Soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos de luz

Dibujo20131024 trefoil knot - Hopfion solution - physical review letters

En 1989 Antonio Fernández Rañada (Univ. Complutense, Madrid) introdujo una solución tridimensional de las ecuaciones de Maxwell con la topología de un nudo, a la que llamó hopfión (porque se inspiró en el fibrado de Hopf), que en 2008 se demostró de forma experimental. Hridesh Kedia (Universidad de Chicago, Illinois, EEUU) y sus colegas, entre ellos el español Daniel Peralta-Salas (contratado Ramón y Cajal en el Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC, Madrid), han encontrado una familia de soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos tipo trébol (tres lazos), con cinco lazos e incluso más. Estas soluciones para un campo electromagnético clásico son de tipo campo nulo, porque los dos invariantes de las ecuaciones de Maxwell tienen valor nulo (en concreto, en todo punto el campo eléctrico es ortogonal (perpendicular) al magnético y ambos campos tienen idéntico módulo). La nueva familia de soluciones tipo nudo es estable y permite formar cadenas de nudos enlazados unos con otros. Todavía no se han verificado de forma experimental en laboratorio, pero nada parece impedir que sea posible (utilizando alguna variante de la técnica utilizada en 2008 para producir el hopfión). El artículo técnico es Hridesh Kedia, Iwo Bialynicki-Birula, Daniel Peralta-Salas, William T. M. Irvine, “Tying Knots in Light Fields,” Phys. Rev. Lett. 111: 150404, 10 Oct 2013. El artículo que introdujo el hopfión es Antonio Fernández Rañada, “A topological theory of the electromagnetic field,” Letters in Mathematical Physics 18: 97-106, Aug. 1989, y el que lo observó en laboratorio es William T. M. Irvine, Dirk Bouwmeester, “Linked and knotted beams of light,” Nature Physics 4: 716-720, Aug. 2008.

Dibujo20131024 Time evolution of magnetic field lines and energy density for  trefoil knot - cinquefoil knot - 4 Hopf-linked rings

Hacer aros de humo con un cigarrillo no es difícil, pero hacer nudos lo es, aunque no es imposible. La teoría matemática de los nudos tuvo su momento de gloria cuando Lord Kelvin a finales del siglo XIX trató de entender los átomos como nudos de éter luminífero. Hoy sabemos que los átomos no son nudos de éter, pero los nudos se utilizan en teoría cuántica de campos y otras ramas de la física teórica, como ahora en el electromagnetismo clásico. Esta figura muestra la evolución en el tiempo de tres miembros de la familia de soluciones exactas obtenidas por Hridesh Kedia y sus colegas, nudos de tres, cinco y cuatro lazos (este último es el hopfión).

Dibujo20131024 structura magnetic lines - prl

En todas las soluciones de tipo nudo se cumple la propiedad llamada “nulidad” (nullness), es decir, que los campos eléctricos y magnéticos son ortogonales (perpendiculares) entre sí (Q = B·= 0) y de igual magnitud (P = ||B||² − ||E||² = 0) en todo punto. Un teorema de Hogan (1983) afirma que todas las soluciones de las ecuaciones de Maxwell con esta propiedad se pueden obtener por el método Bateman (1915). La nueva familia de soluciones se ha construido con este método. No quiero entrar en detalles matemáticas (que por cierto no son complicados, pues las nuevas soluciones son un buen ejemplo de “cómo es que a mí no se me había ocurrido”). La “nulidad” impone una restricción no lineal a la ecuaciones de Maxwell que equivale a introducir una no linealidad efectiva, en última instancia la responsable de las soluciones de tipo nudo.

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6 pensamientos en “Soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos de luz

    • No, Gabriel, son soluciones estables, pero no son robustas y por tanto son poco útiles en aplicaciones prácticas.

      • Tienen utilidad para explicar fenómenos, que no todo son aplicaciones ingenieriles.

  1. Conozco bien el tema a través de José Luis Trueba, que en su momento hizo la tesis con Rañada.
    Hay muchas aplicaciones, unas bastante directas, como a la física de rayos bolay otras indirectas. Estas se basan en usar el mismo formalismo a cualquier cosa que admita una descripción en términos de campos vectoriales que cumplan condiciones parecidas, y de eso hay mucho en muy diversos temas.

  2. Un remolino en un medio potencial, puede adquirir esta misma estructuras, la mas sencilla es la del donut, donde las lineas del remolino recorren la superficie del donut y en todo momento se cumplen las ecuaciones de Maxwell. Claudio

  3. Muy buena entrada, Francis, acabo de verla. Sólo una puntualización, en el artículo de 2008 de Irvine y Bouwmeester no se hace ningún experimento, simplemente se sugiere una forma de producir la solución del Hopfión. Hasta donde yo sé esta solución no se ha producido nunca en el laboratorio, y la última vez que hablé con William me comentó que posiblemente sería muy complicado. Como muy bien explicas arriba, estas soluciones no son robustas porque si perturbo ligeramente la condición inicial, la nulidad no se preserva, y esto produce ruptura en la topología de las líneas eléctricas y magnéticas para tiempos cortos. Desde el punto de vista de las aplicaciones, puede haber conexiones interesantes con confinamiento de cargas (o plasmas), y hay indicios teóricos para ello. Desde el punto de vista matemático un problema abierto importante es saber si la condición de nulidad es realmente necesaria para que la topología se preserve. Muchas gracias por tu interés en la divulgación de este tema.

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