema importante por resolver. ¿Qué pasa en dimensión n=126? ¿Hay o no hay variedades exóticas con invariante de Arf-Kervaire igual a la unidad? Todavía nadie la sabe. Quizás se requieran muchos años para lograr resolver este problema.

Una curiosidad. ¿Qué tienen de especial los números 2, 6, 14, 30, 62, y 126? ¿Cuántas veces hay tirar una moneda para obtener en promedio 1, 2, 3, … caras seguidas? Pues 2, 6, 14, … veces. Aunque esta serie es infinita. Una casualidad obviamente. Nos comenta esta curiosidad y los posibles usos del invariante de Arf-Kervaire en teoría de cuerdas Lubos Motl en «Kervaire invariant: a math homework problem,» The Reference Frame, May 03, 2009.

Los matemático expertos en topología algebraica pueden disfrutar del vídeo de la conferencia de Hopkins en la que presentó la demostración la tienen, así como de sus transparencias, todo gracias a la Simons Foundation.

La física no es todopoderosa (o la imposibilidad de una Teoría de Todo)

David H. Wolpert. Image courtesy: NASA Ames' Dominic Hart.

Kurt Gödel y Alan Turing, entre otros, demostraron que la matemática no es todopoderosa, tiene límites. Hay verdades indemostrables que han de ser asumidas como nuevos axiomas. En general, un número real no es computable (calculable), no existe ningún algoritmo para calcularlo. ¿Es la física todopoderosa? ¿Existirá alguna vez una Teoría de Todo que permite entenderlo todo? David H. Wolpert, del NASA Ames Research Center, California, ha «demostrado» que el Universo físico en su totalidad no puede ser completamente comprendido por ningún sistema de inferencia (inductivo). Podemos interpretar su nuevo teorema, demostrado mediante un argumento de diagonalización de Cantor, similar al usado por Gödel y Turing en sus propias demostraciones, como que «No existe la Teoría del Todo», el Santo Grial de la Física, como mucho descubriremos una «Teoría de Casi Todo.»

P.-M. Binder, «Philosophy of science: Theories of almost everything,» en el número de Nature  que ha aparecido hoy nos comenta este interesante trabajo de David H. Wolpert, «Physical limits of inference,» Physica D: Nonlinear Phenomena, 237: 1257-1281, 2008 , en un número especial de Physica D dedicado a los nuevos paradigmas de computación y sus límites «Novel Computing Paradigms: Quo Vadis?.» El artículo de 25 páginas sólo he tenido tiempo de ojearlo, necesita una lectura cuidada (y que yo refresque mis conocimientos sobre metamatemática, ontologías y demostración en lógica formal). Prometo este fin de semana leerlo con atención, ya os contaré. Ahora, sigo los comentarios e ideas ofrecidas por Binder.

Durante el siglo XX la Física ha encontrado gran número de límites a nuestro conocimiento sobre la realidad. Por ejemplo, el principio de incertidumbre de Heisenberg en Mecánica Cuántica, la imposibilidad de transmitir información más rápido que la velocidad de la luz en Teoría de la Relatividad, o la imposibilidad de predecir el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos no lineales en Teoría del Caos Determinista.

El trabajo de Wolpert, en línea con los trabajos de los grandes lógicos Kurt Gödel y Alan Turing, considera la idea de máquinas de inferencia que pueden medir datos experimentales y realizar cálculos con objeto de comprender y predecir la Naturaleza. Estas máquinas de inferencia no requieren la existencia de humanos que las usen. Son meras descripciones formales en términos de dos funciones: una estipula el estado inicial de la máquina (llamada función de set-up) y la otra describe las observaciones, la teoría y sus predicciones (llamada función de conclusión).

Wolpert utiliza la técnica de demostración llamada diagonalización de Cantor (ya usada tanto por Gödel como por Turing en sus propios teoremas) con objeto de probar que en el espacio de todas las secuencias de eventos (world-lines) consistentes con las leyes de la física no existe ninguna máquina de inferencia que prediga todas las conclusiones de cualquier otra máquina de inferencia para todas las posibles observaciones o preparaciones de experimentos posibles. El resultado de Wolpert es interesante porque es independiente de los detalles de las leyes físicas consideradas y de las características computacionales de la máquina de inferencia utilizada.

Una de las consecuencias más interesantes del trabajo de Wolpert es que todos los sistemas complejos, igual que los sistemas caóticos deterministas, tienen un horizonte predictivo. Podemos predecir ciertos resultados pero no todos los resultados. El trabajo de Wolpert nos indica que incluso las ecuaciones (las leyes) que rigen dichos sistemas complejos pueden ser imposibles de determinar (inferir), podemos conocer algunas (parte) de dichas leyes, pero quizás nunca las conozcamos todas.

El descubrimiento de Wolpert nos indica que quizás las limitaciones en nuestra comprensión de la realidad pueden ser de carácter fundamental y nunca podamos aspirar a lograr una Teoría de Todo, nos tendremos que conformar con una Teoría de Casi Todo.