Sorprende que en el año 2009 todavía no se tuviera un modelo matemático sencillo en Ecología capaz de explicar el “misterio de los misterios” de Darwin, el origen de las especies. El sueco Pim Edelaar, miembro de la Estación Biológica de Doñana del CSIC en Sevilla, y sus colaboradores lo publican hoy en Science. Un modelo simple que explica cómo la selección natural y la selección sexual trabajan en conjunto para lograr la adaptación local y el aislamiento reproductivo que conduce a una nueva especie, incluso bajo un flujo de mutaciones genéticas importante. Las hembras prefieren los machos cuyos ornamentos sexuales mejor indican lo bien que están adaptados al medio. Un mecanismo de retroalimentación que no había sido descrito con anterioridad de forma tan sencilla y elocuente. El artículo técnico es G. Sander van Doorn, Pim Edelaar, Franz J. Weissing, “On the Origin of Species by Natural and Sexual Selection,” Science Express, Published Online November 26, 2009. El nuevo artículo es la culminación del trabajo que el primer autor, Gerrit Sander van Doorn, postdoc en el Instituto Santa Fe, Nuevo México, EE.UU., y actualmente en la Universidad de Berna, Suiza, desarrolló en su tesis doctoral en 2004, “Sexual selection and sympatric speciation,” PhD Thesis, 2004, PDF 24,30 Mb, bajo la dirección de Franz J. Wessing, y en especial del capítulo 8 de la misma.
El origen de una especie (especiación) require una interacción entre procesos genéticos (diversificación genética) y procesos ecológicos (aislamiento reproductivo). El nuevo modelo matemático consiste en un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas, que omitiremos, que describen cómo la selección sexual, las preferencias de las hembras por ciertos caracteres ornamentales de los machos, se acopla con la selección natural, la presencia de genes beneficiosos para la adaptación de la especie al medio, permitiendo resolver satisfactoriamente el problema de la divergencia de las especies. El modelo teórico es lo sencillo y permite un análisis dinámico (cualitativo y cuantitativo) detallado utilizando la técnica del plano de fases. El modelo muestra que las hembras prefieren a los machos cuyos ornamentos sexuales son los que mejor indican lo bien que están adaptados al medio. Esta preferencia sexual refuerza la selección natural por un mecanismo similar a un sistema de control retroalimentado. Sin este mecanismo, modelos anteriores son incapaces de explicar de forma sencilla la divergencia entre especies.
Gravedad cero. Imagina, como Newton, que la Tierra fuera hueca y te encontraras en su interior. Estarías flotando, completamente ingrávido, como los astronautas en el espacio, pero por una razón diferente. En el interior hueco de una distribución esférica de masa el campo gravitatorio es nulo. Newton lo demostró geométricamente como muestra este extracto de los Principia. Considera un punto P en el interior y dos conos con el mismo ángulo que atraviesan el cascarón. Como la ley de la gravead decae con la inversa de la distancia al cuadrado y la cantidad de masa en el cascarón contenida en cada cono depende de la distancia al cuadrado, la fuerza ejercida en P por ambos cascarones es idéntica pero de sentido opuesto. Sea cual sea P, la fuerza gravitatoria en P debida al cascarón es exactamente cero. Obviamente cualquier objeto exterior al cascarón que rompa la simetría esférica, como la Luna o el Sol en nuestro ejemplo, introducirá una fuerza gravitatoria muy débil pero matemáticamente no nula.
La demostración de Newton es geométrica e intuitiva. La clave es que la fuerza de la gravedad se proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. La masa en el punto P puede ser cualquiera, siempre que sea puntual (su volumen es muy pequeño comparado con el de la esfera hueca). En los primeros cursos de física es habitual presentar una demostración más técnica de este teorema de Newton basada en el teorema de la divergencia de Gauss. Por ende, aplicable a la fuerza de Coulomb dentro de una distribución esférica de carga eléctrica.
En la teoría de la gravedad de Einstein, la relatividad general, el teorema de Newton o el teorema de Gauss también son aplicables aunque con una ligera salvedad. En el punto P la masa ha de ser nula, ya que por muy pequeña que sea deforma el espaciotiempo a su alrededor y la distribución esférica de masa deja de serlo, la simetría esférica se rompe (salvo que P se encuentre justo en el centro). Este resultado de la gravitación de Einstein se llama teorema de Birkhoff y es aplicable incluso al universo entero en su conjunto. Sus aplicaciones son múltiples. Por ejemplo, permite demostrar que la gravedad de la materia puede frenar la expansión del espaciotiempo debida a la Gran Explosión.
El teorema de Newton-Gauss-Birkhoff no se cumple en todas las variantes de la gravedad que han sido propuestas en las últimas décadas. Una de las más famosas es la teoría MOND, una modificación empírica de la gravedad newtoniana propuesta en origen para explicar la curvas de rotación de las galaxias sin necesidad de recurrir a la materia oscura. Para campos gravitatorios muy débiles, la teoría MOND corrige la ley inversa del cuadrado de Newton con un pequeño término de aceleración. La teoría MOND no cumple el teorema de Newton-Gauss-Birkhoff. Todo punto P dentro de una distribución esférica de masa hueca sufre una pequeñísima fuerza en dirección hacia el centro de la distribución de masas. La gravedad cero deja de serlo si la teoría MOND es correcta. Los interesados en los detalles matemáticos de la demostración pueden recurrir a Reijiro Matsuo, su PPT “Does Birkhoff’s law hold in MOND?,” 2008, o su artículo técnico De-Chang Dai, Reijiro Matsuo, Glenn Starkman, “Birkhoff’s theorem fails to save MOND from non-local physics,” ArXiv, 10 Nov 2008, last revised 16 Jun 2009.
Seguramente pensarás que los efectos del incumplimiento del teorema de Birkhoff por parte de la teoría MOND son despreciables a escala galáctica y a escalas mayores, pero no es así, como nos han contado recientemente Reijiro Matsuo, Glenn Starkman, “Screening and Antiscreening of the MOND field in Perturbed Spherical Systems,” ArXiv, 18 Nov 2009. Las dificultades de la teoría MOND a la hora de poder describir el comportamiento de los cúmulos de galaxias y de los supercúmulos de galaxias (donde se requiere la presencia de materia oscura) están relacionados con este problema técnico, como nos cuentan Pedro G. Ferreira, Glenn Starkmann, “Einstein’s Theory of Gravity and the Problem of Missing Mass,” ArXiv, 6 Nov 2009.
Resulta curioso que el problema de una nueva propuesta como teoría de la gravedad sea la Gravedad Cero.
Las teorías cuánticas de las partículas elementales están repletas de infinitos con los que hay que lidiar (regularizar) para obtener resultados finitos con los que comparar los experimentos. Las divergencias ultravioletas, los infinitos que aparecen porque las partículas son puntuales, cuando consideramos distancias muy cortas, o energías muy grandes, producen infinitos que no son malos por sí mismos, más bien son necesarios para dar sentido a muchas propiedades físicas observadas en los experimentos. Puede parecer paradójico que los infinitos sean necesarios, pero así son las cosas. La cuantización de una teoría de campos clásica mediante integrales de camino requiere considerar todos las trayectorias clásicas posibles. Los infinitos ultravioletas tienen su origen en dichas integrales de camino. Un artículo muy bueno sobre la importancia y necesidad de estos infinitos es Roman Jackiw, “What Good Are Quantum Field Theory Infinities?,” ArXiv, 10 Nov 1999.
Las teorías de Yang-Mills son fundamentales en el Modelo Estándar. Un campo de Yang-Mills clásico modela partículas sin masa ya que su constante de interacción es adimensional. Las partículas observadas en la naturaleza tienen masa. En palabras de Sidney Coleman, se necesita una “transmutación dimensional” por la que dicha constante de interacción adquiera dimensiones (de masa o energía) en la versión cuántica de la teoría. Una idea prometedora para explicar cómo aparece una masa (dimensión) en la versión cuántica de una teoría clásica sin masa (adimensional) se basa en el uso de los infinitos ultravioletas en dicha teoría. Dichos infinitos han de ser regularizados (renormalizados) introduciendo una escala de energía (o masa) en la teoría. Las ideas parecen claras, falta el desarrollo matemático riguroso que sustente dichas ideas. En concreto cómo lidiar con los infinitos que aparecen en las integrales de camino necesarias para la cuantización del campo de Yang-Mills utilizando técnicas no perturbativas. Nos lo cuenta de forma breve y comprensible L. D. Faddeev, “Mass in Quantum Yang-Mills Theory,” ArXiv, 5 Nov 2009.
Para Faddeev, entender la transmutación dimensional cuántica en teorías de Yang-Mills es una vía muy prometedora para resolver uno de los Problemas del Milenio del Instituto Clay, dotado con un millón de dólares: el problema de la generación de masas en teorías de Yang-Mills. La descripción oficial de este premio es de Arthur Jaffe y Edward Witten, “Quantum Yang-Mills Theory.” El llamado problema del “mass gap” consiste en descubrir por qué en la versión cuántica de una teoría de Yang-Mills las partículas tienen masa no nula cuando en la versión clásica de dicha teoría todas tienen masa nula. Este problema es clave para entender por qué la fuerza nuclear fuerte es fuerte y de corto alcance aunque los gluones (al contrario que los bosones vectoriales W y Z) no tienen masa.
El problema del “mass gap” no es el único problema matemático no resuelto en las teorías de Yang-Mills. También se desconoce la solución del problema del “confinamiento de los quarks,” ya que la teoría modela campos libres similares a los de la teoría electrodébil, pero que no presentan dicha propiedad. Tampoco se conoce la razón matemática de que la simetría quiral de la teoría esté rota. Muchas cuestiones matemáticas abiertas en una teoría que gracias a múltiples técnicas matemáticas de tipo perturbativo permite calcular todos los parámetros medibles en la interacción de partículas a aceleradores como el Tevatrón del Fermilab o el LHC del CERN. Quizás el secreto de estos problemas esté en una comprensión matemática de las teorías de Yang-Mills desde un punto de vista no perturbativo. Los solitones en teorías de Yang-Mills en 2+1 dimensiones permiten resolver estos problemas matemáticos, sin embargo se desconocen si existen y qué propiedades tienen en 3+1 dimensiones. Un problema muy interesante que requiere las mentes más brillantes.
Robert Mills falleció el 27 de octubre de 1999, hace 10 años. Quería dedicarle una entrada, pero se me pasó la fecha. Sirva esta como homenaje. Nunca es tarde si la dicha es buena.
Chen Ning Yang a sus 87 años sigue vivo y debe estar muy contento (se casó en 2005 con una joven de 28 años).
PS (25 nov. 2009): Físicos andaluces (Huelva y Sevilla) y franceses (París) han calculado utilizado QCD en redes el valor del mass gap en el caso de sólo 2 sabores, quarks up y down, y han obtenido un valor de 267 ± 11 MeV en su artículo F. De soto, M. Gravina, O. Pène, J. Rodríguez-Quintero, “LQCD from gluon and ghost propagators,” ArXiv, 23 Nov 2009. Actualmente están corriendo las simulaciones en el caso más realista de más sabores. Habrá que estar al tanto de sus progresos.
El campo magnético de la Tierra está generado por los movimientos del fluido del manto fuera de su núcleo gracias a un efecto parecido al de una dinamo de un coche. Para verificar esta hipótesis razonable es necesario realizar simulaciones por ordenador de la magnetohidrodinámica del manto y las condiciones de contorno utilizadas en dichas simulaciones son muy importantes. Las simulaciones que suponen que el núcleo está a una temperatura fija (condiciones de Dirichlet) producen un campo magnético mucho más débil que el observado. Nuevas simulaciones han demostrado que un flujo de calor constante (condiciones de Neumann) resultan en un campo magnético dipolar que permite explicar el campo magnético terrestre mediante ordenador y estudiar su dinámica. El vídeo que abre esta entrada ilustra utilizando una proyección de Mollweide uno de los resultados obtenidos mostrando claramente la bipolaridad del campo magnético (radial) y su dinámica durante unos 7.000 años [más vídeos aquí]. La imagen de abajo muestra cortes transversales del manto también obtenidos con estas simulaciones por ordenador. Un gran trabajo de Ataru Sakuraba y Paul H. Roberts, publicado en “Generation of a strong magnetic field using uniform heat flux at the surface of the core,” Nature Geoscience 2: 802-805, 2009, que nos comenta en detalle Bruce Buffett, “Geodynamo: A matter of boundaries,” Nature Geoscience 2: 741-742, 2009.
Los aficionados a este blog ya sabéis mi gusto personal por la física computacional y por la belleza de las figuras y gráficas que ilustran los resultados de las simulaciones. La de abajo es una buena muestra de ello. Muestra tanto las componentes del campo de velocidades como del campo magnético, vista desde el norte, a una altura un décimo del radio terrestre. En concreto las componentes radiales de la velocidad (c,d), azimutales (e,f) y las componentes azimutales del campo magnético (g,h).
Por cierto, los interesados en el geomagnetismo terrestre disfrutarán con la mayoría de las conferencias del KITP Program: Dynamo Theory (May 5 – July 18, 2008), coordinador por Chris Jones, Daniel Lathrop, Steven Tobias, y Ellen Zweibel. Incluyen transparencias, audio y vídeo de la mayoría de conferencias y discusiones. Que además sirven para practicar el inglés científico.
Esta entrada es sólo para lanzar la liebre a ver si alguien sabe algo más que yo sobre lo que opinan los expertos al respecto de este nuevo candidato a demostración breve del teorema de los cuatro colores.
El flujo de un fluido a través de un medio poroso tiene muchas aplicaciones en física, química, biología, geología, ingeniería y medicina. Para fluidos newtonianos se utiliza la ley de Darcy. El flujo de petróleo en rocas porosas o el flujo de la sangre en la red de capilares del riñón requiere considerar fluidos no newtonianos. Suizos y brasileños nos presentan el primer estudio numérico de la simulación tridimensional del flujo no newtoniano (tipo potencial, Bingham y Casson) a través de un medio poroso en el artículo Apiano F. Morais, Hansjoerg Seybold, Hans J. Herrmann, José S. Andrade Jr., “Non-Newtonian fluid flow through three-dimensional disordered porous media,” ArXiv, 6 Nov 2009. Sus simulaciones (figura de arriba, izquierda) demuestran la existencia de una ley universal que relaciona la permeabilidad y el número de Reynolds (adecuadamente normalizados) como muestra la figura de arriba (derecha). Más aún, para el caso de fluidos de Bingham (como en capilares sanguineos) han descubierto un efecto sorprendente: para números de Reynolds intermedios, el flujo mejora gracias a la presencia del medio poroso. Este “transporte mejorado” es toda una sorpresa en el campo de la reología. Por supuesto, habrá de ser verificada experimentalmente para evitar susceptibilidades entre los especialistas.
El artículo no estudia la estructura fractal del medio poroso, pero en mi opinión este artículo es una nueva evidencia sobre la importancia de la estructura fractal de los conductos en los órganos humanos (riñón, pulmones) que conduce a un medio poroso “equivalente” que “mejora” el flujo y el transporte de sustancias.
¿Por qué algo tan técnico en este blog de divulgación? Bueno, en España, mucha gente discute ahora si la reología debe ser materia del grado de Ingeniero Industrial o si se debe relegar al máster. Discusión curiosa donde las haya, ya que la mayoría de los ingenieros industriales no saben ni lo que es la reología. Quizás a alguno de los que lo sepa le sirva de algo este ejemplo, este botón de muestra.
La distrofia muscular (DM) es una enfermedad en la que los enfermos presentan mutaciones que les impiden producir total (DM de Duchenne) o parcialmente (DM de Becker) la proteína distrofina. Para estudiar la biomecánica de esta enfermedad, las propiedades mecánicas de los músculos en la ausencia de distrofina, es necesario usar un animal modelo. El nemátodo Caenorhabditis elegans ha sido el elegido por investigadores de la Universidad de Pennsylvania, Philadelphia, EEUU. Mediante vídeos de alta velocidad y modelos biomecánicos han estudiado cómo afecta la distrofia muscular a la natación de estos nemátodos en un fluido a bajo número de Reynolds. Un trabajo curioso e interesante que permitirá comprender mejor esta enfermedad y cómo las terapias genéticas actúan sobre la misma. El artículo técnico ha sido aceptado para publicación en el Biophysical Journal y está disponible gratis como J. Sznitman, Prashant K. Purohit, P. Krajacic, T. Lamitina, P.E. Arratia, “Material properties of Caenorhabditis elegans swimming at low Reynolds number,” ArXiv, 9 Nov. 2009.
El movimiento ondulatorio de los nemátodos les permite nadar en un fluido newtoniano a bajo número de Reynolds en el cual dominan las fuerzas viscosas lineales dominan a las fuerzas de inercia no lineales. Estos nemátodos nadan gracias a contracciones periódicas de sus músculos dorsales y ventrales, generando ondas que se propagan desde su cabeza a su cola. Los detalles de este movimiento ya se publicaron con anterioridad y se entienden bastante bien, lo que permite estudiar el efecto de ciertas mutaciones genéticas. En especial, se pueden inferir a partir de modelos matemáticos las propiedades mecánicas de los tejidos del animal (módulo de Young, viscosidad tisular) a partir de la grabación en vídeo y análisis de las imágenes de su movimiento natatorio.
El vídeo que acompaña esta entrada muestra el análisis del movimiento (motilidad) del nemátodo Caenorhabditis elegans, de sólo 1 mm. de longitud, cuyo movimiento ha sido grabado con una cámara de alta velocidad a 125 fotogramas por segundo en un fluido acuoso caracterizado por un número de Reynolds () menor de la unidad (unos 0.4). La velocidad promedio del nemátodo es de 0.45 mm/s y el periodo de las ondulaciones de su cuerpo de 0.46 s. Los investigadores han estudiado el movimiento de nemátodos sanos y genéticamente modificados (mutantes) para asemejar una distrofia muscular (no expresan una proteína homóloga a la distrofina humana). Los nemátodos mutantes presentan una movilidad reducida, alcanzando en promedio sólo 0.17 mm/s pero con un periodo de 0.63 s. (lo que conduce a un número de Reynolds de sólo 0.15). Los vídeos de los nemátodos mutantes muestran que su principal dificultad para nadar se encuentra en una movilidad reducida para su cola.
Gracias a un modelo (matemático) biomecánico muy sencillo los investigadores han logrado determinar los valores del módulo de Young (E) y la viscosidad tisular (eta) de los músculos tanto de los nemátodos sanos como de los mutantes (que no producen distrofina). Para los nemátodos sanos E = 3.77 +/- 0.62 kPa, y eta = -860.2 +/- 99.4 Pa s (valor negativo porque el nemátodo genera energía en su movimiento en lugar de disiparla). Estos valores se reducen hasta en un 40% dependiendo del tipo de mutante estudiado (han estudiado tres tipos) como muestra la figura de abajo.
En resumen, un interesante estudio biomecánico de interés para profesores de física, mecánica y biomecánica, quienes podrán presentar el modelo teórico a sus alumnos, así como para profesionales de la medicina interesados en estos temas (aunque las aplicaciones biomédicas de este tipo de estudios son todavía lejanas). Para los demás, resulta curioso que la biomecánica de la natación de un gusano nos permite entender la biomecánica más íntimo de un enfermo (humano) de distrofia muscular.
La tabla de Venus del códice de Dresden presenta la visibilidad de Venus como "estrella matutina" y "estrella de la tarde."
El estreno próximo de la película “2012” nos lleva a plantearnos el problema de la correlación entre el calendario maya y nuestro calendario contemporáneo. Afirmar que el día 13.0.0.0.0 del calendario maya corresponde al 21 de diciembre de 2012 es obviamente apostar por una fecha sin base científica alguna. De hecho, la fecha contemporánea más fiable para dicha efeméride es entre el 21 y el 23 de diciembre de 2220, según un cálculo arqueoastronómico de Bryan Wells y Andreas Fuls, publicado originalmente en su libro “Correlating the Modern Western and Ancient Maya Calendars,” ESRS (West) Monograph no. 6, Berlin, 2000. No he podido leer dicho libro, pero como la mayoría de los lectores de este blog, aunque ahora no lo recuerden, sí he podido leer el artículo que publicó Andreas Fuls en español en la revista Investigación y Ciencia titulado “El enigma del calendario maya,” No. 332, Mayo 2004 [copia gratis escaneada]. El cálculo de Fuls, basado en el códice de Dresde, está exquisitamente detallado en dicho artículo. No sé si merece la pena que repita aquí los puntos más importantes de dicho cálculo. Si algún despistado no leyó dicho artículo en su momento, le animo a leer el artículo escaneado, merece la pena.
La clave de todos estos cálculos, siempre difíciles, es utilizar acontecimientos astronómicos descritos en el calendario maya, por ejemplo, la posición de venus en ciertos años, que pueden ser calculados con gran exactitud. El resultado es una tabla de incertidumbres que permite, tras un análisis estadístico, determinar la correlación más probable entre el calendario maya y el contemporáneo. La tabla de incertidumbres es el mejor dato para mostrar y la tenéis aquí, extraída del libro de Wells y Fuls. Por supuesto, alguien dirá, si Fuls ha hecho el cálculo es normal que él afirme que SU cálculo es el mejor. Bueno, hay varios estudios independientes que verifican y confirman dicho cálculo como el publicado en J. Klokoník et al., “Correlation between the Mayan calendar and ours: Astronomy helps to answer why the most popular correlation (GMT) is wrong,” Astronomische Nachrichten 329: 426-436, 8 Apr 2008.
El análisis de Wells y Fuls se basa en la coincidencia simultánea de varias efemérides astronómicas descritas en el Códice de Dresden (figura que abre esta entrada). La cronología estándar de GMT, por los nombres de sus autores, Goodman (1905), Martínez (1926) y Thompson (1927), ha de ser corregida en 208 años, gracias al uso de ordenadores para el cálculo de las efemérides astronómicas (ver figura de abajo). La nueva cronología, llamémosla WF, corresponde mucho mejor con muchos acontecimientos relevantes de la civilizació maya. Sin embargo, no ha sido tenido en cuenta por los productores y guionistas de la película “2012” que prefieren la GMT por razones puramente comerciales. La pela es la pela.
La ecología humana permite comprender cómo nos relacionamos con los demás y permite desarrollar modelos matemáticos de nuestro comportamiento, basados en ecuaciones diferenciales ordinarias y estocásticas no lineales. Strogatz en 1988 introdujo el primer modelo matemático del amor (o del enamoramiento). Sprott en 1994 introdujo términos no lineales y una dinámica mucho más interesante. Desde entonces muchos otros lo han mejorado. La última aportación es el artículo de Cherif y Barley que introduce un modelo estocástico del amor. Una buena excusa, como cualquier otra, para recordar el amor, las matemáticas y el amor a las matemáticas. Un tema tan apasionante seguro que levanta pasiones. El artículo técnico es Alhaji Cherif, Kamal Barley, “Stochastic Nonlinear Dynamics of Interpersonal and Romantic Relationships,” ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009. Por cierto, esta entrada es la mejor excusa posible para recordar al genial Kiyosi Ito, uno de los padres de la teoría de ecuaciones estocásticas, primer ganador del Premio Gauss de la IMU, quien concede las Medallas Fields, concedido en el ICM 2006 de Madrid, quien falleció el 10 de noviembre de 2008, ya entonces (agosto 2006) estaba muy enfermo y recogió el premio su hija (actriz y cantante famosa en Japón), que se hizo la foto de rigor con Su Majestad Juan Carlos I de España.
Las relaciones románticas son las relaciones interpersonales más importantes en la vida social humana, especialmente durante la adolescencia. Más del 70% de los estudiantes de formación secundaria declaran que están viviendo o han vivido una relación romántica. En adultos la mayoría de estas relaciones fracasa, en el sentido de que no concluye en la formación de una pareja, compromiso estable o matrimonio. El estudio experimental de las relaciones románticas es difícil, por ello los expertos en ecología humana recurren a modelos matemáticos similares a los utilizados en ecología. Esta rama de la ciencia se inició con el análisis mediante ecuaciones diferenciales lineales de las relaciones románticas en la obra Romeo y Julieta de Shakespeare que realizó Strogatz en 1988 con fines docentes (“Love affairs and differential equations“). Desde entonces muchísimos matemáticos han utilizado las “ecuaciones del amor” para facilitar la docencia de la dinámica de sistemas no lineales (como Sprott en “Dynamical models of love,” quien también ha estudiado la felicidad en “Dynamical models of happiness“). Estos autores han introducido correcciones no lineales al modelo de Strogatz y lo han extendido, por ejemplo, a los triángulos amorosos. Además, se han utilizado modelos matemáticos más avanzados como ecuaciones con retrasos y modelos estocásticos, como los desarrollados por Cherif y Barley en el nuevo artículo que comentamos.
Los modelos más sencillos son del tipo Strogatz-Sprott y se basan en cuatro estados posibles de enamoramiento que se muestran en la figura de la izquierda: (I) deseo correspondido (eager beaver), saber que la otra persona nos ama refuerza nuestro propio amor hacia ella; (II) amor precavido (cautious lover), rechazamos nuestros propios sentimientos pero los de la otra persona refuerzan nuestro amor; (III) amor ermitaño (hermit), rechazamos nuestros propios sentimientos y los de la otra persona; y (IV) tímido narcisista (narcissistic nerd), nuestro amor es intenso pero nos hecha para atrás que la otra persona también nos ame. El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales acopladas para las variables que miden el amor hacia la persona amada, correspondiendo los valores positivos a sentimientos positivos (amistad, pasión, en función de la magnitud del valor) y valores negativos a sentimientos negativos (antagonismo, desdén). El modelo propuesto es el siguiente
donde las constantes representan la atracción hacia al otro. Los parámetros indican el grado con que un individuo ha internalizado sus propios sentimientos y su propia autoestima. Los parámetros $\beta _{i}$ representan el efecto de refuerzo que los sentimiento de la otra persona provoca en nosotros. La constante introduce una función de retorno que, según los autores, modela el amor entre Steve Urkel y Laura Winslow en la teleserie “Cosas de casa”: Cuando Steve se desespera, el antagonismo de Laura se reduce por su sentimiento de compasión hacia él.
Este sistema dinámico tiene un punto de equilibrio dado por
que es no negativo y asintóticamente estable si y sólo si
donde y es la función de retorno linealizada. En cualquier otro caso, el equilibrio es inestable.
Basándose en este modelo, Alhaji Cherif y Kamal Barley introducen un nuevo modelo de carácter estocástico que presenta una mayor diversidad de comportamientos dinámicos. Este modelo corresponde a una proceso de Markov continuo cuya tabla de transición aparece a la izquierda y que conduce a una ecuación diferencial estocástica en el sentido de Ito, de la forma
Supongo que la mayoría de los lectores de este blog no conocerán este tipo de modelos matemáticos, así que no entraré en muchos detalles (los interesados en lo mínimo de lo mínimo pueden consultar T.E. Govindan, “Ecuaciones diferenciales estocásticas“). Hoy en día hay muy buenos métodos numéricos (y software en Internet) para la resolución de este tipo de ecuaciones estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas para el modelo de Cherif-Barley son
Lo más interesante del modelo estocástico es que presenta comportamientos que no se observan en el modelo determinista, con lo que su dinámica es mucho más rica e interesante. La figura de arriba muestra comportamiento oscilatorio para valores de los parámetros para los que el sistema determinista no lo presenta. La figura de abajo muestra la aparición de dos puntos de equilibrio estables y la transición (difusión) entre ellos.
El análisis de los resultados del modelo de Cherif-Barley en su propio artículo es pobre, pero se me antoja que los resultados son muy interesantes y darían para una extensa discusión. Sin embargo, como siempre, mi intención es solo mostraros cosas curiosas que os llamen la atención y os provoquen una lectura de artículos técnicos que de otra manera, quizás, nunca llegaríais a conocer.
Los profesores de mateamática aplicada o de asignaturas de modelado de sistemas podrían proponer a sus estudiantes como práctica el desarrollo de un modelo del amor y las relaciones románticas. Ya algunos lo han hecho, como nos cuenta Kari, guapa estudiante de física en Perú, en su blog y con bastante éxito entre los alumno, según ella misma. Los alumnos tuvieron que exponer sus trabajos y sus razonamientos fueron realmente curiosos: “No podía creer como defendían sus puntos de vista hablando tan abiertamente de ese tema del cual a muchos en más de 3 años nunca escuché hablar y teniendo en cuenta que la última conversación que tuve con ellos fué sobre las propiedades del Hamiltoniano cuántico.”
Jean-Pierre ha publicado poco en ArXiv desde entonces, sólo algunos artículos epistemológicos sobre la Historia de la Gran Explosión y el Fin de la Física. Por ello me ha sorprendido hoy con un curioso artículo sobre la paradoja de los gemelos en un universo de geometría y topología arbitraria, J.-P. Luminet, “Time, Topology and the Twin Paradox,” ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009, aunque en realidad es una secuela “digerible” de un artículo anterior, Jean-Philippe Uzan, Jean-Pierre Luminet, Roland Lehoucq, Patrick Peter, “Twin paradox and space topology,” Eur. J. Phys. 2002 [gratis en ArXiv].
La “paradoja” de los gemelos tiene fácil “resolución” en un espaciotiempo plano (en el marco de la relatividad especial), gracias a que el gemelo que viaja tiene que acelerarse (cambiar su velocidad) para cambiar de dirección y poder regresar. El análisis en relatividad general es más complicado ya que, por un lado, estas aceleraciones son equivalentes a campos gravitatorios, lo que provoca un retraso adicional de los relojes, una dilatación temporal gravitatoria, y por otro lado, no es necesaria ninguna aceleración para explicarla en un espaciotiempo compacto, en el que el gemelo puede regresar dándole una vuelta a todo el universo sin cambiar su velocidad.
En un universo con una topología múltiplemente conexa, como el toro de la figura de la izquierda, la explicación de la “paradoja” se encuentra en la propia topología. Hay trayectorias ”convencionales” como la número 2, que implican aceleraciones, pero también hay trayectorias como la 3 y la 4 que no las requieren. En estas trayectorias la asimetría entre ambos gemelos que explica la “paradoja” se encuentra en el hecho de que las trayectorias que siguen no son homotópicamente equivalentes. El índice (en inglés winding number) de las trayectorias 2, 3 y 4 es (0,0), (1,0) y (0,1) , con lo que si cada gemelo sigue una trayectoria con diferente índice se produce la dilatación que explica que el que se mantiene en reposo envejezca más rápido que el que se va de viaje. La homotopía y la topología al auxilio del físico relativista que trata de explicar la paradoja de los gemelos en relatividad general. Los cálculos en detalle son complicados pero las ideas son muy sencillas.
PS (3 noviembre 2009): Un nuevo artículo de Jean-Pierre sobre la simetría y la belleza en el arte, en la ciencia y en la astronomía puede ser de interés para muchos de los lectores: J.-P. Luminet, “Science, Art and Geometrical Imagination,” ArXiv, 2 Nov 2009.
El hidrato de un gas es el material que se obtiene al congelar una mezcla de agua y gas, de tal forma que la retícula molecular del hielo encierre a dicho gas. El “hielo de metano” o hidrato de metano es el ejemplo más habitual y se encuentra bajo las capas de lodo marino. Sorprendentemente es un material inflamable, arde al acercar una llama, y podría ser utilizado como combustible, pero el metano es un gas de invernadero. ¿Cómo se forma el hidrato de metano? Matthew R. Walsh y sus colaboradores de la Colorado School of Mines, EEUU, han utilizado simulaciones dinámicas moleculares para estudiar la formación espontánea del hidrato de metano y su crecimiento. Los resultados del ordenador permiten seguir el proceso en detalle en una escala de microsegundos. El proceso se basa en la formación de “jaulas” moleculares en las que se ven encerrados los átomos de metano que se van autoorganizando hasta formar una estructura ordenada similar a un cristal. Este proceso es espontáneo porque es energéticamente favorable. Los dos vídeos que acompañan esta entrada ilustran este proceso de nucleación y “enjaulamiento” del metano en la retícula de hielo. El artículo técnico es Matthew R. Walsh, Carolyn A. Koh, E. Dendy Sloan, Amadeu K. Sum, David T. Wu, “Microsecond Simulations of Spontaneous Methane Hydrate Nucleation and Growth,” Science Express, Published Online October 8, 2009. Los detalles de las simulaciones por ordenador realizadas se encuentran en la Información Suplementaria.
Las simulaciones han requerido un día de trabajo cada 75 ns (nanosegundos) de simulación en un supercomputador de 23 TFLOP (“billones” de operaciones en coma flotante por segundo), constituido por un cluster de procesadores. Se han simulado 512 átomos de metano y 2944 moléculas de agua (hielo) enfriados a una temperatura de 305 K y a una presión de 10 MPa (megapascales). El dominio tridimensional simulado es un cubo con un lado de 5 nm (nanómetros) con condiciones de contorno periódicas. Se ha utilizado un paso de tiempo de 2 fs (femtosegundos).
El vídeo que abre esta entrada muestra un detalle de las fases iniciales de formación de las “jaulas” de hielo que encierran a las moléculas de metano dando lugar al crecimiento y formación del hidrato de metano. Sólo se muestran algunas de las moléculas de agua (esferas pequeñas) y de metano (esferas grandes). Han sido seleccionadas las que acaban formando parte de la estructura que se observa al final. Los enlaces de hidrógeno entre las moléculas de agua se muestran como líneas rojas a trazos.
El vídeo que cierra esta entrada muestra una visualización durante de 2 μs de tiempo real de la nucleación del hidrato de metano y su crecimiento a una temperatura de 250 K y una presión de 50 MPa. Las moléculas de agua se muestran como línes sólidas negras, los enlaces de hidrógeno entre las moléculas de agua se muestran como líneas a trazos rojas y las moléculas de metano como esferas sólidas azules, que cuando quedan “enjauladas” pasan a tener un color verde claro.
Las clases de complejidad clásicas y cuánticas se relacionan entre sí de una forma complicada que todavía no conocemos en detalle y por ahora todo son hipótesis. Las clases P y BQP son las clases de problemas resolubles de forma eficiente (polinómica) en ordenadores clásicos y cuánticos, resp. Las clases NP y QMA contienen los problemas de decisión que creemos que son más difíciles para ordenadores clásicos y cuánticos, resp., para los que existen algoritmos eficientes, clásicos y cuánticos, resp., que permiten decidir si una solución es correcta o no. Un artículo reciente en Nature Physics ha demostrado que las clases QMA, NP y P colapsarían (serían iguales entre sí), resolviendo la conjetura P versus NP con una igualdad, si se puede resolver de forma eficiente la simulación de sistemas cuánticos descritos por la teoría del funcional densidad (DFT). Por ejemplo, si un modelo concreto, el modelo cuántico de Hubbard, se puede simular en tiempo polinómico. Nadie cree que esto sea posible, pero carecemos de una demostración, todavía. Nos lo cuenta el experto en la teoría de la complejidad cuántica Scott Aaronson, “Computational complexity: Why quantum chemistry is hard,” Nature Physics 5: 707-708, 2009, haciéndose eco del artículo técnico de Norbert Schuch & Frank Verstraete, “Computational complexity of interacting electrons and fundamental limitations of density functional theory,” Nature Physics 5: 732-735, 2009.
La clase de complejidad del Protocolo Merlín-Arturo (MA) es la clase de problemas de decisión resolubles por el protocolo siguiente. Merlín tiene recursos computacionales ilimitados y envía a Arturo una demostración de tamaño polinómico que prueba que la respuesta es “sí.” Arturo puede verificar dicha prueba en la clase BPP (en tiempo polinómico con un algoritmo probabilístico). Si la respuesta es “sí” existe una demostración que Arturo aceptará como correcta con una probabilidad mayor que 2/3 y si la respuesta es “no” todas las demostraciones serán aceptadas por Arturo con una probabilidad menor que 1/3.
La clase de complejidad cuántica del Protocolo Merlín-Arturo (QMA) es la versión cuántica de MA y corresponde a un Merlín que envía una mensaje con una prueba cuántica que Arturo puede verificar en la clase BQP (en tiempo polinómico utilizando un algoritmo cuántico). Si la respuesta es “sí” existe un estado cuántico (demostración) que Arturo aceptará como correcta con una probabilidad mayor que 2/3 y si la respuesta es “no” todos los estados (demostraciones) serán rechazados por Arturo con un probabilidad mayor que 2/3.
El modelo de Hubbard describe un gas de electrones fuertemente acoplados por potenciales de Coulomb en la retícula de un sólido y permite comprender la transición entre un material conductor y uno aislante. La técnica matemática más utilizada para simular este modelo físico es la llamada teoría del funcional densidad (density functional theory). El nuevo artículo demuestra que si dicho problema se puede simular de forma eficiente, las clases de complejidad QMA y P serán iguales. Esto implica un gran avance en dos frentes. Por un lado, en la propia teoría de la complejidad de algoritmos cuánticos. Y por otro lado, impone un límite fundamental a la propia teoría del funcional densidad ya que una demostración de que P =!= NP (lo que todo el mundo cree) implicaría que nunca podremos simular eficientemente problemas “aparentemente” tan sencillos como el modelo de Hubbard incluso utilizando ordenadores cuánticos.
Esto sorprenderá a muchos ya que la mayoría pensaba que la utilidad más importante de los ordenadores cuánticos (cuando los haya) será la simulación de sistemas cuánticos. Pero si un sistema cuántico tan sencillo como el modelo de Hubbard es tan complejo de simular en un ordenador cuántico como en uno clásico, dicha ventaja se cae por su propio peso. Los avances en computación cuántica no cesan y cada día nos sorprenden más a los que somos aficionados a este “arte,” a esta ciencia.
Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro. La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones de periodo doble. Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica sobre este tipo de rutas. Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría, la Teoría de las Cascadas de Periodo Doble, en un artículo que acabará siendo publicado en PRL (tiempo al tiempo). Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada de este tipo presenta también infinitas más. Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan en dimensión arbitraria. Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones, pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés). Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo, parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2. El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke, “The cascades route to chaos,” ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.
En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones de la aplicación logística. Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457… se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar. La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3 que aparece alrededor de 3,8284… Este comportamiento es bastante genérico y se observa en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.
Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística) y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada, luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico. Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico. Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas. En este sentido este artículo presenta el primer gran resultado de la teoría de las cascadas de doble periodo a la que desde este blog le auguramos un sustancioso futuro.
La Biología Sintética se define como “una aproximación rigurosa a la Biología desde la Ingeniería basada en la aplicación del diseño de sistemas a procesos biológicos complejos” [fuente]. Su objetivo fundamental es desarrollar una biblioteca de BioBricks (bioladrillos), ”unidades modulares básicas de ADN que realizan una función simple. Un BioBrick es un fragmento de ADN que codifica el código genético de un elemento funcional conocido y que puede ser empalmado con cualquier otro BioBrick para formar un módulo complejo.” Uno de los biobricks más famosos es el interruptor genético (genetic toggle switch) que se utiliza para controlar el apagado/encendido de la expresión de un gen. Desde un punto de vista matemático, un interruptor biológico es un sistema biológico que presenta una biestabilidad, que puede estar en dos estados posibles. Este sistema permite la generación de comportamiento oscilatorio autosostenido (un ciclo límite). Su análisis dinámico y numérico se presenta en bastante buen detalle en el artículo técnico de Didier Gonze, “Coupling oscillations and switches in genetic networks,” Biosystems, Article in Press, 2009, que desde aquí recomiendo no sólo a los aficionados a la biología sino también a los aficionados a la matemática.
He de confesar que recientemente yo mismo analicé el comportamiento matemático de este sistema biológico y descubrí por mí mismo muchos de los resultados que aparecen revisados en el artículo de Didier Gonze. Una revisión bibliográfica a posteriori me permitió comprender que lo que yo creía descubriemientos novedosos en realidad eran conocidos ya hace una década. Coronar una montaña, aunque uno no sea el primero en lograrlo, siempre es todo un logro. Contemplar el camino recorrido con los ojos de otros siempre nos muestra detalles que estuvieron a nuestro alcance pero que omitimos por distracción o ignorancia.
El interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli,” Nature 403: 339-342, 20 January 2000 [en la figura de la izquierda se omite la representación de las proteínas]. Es habitual modelar matemáticamente la inhibición (represión) mediante una ley de Hill con un exponente de cooperatividad n. La formulación matemática de la izquierda está adimensionalizada.
La figura de arriba ilustra la dinámica del interruptor cuando los parámetros permiten la biestabilidad, cuando el parámetro a1 se encuentra en el intervalo entre las dos bifurcaciones de punto de silla (SN1=1.4 y SN2=6.8) que muestra la figura superior izquierda. En dicho caso, la intersección de las dos nullclinas (funciones no lineales del miembro derecho del modelo matemático) presenta tres puntos fijos, dos estables y uno inestable central (figura abajo izquierda). Las trayectorias en tiempo típicas del sistema se muestran en la figura superior derecha. Dependiendo de las condiciones iniciales el sistema puede converger a uno de los dos posibles estados estacionarios estables. Es importante recordar que cuando a1>SN2 o a1<SN1 el sistema se comporta de forma monoestable (sólo hay un punto estacionario estable), no ilustrado en la figura de arriba. El comportamiento oscilatorio es debido a la histéresis del sistema que se muestra en la figura inferior derecha y que conduce a oscilaciones autosostenidos de tipo ciclo límite (siguiendo las flechas en la figura). La variación del parámetro a1 requiere que se acople al gen X una proteína que active su expresión, normalmente mediante una ley de Michaelis-Menten. Esta proteína P1 se suele denominar represilador (no mostrada en el modelo matemático).
La parte más bonita del análisis matemático de este problema es el estudio del efecto de los parámetros del represilador P1 (que actúa como un forzamiento) en los diagramas de bifurcación del sistema. La figura de arriba muestra la aparición de comportamiento birrítmico para forzamientos alrededor de los dos puntos en los que se presenta la bifurcación de punto de silla. En este caso, las variables X o Y presentan una comportamiento oscilatorio de pequeña amplitud alrededor de sus valores en estado estacionario. Hasta dos ciclos límites estables se pueden observar en este caso. Todo depende del forzamiento introducido por el represilador, que permite inducir un comportamiento oscilatorio en un estado inicialmente estable.
Sin entrar en más detalles de este análisis dinámico me gustaría acabar recalcando que este su simplicidad permite utilizarlo como modelo de nivel intermedio en cursos de dinámica no lineal y caos. En dicho caso, conviene recalcar al alumno que este tipo de sistemas se ha observado biológicamente y ponerle algunos ejemplos (son fáciles de encontrar en la literatura).
Un artista es libre de contradecirse a sí mismo durante la creación de su propia obra. Si un artista afirma que ha desarrollado una obra siguiendo ciertas reglas no tiene por qué ser cierto que realmente lo ha hecho así. La libertad del arte así lo requiere. Sin embargo, los historiadores del arte, si leen que el artista ha hecho dichas afirmaciones se atreven a calificar de errores las partes de la obra que no cumplen con dichas reglas. Errores, intencionados o no, que no lo son para el admirador de la obra. Paul Lombardi es un musicólogo que compone música y analiza por ordenador la música compuesta por otros. Afirma que Ígor Stravinski cometió errores garrafales en su obra coral “Cánticos de Réquiem” (Requiem canticles) de 1966, una de sus últimas obras y obra cumbre de su periodo dodecafónico o serialista, iniciado tras la muerte de Arnold Schoenberg, el inventor del dodecafonismo. Ha analizado dicha obra con las técnicas matemáticas que se usan para analizar la obra de Schoenberg y ha descubierto que viola ciertos invariantes que caracterizan la música serialista. Por tanto, Stravinski ha cometido errores graves (serial mistakes) en dicha obra. Por cierto, Ígor Stravinski en los 1960, ya anciano y genio reconocido por todos, tenía todo el derecho de decir lo que le viniera en gana y de componer lo propio. Los amantes de la música clásica y de las matemáticas disfrutarán de Paul Lombardi, Michael J. Wester, “Serial mistakes in Stravinsky’s Requiem Canticles,” Mathematics and Computers in Simulation, Article in Press, 2009.
El libro de Edward N. Lorenz, el padre científico del efecto mariposa, titulado “The Essence of Chaos,” es una lectura obligada a los interesados en el caos determinista. Prácticamente sin fórmulas (salvo el capítulo sobre métodos numéricos) nos presenta muchos resultados interesantes. Uno de ellos es la caída caótica en una ladera ondulada, similar al efecto de la nieve llamado mogul en la jerga del esquí. Para los interesados en la formulación matemática detrás de las gráficas y comentarios de Lorenz, hemos de recomendar el trabajo en el software Mathematica desarrollado por (el ya emérito) Robert M. Lurie, “A Review and Demonstration of The Essence of Chaos by Edward N. Lorenz,” ArXiv, 12 Oct 2009 [publicado originalmente en Mathematica in Education and Research 11: 404-422, 2006]. El artículo incluye los códigos en Mathematica que permiten reproducir sus resultados. Los que sólo quieran jugar con el software pueden recurrir a “Chaos While Sledding on a Bumpy Slope,” Wolfram Demostrations Project, que incluye el código fuente. Los aficionados al caos, la matemática aplicada y/o Mathematica, que disfruten.
¿Dónde buscar chistes de matemáticos? La web está repleta. Sin embargo, me ha sorprendido que en la revista Notices de la AMS (de la American Mathematical Society) hay un artículo sobre chistes de matemáticos, en inglés, claro, y para matemáticos: Paul Renteln, Alan Dundes, “Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor,” 51: 24-34, January 2005 [es de acceso gratuito]. El artículo recopila chistes de matemáticos escogidos de diferentes fuentes (SciJokes, MathJokes, ProJoke22, Jokes, y MathJokesWisc). Como suele ocurrir con los chistes, muchos usan dobles sentidos en inglés de difícil traducción al español. Además, la mayoría harán poca gracia a los que no son aficionados a la matemático. Yo, me lo he pasado muy bien leyendo el artículo en inglés, así que, desde aquí te lo recomiendo para tu propio disfrute. Para los demás, algunas chistes traducidos.
“¿Cuántos matemáticos Bourbaki son necesarios para cambiar una bombilla? El reemplazo de una bombilla es un caso especial del teorema general del mantenimiento y reparación de sistemas eléctricos. Para establecer una cota superior y otra inferior del personal requerido, se debe determinar si se aplican las condiciones suficientes para el Lema 2.1 (sobre disponibilidad de personal) y para el corolario 2.3.55 (sobre la motivación del personal). Si y sólo si dichas condiciones se cumplen se podrá deducir dicho resultado mediante la aplicación de los teoremas de la sección 3.1123. Obviamente, la cota superior se obtendrá en un espacio abstracto de medida, utilizando la topología débil-* correspondiente.”
“Demostración por omisión: El lector puede completar los detalles fácilmente. Los otros 253 casos se tratan análogamente.”
“Teorema. Todos los números naturales son interesantes. Demostración: Por reducción al absurdo. Supongamos que n es el número natural más pequeño que no sea interesante. En dicho caso, n es un número natural muy interesante.”
“¿Qué es una ciudad compacta? Una ciudad que puede ser protegida por un número finito de policias cortos de vista sin importar lo cortos de vista que sean.” De hecho, bastarían n policías que pudieran ver una distancia de sólo 1/2n+2 para proteger el intervalo [0, 1] entero.
“¿Cuántos teóricos de números son necesarios para cambiar una bombilla? Nadie lo sabe, pero se ha conjeturado que serán un número primo.”
Ya lo contamos en este blog en “Quién la tiene más larga… y quién los tiene más grandes…,” el 8 de agosto de 2008, que no seáis mal pensados, que se refiere a la lista de publicaciones y a los índices de impacto de las revistas de sus publicaciones. “Así es como nos miden en el sistema universitario español.” En dicho artículo nos hacíamos eco de un informe de la IMU (Unión Matemática Internacional) de matemáticos especializados en estadística sobre los usos de la bibliometría a la hora de estudiar la calidad científica de revistas, investigadores e instituciones. El artículo se titula “Citation Statistics,” y sus autores Robert Adler, John Ewing y Peter Taylor lo acaban de publicar en la revista Statistical Science 24: 1-14 (2009) [versión gratis en ArXiv, 19 Oct 2009].
Poco más puedo decir a lo que ya dije, pero creo que es conveniente recomendar también la lectura de los comentarios que aparecen en dicha revista sobre dicho estudio (os pongo sólo el enlace en la versión ArXiv ya que en la revista basta pinchar en “next“): Bernard W. Silverman, “Comment: Bibliometrics in the Context of the UK Research Assessment Exercise,” ArXiv, 19 Oct 2009 [S.S. 24: 15-16], David Spiegelhalter, Harvey Goldstein, “Comment: Citation Statistics,” ArXiv, 19 Oct 2009[S.S. 24: 17-20], David Spiegelhalter, Harvey Goldstein, “Comment: Citation Statistics,” ArXiv, 19 Oct 2009 [S.S. 24: 21-24], Peter Gavin Hall, “Comment: Citation Statistics,” ArXiv, 19 Oct 2009 [S.S. 24: 25-26], y Robert Adler, John Ewing, Peter Taylor, “Rejoinder: Citation Statistics,” ArXiv, 19 Oct 2009 [S.S. 24: 27-28].
¡Que la fuerza … os acompañe! La bibliométrica, claro. ¡Y que los disfrutéis!
No me convence, pero el profesor emérito Victor M. Bogdan (también conocido como Witold M. Bogdanowicz) cree haber encontrado una explicación relativista a la anomalía de las sondas Pioneer basada en una corrección relativista introducida durante el flyby de una sonda espacial alrededor de un planeta. Según él, en cálculos previos no se ha tenido en cuenta la rotación propia del planeta que introduce un ligero cambio de origen relativista en la fuerza gravitatoria debida al Sol. Bogdan utiliza un resultado matemático reciente de él mismo, que denomina ”teorema de Bogdan-Feynman.” Para mí esta corrección relativista de un campo en rotación no está completamente justificada. Aún os lo dejo para vuestro atento análisis. Los artículos que los interesados habrían de leer son, por un lado, el breve sobre la anomalía, V.M. Bogdan, “NASA’s satellite orbit anomaly problem can be solved precisely in the frame of Einstein’s special theory of relativity. Anomaly confirms that gravity fields propagate with velocity of light as Einstein predicted,” ArXiv, Submitted on 17 Oct 2009, y por otro lado el más extenso sobre el teorema de Bogdan-Feynman, V.M. Bogdan, “Fields generated by a moving relativistic point mass and mathematical correction to Feynman’s law,” ArXiv, Submitted on 29 Sep 2009.
Como curiosidad, os informo que en el primero de estos artículos Bogdan afirma que descubrió la existencia de la anomalía de las sondas Pioneer gracias a un documental en youtube de un tal Anderson que cree que la causa de la anomalía puede ser un planeta X.
La mecánica cuántica de matrices de Heisenberg parece la formulación más natural para la resolución de problemas de álgebra lineal numérica mediante algoritmos cuánticos. ¿Por qué a nadie se le había ocurrido utilizarla? Quizás hay que ser un genio, como Seth Lloyd. Él y sus colaboradores han mostrado cómo utilizarla para resolver problemas como la resolución de sistemas lineales para matrices hermíticas de una dimensión enorme (creo que próximamente se extenderá dicho algoritmo a la resolución de problemas de autovalores). El nuevo algoritmo cuántico permite resolver sistemas lineales dispersos con un speedup exponencial respecto al mejor algoritmo clásico (bajo ciertas condiciones técnicas). Si se logra implementar este nuevo algoritmo permitirá la resolución de sistemas lineales con billones de variables. Para mí lo más importante es que muestra un nuevo camino en la computación cuántico que no ha sido recorrido y que generará muchos frutos en los próximos años, la computación cuántica aplicada a problemas de álgebra lineal numérica.
En muchos casos la solución de un sistema lineal, es decir, el vector tal que , donde y son una matriz y un vector dados de la misma dimensión, no es necesaria. Por ejemplo, cuando dicha solución es utilizada para evaluar una forma cuadrática como , donde es una matriz. El mejor algoritmo clásico para evaluar esta última expresión tiene un coste computacional en tiempo de si la matriz es dispersa (es una matriz de con sólo elementos no nulos) y es su número de condición. Lloyd y colaboradores han encontrado un algoritmo cuántico que lo logra en tan sólo donde es un polinomio. Para sistemas de gran dimensionalidad, esto implica una ganancia exponencial en la eficiencia del algoritmo. Además, el algoritmo cuántico utiliza solamente registros cuánticos de cubits y no requiere “cablear” cuánticamente ni la matriz ni los vectores y . Por otro lado, si no es hermítica no pasa nada se puede volver hermítica fácilmente duplicando su dimensión .
) menor de la unidad (unos 0.4). La velocidad promedio del nemátodo es de 0.45 mm/s y el periodo de las ondulaciones de su cuerpo de 0.46 s. Los investigadores han estudiado el movimiento de nemátodos sanos y genéticamente modificados (mutantes) para asemejar una distrofia muscular (no expresan una proteína homóloga a la distrofina humana). Los nemátodos mutantes presentan una movilidad reducida, alcanzando en promedio sólo 0.17 mm/s pero con un periodo de 0.63 s. (lo que conduce a un número de Reynolds de sólo 0.15). Los vídeos de los nemátodos mutantes muestran que su principal dificultad para nadar se encuentra en una movilidad reducida para su cola. 
Los modelos más sencillos son del tipo Strogatz-Sprott y se basan en cuatro estados posibles de enamoramiento que se muestran en la figura de la izquierda: (I) deseo correspondido (eager beaver), saber que la otra persona nos ama refuerza nuestro propio amor hacia ella; (II) amor precavido (cautious lover), rechazamos nuestros propios sentimientos pero los de la otra persona refuerzan nuestro amor; (III) amor ermitaño (hermit), rechazamos nuestros propios sentimientos y los de la otra persona; y (IV) tímido narcisista (narcissistic nerd), nuestro amor es intenso pero nos hecha para atrás que la otra persona también nos ame. El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales acopladas para las variables 
que miden el amor hacia la persona amada, correspondiendo los valores positivos a sentimientos positivos (amistad, pasión, en función de la magnitud del valor) y valores negativos a sentimientos negativos (antagonismo, desdén). El modelo propuesto es el siguiente 
representan la atracción hacia al otro. Los parámetros 
indican el grado con que un individuo ha internalizado sus propios sentimientos y su propia autoestima. Los parámetros $\beta _{i}$ representan el efecto de refuerzo que los sentimiento de la otra persona provoca en nosotros. La constante 
introduce una función de retorno que, según los autores, modela el amor entre Steve Urkel y Laura Winslow en la teleserie “Cosas de casa”: Cuando Steve se desespera, el antagonismo de Laura se reduce por su sentimiento de compasión hacia él.
y 
es la función de retorno linealizada. En cualquier otro caso, el equilibrio es inestable.
Basándose en este modelo, Alhaji Cherif y Kamal Barley introducen un nuevo modelo de carácter estocástico que presenta una mayor diversidad de comportamientos dinámicos. Este modelo corresponde a una proceso de Markov continuo cuya tabla de transición aparece a la izquierda y que conduce a una ecuación diferencial estocástica en el sentido de Ito, de la forma
![dX_{1} =\left[-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} \right]dt-\sqrt{\alpha _{1} X_{1} } dW_{1} +\sqrt{\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} } dW_{2},](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=dX_%7B1%7D+%3D%5Cleft%5B-%5Calpha+_%7B1%7D+X_%7B1%7D+%2B%5Cbeta+_%7B1%7D+X_%7B2%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B2%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B1%7D+%5Cright%5Ddt-%5Csqrt%7B%5Calpha+_%7B1%7D+X_%7B1%7D+%7D+dW_%7B1%7D+%2B%5Csqrt%7B%5Cbeta+_%7B1%7D+X_%7B2%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B2%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B1%7D+%7D+dW_%7B2%7D%2C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 "dX_{1} =\left[-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} \right]dt-\sqrt{\alpha _{1} X_{1} } dW_{1} +\sqrt{\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} } dW_{2},")
![dX_{2} =\left[-\alpha _{2} X_{2} +\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} \right]dt+\sqrt{\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} } dW_{3}-\sqrt{\alpha _{2} X_{2} } dW_{4}.](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=dX_%7B2%7D+%3D%5Cleft%5B-%5Calpha+_%7B2%7D+X_%7B2%7D+%2B%5Cbeta+_%7B2%7D+X_%7B1%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B1%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B2%7D+%5Cright%5Ddt%2B%5Csqrt%7B%5Cbeta+_%7B2%7D+X_%7B1%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B1%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B2%7D+%7D+dW_%7B3%7D-%5Csqrt%7B%5Calpha+_%7B2%7D+X_%7B2%7D+%7D+dW_%7B4%7D.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 "dX_{2} =\left[-\alpha _{2} X_{2} +\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} \right]dt+\sqrt{\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} } dW_{3}-\sqrt{\alpha _{2} X_{2} } dW_{4}.")
Jean-Pierre ha publicado poco en ArXiv desde entonces, sólo algunos artículos epistemológicos sobre la 
El interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “
No me convence, pero el profesor emérito 
tal que 
, donde 
y 
son una matriz y un vector dados de la misma dimensión, no es necesaria. Por ejemplo, cuando dicha solución es utilizada para evaluar una forma cuadrática como 
, donde 
es una matriz. El mejor algoritmo clásico para evaluar esta última expresión tiene un coste computacional en tiempo de 
si la matriz 
con sólo 
elementos no nulos) y 
es su número de condición. Lloyd y colaboradores han encontrado un algoritmo cuántico que lo logra en tan sólo 
donde 
es un polinomio. Para sistemas de gran dimensionalidad, esto implica una ganancia exponencial en la eficiencia del algoritmo. Además, el algoritmo cuántico utiliza solamente registros cuánticos de 
cubits y no requiere “cablear” cuánticamente ni la matriz ![[0 , A ; A^{\dagger} , 0]](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B0+%2C+A+%3B+A%5E%7B%5Cdagger%7D+%2C+0%5D&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 "[0 , A ; A^{\dagger} , 0]")
.
