Carnaval Matemáticas: El artículo matemático con el abstract más corto “No.”

Dibujo20130925 kesten - paper - short abstract - commun math phys 1980

Casi es el abstract (resumen) más corto de un artículo de matemáticas, pero sin lugar a dudas es el abstract más brillante y más directo al grano. Harry Kasten escribió: “Se demuestra la afirmación del título del artículo.” Qué más puede decir un matemático. Por supuesto, si eres matemático y quieres leer el artículo completo, aquí tienes una copia gratis en PDF: Harry Kesten, “The critical probability of bond percolation on the square lattice equals 1/2,” Communications in Mathematical Physics 74: 41-59, 1980.

¿Se puede escribir un artículo con un abstract más corto? Obviamente, basta una sola palabra: “No.”

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Francis en ¡Eureka!: Demostrada la conjetura débil de Goldbach

Dibujo20130525 Goldbach partitions even integers from 4 to 28

Ya está disponible el audio de mi sección ¡Eureka! en el programa La Rosa de los Vientos de Onda Cero. Sigue este enlace para disfrutarlo. Como siempre una transcripción libre.

Esta semana las matemáticas han sido noticia porque se ha resuelto un problema propuesto hace más de 270 años. Un problema sencillo de enunciar, pero muy difícil de demostrar. ¿Qué problema se ha resuelto? En 1742, el matemático Christian Goldbach le preguntó por carta a su amigo y famoso matemático Leonhard Euler si podía demostrar dos resultados muy sencillos sobre números. Por un lado, lo que hoy en día llamamos la conjetura de Goldbach, o conjetura fuerte de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 16 = 3 + 13, etc. Y por otro lado, una variante de este problema que hoy en día llamamos la conjetura débil de Goldbach, que afirma que  todo todo número impar mayor que 5 puede escribir como suma de tres números primos. Por ejemplo, 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 35 = 19 + 13 + 3, o 77 = 53 + 13 + 11, etc. El matemático peruano Harald Andrés Helfgott ha publicado un trabajo en el que afirma haber demostrado la conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach). Por supuesto, en estas noticias de matemáticas tenemos que ser cautos. La demostración ocupa 133 páginas y se basa en un trabajo previo de más de 100 páginas. La confirmación “oficial” todavía podría tardar un tiempo, pero varios expertos, como el famoso Terence Tao, que recibió la medalla Fields en el año 2006 en Madrid, afirman que la nueva demostración tiene muy buena pinta y casi seguro que es correcta.

Recomiendo leer a “(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach,” Gaussianos.com, 14 mayo 2013. El artículo técnico para los matemáticos que deseen profundizar es H. A. Helfgott, “Major arcs for Goldbach’s theorem,” arXiv:1305.2897, 13 May 2013; creo que es recomendable leer antes H. A. Helfgott, “Minor arcs for Goldbach’s problem,” arXiv:1205.5252, 23 May 2013.

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“El indomable Will Hunting” y los “árboles irreducibles con 10 vértices”

Esta escena de la película “El indomable Will Hunting” (título original “Good Will Hunting”) de 1997, dirigida por Gus Van Sant y protagonizada por Matt Damon y Ben Affleck (en la que también aparece Robin Williams) describe un problema matemático de la teoría de grafos: dibujar un sistema de representantes de las 10 clases de árboles con 10 vértices homeomórficamente irreducibles. La solución de este problema fue obtenida por Frank Harary, Geert Prins, “The number of homeomorphically irreducible trees, and other species,” Acta Mathematica 101: 141-162, 1959 [copia gratis]. La solución a este problema para árboles con hasta 10 vértices aparece en la siguiente figura, extraída de dicho artículo (en formato un poco más compacto).

Dibujo20130221 diagrams all homeomorphically irreducible tress with less than 10 points

En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cada par de vértices está conectado sólo por un único camino. Una definición más técnica nos dice que un grafo simple no dirigido G con un número finito n de vértices es un árbol si cumple cualquiera de las siguientes condiciones (todas equivalentes entre sí): (1) es conexo y tiene n-1 aristas, o (2) es conexo y no tiene ciclos, o (3) tiene n-1 aristas y no tiene ciclos, o (4) existe una única trayectoria entre cada par de vértices [gracias Alberto por el comentario de más abajo]. El grado de un vértice es el número de aristas a las que está conectado. Una “hoja” es un vértice de grado 1. Un vértice interno es un vértice de grado mayor que 1. Un árbol es irreducible si no tiene vértices de grado 2.

Dibujo20130221 one irreducible and three reducible trees

En esta figura, el único árbol irreducible es el de n=4, ya que los de n=5, 6 y 7 vértices todos se pueden reducir a dicho árbol eliminando los vértices de grado 2 que están marcados con una circunferencia en color rojo.  Obtener todos los grafos con 10 vértices que son irreducibles no es difícil y cualquiera tanteando un poco puede hacerlo. Obviamente, lo más difícil es demostrar que no existe ningún otro.

¿Te atreves a dibujar todos los árboles irreducibles con n=11? No te pide que demuestres que tu lista es completa, sólo que lo intentes. No es un problema difícil (no creo que te requiera más de una hora de trabajo). Si lo haces te sentirás como Matt Damon (o como Will Hunting) Por supuesto, puedes chequear tu respuesta con el artículo original (que presenta los grafos irreducibles hasta n=12); también, hay programas de ordenador en la web que te permiten dibujarlos (si te gusta programar en Mathematica este problema es bonito para resolver por uno mismo sin buscar el notebook en la web). ¿Eres profesor de matemáticas? Por qué no le propones este problema a tus alumnos (resuelves el caso hasta n=6 y les pides a los alumnos que tanteen los casos n=7 u n=8).

Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Carnaval Matemáticas: Resuelto el problema del subespacio invariante

Dibujo20130126 Carl C Cowen - Eva Gallardo - Congreso 2013 RSME

La noticia matemática de la semana ha sido la resolución del problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert, una conjetura propuesta por John von Neumann en 1935, gracias al trabajo conjunto de Carl C. Cowen (Universidad de Indiana-Purdue, Indianapolis, EEUU) y Eva A. Gallardo Gutiérrez (Universidad Complutense, Madrid), esta última matemática española de 39 años. Los autores de la demostración, tras tres años de duro trabajo, han presentado este importante resultado en el último congreso de la Real Sociedad Matemática Española celebrado en Santiago de Compostela. El problema resuelto es uno de los más importantes del área de Análisis Funcional y Teoría de Operadores. 

En la rueda de prensa, ambos matemáticos han ilustrado el problema utilizando un espacio de Hilbert de dimensión finita (un caso trivial): “Si pones a girar una pelota de baloncesto, siempre girará respecto a un eje determinado; este eje no varía en el giro y es el subespacio invariante asociado al operador lineal que representa el giro de la pelota.” Obviamente, este resultado en el espacio euclídeo es conocido desde el siglo XVIII. La versión en infinitas dimensiones no tiene aplicaciones tan fáciles de ilustrar, pero hay que recordar que los espacios de Hilbert son claves en física cuántica (como demostró John von Neumann hace 80 años) y que las aplicaciones de la física cuántica nos rodean por doquier. 

Según los autores “hemos abordado el problema desde el punto de vista de la teoría de funciones de variable compleja, lo que da “cierta flexibilidad” a la hora de probar el resultado. (…) A veces uno piensa que ha cometido un error, pero la prueba la hemos revisado muchísimas veces, nos lo han revisado expertos en el área [que la recibieron el 10 de diciembre de 2012], y la sensación es que parece ser que de momento las cosas siguen en pie. La ventaja es que la solución es corta; no es un trabajo de trescientos folios con complicadas ideas, sino que son menos de veinte páginas. Las cuestiones cortas son sencillas de entender.” No puedo contar más detalles de la demostración (pues todavía no la he podido leer), por lo que me limitaré a enunciar el problema y hacer unos comentarios sobre su importancia.

Lo primero, la noticia en los medios: “Carl Cowen y Eva Gallardo presentan la solución afirmativa al “problema del subespacio invariante”,” Noticias RSME, ene 2013; Tamara Montero, “Presentan en la USC la resolución de un problema matemático de los años 30,” La Voz de Galicia, 25 ene 2013; “Resuelven uno de los problemas matemáticos más importantes del milenio,” ABC, 25 ene 2013

Para una discusión técnica, centrada en los contraejemplos en espacios de Banach, recomiendo Carlos Domingo, “Problema del subespacio invariante,” Facultad de Matemáticas, Universitat de Barcelona, Curso 2010-2011; Joan Cerda, “Subespacios invariantes,” Departament de Matematica Aplicada i Analisi, Barcelona, abril 2012. En inglés están bien Terence Tao, “Finitary consequences of the invariant subspace problem,” What’s New, 29 Jun 2010; Adam Azzam, “The Invariant Subspace Problem and Lomonosov’s Theorem,” Part 1, Part 2, Part 3, 4-5 feb 2012.

PS: Una introducción muy buena al problema en B.S. Yadav, “The Invariant Subspace Problem,” Nieuw Archief voor Wiskunde 5: 148-152, Jun 2005, vía Christian Perfect, “The invariant subspace problem is solved for Hilbert spaces?,” The Aperiodical, Jan 26, 2013 (vía @gaussianos).

¿Qué es un espacio de Hilbert? Un espacio vectorial con un producto interior o escalar (que permite medir el ángulo entre dos vectores y definir el concepto de vectores ortogonales) que es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente). Todo Hilbert es Banach. ¿Qué es un espacio de Banach? Un espacio vectorial con una norma (que permite calcular el módulo o tamaño de todo vector). Todo Banach es métrico. ¿Qué es un espacio métrico? Un espacio vectorial con una distancia (que permite medir la “distancia” entre cada par de vectores). ¿Qué es un espacio vectorial? Un espacio de objetos llamados vectores que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por un escalar (número real o complejo). Todo espacio vectorial tiene una base (resultado del axioma de elección) y la dimensión del espacio vectorial es el cardinal de una cualquiera de sus bases.

Una aplicación lineal es una “función” entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y producto por escalar. En espacios vectoriales de dimensión finita las aplicaciones lineales se representan mediante matrices. Por el teorema fundamental del álgebra, toda matriz tiene autovalores. Asociado a cada autovalor hay uno o varios autovectores. La multiplicación de la matriz por dichos autovectores es aquivalente a multiplicar por el autovalor. Asociado a cada autovalor hay un subespacio vectorial llamado autoespacio. Este subespacio es invariante, pues la aplicación lineal (o matriz) aplicada a los vectores de dicho subespacio resulta en un vector dentro del mismo.

Las aplicaciones lineales también se llaman operadores lineales. En un espacio de Banach, se dice que un operador lineal es acotado si aplicado a todos los vectores del espacio el resultado tiene una norma acotada por una constante que solo depende del operador. Un operador lineal es compacto si aplicado a toda sucesión de vectores acotados, hay una subsucesión convergente. Todo operador lineal acotado tiene norma (es decir, se puede extender el concepto de norma de un vector al concepto de norma de un operador lineal acotado).

El espacio euclídeo de las transformaciones de objetos tridimensionales que preservan la forma de los objetos es un espacio de Hilbert de dimensión finita. Todo operador lineal en dicho espacio corresponde a un matriz y por tanto tiene un subespacio invariante. De ahí que al rotar la pelota de baloncesto siempre rote alrededor de algún eje. En un espacio de Hilbert H de dimensión infinita el asunto es más complicado. 

El problema del subespacio invariante plantea la siguiente cuestión: Si H es un espacio de Hilbert, ¿es cierto que para todo operador lineal y acotado T ∈ L(H), existe siempre algún subespacio G ⊂ H cerrado que es T-invariante, T(G) ⊂ G, sin ser trivial? Repito, para un espacio H de dimensión finita el resultado es trivial, siempre existen subespacios invariantes; los autovalores de T (que será una matriz) tienen asociados subespacios propios (autoespacios en cuya base están los autovectores) que son invariantes. Esta cuestión en dimensión infinita no parece muy complicada, pero se ha resistido durante casi 80 años al esfuerzo de muchos matemáticos.

En 1935, John von Neumann probó que todo operador compacto en un espacio de Hilbert tiene subespacios invariantes no triviales, hecho que fue generalizado a espacios de Banach en 1954 por N. Aronszajn y K.T. Smith. P. Enflo en 1976 y C. Read en 1985 encontraron ejemplos de operadores lineales acotados que carecían de subespacios invariantes no triviales en espacios de Banach (recuerda que todo Hilbert es Banach, pero no al contrario). Todos los contraejemplos conocidos son sobre espacios de Banach no reflexivos (un Banach B es reflexivo si la aplicación “natural” entre B y B** (el dual del dual de B) es un isomorfismo de espacios de Banach); el Teorema Pequeño de Riesz garantiza que todo espacio de Hilbert es reflexivo.

Hasta que no tenga acceso a la nueva demostración no podré ofrecer más información.

Coda final: Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas organizado por el blog “La Aventura de la Ciencia” del físico Daniel Martín Reina (Sevilla, España). Mañana es el último día para las contribuciones al Carnaval de Matemáticas, ¡anímate, aún estás a tiempo!

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones

Dibujo20121222 cross product in dimension seven

El producto vectorial, que a partir de dos vectores nos da un tercer vector, es bien conocido en un espacio de tres dimensiones. ¿Se puede definir un producto vectorial en más de tres dimensiones? Beno Eckmann demostró en 1943 usando topología algebraica que el producto vectorial en dicho caso solo existe en siete dimensiones. De hecho, la relación entre el producto vectorial en siete dimensiones y los octoniones es la misma que entre el tridimensional y los cuaterniones; hay una relación íntima entre las propiedades del producto vectorial y el teorema 1,2,4,8 de Adolf Hurwitz (1898). Se han publicado varias demostraciones más sencillas que la de Eckmann, pero destaca la más reciente, Peter F. McLoughlin, “When does a cross product on R^{n} exist?,” arXiv:1212.3515 (que agradece los comentarios y revisión del experto español Alberto Elduque). La nueva demostración se puede calificar de “elemental” y por tanto se puede incorporar en un primer curso de álgebra lineal y geometría.

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Carnaval de Matemáticas: La olvidada prueba del nueve

En el podcast de SciFri, “Steven Strogatz: The Joy Of X,” 23 Nov 2012, le preguntan a Strogatz por qué funciona la prueba del nueve (“casting out nines” en inglés) y no sabe contestar. Como buen matemático y como buen profesor no tiene miedo en confesar que nunca se ha preocupado por buscar la razón detrás de esta prueba, por ello no puede contestar a la pregunta. Todo ello me ha traído a la memoria la prueba del nueve, que no siempre funciona, como muestra este dibujo de Luis Vives, “Aritmética. Segundo Grado,” Zaragoza, 1949. ¡Qué no te acuerdas de la prueba del 9! Solo hay dos opciones, o eres muy joven, o eres un poco desmemoriado. Veamos como nos la explica Vives en su libro.

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De Juana la Loca hasta las baterías de litio viajando por algunos carnavales de ciencias

Doña Juana I de Castilla y Aragón (1479-1555), Juana la Loca, Reina Propietaria del trono de España, fue la reina más poderosa de su tiempo, aunque nunca gobernó. Su padre, su esposo y más tarde su propio hijo afirmaron que estaba loca, mientras muchos nobles castellanos y los comuneros pretendían que dicha locura era pura invención de quienes querían usurparle el trono. Juana fue “internada” en Tordesillas, pues el confinamiento era el tratamiento oficial para la locura en su época. Sin embargo, todos los hijos de Juana, esposas y esposos de estos, incluso sus nietos ya en edad adulta, sobrinos y sobrinas, visitaban Tordesillas a menudo y le profesaban respeto, admiración y cariño. Si se tratara de una mujer alienada, celosa y delirante sería difícil imaginar de qué modo hubiera podido crear las condiciones de esa unión familiar alrededor de su persona, por tantas generaciones y ramas familiares. La leyenda de la “locura de amor” que Juana profesaba por su marido, Felipe “el Hermoso,” nació cuando Juana fue heredera legítima del trono de Castilla, tras varias muertes inesperadas, entre ellas la de su hermano Juan y su hermana Isabel. Con anterioridad no hay ninguna documentación al respecto. La salud “oficial” de Juana siempre osciló según las necesidades políticas.  Además, como en la Edad Media la locura era un “vicio,” Juana ha pasado a la historia como mujer lujuriosa, dominada por la desesperación, carente de prudencia y rebelde. Nos lo cuenta Begoña Matilla, “El mito de la Reina Juana: ¿“la Loca”?

Pensar la locura de Juana desde la óptica del saber actual, nos induciría a error. Juana fue una mujer moderna para su tiempo que logró, desde las armas que las mujeres podían esgrimir en los inicios de la Edad Moderna, no perder su titularidad real por la que luchó con uñas y dientes, y hacer posible el gobierno de sus descendientes. Juana organizó estrategias políticas para asegurar la sucesión legítima de su hijo Carlos al trono, como esquivar la voluntad paterna, rompiendo todos los códigos de la época al no volver a casarse después de enviudar, a pesar de las muchas presiones recibidas. Además, cuando los Comuneros se alzaron contra Carlos V y la liberaron de su encierro, Juana logró esquivar sus pretensiones, que de facto, hubieran desheredado a Carlos. Gracias a ella, los Austrias ganaron la partida del poder en España.

La imagen que mucha gente tiene de Juana está moldeada por la película “Juana la loca” (2001) de Vicente Aranda, “una explosiva historia de amor” con más erotismo que precisión histórica, remake de “Locura de amor” (1948) de Juan de Orduña. Pilar López de Ayala interpreta el papel de una neurótica “loca de amor” que le permitió obtener un Goya. La imagen de Juana I que ofrece esta película me recuerda a una psicosis maníaco-depresiva o transtorno bipolar. Su tratamiento actual, basado en el carbonato de litio, será el leitmotiv de esta entrada, cuyo objetivo era superar el reto de los 7 carnavales lanzado por José Manuel López Nicolás (@ScientiaJMLN) en Twitter y superado por él mismo en su blog Scientia. No sé si lo he conseguido, pero no importa. Me ha servido para aprender muchas cosas sobre historia que no sabía. Espero que tú también disfrutes con mi resumen.

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Carnaval de Matemáticas: El código secreto del profesor Moriarty en la película “Sherlock Holmes: Juego de sombras”

El profesor James Moriarty, el archienemigo de Sherlock Holmes, era “un genio de las matemáticas,” además del “Napoleón del crimen.” La primera vez que aparece en la película “Sherlock Holmes: Juego de sombras” lo hace delante de un pizarra repleta de fórmulas matemáticas. El contenido de la pizarra fue diseñado en el verano de 2010 por Alain Goriely y Derk E. Moulton, del Oxford Centre for Collaborative Applied Mathematics. Refleja la matemática conocida en su época (hacia 1890) y al mismo tiempo oculta un código secreto que revela los malvados planes de Moriarty (código que debe descifrar Holmes). Nos lo cuentan en Alain Goriely and Derek E. Moulton, “The Mathematics Behind Sherlock Holmes: A Game of Shadows,” SIAM News 45, April 14 2012.

Como Moriarty estaba obsesionado con el teorema del binomio, según la propia obra de Conan Doyle, se decidió ocultar el código secreto en un triángulo de Pascal. Las letras del mensaje se cifran gracias a un libro de horticultura que Moriarty guarda en su oficina. Cada letra se codifica con tres números de dos dígitos (entre 01 y 99) que especifican la página del libro, la línea y el carácter dentro de la línea. Mediante este cifrado el mensaje se convierte en una lista de números. Para cifrar esta lista se utiliza una clave pública y un algoritmo de codificación. La clave pública es un número entero p. Para cada entero p, se obtiene la sucesión de números de Fibonacci tipo p, dada por la fórmula Fp(n) = Fp(n–1) + Fp(n–p–1), con Fp(0) = 1, y Fp(n) = 0, para n < 0. Esta sucesión se puede obtener sumando la diagonal p-ésima del triángulo de Pascal. Para p = 0 la serie Fp(n) corresponde a las potencias de dos (pues la “diagonal” es horizontal) y para p=1 se obtienen los números de Fibonacci convencionales (la figura de arriba ilustra el procedimiento para definir esta “diagonal”). ¿Has entendido el procedimiento? Compruébalo verificando que para p=3 se obtienen los números 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, …

Una vez elegida la clave pública p es posible representar cualquier número entero N de dos dígitos (entre 01 y 99) de forma única como suma de dos números de Fibonacci tipo p, es decir, N = Fp(n) + m, con m<Fp(n–p). ¿Te atreves a demostrarlo? Veamos un ejemplo de cifrado utilizando la clave pública p = 3. Supongamos que el mensaje consta de los caracteres 10, 5, 3 y 20 de la línea 10 de la página 23, seguidos de los caracteres 4, 18, 33 y 12 de la línea 17 de la misma página (23). En dicho caso tendremos que cifrar los números

23 10 10 05 03 20

23 17 04 18 33 12

El número 23 = 4 + 19, luego corresponde a la suma de los ordinales 4 y 9 de la sucesión Fp(n) con p=3, por tanto, 23 se cifra como 0409. Aplicando esta regla, los números se cifrarán como

0409 07 07 05 03 0109

0409 0308 04 0408 0610 0207

¿Has entendido cómo se obtienen estos números? Trata de replicar el proceso por tu cuenta. Obviamente, por complicado que sea el sistema de cifrado de Moriarty, no puede competir con el intelecto de Holmes, que descubre todos sus secretos.

En la película, Moriarty imparte una conferencia (en la que transmite la clave pública a sus acólitos). Goriely y Moulton también diseñaron el contenido de la charla para que fuera plausible alrededor de 1895, sabiendo que Conan Doyle afirma que Moriarty estaba trabajando en la dinámica de asteroides y que debía ser un resultado lo suficientemente importante como para justificar que estuviera de gira por toda Europa impartiendo dicha charla. Goriely y Moulton consideraron los siguientes tres problemas.

El primer problema fue la solución de George Hill al problema restringido de los tres cuerpos (1878), que permite calcular el movimiento de la Luna (o de un asteroide) sometido a la atracción gravitatoria de la Tierra y el Sol.

El segundo problema fue la solución al problema de los N cuerpos dada por Henri Poincaré (publicada en 1892) que le permitió ganar un premio concedido por Óscar II, Rey de Suecia y Noruega. En la primera edición, Poincaré cometió un error importante (que más tarde le llevó a descubrir el efecto mariposa (la sensibilidad a las condiciones iniciales) y el caos, que en sistemas que conservan la energía se llama estocasticidad). Moriarty podría haber descubierto el error en la obra de Poincaré y siendo un malvado no tendría reparos en despotricar contra los matemáticos franceses.

El tercer problema sería el trabajo en colisiones entre masas en interacción gravitatoria de Paul Painlevé, que expuso en 1895 en Estocolmo invitado por el rey Óscar II. El trabajo de Painlevé complementa el de Poincaré y tuvo una gran importancia histórica. Como Painlevé fue  dos veces primer ministro de la Tercera República Francesa en 1917 y 1925, y fue Ministro de Defensa durante la Primera Guerra Mundial, bien podría haber sido el alter ego de Moriarty.

Al final, se decidieron por este último problema.

¿Y la pizarra de Moriarty? En diciembre de 2010, Goriely y Moulton  fueron invitados al rodaje de la escena en la que aparece la pizarra. Tras esperar muchas horas vieron la pizarra y para su sorpresa estaba llena de errores. Pasaron muchas horas junto a un calígrafo profesional rectificando dichos errores (sobre todo, cuidando que los subíndices y demás símbolos matemáticos fueran bien escritos, pues el calígrafo no tenía formación matemática alguna). Abajo tenéis el resultado final, pinchad en la imagen para ampliarla y disfrutarla mejor.

Esta es mi segunda contribución para la 3,14159 Edición del Carnaval de Matemáticas, alojado por José Manuel López Nicolás en su blog Scientia. Como ya dije en la primera, seguro que José Manuel preferiría entradas sobre matemáticas aplicadas a la biotecnología, pero tendrá que esperar a …

Edición 3.141 Carnaval Matemáticas: La cuadratura perfecta de un cuadrado

Las matemáticas recreativas están repletas de juegos curiosos para mentes inquietas. La cuadratura perfecta de un cuadrado de lado entero consiste en rellenarlo con cuadrados más pequeños de lado entero, todos ellos diferentes entre sí. En la imagen que abre esta entrada tenéis la cuadratura perfecta de un cuadrado de lado 175 utilizando 24 cuadrados diferentes, obtenida a mano por T. H. Willcocks y publicada en 1948 [fuente]. El ejemplo más pequeño posible, con un lado de 112 y 21 cuadrados diferentes, fue obtenido por A. J. W. Duijvestijn utilizando un programa de ordenador para su búsqueda automática y publicado en 1978; este cuadrado ha sido modelo para un curioso mueble  [fuente] y como logo para la Trinity Mathematical Society de la Universidad de Cambridge [fuente]. La demostración de que es el ejemplo más pequeño que existe, así como más información y ejemplos, en A. J. W. Duijvestijn, P. J. Federico, and P. Leeuw, “Compound Perfect Squares,” American Mathematical Monthly 89: 15-32, 1982 [acceso JSTOR].

En este artículo podéis encontrar más ejemplos encontrados mediante el uso de programas de ordenador, como por ejemplo los siguientes cuatro.

Esta entrada es mi segunda contribución a la Edición 3,141 del Carnaval de Matemáticas (web del Carnaval), albergado en esta ocasión por DesEquiLIBROS. Lectura y Cultura (anuncio oficial, lunes 9 de abril de 2012). “Las fechas de celebración del Carnaval serán del 23 al 29 de abril. Y el Día 30 publicará en su blog el resumen con todas las contribuciones que se haya producido. (…) Esta edición del Carnaval de Matemáticas está dedicado al profesor y amigo Giorgio Israel, matemático e historiador de la ciencia.” Por cierto, quiero dedicar una entrada al profesor Israel, a ver si tengo tiempo de aquí al domingo.

Carnaval de Matemáticas 3.1: La contribución más importante del carnaval de Río a las matemáticas

El año milagroso de Albert Einstein fue 1905, el de Stephen Smale (Medalla Fields en 1966) fue 1960, el año en el que le inspiraron las playas de Río de Janeiro para realizar los mejores trabajos de su carrera (en sus propias palabras). El año siguiente la NSF de EE.UU. le retiró la financiación a su proyecto, ¡cómo un matemático podía ser inspirado por lo que hay en las playas de Río! Quizás por ello, Smale siempre fue políticamente incorrecto y muy activo en movimientos en contra del gobierno. Yo he de confesar que estando soltero he estado en varias ocasiones en las playas de Copacabana e Ipanema (la chica de la foto, por si te lo preguntas, está fotografiada en Ipanema, según Google). Permíteme resumir las contribuciones de Río a la matemática, quiero decir, a la matemática de Smale.

Smale y la conjetura de Poincaré. En 1960 la geometría diferencial de variedades diferenciables parecía un campo de poco interés. El tema del momento era la “topología diferencial,” en la estela del lilbro de Steenrod, “The Topology of Fibre Bundles” (1956) y la “topología algebraica.” Milnor había introducido en 1956 las esfera exótica en dimensión siete, el primer ejemplo de dos variedades homeomorfas que no son difeomorfas (la esfera “euclídea” convencional y la exótica). En su tesis doctoral (1957), bajo la dirección de Raoul H. Bott en la Universidad de Michigan, Smale trabajó en el uso de espacios fibrados como herramienta para clasificar inmersiones (un campo en el que se había hecho poco desde los trabajos de Whitney en 1944). En 1958, Smale demostró que era posible realizar la eversión de una esfera (estaba de postdoc en la Universidad de Chicago). Los interesados en la eversión de esferas disfrutarán de este conocido vídeo de youtube. El trabajo de Smale bailaba entre la teoría de sistemas dinámicos (extensiones del teorema de Poincaré-Bendixson, solo válido en dimensión 2) y la topología algebraica. En 1958, Smale visitó el IAS (Institute for Advanced Study) donde se encontraban los mejores topólogos y geómetras de EE.UU. (Chern, Spanier, Borel, Floyd, Milnor, Munkres, Steenrod, Stallings, Weil, Whitehead, entre otros).

En enero de 1960, Smale llegó a Río de Janeiro para pasar 6 meses en el IMPA (Instituto de Matemaica Pura e Apicada) junto a Mauricio Peixoto (que conoció en el IAS) y Elon Lima; le financiaba una beca de la NSF. Justo antes de llegar, había enviado un manuscrito demostrando la conjetura de Poincaré en dimensión mayor de 4 a la revista “Bulletin of the American Mathematical Society.” Whitehead fue uno de los revisores; él había enunciado la versión generalizada de la conjetura de Poincaré e incluso había publicado una demostración que luego se demostró que era incorrecta. La demostración de Smale dejó boquiabiertos a muchos matemáticos, pues nadie pensó nunca que la conjetura de Poincaré fuera más fácil de demostrar en dimensión mayor de 4 y porque usaba técnicas de sistemas dinámicos (teoría de Morse). Yo no conozco en detalle la demostración de Smale, pero básicamente introduce una función de Morse “buena” (con solo dos puntos críticos) en la variedad que le permite descomponerla en la unión de una serie de “asas” (handles) donde la conjetura de Poincaré en dos dimensiones se puede aplicar; la técnica no funciona en dimensión 4 pues no hay “dimensiones extra” suficientes para realizar la descomposición en asas. El teorema fundamental que probó Smale se llama teorema del cobordismo-h y está considerado uno de los teoremas más importantes de la topología aplicada a la clasificación de variedades; la conjetura de Poincaré en dimensión mayor de 4 puede considerarse un corolario trivial de dicho teorema.

Muchos matemáticos pensaban que Smale ganaría la Medalla Fields en 1962 gracias a este resultado. Pero la demostración de Smale fue expuesta en EE.UU. mientras él estaba en Río y uno de los asistentes, John Stallings, afirmó que había obtenido una demostración similar. No quiero entrar en los detalles de prensa rosa de la disputa, pero todo el mundo cree que esta disputa es la responsable de que el nombre de ninguno de los dos esté asociado al de Poincaré en el nombre de la conjetura y a que Smale abandonara la topología diferencial en 1961. La medallas Fields de 1962 fueron para Milnor y Hörmander. Smale siempre ha dicho que no se la dieron por sus ideas políticas y por su inconformismo, pero seguramente fue porque el comité de concesión de los premios estaba deliberando mientras se publicó su demostración. Pero en 1965 organizó las protestas del Día de Vietnam en la Universidad de Berkeley en mayo de 1965, lo que no influyó en que recibiera la medalla Fields en 1966 (que se celebró para más inri en Moscú).

Smale y teorema de la herradura. En 1956, Smale estuvo en una conferencia en Ciudad de México donde conoció al brasileño Elon Lima, que estaba realizando su tesis doctoral en topología en la Universidad de Chicago. En 1958, aceptó una beca de postdoc en el IAS para pasar dos años allí, junto a su mujer, Clara y su hijo recién nacido Nat; Elon le presentó al brasileño Mauricio Peixoto, uno de los matemáticos que fundó el IMPA en 1957, que trabajaba en sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales, quien le invitó a pasar su segundo año de beca en el IMPA. Voló en diciembre de 1959 junto con Clara y sus dos niños, Nat y Laura.

Smale trabajaba en el IMPA con lápiz y papel, por lo que muchos días se acercaba a las playas de Río con Elon o alguno de sus estudiantes de doctorado. Smale había escrito un artículo que afirmaba algo que en lenguaje moderno sería “el caos no existe” (un resultado de estabilidad estructural de sistemas dinámicos). Norman Levinson encontró un error en su trabajo. Cartwright y Littlewood estaban trabajando en temas similares. Smale transformó las ideas de Levinson y las ecuaciones de Cartwright-Littlewood a un lenguaje geométrico descubrió la función (aplicación o mapa) de la herradura (“horseshoe map”). Smale siempre ha dicho que la idea se le ocurrió en las playas de Copacabana.

La dinámica de esta función se describe con la figura de arriba. Sin entrar en detalles, esta función está relacionada con las curvas homoclínicas introducidas por Poincaré y Birkhoff en sistemas dinámicos; Smale estudió las obras completas de Birkhoff en la biblioteca del IMPA. La versión moderna de estas ideas aparecía en los trabajos de los rusos Andronov y Pontryagin, que en EE.UU. fueron introducidos por Lefschetz; de hecho, Peixoto fue al IAS a trabajar con él. Smale aprendió las técnicas de dinámica estructural gracias a los trabajos de un alumno de Peixoto con Lefschetz. Todo estaba preparado para que en las playas de Río, relajado y disfrutando, Smale hiciera una de las contribuciones más importantes a la teoría de sistemas dinámicos en el siglo XX.

A nadie le debe importar lo que hiciera Smale, con su mujer y sus dos hijos, en las playas de Río, lo único que importa son los logros que alcanzó: la herradura de Smale y la demostración de la conjetura de Poincaré en dimensión superior.

Fuentes:

Steven Smale, “The story of the higher dimensional poincaré conjecture (what actually happened on the beaches of Rio),” The Mathematical Intelligencer 12: 44-51, 1990 [versión en Google Books].

Steve Smale, “Finding a horseshoe on the beaches of Rio,” The Mathematical Intelligencer 20: 39-44, 1998 [versión en Google Books].

Steve Smale and Michael Shub, “Smale Horseshoe,” Scholarpedia, 2: 3012, 2007.

Rob Kirby, “Book Review: “Stephen Smale: The Mathematician Who Broke the Dimension Barrier” by Steve Batterson,” Book Review, AMS, 2000.

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas 3.1, organizado por Tito Eliatron, “Carnaval de Matemáticas 3.1 (Año 3, Edición 1): del 20 al 26 de Febrero.” Como dice Tito, “Febrero es el mes del Carnaval, del de Cádiz, del de Río, del de Las Palmas… y del Carnaval de Matemáticas.” En esta ocasión el carnaval está organizado por Rafael Granero-Belinchón, “Anuncio del Carnaval de Matemáticas de Febrero,” Scientia potentia est, 04 feb. 2012. “En Scientia Potentia Est tenemos la suerte de albergar el Carnaval de Matemáticas de este mes de Febrero. Es la edición 3.1, así que estamos de cumpleaños.”

Por cierto, esta entrada está dedicada a Clara Grima @ClaraGrima, porque sin su impulso en Twitter nunca hubiera sido escrita.