Carlo Rovelli fue invitado por la revista Classical and Quantum Gravity para resumir los primeros 25 años de la gravedad cuántica de bucles (LQG por Loop Quantum Gravity), porque fue en 1986 cuando se usó por primera vez la representación basada en un espacio de bucles para la versión cuántica de la relatividad general. El resultado ha sido el artículo «Loop quantum gravity: the first 25 years,» Classical and Quantum Gravity 28: 153002, 7 Aug. 2011 (gratis en Arxiv).
Rovelli empieza resumiendo la LQG en solo tres ecuaciones cuánticas (ver la figura, omito tratar de explicarlas aquí) que son invariantes Lorentz, que se pueden acoplar a campos de fermiones y de bosones de Yang-Mills, e incluso a una constante cosmológica. Tres ecuaciones sencillas en apariencia pero que representan una física difícil de interpretar. Los símbolos que aparecen en estas ecuaciones tienen connotaciones físicas, pero todavía nadie sabe qué significan realmente. La conjetura de los expertos en LQG es que estas tres ecuaciones se reducen a las ecuaciones de Einstein en el límite clásico, no presentan divergencias ultravioletas y describen la geometría cuántica del espaciotiempo. Hay que aclarar que las tres ecuaciones que presenta Carlo son una formulación posible de la LQG y que según él son equivalentes a cualquier otra formulación de dicha teoría.
Una teoría cuántica del espaciotiempo requiere definir un espacio de Hilbert adecuado para los estados de dicha teoría y encontrar una base de dicho espacio que represente los estados con n partículas, los «cuantos de espacio» en el caso de la LQG. Un «cuanto de espacio» es la excitación básica de un campo gravitatorio en LQG, de la misma forma que un fotón lo es de un campo electromagnético. La gran diferencia entre ambos conceptos es profunda y sutil: el fotón «vive» en un espaciotiempo fijo (de Minkowski), sin embargo, los «cuantos de espacio» representan el propio espaciotiempo. El fotón tiene asociado un momento lineal, lo que equivale a tener un operador cuántico de posición, por lo que un fotón es una partícula que «vive en el espacio,» pero los «cuantos de espacio» en LQG no están localizados en el espacio y definen el propio espaciotiempo. Los «cuantos de espacio» están localizados respecto a otros «cuantos de espacio» gracias a los arcos en un grafo de adyacencia que determina «quién está a lado de quien» (ver la figura de arriba, izquierda). Los «cuantos de espacio» son como «granos» y su adyacencia mutua determina los «gránulos» del espaciotiempo (ver la figura de arriba, centro). Estos «granos» no tienen asociado un momento lineal (ni una posición), sino que tienen asociados números cuánticos que definen la geometría cuántica del espaciotiempo. En este sentido son una versión cuántica de la métrica (el tensor métrico) en la relatividad general de Einstein. La manera en que lo logran se basa en un teorema de Roger Penrose sobre la geometría de espín (spin-geometry theorem). Rovelli nos presenta una versión del teorema basada en ideas de Minkowski de 1897 que ilustra cómo dotar de una noción de «superficie» a los «gránulos» (la unión de dos «granos») de espacio y gracias a dicha noción dotarles de una métrica asociada a cada «grano.» Las componentes de la métrica no son conmutativas entre sí, por lo que la geometría resultante es una «geometría cuántica» genuina. El operador de área presenta un espectro discreto con un valor mínimo (el «salto de área» o «area gap») que se cree que es la clave de la finitud ultravioleta de la teoría.
Las propiedades claves de la «geometría cuántica» del espaciotiempo son: (1) es discreta en esencia; no se obtiene de una discretización de un espacio continuo; además está dotada de operadores de área y volumen que tienen un espectro discreto; (2) las componentes del operador métrico de Penrose no conmutan entre sí y definen una red de espines; además solo ciertos observables geométricos son diagonalizables; y (3) un estado genérico de la geometría no es una red de espines sino una superposición lineal de redes de espines; gracias a ello se pueden definir estados semiclásicos que son análogos a estados con n partículas y que se parecen a los estados con n partículas de las teorías de Yang-Mills en retículos (lattice YM). Según Rovelli la «geometría cuántica» es la base de la gravedad cuántica de bucles. Además, LQG combina expresiones formales análogas a las de la QED con otras análogas a la QCD en retículos. Gracias a estos análogos se ha dado un sentido formal a las integrales de camino de Feynman en LQG y los diagramas de Feynman para «cuantos de espacio.»
La teoría LQG es adimensional y no tiene ningún parámetro de escala, no hay ninguna unidad física que permita medir áreas y volúmenes en la geometría cuántica del espaciotiempo. Para introducir dicha escala se iguala el «salto de área» a un valor de área «natural» asociado a las unidades de Planck, que introduce la constante de la gravitación G en la teoría, así como la velocidad de la luz y otras constantes. El «salto de área» se convierte en el cuadrado de la longitud de un «bucle» (loop) en unidades de Planck. Esta igualdad permite introducir un parámetro libre (llamado γ) cuyo valor permite ajustar la región de energías a las que es válida la LQG (la energía de Planck, energía algo mayores o energía algo menores). La relación exacta entre la longitud de un bucle y la longitud de Planck sólo puede ser obtenida mediante su medida experimental (gracias a la cosmología). La gran diferencia entre QCD en retículos y la LQG es que en la primera hay una escala natural, la distancia entre los nodos de la red, cuyo valor en el límite continuo tiende a cero, pero en LQG no hay tal parámetro de escala. Rovelli nos dice que pasa lo mismo que con las coordenadas en teoría general de la relatividad, no tienen significado métrico como tal, sólo lo tienen las distancias (diferencias entre coordenadas) vía el tensor métrico.
La presentación de Rovelli de la LQG no se basa en cuantizar la teoría general de la relatividad (la gravitación clásica) sino que parte de conceptos cuánticos. Esta aproximación se parece a la formulación moderna de la electrodinámica cuántica (QED) en muchos libros. En lugar de tomar el campo electromagnético de Maxwell y presentar un procedimiento que permite cuantizarlo (cuantización canónica o mediante integrales de camino), se definen los diagramas de Feynman y cómo construirlos y luego se demuestra que en cierto límite se reducen al electromagnetismo clásico. En LQG el problema es que partir de una formulación basada en la «geometría cuántica» todavía no hay una demostración rigurosa de que se obtiene en un límite apropiado la gravitación clásica.
¿Qué problemas resuelve la teoría LQG? Rovelli empieza recordando qué problemas no resuelve la LQG (en esto se diferencia de otros defensores de dicha teoría): (1) no resuelve el problema de la unificación de todas las fuerzas; es una teoría cuántica de la gravedad igual que la QED lo es del electromagnetismo; (2) no explica el significado de la mecánica cuántica; es una teoría cuántica regida por las leyes de la física cuántica y en LQG aparecen todos los misterios cuánticos sin explicación; y (3) no resuelve los problemas cuánticos cosmológicos; los problemas asociados a la ausencia de un observador externo al universo o sobre cómo realizar física cúantica para el universo en su conjunto en la ausencia de observadores. Según Rovelli, los problemas que resuelve la LQG son: (1) explica la geometría cuántica del espacio; (2) elimina las divergencias ultravioletas en la gravedad cuántica; y (3) logra una teoría cuántica de campos covariante (como la teoría general de la relatividad). Los problemas que logrará resolver son: (1) cosmología de la gran explosión (big bang); en los primeros instantes del universo la geometría del espaciotiempo es cuántica y LQG ayudará a entender sus propiedades; (2) termodinámica de los agujeros negros y la explicación de la radiación de Hawking; y (3) estructura física del espacio a pequeña escala y las propiedades que la diferencian del límite clásico.
El resto del artículo de Rovelli trata de resumir lo que se ha avanzado en cada uno de estos problemas. Yo me limitaré a resumir la parte relativa a la entropía de los agujeros negros, explicar la fórmula de Bekenstein−Hawking S = (1/4)A/(h G). El origen microscópico de esta fórmula se puede entender gracias a la teoría LQG. La expresión «agujero negro» se utiliza en física con cierta ambiguedad para referirse a un agujero negro estacionario (caracterizado por su masa, carga y momento); sin embargo, todo agujero negro es dinámico (no estacionario) que no está caracterizado por solo 3 parámetros sino por una infinidad de ellos; según Rovelli estos parámetros caracterizan las fluctuaciones de la geometría del horizonte de sucesos, los momentos multipolares de la «forma» del horizonte. Los grados de libertad del agujero negro que cuenta su entropía son los que determinan la forma del horizonte de un agujero negro no estacionario, porque según Rovelli un agujero negro no puede ser estacionario. Los estados macroscópicos del agujero negro sí pueden ser estacionarios, pero sus estados microscópicos no pueden serlo, como un gas encerrado en una caja tiene una presión y una temperatura constantes, pero sus moléculas están en movimiento continuo. Las «moléculas en movimiento» del agujero negro son los grados de libertada que caracterizan la forma del horizonte de sucesos. La entropía del agujero negro cuenta este número de grados de libertad. Para la teoría clásica de la gravedad este número es infinito, sin embargo, en LQG la geometría cuántica implica un número finito de grados de libertad. El cálculo es complicado y sutil pero conduce al siguiente resultado S(LGQ) = (1/4) (γ/γo) A/(h G), donde γo es un número del orden de la unidad que depende de ciertos cálculos combinatorios, cuyo valor más actual es γo = 0,274 067 . . . Para que esta fórmula coincida con la fórmula de Bekenstein–Hawking es necesario que el parámetro libre γ = γo (conjetura de Barbero–Immirzi). El único parámetro libre de la LQG que debe determinarse gracias a su comparación con el experimento, puede calcularse gracias a los agujeros negros. Este resultado no es del todo satisfactorio, ya que no se conoce en detalle la razón por la que γ = γo. Según Rovelli, aquí hay algo importante que aún nadie entiende. ¿Cuál es la gran diferencia entre el cálculo de la entropía de los agujeros en LQG y en teoría de cuerda? El valor en LQG se puede calcular para diferentes tipos de agujeros negros, sin embargo, en teoría de cuerdas solo se sabe calcular para agujeros negros extremales y casi-extremales.
¿Qué tiene que decir Rovelli sobre las críticas recientes a la LQG por no ser invariante Lorentz a todas las energías? El satélite Fermi observó un solo fotón (el más energético observado en una fuente de rayos gamma) que reafirmó la invarianza Lorentz a energías por encima de la escala de Planck, lo que condujo a ciertas crícitas a la LQG. Según Rovelli, es un error interpretar este fotón como una evidencia en contra de la LQG. Esta teoría no implica una violación de la invarianza Lorentz a la energía de Planck. Interpretar que la existencia de una longitud mínima es incompatible con la invarianza Lorentz es erróneo, según Rovelli, ya que no tiene en cuenta efectos cuánticos. Sería lo mismo que interpretar que la existencia de un momento angular mínimo es incompatible con la invarianza ante rotaciones, una conclusión que contradice la mecánica cuántica del momento angular. Según Rovelli, la evidencia teórica en LQG apunta a que dicha teoría no viola la simetría Lorentz a la energía de Planck (aunque no hay demostración todavía de este hecho).
En resumen, a los interesados en LQG les recomiendo encarecidamente que lean el artículo de Rovelli. Merece la pena y su visión que combina la de un prosélito y la de un crítico me gusta. Muchos ya sabéis que yo soy más aficionado a la teoría de cuerdas, pero de vez en cuando hay que leer sobre la competencia. Por cierto, en el mismo número de la revista que publica este artículo aparece un artículo sobre ella de Sunil Mukhi, «String theory: the first 25 years,» Classical and Quantum Gravity 28: 153001, 7 Aug. 2011 (pero que no está gratis en Arxiv, así que le dedicaré una próxima entrada).
Francis (th)E mule Science's News 