Ricardo Pérez Marco, el escéptico transalgebraico y la hipótesis de Riemann

Para los que no trabajamos en problemas tan trascendentes como la hipótesis Riemann, la charla de Ricardo Pérez Marco en las Jornadas Científicas «Los Problemas del Milenio» ha sido todo un placer. Ricardo ha tratado de contarnos cuál era la motivación de Riemann a la hora de proponer que los ceros de la función zeta se encuentran en la línea crítica y lo ha hecho recurriendo a la historia, avanzando hasta Ramanujan, reculando hasta Galois, repasando a Hardy, admirando a Euler y en resumen recorriendo los senderos transalgebraicos entre el análisis en variable compleja y la teoría de números algebraicos. Discurso fluido, sincero y escéptico que le ha llevado a recomendar a los jóvenes lo mismo que se recomendaba John F. Nash a sí mismo: nunca confíes en los surveys sobre la conjetura de Riemann, todos están equivocados, no ha habido progresos hacia la demostración de la conjetura desde hace muchas décadas (tampoco confíes en el survey escéptico del propio Ricardo “La hipótesis de Riemann”). Ni Deligne, ni Bombieri, ni santas pascuas (y no digamos nada de De Branges, Connes y otros «aficionados al bombo»). Según Ricardo debemos ser honestos y confesar que ni tenemos ni idea sobre el camino para demostrar la hipótesis de Riemann ni tenemos ni idea sobre su significado transalgebraico. ¡Me ha gustado el palabro «transalgebraico»! ¡Se nota, eh!

La charla de Ricardo ha estado repleta de conceptos, elementales en apariencia, que yo desconocía y que, por la cara de muchos de los asistentes, también desconocía la mayoría de ellos. Por ejemplo, ¿cuál es la gran diferencia entre π² y π³? O en general, entre una potencia par de π y una potencia impar de este número transcendente. La diferencia ya la conocía Euler y desde entonces, según Ricardo, no se ha avanzado nada al respecto. ¿Cuál será? π² es un número transalgebraico que tiene una función entera minimal \sin(\sqrt{z})/\sqrt{z}. Esta función entera minimal equivale al polinomio mínimo asociado a todo número algebraico. Nadie sabe cuál es la función entera minimal de π, ni de cualquiera de sus potencias impares; además,  según Ricardo, debería ser tan sencilla que si no conoce es porque no existe. Si quieres saber más al respecto, te recomiendo la lectura de sus notas “La hipótesis de Riemann.” Siempre se ha dicho que un director del CNRS tiene que ser así y Ricardo no defrauda.

¿Aproximaciones físicas a la hipótesis de Riemann? Según Ricardo son otro callejón sin salida. La función zeta de Riemann es tan sencilla (transalgebraicamente hablando) que si modela un sistema físico éste tiene que ser tan sencillo que ya habría sido descubierto y la hipótesis de Riemann habría sido probada. Como no se ha dado lo segundo, lo primero no implica ningún tipo de progreso. Aún así, y como yo soy físico, me gustaría recordar que la función zeta de Riemann aparece en muchos problemas de física, desde la mecánica clásica a la física de la materia condensada. A los interesados les recomiendo el interesante artículo (para mí, supongo que para Ricardo no lo será) de Daniel Schumayer, David A. W. Hutchinson, «Physics of the Riemann Hypothesis,» Review of Modern Physics 83: 307-330, 2011 [gratis en ArXiv].

¿Estás interesado en la hipótesis de Riemann? Según Ricardo deberías empezar leyendo a Aleksandar Ivić, «On some reasons for doubting the Riemann hypothesis,» ArXiv, 11 Nov 2003 [«creer o no creer en la validez de la hipótesis de Riemann, that’s the question!»]. Y ni se te ocurra leer a Enrico Bombieri en su descripción del problema del MilenioThe Riemann hypothesis,» porque dicen que la mejor manera de provocar que toques algo es poner un cartel que diga que no lo toques). ¿Qué deberías leer entonces? Según Ricardo a E. Landau, 2Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,» 2nd Edition, Chelsea, New York, 1953, y a H. M. Edwards, «Riemann’s Zeta Function,» Dover Publications, New York, 2001.

La hipótesis de Riemann

Los números primos \mathcal{P} son los números naturales \mathcal{N} que no son divisibles salvo por ellos mismos y por la unidad. Hay infinitos primos, pero los detalles de su distribución aún están ocultos. Euler demostró con 1737 que

\sum_{p \in\mathcal{P}}{\frac{1}{p}} = \infty,

lo que indica que los números primos son muy frecuentes entre los números naturales; recuerda que

\sum_{n \in\mathcal{N}}{\frac{1}{n^k}} < \infty, \qquad k>1.

Euler fue más allá y demostró usando el teorema fundamental de la aritmética que

\zeta(k) =\sum_{n \in\mathcal{N}}{\frac{1}{n^{k}} } = \prod_{p\in\mathcal{P}}{\left ( 1- \frac{1}{p^{k}}\right )^{-1}},

expresión matemática bien definida para k>1. La función \zeta(k) no tiene ceros reales para k>1.

Bernhard Riemann aplicó las herramientas del análisis en variable compleja a la función zeta y la extendió a todos los números complejos como

\zeta (s) = \sum_{n\in\mathcal{N}}{\frac{1}{n^{s}}},

función que puede ser continuada analíticamente para todo el plano complejo s excepto para s=1. Esta función de variable compleja s=\sigma+it, donde \sigma y t son números reales, y i=\sqrt{-1}, es la llamada función zeta de Riemann y presenta cierta simetría alrededor de la línea crítica \sigma= 1/2 dada por la ecuación funcional

\pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma \!\left ( \frac{s}{2} \right ) \zeta (s) = \pi^{-\frac{1-s}{2}} \Gamma \!\left ( \frac{1-s}{2} \right ) \zeta (1-s),

que permite demostrar que tiene ceros (llamados triviales) en todos los números enteros negativos \sigma =-n y $t=0$. Además, si la función tiene un cero \sigma+it, con 0<\sigma<1/2 también tendrá como cero el número simétrico con 1/2<1/2+\sigma<1 y sus dos simétricos respecto al eje t=0.

Riemann conjeturó como hipótesis razonable que todos los ceros no triviales de la función \zeta(s) son de la forma $s=1/2+it$, es decir, se encuentran en la línea crítica. En 1900, Hilbert consideró la hipótesis de Riemann como el octavo problema de su famosa lista, y de ahí acabó como uno de los problemas del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotado con un millón de dólares. Durante el s. XX ha habido ciertos avances menores en la demostración de la conjetura, como cuando Hardy demostró en 1914 que hay infinitos ceros de la función \zeta(s) en la línea crítica, pero esto no basta para demostrar la hipótesis de Riemann (hoy sabemos gracias a Conrey, 1989, que al menos dos tercios el 40% de los ceros se encuentran en ella). Todos lo ceros deben estar en ella.

Y no digo más al respecto… porque no quiero que leas a J. Brian Conrey, «The Riemann Hypothesis,» Notices of the AMS, March 2003, que si no Ricardo me va a pegar un tirón de orejas.

Me ha defraudado Óscar García Prada en su charla sobre la «Existencia de Yang-Mills y del salto de masa»

Como bien indica el título de esta entrada, me ha defraudado la charla de Óscar García Prada sobre el problema de la existencia de la versión cuántica de las teorías de Yang-Mills y sobre  el salto de masa (mass bandgap) en dichas ecuaciones (segunda charla de las Jornadas Científicas sobre los Problemas del Milenio organizadas por la RSME y la Universidad de Barcelona). Si lees esto Óscar, lo siento, pero así ha sido (en mi opinión personal, claro). Tu charla, ni ha sido para matemáticos, ni ha sido para físicos, le ha faltado algo… Yo lo hubiera contado de una forma muy diferente. Óscar ha dedicado dos horas a contarnos la formulación clásica de una teoría de Yang-Mills, pero como queriendo contarlo sin contarlo, pero como pretendiendo que lo cuenta sin contarlo… No sé si alguno de los asistentes se habrá enterado de algo, … Mi experiencia personal es que la mayoría de la gente no sabe cuál es la diferencia entre una conexión y un campo, entre un fibrado principal y una propiedad medible de forma física… La mayoría de los matemáticos ante el concepto de tranporte paralelo no piensan en un lápiz sobre la calva de un calvo… y no ayuda la imagen gráfica al respecto. La conexión como aceleración tiene  un sentido muy claro desde que Newton introdujo las fuerzas ficticias (no inerciales) y Lagrange introdujo las fuerzas debidas a ligaduras. Me temo, a mi pesar, que la mayoría de los asistentes, si no todos, no se ha enterado de nada. Lo siento, la Mula Francis debe ser mula de vez en cuando: Perder dos horas tratando de explicar lo que no hay que explicar no es la mejor opción para una charla como ésta. Una pena. Que quede claro: Una opinión, mi opinión.

La tercera hora de la charla ha empezado como tendría que haber empezado la primera… pero ya era tarde y la falta de tiempo se echa en falta. Pero ya se sabe, no importa empezar mal, sino acabar bien. La pena es que Óscar tampoco ha acabado bien. Si alguno de los asistentes no sabía lo que era la «g» en la teoría, se siente, Óscar ni se ha molestado en contarlo, para qué, si nadie se enteraría… si alguno de los asistentes no sabía lo que significa «perturbativo» o «renormalización» o … mencionar muchos «palabros» sin definición al final de una charla deja siempre mal sabor de boca. 

Al final de la charla, para más inri, uno de los asistentes preguntó sobre la relación entre la generación de masa mediante ruptura espontánea de la simetría, mediante el famoso bosón de Higgs, y el problema del salto masa. En concreto preguntó si la resolución de este último problema resolvería el primero, si no se encontraba el bosón de Higgs, resolverá el problema del Higgs la obtención del millón de dólares del Problema del Milenio. Una oportunidad de oro para salvar una charla pésima y quedar como un «señor.» La pena es que Óscar no supo qué contestar y contestó como el que no tiene ni idea. Una pena. Óscar es experto en el tema y da pena que los expertos no sean capaces de hacerse comprender. Su respuesta demostró que un matemático experto en la ruptura espontánea de la simetría electrodébil no tenía ni idea del problema del salto de masa de Yang-Mills, pero había sido seleccionado para contar dicho problema por la organización del evento. La Mula Francis es muy mula, pero las mulas somos así, mulas.

Tras haber disfrutado de unas cervezas, de unos vinos y de alguna copa de destilado quizás no es el momento más adecuado para explicar la repercusión de la solución del problema del salto de masa en la teoría electrodébil (más allá de la escala de energías de la ruptura espontánea de dicha simetría). Lo que debería quedar claro es que la ruptura espontánea de la simetría  es un hecho experimental, en igual medida en que el hecho de que un cubito de hielo y un vaso de agua son la misma cosa, pero al tiempo son cosas diferentes. Cómo ocurre el proceso de transformación del agua líquida en hielo a cierta temperatura. No importan los detalles si queremos ilustrar que el hielo y el agua son cosas diferentes por un lado, pero son la misma cosa por otro. El agua es agua. Y qué pasa con el agua a más de de 100 ºC (a presión atmosférica). Cuando estamos hablando de la transición de fase entre agua líquida e hielo sólido, hablar de la posible ebullición del agua no es más que introducir «ruido» indeseado en la conversación. El alcohol en sangre se nota… sobre todo en el discurso, en mi discurso…

Hay que  tener las ideas claras, muy claras, cuando se trata de explicar un problema difícil a un público ávido de respuestas pero con grandes lagunas… mañana cuando amanezca quizás tenga mejor cuerpo para hablar de este tema… me reconcome este asunto… mañana será otro día. Las promesas son deudas…