Soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos de luz

En 1989 Antonio Fernández Rañada (Univ. Complutense, Madrid) introdujo una solución tridimensional de las ecuaciones de Maxwell con la topología de un nudo, a la que llamó hopfión (porque se inspiró en el fibrado de Hopf), que en 2008 se demostró de forma experimental. Hridesh Kedia (Universidad de Chicago, Illinois, EEUU) y sus colegas, entre ellos el español Daniel Peralta-Salas (contratado Ramón y Cajal en el Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC, Madrid), han encontrado una familia de soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos tipo trébol (tres lazos), con cinco lazos e incluso más. Estas soluciones para un campo electromagnético clásico son de tipo campo nulo, porque los dos invariantes de las ecuaciones de Maxwell tienen valor nulo (en concreto, en todo punto el campo eléctrico es ortogonal (perpendicular) al magnético y ambos campos tienen idéntico módulo). La nueva familia de soluciones tipo nudo es estable y permite formar cadenas de nudos enlazados unos con otros. Todavía no se han verificado de forma experimental en laboratorio, pero nada parece impedir que sea posible (utilizando alguna variante de la técnica utilizada en 2008 para producir el hopfión). El artículo técnico es Hridesh Kedia, Iwo Bialynicki-Birula, Daniel Peralta-Salas, William T. M. Irvine, «Tying Knots in Light Fields,» Phys. Rev. Lett. 111: 150404, 10 Oct 2013. El artículo que introdujo el hopfión es Antonio Fernández Rañada, «A topological theory of the electromagnetic field,» Letters in Mathematical Physics 18: 97-106, Aug. 1989, y el que lo observó en laboratorio es William T. M. Irvine, Dirk Bouwmeester, «Linked and knotted beams of light,» Nature Physics 4: 716-720, Aug. 2008.

No es posible oír la densidad de un tambor

En 1966, el matemático Mark Kac preguntó: ¿es posible oír la forma de un tambor? En 1992, Gordon, Webb y Wolpert demostraron que es imposible, encontraron un contraejemplo (dos dominios isoespectrales). Paolo Amore (Univ. de Colima, México) se pregunta: ¿es posible oír la densidad de un tambor? Su respuesta también es negativa. La figura que abre esta entrada muestra dos tambores isoespectrales con densidad variable (el sombreado oscuro indica mayor densidad). Los dominios isoespectrales tienen la misma área, perímetro y masa total. Su demostración consiste en extender trabajos previos al caso heterogéneo, es decir, considerar un problema generalizado de autovalores para el operador laplaciano y utilizar simulaciones numéricas. Las vibraciones de un tambor no homogéneo están descritas por las autofunciones del problema de valores propios de la ecuación de Helmholtz (-Δ)ψ = λ Σψ, donde Σ> 0 es la densidad de la membrana; con un cambio de variables Amore transforma el problema en (-Δ’)ψ = λ ψ, lo que le permite aplicar resultados previos. Los interesados en más detalles disfrutarán con el artículo Paolo Amore, «One cannot hear the density of a drum (and further aspects of isospectrality),» arXiv:1307.0279 [math-ph] (accepted in Phys. Rev. E).

Cómo afecta el flujo de sangre en el ventrículo izquierdo a su función cardíaca

Hace una década estuve estudiando cómo simular por ordenador el flujo de sangre en el ventrículo izquierdo para compararlo con las medidas de la perfusión cardíaca en los ecocardiógrafos de contraste. Al final todo quedó en una solicitud de proyecto de investigación que no nos concedieron y decidí cambiar de tema de estudio; sin embargo, me sigue gustando leer artículos científicos que presentan los resultados que nosotros podríamos haber obtenido. Se publica en Physics of Fluids una simulación del flujo de sangre en el ventrículo izquierdo que muestra que los patrones del flujo no afectan a la función cardíaca (su efecto es insignificante), aunque mejoran el mezclado de la sangre y el tiempo de residencia de las células sanguíneas en el ventrículo. Me ha sorprendido que este resultado fuera el mismo que imaginaba el cardiólogo con el que yo colaboraba. Quizás los que rechazaron nuestro proyecto también lo imaginaban. Por cierto, hoy en día muchos cardiólogos utilizan en su práctica clínica la ecocardiografía de contraste que permite visualizar el flujo de la sangre en el ventrículo izquierdo gracias a la cavitación de las microburbujas (que producen los contrastes que se inyectan por vía intravenosa, normalmente femoral). Aunque influya poco en la función cardíaca, el flujo depende mucho de la condición cardíaca y un flujo anómalo permite detectar muchas patologías. El nuevo artículo es Jung Hee Seo, Rajat Mittal, «Effect of diastolic flow patterns on the function of the left ventricle,» Physics of Fluids 25: 110801, 23 Aug 2013.

Cuatro micrófonos son suficientes para oír la forma de una habitación

Se publica en PNAS la solución a un problema clásico en acústica, cuántos micrófonos son necesarios para oír la forma de una habitación tridimensional utilizando los sonidos generados por un altavoz. La respuesta es al menos cuatro (con probabilidad uno y para una habitación poliédrica convexa). Como los autores del artículo son de la Escuela Politécnica Federal de Lausana, Suiza, han ilustrado su algoritmo con la Catedral de Lausana. Los sonidos se reflejan en las paredes y forman ecos que son recogidos por los micrófonos y etiquetados por el nuevo algoritmo, lo que permiten reconstruir la forma tridimensional de la habitación. Se necesitan al menos cuatro micrófonos porque con menos pueden aparecer «ecos fantasmas» que parecen provenir de una pared «fantasma» (que no existe). Quizás pienses que es más fácil ver la forma tridimensional de la habitación que oírla, pero la técnica permite detectar objetos o personas en movimiento dentro de la habitación, luego si se usan ultrasonidos puede tener aplicaciones prácticas muy curiosas. Por supuesto, lo más interesante del trabajo técnico es la demostración matemática y el algoritmo desarrollado, que se basan en álgebra lineal y será disfrutado por muchos matemáticos. Nos lo ha contado Mark D. Plumbley, «Hearing the shape of a room,» PNAS 110: 12162–12163, 23 Jul 2013, que se hace eco del artículo técnico de Ivan Dokmanić, Reza Parhizkar, Andreas Walther, Yue M. Lu, Martin Vetterli, «Acoustic echoes reveal room shape,» PNAS 110: 12186-12191, 23 Jul 2013.

Por qué en una bandada de estorninos cada uno está rodeado por otros siete

Las bandadas de estorninos (Sturnus vulgaris) se caracterizan por una curiosa propiedad: cada estornino ajusta su movimiento en función del de los siete vecinos que le rodean. Este número es independiente del número de individuos y de su densidad. El misterio tiene una explicación: el equilibrio entre la cohesión del grupo y el esfuerzo individual, cuando hay incertidumbre en la detección de la posición de los vecinos, tiene un coste sensorial y cognitivo mínimo cuando la interacción mutua se reduce a entre seis y siete vecinos. Esta solución se ha obtenido estudiando la bandada como un sistema dinámico lineal (sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias) con ruido en la interacción entre individuos. Cada pájaro en la bandada responde a un número fijo de vecinos (m) y cada interacción tiene un cierto coste (esfuerzo) proporcional a la distancia de separació. Como la bandada tiene que responder a las señales externas del entorno (vigilar y evitar depredadores, buscar comida, sitios de descanso, etc.), lo más razonable es que el esfuerzo que cada individuo necesite para mantenerse en la bandada sea el mínimo posible. Aunque el modelo utilizado es muy sencillo, los autores han utilizado simulaciones por ordenador para determinar el número óptimo de vecinos (m*) que minimiza el coste y el efecto negativo del ruido en la interacción. El resultado, que no depende del número de individuos, es un número entre seis y siete, aunque para bandadas muy planas el valor crece hasta 10. L0s autores del estudio afirman que sus conclusiones son aplicables a bancos de peces, enjambres de insectos, rebaños de animales y otras agrupaciones similares de animales. El artículo técnico es Young GF, Scardovi L, Cavagna A, Giardina I, Leonard NE, «Starling Flock Networks Manage Uncertainty in Consensus at Low Cost,» PLoS Comput. Biol. 9: e1002894, 2013.

El crecimiento de tumores cancerosos y la deposición de posos de café en una gota en evaporación

La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) se introdujo en 1986 para describir la formación de irregularidades en un frente de solidificación con una fuente estocástica y tiene muchas aplicaciones, como el crecimiento de tumores cancerosos. Las estructuras que se forman dependen de la geometría de las partículas (o células) que se agregan, difiriendo si son esféricas o elipsoidales. En este último caso, aplicable a cristales líquidos, se utiliza una variante de la ecuación KPZ con desorden «sofocado» (quenching disorder), llamada KPZQ. Para estudiar los límites de validez de la ecuación KPZ y decidir cuándo es necesario recurrir a la ecuación KPZQ, se necesita un sistema experimental fácil de manejar en laboratorio y bien descrito por ambas ecuaciones. El matemático Alexei Borodin (Instituto Técnico de Massachusetts, MIT) y varios colegas nos proponen que dicho sistema es el dibujo de los posos del café cuando una gota se seca por evaporación. Gracias a un microscopio conectado a un ordenador se puede determinar la forma y la distribución estadística de las partículas del líquido durante el proceso, lo que permite demostrar la validez de la ecuación KPZ y cómo se produce la transición a la ecuación KPZQ. Durante la evaporación de la gota las partículas disueltas fluyen hacia el borde de la gota donde se pegan unas a otras; en el caso de partículas elipsoidales la tendencia es apilarse formando «torres,» lo que provoca un crecimiento más rápido del frente que si el apilamiento fuera de partículas esféricas. El nuevo artículo es Peter J. Yunker, Matthew A. Lohr, Tim Still, Alexei Borodin, D. J. Durian, and A. G. Yodh, «Effects of Particle Shape on Growth Dynamics at Edges of Evaporating Drops of Colloidal Suspensions,» Phys. Rev. Lett. 110: 035501, Jan 18, 2013. El artículo origina era Mehran Kardar, Giorgio Parisi, Yi-Cheng Zhang, «Dynamic Scaling of Growing Interfaces,» Phys. Rev. Lett. 56: 889-892, Mar 3, 1986. Me han gustado los dos vídeos que acompañan al nuevo artículo y que ilustra muy bien a nivel microscópico la dinámica que describe a nivel macroscópico la ecuación KPZ. Por cierto, también se pueden «fabricar» galaxias con los posos del café, como conté en la «formación de galaxias en los posos de una taza de café.»

Un vídeo del BSC sobre el corazón latiendo gana un concurso de la revista Science y la NSF

Este vídeo de Guillermo Marín, Fernando Cucchietti, Mariano Vázquez y Carlos Tripiana, afiliados al Barcelona Supercomputing Center, ha ganado el  2012 International Science Visualisation Challenge, concurso de la revista Science y la NSF (National Science Foundation) de EEUU. El vídeo titulado «Alya Red: A Computational Heart» presenta una simulación por ordenador tridimensional de un corazón latiendo. Aunque está en inglés, como debe ser, puedes elegir subtítulos en español, ¡qué lo disfrutes!

Más info en Special Feature on 2012 International Science & Engineering Visualization Challenge, Science, Feb 1, 2013, y Video winners, Science 1 February 2013.

En teoría, basta medir 293 metabolitos para conocer el estado de los 2763 de una célula humana

El metaboloma humano (H. sapiens) comprende 5.283 reacciones bioquímicas que relacionan 2.763 metabolitos con una red metabólica de 21.026 conexiones. Para reconstruir el estado completo de esta red metabólica, es decir, la concentración de todos los metabolitos, ¿cuántas concentraciones de metabolitos hay que medir en laboratorio? La respuesta es 293 (para S. cerevisiae bastan 99 y para E. coli solo 96). ¿Sólo 293 permiten reconstruir el valor de 2.763? Así es, en teoría, claro, pues en la práctica que se pueda hacer no significa que sea factible lograrlo. Lo afirma un nuevo artículo interesantísimo de Albert-László Barabási y dos colegas que estudia la observabilidad (según la teoría del control) de redes metabólicas y de regulación génica. Todo biólogo matemático, o matemático biólogo, debería leer este artículo (tanto si trabaja con datos in silico como, y sobre todo, in vivo). El artículo técnico es Yang-Yu Liu, Jean-Jacques Slotine, Albert-László Barabási, «Observability of complex systems,» PNAS Early Edition, Jan 28, 2013. A los biólogos que tengan dificultades a la hora de entender el concepto de derivada de Lie y el jacobiano correspondiente les recomiendo consultar a cualquier matemático, o si no tienen ninguno a mano estudiar la tesis de licenciatura de Milena Anguelova, «Nonlinear Observability and Identiability: General Theory and a Case Study of a Kinetic Model for S. cerevisiae,» Department of Mathematics, Chalmers University of Technology and Göteborg University, April 2004 [pdf].

El análisis funcional y la estabilidad de la materia

El lector sabe que dos litros de gasolina tienen el doble de energía que un litro; en termodinámica se dice que la energía es una magnitud extensiva. Demostrarlo parece fácil, pero no lo es. La solución de este problema, el problema de la estabilidad de la materia, requiere el uso de poderosas herramientas de análisis funcional, como mostró Elliott H. Lieb (quien el pasado 31 de julio cumplió 80 años). El problema matemático a resolver consiste en demostrar que la energía de un sistema de N partículas en interacción mutua (dos a dos) cumple que el límite E(N)/N es constante para N→∞. Quizás mucha gente piense que este problema tiene una solución sencilla, pero la demostración de Freeman Dyson y Andrew Lenard [1,2] era complicada en extremo, casi imposible de entender para un físico; gracias al trabajo de Elliott Lieb y Walter Thirring [3] las ideas físicas subyacentes vieron la luz, pero guiadas por el lenguaje del análisis funcional (que los físicos ya conocían gracias a que John von Neumann lo utilizó en sus fundamentos matemáticos de la física cuántica). Estoy aprovechando estas fechas navideñas para leer los trabajos originales de Elliott H. Lieb, gracias a su compilación en el libro «The Stability of Matter: From Atoms to Stars,» Edited by W. Thirring, Springer, 1997.

De Juana la Loca hasta las baterías de litio viajando por algunos carnavales de ciencias

Doña Juana I de Castilla y Aragón (1479-1555), Juana la Loca, Reina Propietaria del trono de España, fue la reina más poderosa de su tiempo, aunque nunca gobernó. Su padre, su esposo y más tarde su propio hijo afirmaron que estaba loca, mientras muchos nobles castellanos y los comuneros pretendían que dicha locura era pura invención de quienes querían usurparle el trono. Juana fue «internada» en Tordesillas, pues el confinamiento era el tratamiento oficial para la locura en su época. Sin embargo, todos los hijos de Juana, esposas y esposos de estos, incluso sus nietos ya en edad adulta, sobrinos y sobrinas, visitaban Tordesillas a menudo y le profesaban respeto, admiración y cariño. Si se tratara de una mujer alienada, celosa y delirante sería difícil imaginar de qué modo hubiera podido crear las condiciones de esa unión familiar alrededor de su persona, por tantas generaciones y ramas familiares. La leyenda de la «locura de amor» que Juana profesaba por su marido, Felipe «el Hermoso,» nació cuando Juana fue heredera legítima del trono de Castilla, tras varias muertes inesperadas, entre ellas la de su hermano Juan y su hermana Isabel. Con anterioridad no hay ninguna documentación al respecto. La salud «oficial» de Juana siempre osciló según las necesidades políticas.  Además, como en la Edad Media la locura era un «vicio,» Juana ha pasado a la historia como mujer lujuriosa, dominada por la desesperación, carente de prudencia y rebelde. Nos lo cuenta Begoña Matilla, «El mito de la Reina Juana: ¿“la Loca”?»

Pensar la locura de Juana desde la óptica del saber actual, nos induciría a error. Juana fue una mujer moderna para su tiempo que logró, desde las armas que las mujeres podían esgrimir en los inicios de la Edad Moderna, no perder su titularidad real por la que luchó con uñas y dientes, y hacer posible el gobierno de sus descendientes. Juana organizó estrategias políticas para asegurar la sucesión legítima de su hijo Carlos al trono, como esquivar la voluntad paterna, rompiendo todos los códigos de la época al no volver a casarse después de enviudar, a pesar de las muchas presiones recibidas. Además, cuando los Comuneros se alzaron contra Carlos V y la liberaron de su encierro, Juana logró esquivar sus pretensiones, que de facto, hubieran desheredado a Carlos. Gracias a ella, los Austrias ganaron la partida del poder en España.

La imagen que mucha gente tiene de Juana está moldeada por la película «Juana la loca» (2001) de Vicente Aranda, «una explosiva historia de amor» con más erotismo que precisión histórica, remake de «Locura de amor» (1948) de Juan de Orduña. Pilar López de Ayala interpreta el papel de una neurótica «loca de amor» que le permitió obtener un Goya. La imagen de Juana I que ofrece esta película me recuerda a una psicosis maníaco-depresiva o transtorno bipolar. Su tratamiento actual, basado en el carbonato de litio, será el leitmotiv de esta entrada, cuyo objetivo era superar el reto de los 7 carnavales lanzado por José Manuel López Nicolás (@ScientiaJMLN) en Twitter y superado por él mismo en su blog Scientia. No sé si lo he conseguido, pero no importa. Me ha servido para aprender muchas cosas sobre historia que no sabía. Espero que tú también disfrutes con mi resumen.