Picorrobots inspirados en el vuelo de las moscas

Por cierto, ¿cómo vuela una mosca? Parece una tontería pero fabricar un robot capaz de volar como una mosca no es fácil. El sistema nervioso de la mosca es muy sencillo, pero suficiente para que este insecto volador realice complejas hazañas aerodinámicas más allá de lo que la técnica actual permite. Los (pico)robots aéreos que imiten a las moscas tendrán infinidad de aplicaciones (si son baratos de fabricar y a nadie le moleste que la mayoría acaben en el cubo de la basura). Se publica en Science esta semana un artículo que propone un nuevo diseño de “mosca robótica” capaz de batir sus alas a una frecuencia de 120 Hz gracias a un sistema MEMS (microelectromecánico) basados ​​en silicio. Los autores le llaman a la nueva técnica ”microestructuras compuestas inteligentes” (SCM). Gracias a esta técnica se pueden fabricar insectos mecánicos con tamaños micrométricos que se pueden fabricar en masa y cuyo montaje es sencillo. Aún no se ha resuelto el problema de la alimentación energética y del “cerebro” artificial de estos insectos robóticos, por lo que tienen que volar conectados a un cable de alimentación y control, pero se espera que en menos de una década se hayan resuelto estos problemas. Realmente es sorprendente imaginar un mundo con millones de insectos mecánicos fabricados por el hombre. El artículo técnico es Kevin Y. Ma, Pakpong Chirarattananon, Sawyer B. Fuller, Robert J. Wood, “Controlled Flight of a Biologically Inspired, Insect-Scale Robot,” Science 340: 603-607, 3 May 2013 [sciencemag.org].

Un robot biomimético que corre sobre la arena imitando al lagarto de cola de cebra

Un robot articulado con patas capaz de moverse por medios granulares o que no sean rígidos, como arena, gravilla, escombros, lodo, nieve, hierba u hojarasca, puede ser diseñado utilizando la biomimética. El lagarto de cola de cebra (Callisaurus draconoides) se mueve a gran velocidad sobre la arena del desierto y ha inspirado el robot RHex (mostrado en el vídeo de youtube). Cada pata de RHex se ha diseñado para imitar la interacción con la arena de las patas de este lagarto, lo que ha requerido el desarrollo de un modelo matemático específico para este animal. Los autores del artículo llaman terramecánica al campo de la ingeniería que estudia la locomoción robótica en medios granulares. Chen Li, Tingnan Zhang, Daniel I. Goldman, “A Terradynamics of Legged Locomotion on Granular Media,” Science 339: 1408-1412, 22 Mar 2013. Más información divulgativa en Melany L. Hunt, “Robotic Walking in the Real World,” Science 339: 1389-1390, 22 Mar 2013.

Otro vídeo de Boston Dynamics, que muestra a RHex en acción en un entorno real.

La resonancia estocástica en acción: Una molécula de hidrógeno controlando un oscilador micromecánico

La resonancia estocástica es un fenómeno muy curioso descubierto en 1981. Un oscilador forzado por una señal periódica y acoplado a una fuente de ruido se pone a oscilar al ritmo del ruido (si forzamiento y ruido se ajustan de forma adecuada). La resonancia estocástica actúa como un proceso de amplificación de la transferencia de energía entre un sistema “pequeño” ruidoso y un sistema “grande” oscilatorio (que recibe energía externa del forzamiento). Una cuestión interesante es cuán pequeño puede ser “pequeño” y cuán grande puede ser “grande.” José Ignacio Pascual (CIC nanoGUNE / Ikerbasque / Freie Univ. Berlin) y varios colegas demuestran en Science que el fenómeno puede ocurrir para algo tan pequeño como una molécula de hidrógeno (H₂) y algo tan grande como un oscilador micromecánico de varios miligramos de peso. La molécula de hidrógeno se encuentra sobre una superficie de cobre Cu(111) y el oscilador es la punta metálica de un microscopio de fuerza atómica a muy baja temperatura (5 K) y condiciones de ultravacío. El estado de la molécula hidrógeno fluctúa de forma aleatoria gracias al salto por efecto túnel de electrones entre sus niveles atómicos. Este desplazamiento de electrones de decenas de picómetros, con energías de decenas de milielectronvoltios, ejerce una fuerza de cientos de piconewtons en la punta metálica. Lo sorprendente es que la punta, gracias a la “magia” de la resonancia estocástica, se pone a oscilar al ritmo de las transiciones electrónicas de la molécula de hidrógeno. En cierto sentido, la molécula de hidrógeno actúa como un conmutador molecular que activa y desactiva la oscilación de la punta metálica. Un símil en peso sería como una persona que pegara saltos aleatorios y a cuyo ritmo se pusiera a oscilar todo el monte Everest. El artículo técnico es Christian Lotze, Martina Corso, Katharina J. Franke, Felix von Oppen, Jose Ignacio Pascual, “Driving a Macroscopic Oscillator with the Stochastic Motion of a Hydrogen Molecule,” Science 338: 779-782, 9 November 2012. Más información en CIC Nagune, traducido en Tendencias21.net, y en “Ruido estadístico y movimiento ordenado,” IyC nov. 2012.

Un punto clave que hay que destacar es que la molécula de hidrógeno controla el movimiento, actuando como un interruptor de encendido/apagado, pero no realiza el trabajo mecánico que resulta en las oscilaciones de la punta metálica del microscopio (cuyo movimiento recibe energía de forma independiente). En cierto sentido es como un transistor que actúa como conmutador. Por tanto, no se viola ningún principio de la termodinámica. Alguien podría pensar en acoplar un baño térmico a la molécula de hidrógeno para lograr la extracción de energía (molecular) gratis de las oscilaciones de la balanza, pero un análisis matemático cuidadoso muestra que el interruptor molecular demostrado por Pascual y sus colegas no viola el segundo principio de la termodinámica (la entropía siempre crece) y si se extrae de alguna forma trabajo de la molécula de hidrógeno, necesariamente debe ser aportado por una fuente exterior (el baño térmico).

Hay muchas aplicaciones de la resonancia estocástica en sistemas que procesan información en los que cierto nivel de ruido ayuda a discriminar la señal respecto a dicho ruido, tanto en biología, climatología, química, física, ingeniería, etc. Ver por ejemplo “Una lógica a la que no le molesta el ruido,” IyC, abr. 2010, “Las virtudes del ruido de fondo,” IyC, oct. 1995, o “Ruido vital,” Encuentros, UMA.

XXXIII Carnaval Física: El secreto de la paradoja “más rápido que la gravedad”

Este vídeo ilustra con una cámara de alta velocidad (1000 fps) la llamada paradoja más rápido que la gravedad, más rápido que g, o simplemente paradoja de la caída libre. Una barra de madera de 30 cm inclinada con cierto ángulo y con una pequeña esfera colocada encima se deja caer; para un ángulo menor de 48,6º, la barra de madera llega antes al suelo que la bola, para ese ángulo llegan al mismo tiempo y para ángulos mayores llega antes la bola. El vídeo lo ilustra perfectamente. La paradoja surge porque la intuición nos dice que la bola y la barra deberían llegar al suelo al mismo tiempo. La física (mecánica) de este problema es muy sencilla y puede utilizar como ejercicio en los primeros cursos de física. Nos lo cuentan Michael Vollmer and Klaus-Peter Möllmann, “Faster than g, revisited with high-speed imaging,” European Journal of Physics 33: 1277-1288, 2012 [suppl. info.].

Esta figura muestra la curva (negra) que sigue la esfera en su caída y la que sigue (curva roja) la punta de la barra (que ha sido calculada por métodos numéricos resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden). El ángulo crítico, para el que la esfera y la punta de una barra de 30 cm alcanzan el suelo al mismo tiempo, es de 48,6º; por debajo llega antes la barra y por encima la bola. La figura muestra claramente que las curvas (trayectorias) que siguen son diferentes.

Como la aceleración de la gravedad es constante (g), la velocidad de caída de la esfera es lineal, como muestra esta figura (curvas negras). Sin embargo, la velocidad de la punta de la barra, que realiza un movimiento rotacional, sigue una curva con forma parecida a una parábola. El modelo matemático (que omito, pero que es muy sencillo) ha sido confirmado por los experimentos utilizando una barra y una esfera metálicas que son soltadas de forma simultánea por un electroimán (como muestra la parte final del vídeo que abre esta entrada). Los profesores que quieran ilustrar este experimento a sus alumnos y que no dispongan de cámara de alta velocidad pueden utilizar los vídeos la información suplementaria del artículo de Eur. J. Phys.

Esta entrada participa en  la edición XXXIII del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog El Mundo de las Ideas. Las entradas se pueden enviar del 1 al 25 de julio, ambos inclusive.

Cómo medir la eficiencia energética de tu propio coche

Pere Roura (Universitat de Girona) y Daniel Oliu nos cuentan en “How energy efficient is your car?,” AJP 80: 588-593, July 2012, cómo medir de forma práctica la eficiencia energética de tu propio coche. Como ejemplo utilizan su Volkswagen Lupo 3L, un coche diseñado para ser muy eficiente con un motor diésel de tres cilindros, un peso de 830 kg y un consumo récord de solo 3 litros a los 100 km. Según su estudio solo el 28% de la energía del combustible se transfiere a las ruedas, lo que sin lugar a dudas es todo un récord en eficiencia para un vehículo comercial. Sin embargo, también nos recuerda que el 72% de la energía del combustible se pierde por aerodinámica, fricción, pérdidas mecánicas y térmicas. En los vehículos de gasolina, la eficiencia suele ser mucho menor. Para un vehículo típico se estima que solo el 12-13% de la energía del combustible se transmite a las ruedas, según el estudio de Joseph A. Carpenter, Jr. (Department of Energy, USA) et al., “Road Transportation Vehicles,” MRS Bull. 33: 439–444, 2008 [copia gratis], del que he extraído la figura de abajo.

 

Roura y Oliu nos proponen experimentos sencillos que los estudiantes de grado en ingeniería industrial, mecánica y otras titulaciones similares pueden ejecutar solo con conocimiento básicos de mecánica (resistencia del aire y a la rodadura) y termodinámica (ciclos térmicos). No traduciré todo su artículo, solo presentaré un breve resumen con las figuras clave, para que veáis cómo se realizan los experimentos y cómo se obtienen los resultados. Animo a los interesados en más detalles que consulten el artículo en la revista (American Journal of Physics), si tienen acceso, o que le pidan por correo electrónico una copia a Pepe Roura (que seguro que estará encantado por el interés despertado por su artículo).

Lo primero, calibrar el indicador de consumo de combustible del propio coche, comparando el consumo real (en litros por cada 100 km) y la lectura del sensor en una distancia grande, por ejemplo, 850 km. En el caso del Volkswagen Lupo 3L, la pantalla subestima el consumo real por un factor de 0,93.

El primer experimento tiene por objeto medir la eficiencia térmica del motor, comparando el consumo de combustible del coche a velocidad constante en varios tramos de carretera, tanto de pendiente ascendente como descendente. La diferencia entre el consumo de combustible por unidad de distancia cuando se va pendiente arriba (c_u) y cuando se va pendiente abajo (c_d) es igual a c_u − c_d = 2 m g h /(η Q_F d), donde m g h es el cambio en energía potencial del coche y el pasajero, d es la longitud de carretera recorrida, Q_F es la densidad de energía del combustible (3,56 × 10⁷ Julios por litro para el diésel) y η es la eficiencia térmica del motor.

Este figura muestra el resultado obtenido para el consumo medio y para la eficiencia térmica del motor, cuyo valor está alrededor del 40% (dentro de las incertidumbres experimentales no depende significativamente de la velocidad). Este valor es bastante razonable para un motor diésel y no se puede esperar una eficiencia del motor superior al 40% salvo en los motores de camiones pesados o cuando se usan en sistemas de generación de energía eléctrica. Por supuesto, en este valor de la eficiencia no se han tenido en cuenta las pérdidas mecánicas del motor.

Estimar la resistencia del aire (F_R) y la resistencia a la rodadura (F_D) se puede realizar midiendo el tiempo (Δt) necesario para incrementar la velocidad del vehículo en una cantidad fija, pongamos Δv = 10 km/h; este tiempo depende de si el vehículo va cuesta arriba Δt+ o cuesta abajo Δt-. Los autores del artículo deducen la fórmula F = F_R + F_D = (1/Δt+ 1/Δt-) m Δv/2; la figura de arriba muestra que F sigue una trayectoria parabólica con la velocidad F = A + B v², donde A = 110 N, y B =  0,33 N s²/m². Como resultado, el coeficiente de fricción de los neumáticos con el asfalto α_R, donde F_R = α_R N, se estima en α_R = 0,011, un valor bajo, ya que según otros estudios el valor normal para los neumáticos está entre 0,010 y 0,015.

El coeficiente aerodinámico α_D se define a partir de la fórmula  F_D = α_D ρ S v²/2, donde la densidad del aire ρ = 1,22 kg/m³ (a 500 m sobre el nivel del mar), el área de la sección transversal del coche es S (unos 1,56 m² para el coche estudiado) y su velocidad media es v. El valor calculado es α_D = 0,35, que está en la banda alta de los valores típicos para un coche que están entre 0,3 y 0,35, indicando que el Volkswagen Lupo 3L no es muy aerodinámico.

El consumo de combustible a menos de 2000 rpm es mayor rodando a 80 km/h que a 50 km/h, mientras que a 2700 rpm, este orden se invierte. En esta figura se muestra el efecto en el consumo de la marcha utilizada (cuarta, tercera y segunda) a estas dos velocidades 50 kmh y 80 km/h. La línea continua corresponde al trabajo mecánico (“work”) realizado por el motor, calculado multiplicando el consumo medio de combustible (c) y la eficiencia térmica del motor (η). A 50 km/h, la figura indica que el 60% de la energía del combustible se pierde en forma de calor dentro del motor y sólo el 40% realiza trabajo mecánico (línea gruesa). A 80 km/h el consumo de combustible crece debido al incremento en la resistencia del aire (la resistencia a la rodadura casi no cambia). Por ello, en términos generales, el consumo de combustible es superior a 80 km/h que a 50 km/h. Sin embargo, este orden se invierte por encima de unas 2000 rpm debido al incremento las pérdidas por fricción en el propio motor (que crecen con las revoluciones).

La eficiencia energética global del motor (η_B), llamada en inglés “brake efficiency,” se define como el cociente entre el trabajo útil desarrollado por el motor y la energía del combustible, es decir, η_B = W_u/(Q_F c), donde W_u es el trabajo útil por unidad de distancia, c es el combustible que se consume a lo largo de cierta distancia y Q_F es la densidad de energía del combustible. Como muestra la figura de arriba, esta eficiencia energética global no es constante y mejora conforme crece la marcha utilizada. Por ello se suele recomendar conducir a una marcha alta cuando se viaja a mayor velocidad.

Resumiendo todos los resultados se obtiene la figura que abre esta entrada. En un viaje típico, de cada 100 litros de combustible (diésel), solo 40 litros se convierten en trabajo, pero gran parte de este trabajo se consume en la fricción, con lo que solo unos 28 litros se transfieren a las ruedas. Este valor es más alto que el valor típico para un motor de gasolina, que está entre 12 y 13 litros.

Lo interesante de este estudio (aproximado) no son los resultados sino el método. Sencillo y fácil de repetir, cualquiera puede ponerlo en práctica con su propio vehículo, algo especialmente recomendado a los estudiantes de ingeniería. Por supuesto, si algún valiente se atreve que nos cuente sus resultados en los comentarios.

XXXII Carnaval Física: No se puede hacer más lento

Tras ver este vídeo deberías releer mi entrada “Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan,” donde se explica cómo es posible que la parte inferior del slinky se quede parada en el aire (porque lo que cae es el centro de gravedad del slinky) mientras se acorta su longitud. He visto el vídeo en la entrada de Antonio Martínez Ron, “La caída de un slinky a cámara superlenta,” Fogonazos, 21 junio 2012.

Esta breve entrada es mi primera contribución a la XXXII Edición del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión este mes es Byron David en el blog Ciencia. Como nos recuerda Carlo Ferri: “El plazo para enviar vuestros posts está fijado para el 25 de junio. Recordad que el objetivo es dar a conocer la física en todas sus facetas, por lo que no es necesario escribir un artículo sino publicando un vídeo, una poesía o comentar una peli es más que suficiente para participar en el Carnaval de la Física.”

PS: Otro vídeo interesante que merece aparecer en el carnaval de física.

Miden el coeficiente de fricción anisótropa de la piel de las serpientes pitón

La fricción es la fuente principal de pérdidas de energía en el diseño de sistemas mecánicos con piezas móviles. La ingeniería de superficies estudia el diseño óptimo de la microestructura de una superficie con objeto de mejorar su rendimiento tribológico. Los modelos animales o biomiméticos son muy útiles y en el caso de la fricción interesan los animales sin patas, como las serpientes. Un nuevo artículo estudia la estructura multiescala de las características tribológicas de la piel del vientre de las serpientes pitón (Python regius). Las partes oscuras y claras de la piel tienen propiedades diferentes en la microescala, como muestra las imágenes aumentadas 1000 y 10000 veces en la figura que abre esta entrada. El coeficiente de fricción medido gracias a un bio-tribómetro patentado por los autores es anisótropo (depende de la dirección). Gracias a la microestructura de las escamas de las serpientes la fricción de la superficie tiene un valor dinámico que cambia en función de la dirección del movimiento. Imitar la microestructura de las escamas permitirá desarrollar superficies biomiméticas de gran interés práctico. El artículo técnico es H. A. Abdel-Aal, R. Vargiolu, H. Zahouani, M. El Mansori, “Preliminary Investigation of the Frictional Response of Reptilian Shed Skin,” Wear, Accepted Manuscript, Available online 7 June 2012 [arXiv:1206.1153].

Los autores han medido con un microscopio las propiedades de las escamas de una pitón a diferentes escalas con objeto de caracterizar su microestructura. Luego han medido con su bio-tribómetro el coeficiente de fricción para movimientos hacia adelante (-F), hacia atrás (-B), hacia la derecha (-R) y hacia la izquierda (-L), tanto en línea recta (S-), diagonal (D-) y en dirección lateral (L-). En la figura de abajo se muestran algunos de los resultados medidos (para los movimientos SF, SB, DF, DB, LF y LB). Por supuesto, el estudio es preliminar y serán necesarios más trabajos para clarificar  en detalle la física de la fricción de la piel de las serpientes.

El problema de Newton y la solución que ha obtenido Shouryya Ray (16 años)

Pido perdón a todos los que se han sentido ofendidos con esta entrada. No era mi intención utilizar un tono violento, sino irónico, aunque no debo haberlo hecho bien pues algunos lo han interpretado mal. Así que me gustaría aclarar unos puntos:

1) No tengo nada contra este chaval, ni contra su trabajo, ni contra sus directores los Prof. Dr.-Ing. Jochen Fröhlich y Dr.-Ing. Tobias Kempe, ni contra el tribunal que ha juzgado su trabajo, coordinado por Annett Dargazanli (Wilhelm-Ostwald-Gymnasium Leipzig) y compuesto por Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch (TU Dresden, Institut für Diskrete Mathematik und Algebra), Sven Hofmann (TU Dresden, Fakultät Informatik, Institut SMT, AG Didaktik der Informatik), y Dr. Bettina Timmermann (TU Dresden Fakultät Informatik Arbeitsgruppe Didaktik der Informatik). El chaval ha obtenido el segundo lugar en una competición a nivel nacional (Alemania) para jóvenes investigadores de secundaria en la sección de Matemáticas e Informática. Me parece estupendo para él y le deseo un futuro prometedor si se dedica a la ciencia (o a lo que él quiera).

2) Tampoco tengo nada en contra de ^DiAmOnD^, autor del blog Gaussianos, ni de todos los autores de blogs que se han hecho eco de la noticia que ha aparecido en muchos medios (web, prensa, radio y TV). Toda noticia en los medios ha de ser tomada con precaución. Aún así, saber que una noticia es sensacionalista no siempre es fácil. En esta noticia yo he de confesar que me dedico profesionalmente a calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, investigo e imparto docencia en el tema, con lo que mi posición, en este caso, es de carácter excepcional.

3) A mí me han colado muchas veces noticias como ésta y como a mí a todos nos las cuelan constantemente. Yo no puedo criticar ni a los medios, ni a los periodistas, ni a los blogs, por no contrastar este tipo de noticias con profesionales.  Escribí esta noticia esta mañana, a la prisa y corriendo, y quizás el lenguaje utilizado no fue el adecuado.

No me ha gustado tener que escribir esta entrada. Una noticia del periódico sensacionalista Daily Mail ha copado muchos medios (El Mundo, 20 minutos, Sur Málaga, La Vanguardia, etc.). Me enteré gracias al blog Gaussianos, el blog de divulgación matemática en español por excelencia:”Shouryya Ray, genio de 16 años que ha resuelto un problema propuesto por Newton hace más de 300 años,” gaussianos, 27 mayo, 2012. Para un experto en resolver ecuaciones diferenciales, basta ver la foto de la solución obtenida por Ray para saber que el ha resuelto un problema de primer curso de física (que viene en muchos libros de texto de física): el movimiento de un proyectil sujeto a la aceleración de la gravedad y a una fuerza de rozamiento. En esta fórmula los símbolos representan lo siguiente: es la aceleración de la gravedad, son las componentes de la velocidad del proyectil, es la constante que multiplica a la fuerza de rozamiento, y es la función arcoseno hiperbólico.

A partir de una versión de mayor resolución de esta foto del póster del muchacho, se puede reconstruir fácilmente su logro. Las ecuaciones que ha resuelto el muchacho son las siguientes

Toda persona que haya estudiado un primer curso de física sabrá obtener estas ecuaciones a partir de las leyes de Newton. ¿Te atreves? Toda persona que haya estudiado la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden (primer curso de matemáticas) debería estar en posición para resolver estas ecuaciones sin ninguna dificultad. ¿Te atreves? ¡Ah, qué no las ves bien! Te las copio en LaTeX.

Bueno, si no eres matemático, o físico, o ingeniero, o tienes oxidados tus conocimientos, te recuerdo el cambio de variable conocido para resolver este sistema de ecuaciones desde principios del s. XVIII, que es el mismo utilizado por el chaval.

El cambio de variable estándar , conduce trivialmente a la ecuación de primer orden

La solución de esta ecuación es trivial de obtener [para quien tenga frescos sus conocimientos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden (ya que al no aparecer esta ecuación es equivalente a una de primer orden en variables separadas y se integra de forma directa, dando una integral doble o anidada por ser de segundo orden)]. Si no sabes, ¡qué torpe! [perdón por quien se sienta ofendido, pero lo primero que se aprende en un curso de ecuaciones diferenciales es la resolución de ecuaciones en variables separadas, que no se ofenda quien nunca lo haya cursado, no es mi intención ofender] puedes usar Mathematica [en concreto, el comando DSolve] para obtener la solución que aparece en la primera foto de esta entrada (que en la foto del póster aparece truncada).

¿Por qué se dice que Newton no obtuvo la solución de este sistema? Porque Newton en los Principia presentó varias soluciones en forma de series y en concreto para esta ecuación utilizó una serie [en la época de Newton una solución implícita de una ecuación diferencial no se consideraba apropiada y se desarrollaba de forma explícita utilizando una serie] que aparece en el propio póster del chaval como

Obviamente, esta solución poco satisfactoria fue escrita en forma cerrada unos pocos años después de la publicación de los Principia [cuando se popularizó el uso de soluciones implícitas de ecuaciones diferenciales]. Pero un chaval de 16 años no tiene por qué saberlo [ni sus directores del trabajo, ni el tribunal que lo juzgó, que nadie lea una crítica personal].

¿No dicen que el chaval ha obtenido dos soluciones? ¿Dónde está la otra? En la parte final del póster… huelgan más comentarios.

[Quizás aquí he metido la pata. En el anuncio del premio se dice que Ray también ha resuelto de forma analítica un segundo problema, el rebote o colisión de una partícula contra una pared, utilizando la fuerza de contacto de Hertz y un rozamiento lineal, pero esta solución no es la que aparece en este recorte del póster. La solución analítica (implícita) es bien conocida, tiene dos ramas (antes y después del choque), y se utiliza para calcular el coeficiente de restitución de la energía cinética en el choque; yo mismo impartí un curso hace un par de años a alumnos de informática en el que se presentaba dicha solución; de nuevo una casualidad que me pone en una situación "buena" para valorar el trabajo de Ray].

[PS (14 junio 2012): El otro problema resuelto por el chaval es el siguiente

(tan trivial como el primero, para un experto, claro)].

Si eres profesor de física o matemáticas de primer curso, ¿por qué no le pones este problema a tus alumnos y compruebas si son capaces de emular el gran logro matemático del nuevo “genio” Ray? Es broma… [Espero que el tono irónico de esta última frase no moleste ni a profesores ni a alumnos; los lectores habituales de este blog ya sabéis que me gusta recomendar a los docentes el uso de problemas sencillos de física y matemáticas].

PS: En este foro dicen que la solución de Ray apareció publicada en un artículo de G. W. Parker, “Projectile motion with air resistance quadratic in the speed,” American Journal of Physics 45: 606-610, 1977 [PDF gratis]. Traceando sus referencias he llegado a Jeffrey C. Hayen, “Projectile motion in a resistant medium: Part I: exact solution and properties,” International Journal of Non-Linear Mechanics 38: 357-369, 2003, quien afirma que la solución implícita para este problema se publicó como pronto en el libro de E. J. Routh, “A Treatise on Dynamics of a Particle,” Cambridge University Press (1898) pp. 95 –96, y más recientemente en el famoso E. T. Whittaker, “A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies,” 4th Edition, Cambridge University Press, London (1937) pp. 229 –230. Yo la he visto en varios libros sobre física de los deportes (en la parte de deportes de tiro) y en libros sobre simulación de sistemas mecánicos aplicados a gráficos por ordenador.

PS (4 junio 2012): Ralph Chill y Jürgen Voigt, “Comments on some recent work by Shouryya Ray,” Technische Universität Dresden, June 4, 2012, aclaran oficialmente el malentendido con el trabajo de este chaval. Lo primero, “we emphasize that he did not solve an open problem posed by Newton.” Lo segundo, “nevertheless all his steps are basically known to experts.” Y lo tercero, “given the level of prerequisites that he had, he made great progress.”

Los autores finalizan pidiendo disculpas: “we do not know how this regrettable claim entered several newspapers. Apparently, this claim was not endorsed by experts in the field who should have been involved in the evaluation of the work.”

Sobran más palabras.

ZeroN, levitación magnética y control activo mediante una cámara de vídeo

Me ha gustado este vídeo del MIT MediaLab resultado del proyecto ZeroN. Me ha recordado algo que me propuso hace unos años para que le dirigiera como proyecto fin de carrera un alumno de ingeniería industrial en mi universidad. Le recomendé que se acercara a los compañeros del área de Ingeniería de Sistemas y Automática que son los especialistas en control en estos lares. No sé cómo acabó la cosa, pero creo que todo se quedó en la idea (al menos no me invitaron como miembro del tribunal de su proyecto fin de carrera).

Levitar con un solenoide un pequeño imán (dentro de una esfera en este caso) es fácil. Desarrollar un algoritmo de control que cambie la altura cambiando la corriente eléctrica que pasa por el solenoide también lo es (muchos cursos de control incluyen este sistema como práctica de laboratorio para todos los alumnos). Instalar un motor que mueva el solenoide y desarrollar un algoritmo de control PID para este motor también es trivial. Tampoco parece difícil determinar la posición de la esfera utilizando una cámara de vídeo (una webcam bastará) y utilizar esta posición como señal de entrada para un controlador realimentado del motor y de la corriente por el solenoide. Proyectar imágenes sobre la bola tampoco parece difícil, aunque dificultará mucho el algoritmo basado en imágenes que determina la posición de la bola. Pero, aunque cada parte por separado sea sencilla, combinarlas todas y lograr efectos tan sorprendentes como los mostrados en el vídeo (jugar al ping pong o mover la bola con la mano y que todo funcione como si no hubiera pasado nada) requieren un ajuste fino y preciso de todos los componentes. Una labor de chinos muy al estilo del MIT MediaLab.

Cualquier alumno de ingeniería industrial podría repetir este sistema como proyecto fin de carrera sin muchas dificultades. ¿Alguien se atreve? El que lo haga que cuelgue el vídeo en youtube. Por cierto, será de gran ayuda, para la descripción global del sistema y cómo se interconectan todas las partes, estudiar el artículo técnico de Jinha Lee, Rehmi Post, Hiroshi Ishii, “ZeroN: Mid-Air Tangible Interaction Enabled by Computer Controlled Magnetic Levitation,” Proceedings of the 24th annual ACM UIST ’11 [página web de ZeroN].

Por cierto, me he enterado de la existencia de ZeroN gracias a la entrada de Carlos Chordá, “ZeroN 1, gravedad 0,” La ciencia es bella, 11 mayo 2012 (donde he dejado un comentario). Muchos otros también se han hecho eco, como Lisandro Pardo, “ZeroN: Interfaz de levitación magnética,” NeoTeo, 10 mayo 2012.

Por qué se derrama el café de la taza al caminar con ella en la mano

Cada mañana, recién llegados a la universidad, aún adormilados, muchos físicos caminan hacia su despacho con una taza llena de café que no para de chapotear. Hans Mayer y Rouslan Krechetnikov, del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de California en Santa Bárbara, quizás buscando un premio Ig Nobel, han publicado un artículo que estudia la biomecánica de la marcha, las fluidomecánica del café y cómo influyen en que éste se derrame. Un estudio realmente curioso, pero inútil, que a pesar de ello aparece en una revista del prestigio de Physical Review E. El modelo desarrollado es tan sencillo, un péndulo forzado, que puede ser utilizado por profesores de física de primer curso como ilustración curiosa para sus alumnos. Los parámetros del modelo se han estimado realizando experimentos con diferentes sujetos que han portado tazas de café rellenas a diferente altura y a los que se les ha indicado que caminen con diferentes marchas, tanto prestando atención a la taza como obviando su presencia. El líquido se mueve en la taza como un péndulo cuyas frecuencias naturales de oscilación dependen de la altura del líquido y del diámetro de la taza (también de la aceleración de la gravedad y de su viscosidad). El movimiento al caminar genera un movimiento oscilatorio de la taza hacia arriba y hacia abajo que puede excitar fácilmente los modos de oscilación del café, provocando un fenómeno de amplificación que hace que el café se derrame. Una taza típica  tiene unos 7 cm de diámetro y unos 10 cm de altura que conduce a una frecuencia natural de oscilación para la superficie del café de entre 2,6 y 4,3 Hz. Al caminar se introduce se fuerza un movimiento oscilatorio de la taza con una frecuencia entre 1 y 2,5 Hz, por lo que no se produce una resonancia. Por qué se derrama entonces el café. El artículo técnico ha descubierto la gran importancia que tiene el ruido introducido al caminar con pasos desiguales o ligeros movimientos de la mano. Este ruido es la clave para la amplificación de las oscilaciones naturales del café y provocar el indeseado derrame gracias a un fenómeno llamado resonancia paramétrica (similar al que provocaba el balanceo del famoso puente del milenio en Londres). Por qué se nos derrama el café incluso cuando tenemos mucho cuidado para que no lo haga. Según Mayer y Krechetnikiv la razón es el ruido; cuando tratamos de controlar las oscilaciones de la superficie del café aplicando un bucle realimentado (miramos cómo oscila la superficie del café y tratamos de ajustar nuestra marcha para evitar su amplificación), olvidamos que no podemos controlar el ruido e inducimos una aperiodicidad adicional en el forzamiento que acentúa su efecto. La recomendación de Mayer y Krechetnikiv es caminar con total normalidad, sin prestarle ninguna atención al café, aprovechando que la frecuencia del forzamiento introducido al caminar (menor de 2,5 Hz) es menor que la frecuencia natural de la oscilación del café (mayor de 2,6 Hz). El secreto no es ningún secreto. Yo confieso que lo practico todas las mañanas (aunque suelo llevar dos tazas juntas agarradas con la misma mano). El artículo técnico es H. C. Mayer and R. Krechetnikov, “Walking with coffee: Why does it spill?,” Phys. Rev. E 85: 046117 (2012).

Este estudio del chapoteo de la taza de café al caminar no es el primero que se realiza, ya lo discutió un informe de la NASA en 1967 (pero que no se publicó). Lo interesante de este tipo de estudios, en mi opinión, es su multidisciplinaridad. Por un lado, el estudio de la marcha humana es propio de la biomecánica, que además se preocupa del gasto energético y de la eficiencia del proceso; no caminan igual hombres y mujeres (debido a las diferencias en la cadera), e influyen parámetros tan diversos como el peso, altura, edad, salud, etc. Además, no caminamos igual en las distancias cortas que en las largas. Por otro lado, el estudio de la oscilación de la superficie de los líquidos tiene múltiples aplicaciones, como el diseño de tanques de combustibles para cohetes (que están sujetos a fuertes aceleraciones). Finalmente, todo lo relacionado con sistemas dinámicos, teoría del control y resonancia paramétrica. Pero los que me conocéis sabéis que a mí lo que más me llama la atención de estos estudios es la posibilidad de utilizarlos como parte de la docencia de muchas asignaturas en carreras de física e ingeniería. Este estudio combina resultados experimentales con un modelo teórico sencillo. La parte experimental incluye dos elementos clave, el análisis de la marcha de los sujetos, que se ha analizado utilizando un programa de análisis de imágenes escrito in MATLAB, y la medida de la altura del café en la taza, para la que se ha utilizado un sensor basado en un fotodiodo. Todo al alcance de un proyecto fin de carrera de un ingeniero industrial o mecánico. ¿Alguien se anima? Si lo hacéis no dudéis en comentarlo en este blog.

La física de la catapulta que utiliza un helecho para dispersar sus esporas

El helecho Polypodium aureum es nativo de las regiones tropical y subtropical de América. Las esporss de este helecho se dispersan de forma anemófila (por el viento) gracias a un mecanismo tipo catapulta. Los esporangios esféricos que encierran las esporas están equipados con una fila de 12 a 13 células especializadas llamada anillo. Cuando estas células se deshidratan producen un cambio drástico en la curvatura del esporangio, que incrementa la energía elástica almacenada hasta un punto en el que, de forma brusca, como una catapulta, se liberan las esporas contenidas en las células del anillo. Las esporas son expulsadas a una velocidad de unos 10 m/s, lo que implica que la catapulta las ha acelerado a unos 105 g. Se publica en Science un análisis de la mecánica de esta catapulta que demuestra que su eficiencia se basa en aprovechar dos escalas de tiempo muy diferentes asociadas al cierre del anillo. La belleza de este mecanismo de dispersión de esporas y su similitud con las catapultas medievales me han llamado mucho la atención.  El artículo técnico es X. Noblin, N. O. Rojas, J. Westbrook, C. Llorens, M. Argentina, J. Dumais, “The Fern Sporangium: A Unique Catapult,” Science 335: 1322, 16 March 2012 [suplem. info.].

La dispersión de esporas en las plantas y los hongos juegan un papel crítico en la supervivencia de estas especies. Por lo tanto, diversas plantas y grupos de hongos han desarrollado bajo una fuerte presión selectiva mecanismos muy ingeniosos para dispersar eficazmente sus esporas. El breve artículo técnico presenta un modelo mecánico del esporangio en la información suplementaria que seguro que será muy curioso para profesores de física e ingeniería que impartan cursos de mecánica.

Por qué muchos lagartos y dinosaurios tienen la cola tan larga

Por la misma razón que los malabaristas utilizan una pértiga tan larga para mantener el equilibrio en una cuerda floja, los lagartos y dinosaurios  aprovechan la ley de conservación del momento angular. En el caso de los lagartos de fuego (Agama agama), la cola les permite mantener el equilibrio mientras están por el aire durante un salto desde una plataforma horizontal hasta otra vertical. El vídeo de youtube que abre esta entrada lo ilustra a la perfección; forma parte de la información suplementaria del artículo publicado en Nature por Thomas Libby (Universidad de California, Berkeley) y sus colegas. El momento angular se conserva salvo que actúe fuerzas externas; cuando se mueve la cola en cierta dirección, la conservación del momento angular obliga a que el cuerpo se mueva en la dirección contraria para compensar. La figura de abajo lo ilustra bastante bien. Nos lo ha contado R. McNeill Alexander, “Biomechanics: Leaping lizards and dinosaurs,” Nature, published online 04 January 2012, que se hace eco del artículo técnico de Thomas Libby et al., “Tail-assisted pitch control in lizards, robots and dinosaurs,” Nature, published online 04 January 2012; también se leer la noticia de Robert Sanders, “Leaping lizards and dinosaurs inspire robot design,” EurekAlert!, 4 Jan. 2012.

Libby y sus colegas han observado que cuando el lagarto de fuego tiene que aterrizar en una superficie vertical tras un salto tiene que inclinar su cuerpo con la “nariz hacia arriba” y que lo logran dando un impulso con su cola durante el vuelo; al impulsar la cola hacia la cabeza, ésta y el tronco se curvan hacia atrás de manera natural debido a la conservación del momento angular. Estos investigadores han desarrollado un modelo matemático que han verificado gracias a un pequeño robot (también ilustrado en el vídeo) al que han colocado una cola flexible. Gracias a un giróscopo y aun algoritmo de control adecuado se logra que el salto del robot en una rampa inclinada, similar a la de los saltadores de esquí, acabe con una caída perfecta sobre sus ruedas. La compensación activa de su postura durante el salto es clave para este logro. Tanto los ingenieros industriales interesados en la biomecánica como los interesados en los algoritmos de control activo disfrutarán con este interesante artículo publicado en Nature.

Muchos animales tienen colas largas para aprovechar la conservación del momento angular,  los canguros, los gatos e incluso algunos dinosaurios corredores, como los velocirráptores. Alexander opina que este trabajo de Libby et al. es aplicable también a algunos dinosaurios carnívoros, como los Deinonychus, que se cree que cazaban en grupo y presentan largas colas; gracias a ellas es posible que estos terópodos pudieran saltar sobre sus víctimas y utilizar sus enormes garras para aferrarse fuertemente a ellas y poder atacarlas en la parte más vulnerable de su garganta. Hay varios dibujos en Internet que muestran a los Deinonychus en el aire, saltando sobre una gran presa, con la cola hacia arriba, como indica el trabajo de Libby et al.; sin embargo, muchos de estos dibujos muestran un salto demasiado alto (por encima de la cruz de su presa) y lo más probable es que solo pudieran saltar hasta asirse en vertical sobre un costado de su presa.

El lanzamiento de huesos de cerezas y la mecánica de la lengua del camaleón

Se puede lanzar un hueso de cereza con los labios o con los dedos, hay incluso concursos. La mecánica del lanzamiento de huesos de cereza con los dedos resulta ser muy similar a la utilizada por el camaleón para proyectar su lengua contra un insecto, como nos aclaran los físicos eslovenos Gorazd Planinsic y Andrej Likar en “Speed, acceleration, chameleons and cherry pit projectiles,” Physics Education 47: 21-27, 2012.

El modelo matemático que han desarrollado estos físicos eslovenos es muy sencillo, como muestra la figura de abajo. Los parámetros geométricos del hueso de cereza se pueden medir directamente, pero las fuerzas aplicadas con los dedos requieren ajustar el movimiento resultante con el observado en vídeos de alta velocidad, como el mostrado en la figura de arriba. El modelo puede ser utilizado por profesores de física como ilustración en sus clases. Si el modelo es correcto, la mayor parte de la energía almacenada en los músculos se transforma en energía cinética para los dedos; de esta energía cinética la mayor parte se transforma en calor y solo una pequeña fracción es transformada en energía cinética para el hueso de cereza.

Para qué puede servir un modelo del lanzamiento de un hueso de cereza. Estos físicos eslovenos nos indican que las analogías físicas permiten reutilizar el modelo para entender múltiples sistemas físicos y nos ponen el ejemplo de la mecánica del lanzamiento de la lengua en los camaleones. 

La lengua del camelón contiene una punta pegajosa, unos músculos retractores y unos músculos aceleradores. Estos últimos tienen forma cilíndrica y se pueden contraer de forma radial apretando un cilíndro hueco que recubre un apéndice óseo llamado asta del hioides (o cuerno del hioides); la compresión de este cilindro hueco desde la punta del asta el hioides hasta la base de la lengua gracias a los músculos aceleradores lanza la lengua hacia adelante. La figura de abajo ilustra la anatomía en detalle, extraída del artículo de Ulrike K. Müller, Sander Kranenbarg, “Power at the Tip of the Tongue,” Science 304: 217-219, 9 Apr. 2004.

Desde un punto de vista mecánico la lengua del camaelón funciona por el mismo principio físico que el lanzamiento de un hueso de cereza, con la excepción de que en este caso el músculo que acelera la lengua es impulsado hacia la presa, en lugar de los dedos que permanecen en reposo. Tras alcanzar la presa, los músculos retractores se encargan de recoger la lengua pegada a un delicioso bocado, en caso de acierto, claro.

Cómo dibujaban los matemáticos la trayectoria de una bola de cañón antes de la invención del cálculo

Esta imagen está extraída de un libro de texto de matemáticas escrito por el astrónomo y matemático neerlandés Daniel Santbech en 1561 titulado “Problematum Astronomicorum et Geometricorum Sectiones Septem.” Muestra la trayectoria de una bola de cañón. Una trayectoria triangular formada por una línea recta hasta alcanzar una altura máxima y luego otra recta vertical mostrando la caída a plomo de la bola a tierra. Un siglo más tarde la figura era algo más realista, como muestra la imagen de abajo, fechada en 1684 y extraída del libro de S. Sturmy, ”The Mariners Magazine, or Sturmy’s Mathematicall and Practicall Arts,” 2nd. edn. (London: William Fisher) p. 69. Sin embargo, sigue cayendo la bola en plan plomada al final de la trayectoria. Hasta aproximadamente 1700 estas imágenes no se transformaron en las “parábolas asimétricas” que hoy en día dibujaríamos.

Estas figuras están extraídas del interesante artículo de Seán M. Stewart, “On the trajectories of projectiles depicted in early ballistic woodcuts,” European Journal of Physics 33: 149-166, 2012 [el artículo ahora mismo es de acceso gratuito, previo registro en IOP, aprovecha]. Este artículo discute si trayectorias como la fechada en 1684 son realistas según la mecánica de Newton. Para que juzgues por ti mismo, abajo tiene una figura que muestra una de las trayectorias newtonianas de una bola de cañón. Muchos profesores de física disfrutarán del artículo que puede dar lugar a multitud de ejercicios elementales y no tan elementales de física para un primer curso de Física; y no solo teóricos, también ejercicios prácticos como el ajuste experimental de un modelo a las curvas presentadas en las figuras del s. XVII (dos parámetros bastan para un buen ajuste, como muestra Stewart en su artículo). Los que se animen que lo disfruten.

 

El secreto de la Waboba, la “rana saltarina” entre todas las pelotas capaces de rebotar en el agua

Este vídeo de youtube (a partir del minuto 1:36) nos demuestra que el rebote de una piedra en el agua (“hacer la rana”) no requiere que la piedra sea plana, incluso con una pelota redonda se puede lograr el efecto si ésta se deforma al contactar con el agua. Al chocar la piedra (o la pelota) contra el agua se forma una cavidad, la clave del rebote está en que esta cavidad tenga un interior lo más plano posible de tal forma que el ángulo de salida sea pequeño, facilitando la salida de la cavidad y permitiendo múltiples rebotes. El vídeo lo ilustra mucho mejor que yo (merece la pena verlo un par de veces). Los autores del vídeo comparan tres pelotas: una SuperBall (una pelota pequeña que rebota mucho, con un coeficiente de restitución de 0,9), una pelota de raquetbol (que también rebota mucho, pero es más grande) y una Waboba (una pelota diseñada en 1998 con el objeto de batir récords de número de rebotes en el agua). También muestran el rebote de una piedra “plana,” que igual que la Waboba, cuando incide con el agua con un ángulo adecuado logra formar un cavidad muy plana, lo que garantiza un gran número de rebotes (el récord supera los 40). Utilizando la Waboba es difícil no lograr muchos rebotes y con un poco de práctica superar los 20 rebotes y recorrer distancias de hasta 60 metros sobre la superficie del agua. El vídeo está extraído de Michael Wright, Ken Langley, Jesse Belden, Tadd Truscott, “Holy balls!,” ArXiv, 14 Oct 2011. Por cierto, los interesados en más información en español disfrutarán de Milhaud, ”¿Por qué las piedras rebotan en el agua?,” Recuerdos de Pandora, 6 May. 2010, que explica de forma estupenda el secreto del rebote. Los que quieran información más técnica pueden recurrir al artículo Christophe Clanet, Fabien Hersen, Lydéric Bocquet, “Secrets of successful stone-skipping,” Nature 427: 29, 1 January 2004 (gratis en la web).

Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan

Me ha encantado la entrada de Antonio (Aberrón), “Una lección de física inesperada con un “slinky”,” Fogonazos, 11 octubre 2011. Te recomiendo disfrutarla. Me ha encantado sobre todo por la discusión, en privado, que hemos tenido algunos colaboradores de Amazings sobre este curioso y elemental problema de física, la propagación de una onda longitudinal en un muelle colocado en vertical bajo la influencia de la gravedad. La parte de abajo del muelle queda en reposo hasta que el muelle se contrae completamente, lo que queda muy bien ilustrado en los vídeos mostrados por Aberrón. La cuestión en discusión es si se mueven las anillas del muelle intermedias antes de que las anillas de la parte de arriba las toquen. De ahí hemos derivado en cómo se mueve el centro de masas y cómo caería un slinky en un plano inclinado. La discusión ha sido divertida, pero en honor a la privacidad solo indicaré unos retazos de mi opinión al respecto.

En mi opinión, la explicación de Aberrón en su entrada es correcta y está muy bien redactada. Aún así, yo lo explicaría de forma intuitiva, aunque simplificando un poquito, de la siguiente manera. Lo que pasa se entiende mejor anilla a anilla como si fueran trozos independientes del muelle. Primero numeraré las anillas de 1 a n, desde arriba hacia abajo; las primeras anillas están más separadas que las últimas, todas muy juntas. Al soltar el muelle, la anilla número 1 (la de más arriba) cae hasta tocar a la anilla 2; mientras cae la número 1 ninguna de las anillas, ni siquiera la 2, se mueve. Luego el bloque formado por las anillas números 1 y 2 cae y toca a la 3; durante esta caída, ninguna de las anillas de la 3 a la N se mueve; y así sucesivamente. Conforme el muelle va cayendo las primeras anillas se agrupan todas juntas en un bloque (relajadas en la posición de reposo del muelle). Podéis ver en el vídeo y en la figura de arriba como el bloque de anillas juntas de la parte de arriba va creciendo conforme va cayendo, conforme nuevas anillas se van añadiendo, pero las anillas que están por debajo del bloque se mantienen bien separadas, quietas, como si nada, no se mueven nada en absoluto (repito que estoy simplificando un pelín).

El centro de masas del muelle cae bajo el efecto de la gravedad en caída libre, con una aceleración igual a g. Sin embargo, la parte alta del muelle cae con una aceleración mayor que g, debido a la tensión del propio muelle (las anillas en la parte alta están bastante separadas entre sí respecto a la posición en reposo). ¿Dónde está el centro de masas del muelle? Obviamente, no está en el mismo punto en el que estaría si el muelle estuviera en reposo, sino algo más abajo, porque la parte alta del muelle está más estirada que la parte baja del mismo debido al peso del propio muelle; un punto de la parte de arriba soporta por debajo un peso mayor que un punto por la parte de abajo. Hay un par de vídeos en Question Of The Week que ilustran muy bien la posición del centro de masas del slinky utilizando una pelota de tenis en caída libre. En el primer vídeo, se marca el punto donde está el centro de gravedad del slinky relajado (no estirado). El punto no se mueve hasta que la parte de arriba lo toca; lleva la pelota antes, porque por supuesto el centro de gravedad del slinky estirado está más bajo. En el segundo vídeo se marca el centro de gravedad correcta y se observa como slinky y pelota caen al mismo tiempo. Te recomiendo ver dichos vídeos.

La aceleración de la gravedad es constante en cada anilla del muelle; pero la tensión en cada anilla del muelle no lo es, hay más tensión en la parte de arriba que en la de abajo, por eso se estira más por arriba que por abajo (recuerda la ley de Hooke). La gravedad es una fuerza externa y actúa sobre el centro de masas si consideramos el muelle en su conjunto y cuando se suelta el muelle el centro de gravedad cae con dicha aceleración. Sin embargo, la tensión en cada anilla del muelle es una fuerza interna y varía de una anilla a otra en función de lo estirado que esté el muelle en cada zona. Como bien ilustra la entrada de Aberrón, antes de soltar el muelle, cada trozo del muelle está en equilibrio de fuerzas; hacia abajo tensión y gravedad y hacia arriba solo tensión, por lo que la tensión hacia arriba es mayor que la tensión hacia abajo. El trozo más alto del muelle no tiene tensión hacia arriba pero está sujeto por la mano que por la ley de acción y reacción introduce una fuerza hacia arriba para lograr el equilibrio. El trozo de más abajo no tiene tensión hacia abajo y la tensión hacia arriba compensa la gravedad en dicho punto (el peso de dicho trozo).

Cuando se suelta el muelle, el punto de arriba ya no tiene tensión hacia arriba solo tensión hacia abajo y gravedad por lo que cae con una aceleración algo mayor que la gravedad. El centro de gravedad del muelle cae con la aceleración de la gravedad ya que las tensiones son fuerzas internas y no afectan al movimiento conjunto (centro de masas) del muelle. El trozo de muelle de más abajo no se mueve porque el equilibrio de fuerzas sigue actuando en dicho punto (hacia abajo hay gravedad y hacia arriba hay tensión en valor igual al peso de dicho trozo debido a la gravedad). Los trozos de muelle intermedios no se mueven mientras estén por debajo del centro de gravedad. Los trozos por encima del centro de gravedad tienen una aceleración hacia abajo mayor conforme más alejados estén de él. Los trozos por debajo del centro de gravedad no se mueven. Hay que recordar que el centro de gravedad es un punto ficticio y el movimiento del centro de gravedad no corresponde al movimiento físico de un trozo concreto. Mirando con atención el movimiento de los puntos en la figura de Aguirregabiria en la entrada de Aberrón creo que se ve muy claro. He utilizado Paint para añadir algunas curvas a dicha figura (sé que se podría haber hecho mejor, pero las prisas, ya se sabe).

Los puntos negros en el muelle ayudan mucho a la hora de ver lo que pasa. Para estimar la curva del centro de gravedad he copiado (en rojo) la curva del objeto encima del muelle que cae de forma libre (se podría haber hecho mejor, pero solo quiero que de una idea del movimiento). La curva verde une un punto conforme cae con una aceleración mayor que la gravedad y el recuadro en verde muestra un punto que se mantiene en reposo durante gran parte de la caída.

Bueno, no le doy más vueltas. El que quiera un modelo matemático sencillo de este problema, junto con su solución analítica, lo puede encontrar (como no, derivado en formulación lagrangiana) en Haiduke Sarafian, “A Closed Form Solution of the Run-Time of a Sliding Bead along a Freely Hanging Slinky,” Lecture Notes in Computer Science 3039: 319-326,  2004. Hay muchos artículos sobre el slinky (soft spring) en revistas como American Journal of Physics, Physics Education, etc.  Os animo a profundizar a los interesados.

La NASA ofrece nuevos datos que apuntan a la respuesta definitiva para la anomalía de las sondas Pioneer

Slava G. Turyshev (JPL) lo dijo en el año 2002 y desde entonces ha tratado de recabar datos para verificar su hipótesis: el origen de la anomalía en la aceleración de las sondas Pioneer 10 y 11 es que la emisión de calor del pequeño reactor nuclear que las hace funcionar es asimétrica (anisotrópica). La mejor demostración de la hipótesis es confirmar que la aceleración decrece con el tiempo de forma exponencial (como decae el plutonio que alimenta al reactor). Gracias a bucear en los datos de la NASA sobre los últimos 23 años de la sonda Pioneer 10 y los últimos 11 años de la Pioneer 11, Turyshev ha econtrado 21 nuevos datos (totalizando 41) sobre la Pioner 10 y 61 nuevos datos (totalizando 81) sobre la Pioneer 11. Con todos estos nuevos datos Turyshev cree haber encontrado la prueba definitiva de dicho comportamiento: la aceleración parece decaer de forma exponencial (la figura que abre esta entrada ilustra dicho comportamiento). Turyshev ha obtenido su premio y el artículo técnico con los nuevos datos ya ha sido aceptado en la prestigiosa revista Physical Review Letters: Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth, Jordan Ellis, Craig B. Markwardt, “Support for temporally varying behavior of the Pioneer anomaly from the extended Pioneer 10 and 11 Doppler data sets,” ArXiv, 14 Jul 2011. Enhorabuena, Slava, ya se sabe que el que la persigue, la consigue. Se ha hecho eco de esta noticia KFC, “NASA Releases New Pioneer Anomaly Analysis,” The Physics arXiv Blog, 20 July 2011.

A los lectores habituales de este blog, esta noticia puede que no les sorprenda. Ya lo conté al poco de nacer, en “El sistema solar como un gran laboratorio para la gravedad (o ideas sobre la anomalía de las sondas Pioneer),” 28 enero 2008, entrada que yo acababa con un rotundo “Quizás no necesitamos tantos imitadores de Einstein sino más ingenieros.” La hipótesis de la anisotropía térmica como explicación de la anisotropía era la menos exótica y la más razonable desde un punto de vista físico, pero los análisis térmicos mediante elementos finitos de Turyshev, que no es experto en dichas lides, requerían análisis más precisos. Físicos computacionales alemanes confirmaron esta idea de forma independiente con nuevas simulaciones, como conté en “Disipación térmica asimétrica como causa de la anomalía de las sondas Pioneer,” 20 noviembre 2009. Turiyshev, viendo el interés, escribió un maravilloso artículo de revisión sobre el tema, reafirmando su fe sobre su hipótesis y aclarando que se pondría a recabar más datos de la NASA, como os recordé en “Todo lo que siempre has querido saber sobre la anomalía de las sondas Pioneer,” 22 enero 2010; yo me disculpaba porque “Lo siento no voy a traducir 163 páginas de documentación sobre lo que de verdad se sabe sobre la anomalía de las sondas Pioneer,” lo que provocó que MiGUi afirmara que “Esto es un blogus interruptus. Qué malo eres, uno entra desde el feed leyendo el titular y zas! la primera en la cara xD.” Por cierto, aprovecho y vuelvo a recomendar una visita a su web Cientifi.net sobre preguntas y respuestas de ciencia, en la que también se discutió la anomalía.

Por supuesto, muchos se han apuntado al carro de la idea de la anisotropía térmica, afirmando que resolvía de forma definitiva el problema de la anomalía, como nos contó Kanijo, “Anomalía de las Pioneer resuelta mediante una técnica de gráficos por ordenador de los 70,” Ciencia Kanija, abr 01, 2011 [traducción de KFC en The Physics ArXiv Blog.]. Yo critiqué este último artículo quizás con mayor rotundidad de la necesaria: “No quiero poner una nota discordante y generar polémica, pero he leído el artículo de estos portugueses y su análisis es bastante torpe. La verdad sea dicha, a uno de mis alumnos yo le exigiría un análisis un poco más fino de este asunto. He de confesar que yo daba clases del modelo de Phong ya en 1995 (Phong es el nombre de pila de Bui Tuong, en vietnamita el nombre de pila va al final). Además llevo dando clases de teoría de la radiación térmica desde el punto de vista numérico desde el 2000 (Métodos Numéricos de la Ingeniería Térmica). En mi opinión, este nuevo artículo sobre la anomalía de Pionner aporta muy poco a lo que ya sabía y no resuelve la anomalía. Por mucho que a KFC y a mí mismo nos gustaría que así fuera.”

La anomalía de las sondas Pioneer tiene algo que desconcierta y fascina. Como nos traducía Kanijo, “La NASA desconcertada por una fuerza inexplicada que actúa sobre las sondas espaciales,” Ciencia Kanija, mar 03, 2008; desconcertada porque la anomalía parecía afectar a 5 sondas espaciales, ”Descubrimientos recientes sobre la anomalía de las sondas Pioneer (Earth flyby anomaly en 5 sondas espaciales),” 5 marzo 2008.

Se han propuesto multitud de explicaciones exóticas, hasta “La explicación española de la anomalía de las sondas Pioneer,” 15 septiembre 2009. Si eres físico, yo ya proponía que buscaras una explicación en “Aceleración planetaria de sondas espaciales: Una anomalía y una fórmula que buscan una explicación,” 10 octubre 2009. Si la anomalía fuera un fenómeno de origen gravitatorio tendría que afectar a los planetas enanos, como Plutón, como indiqué en “La anomalía de la sonda Pioneer y la incertidumbre en la órbita de Plutón,” 4 mayo 2009; Kanijo también lo hizo en “¿Está Plutón afectado por la anomalía de las Pioneer?,” may 07, 2009. Pero si afecta a los planetas enanos también debería afectar a los satélites de Neptuno, pero no lo hacen como conté en “Los satélites de Neptuno podrían descartar una solución gravitatoria a la anomalía de las sondas Pioneer,” 18 diciembre 2009.

Recopilar todas las respuesta exóticas a la anomalía nos llevaría mucho tiempo. Como muestra me hice eco de “Posible solución relativista a la anomalía de las sondas Pioneer,” 20 octubre 2009, “Los últimos datos sobre la anomalía de las sondas Pioneer apuntan a la materia oscura y a nueva física más allá del Modelo Estándar,” 3 julio 2009, y como no de “Otra explicación numerológica para la anomalía de las sondas Pioneer 10 y 11,” 18 octubre 2009.

Lo maravilloso de la ciencia es que ninguna hipótesis es correcta hasta que es demostrada de forma definitiva, y mientras tanto se permiten multitud de hipótesis alternativas que acabarán en saco roto, pero no importa, así es la ciencia.

Por cierto, hoy, dentro de unas horas, este blog alcanzará los 3 millones de visitas. Gracias a todos por seguirlo y espero que disfrutéis tanto leyéndolo como yo escribiéndolo.

PS (1 sep 2011): Richard A. Kerr, “Mystery Pioneer Anomaly Is Real But Still a Mystery,” Science 333: 1208, 2 September 2011.

¿Matará a un peatón una moneda de dos euros que caiga desde un edificio muy alto?

No, no le matará, pero desgarrará su piel y puede que el impacto deje una marca en su cráneo si le cae en la cabeza. El famoso mito que afirma que un penique que cae desde el Empire State en Nueva York puede matar a una persona, o clavarse en el asfalto, fue desmentido por los Cazadores de Mitos (Mythbusters en youtube). Un penique en caída libre alcanza una velocidad terminal (el porqué del funcionamiento de un paracaídas) debido a la resistencia del aire que impide que cause daño alguno; ni siquiera puede atravesar la piel de la mano (como demuestran en el vídeo los cazadores de mitos en sus propias carnes). Sin embargo, puede que te preguntes, ¿qué pasará si en lugar de un penique es una moneda de 10 céntimos de euro, o una de 1 euro? Para obtener la respuesta, en lugar de hacer el experimento, podemos realizar algunos cálculos matemáticos sencillos. Para ello podemos seguir el artículo de Grant Macklem y Nathan Janos, “A Penny in Free Fall,” 1997, o el más reciente (que es el que yo he seguido) de unos estudiantes de la Universidad de Leicester llamados J.C. Coxon, J.F. Barker y T.M. Conlon, “The Penny Drops,” Journal of Physics Special Topics, Feb 16, 2011.

Obviando las fórmulas, fáciles de aplicar gracias a la tabla de la derecha, podemos ir directamente al resultado: un céntimo de euro tiene una velocidad límite de 44,56 km/h, e impacta de canto con una presión de 10,2 MPa (megapascales). La piel humana resiste presiones de hasta 20,89 ± 4,11 MPa, por lo que un céntimo ni siquiera rasgará la piel (igual que ocurre con un penique); de hecho, ni siquiera causará un cardenal (como se ve en el vídeo de Mythbusters).

Una moneda de 10 céntimos tiene una velocidad límite de 48,95 km/h, e impacta de canto con una presión de 14,97 MPa, por lo que tampoco logra rasgar la piel humana (aunque el golpe debe doler y quizás causará un cardenal). Una moneda de 20 céntimos alcanzará 51,41 km/h, e impactará con una presión de 17,90 MPa, que rasgará la piel de quienes tengan la piel delicada. Una moneda de 50 céntimos alcanzará 54,99 km/h, e impactará con 21,03 MPa, luego rasgará la piel y dejará una buena marca.

Una moneda de un euro alcanzará una velocidad límite de 56,23 km/h, e impactará con una presión de 21,58 MPa. Finalmente, una moneda de dos euros, alcanza 54,06 km/h, e impacta con 26,37 MPa. Estas monedas rasgarán la piel y hará bastante daño pero no atravesarán el hueso del cráneo y no causarán la muerte.

Los profesores de física pueden proponer a sus alumnos la repetición de estos cálculos y quizás la experimentación práctica en laboratorio.

Alucinante ilustración del aliasing en acción

Maravillosa ilustración del fenómeno llamado aliasing (generación de alias). La he visto procrastinando un rato en las webs de colaboradores de Amazings.es (por cierto el miércoles próximo tenéis una nueva entrada de Francis en Amazings.es sobre los últimos resultados de Gravity Probe B). En concreto la he visto en “La danza de los péndulos,” Maikelnai’s blog, 9 mayo 2011. Os copio: “Quince péndulos simples no acoplados, colgando de hilos de longitudes que crecen monotónicamente. Cuando los elevas todos a la vez y los sueltas, los péndulos bailan (…) Podríamos llamar a esta danza “arte cinético”. El período para un ciclo completo de la danza es de 60 segundos. La longitud del péndulo más largo se ajustó para que ejecutara 51 oscilaciones durante este período de 60 segundos. La longitud de cada péndulo sucesivo se fue acortando y ajustando de forma cuidadosa para que ejecutara una oscilación más que el anterior durante este período. Por ello, el péndulo número 15 (el más corto) ejecuta 65 oscillaciones.” Maikelnai lo vió en Sciencedemonstration. Por cierto, si los péndulos estuvieran acoplados ya no sería una ilustración del aliasing.

Yo siempre ha ilustrado a mis alumnos el aliasing (palabro de difícil traducción al español) utilizando los radios de una rueda de bicicleta, el horizonte de una textura tipo tablero de ajedrez en un plano infinito, la afinación de una cuerda de guitarra y … hay muchos otros ejemplos. ¡Pero qué torpe de mí! Nunca se me ocurrió una cadena de péndulos de longitud creciente. ¡Qué torpe soy! Vuelvo a ver el vídeo que es un alucine… mis alumnos van a alucinar… con péndulos.

Ah, ¿qué no sabes lo que es el aliasing? Los matemáticos también le llaman fenómeno de Gibbs, los ingenieros se refieren a él como efecto de Nyquist, los músicos le llaman afinación, y … ¿aún no sabes lo que es el aliasing?

PS (contestación a Iñaki): ¿Qué tiene que ver el aliasing y la afinación? No tienen nada que ver… es una frase para suscitar comentarios (y los ha suscitado)… “una licencia poética” de bloguero. Por eso no he dicho nada en los comentarios… Hasta ahora. Pido perdón a todos.

Permitidme que  explique el porqué se me cruzaron los cables.

Lo primero, qué es la generación de alias: la aparición de señales de baja frecuencia “ficticias” en una señal de alta frecuencia debido al muestreo a una frecuencia inferior a la frecuencia de Nyquist (que existe si la señal tiene frecuencia máxima y es igual al doble de dicha frecuencia). ¿Por qué aparecen los alias? Porque el muestreo hace que el espectro se vuelva periódico y se produce una suma de las altas frecuencias de la señal en periodos consecutivos del espectro.

Con un dibujo pésimo en plan cadenas de texto. Si el especro es “Λ_._Λ” tras el muestreo se repite como “…Λ_._ΛΛ_._ΛΛ_._Λ…” (y así sucesivamente hacia ambos lados). Las señales de alta frecuencia (el cero está en el “.”) de los extremos de intervalos sucesivos “ΛΛ” están próximas y producen al superponerse parcialmente a una señal de baja frecuencia o alias “Λ_I_Λ” (donde el “I” en lugar del “.” representa el alias).

Lo segundo, ¿cómo afinan los músicos? Utilizan la suma de frecuencias próximas lo que produce una señal de frecuencia suma de muy alta frecuencia y otra de frecuencia resta de baja frecuencia. Esta última se puede interpretar como un “alias” (el famoso “batido” o “guagua” de la afinación de una guitarra o un piano con un diapasón). Este batido (como bien comenta más abajo Iñaki) es un batido en la amplitud y no en la frecuencia (aunque a veces también es audible como una señal de baja frecuencia). De ahí que crucé los “cables” y relacioné aliasing y afinación.

Los dos conceptos no tienen nada que ver el uno con el otro, pero ambos están íntimamente relacionados: la adición de ondas próximas de cierta frecuencia “genera” señales de una frecuencia mucho más baja (sí, Iñaki, en el segundo caso en amplitud que no en frecuencia).

Lo dicho. No tienen nada que ver aliasing y afinación, pero quería ver el debate que generaba la entrada… y lo ha generado.

Gracias a todos por vuestros comentarios.

Un software que simula dónde van a parar los globos que se les escapan a los niños

¿Dónde van a parar los globos rellenos de helio que se les escapan a los niños? La respuesta es fácil de encontrar en Internet. Pero Patrick Glaschke, no contento con esta respuesta, ha decidido desarrollar un software de simulación que a partir de los datos meteorológicos de la zona donde se abandonó el globo permite estimar la trayectoria que seguirá; para ello utiliza un modelo termodinámico de la interacción entre el globo y el entorno. Más aún, ha validado su teoría con un estudio experimental. Un globo de helio puede alcanzar, en condiciones óptimas, más de 10 km. de altura, puede permanecer en el aire más de 24 horas y puede recorrer una distancia de vuelo cercana a los 3000 km. Sin embargo, las condiciones meteorológicas típicas son adversas para el globo y la vida media típica de un globo está entre 2 y 5 horas. ¿Para qué estudiar todo esto? Porque los globos (no los de los niños) pueden ser utilizados para estudiar la atmósfera, por ejemplo, la contaminación en una ciudad. Patrick está interesado en optimizar las propiedades del globo para garantizar que la distancia recorrida sea máxima. En mi opinión, Patrick también busca un Ig-Nobel. Los interesados en más detalles pueden recurrir al trabajo de Patrick Glaschke, “Trajectories of Rubber Balloons used in Balloon Releases: Theory and Application,” ArXiv, 10 Mar. 2011 [63 páginas], cuyo único problema es que está escrito en alemán.

¿Cómo se valida que un simulador de la trayectoria de un globo ofrece un resultado fiable? Se pueden lanzar miles de globos y pretender recuperar sus restos esparcidos por el suelo en un radio de kilómetros a la redonda. Sin embargo, no es fácil, ya que un globo a mucha altura explota y se rompe en tiras muy finas con un tamaño muy pequeño (ver la foto de arriba extraída del artículo de D. K. Burchette, “A study of the effect of baloon releases on the environment,” Latex Rubber Institute of Malaysia, 1989).

Además, la meteorología y el viento puede hacer que globos que partieron del mismo lugar acaben en lugares muy distantes entre sí. Por ejemplo, en las competiciones de globos aerostáticos sin motor hay globos que recorren decenas de kilómetros y otros que sólo recorren cientos, unos que permanecen en el aire durante días y otros que sólo lo hacen durante unas pocas horas, etc. La figura de arriba muestra los resultados para la Gordon Bennett Cup 1995; el cuadrado es el punto de inicio común y los 18 puntos rojos los lugares que alcanzaron (esta figura está extraída de un artículo que analiza el efecto de la meteorología en la trayectoria de cada globo, Kathrin Baumann & Andreas Stohl, “Validation of a Long-Range Trajectory Model Using Gas Balloon Tracks from the Gordon Bennett Cup 95,” Journal of Applied Meteorology 36: 711-726, 1997).

Para validar su software de simulación Patrick Glaschke ha decidido estudiar siete globos en los que ha colgado una pequeña tarjeta de toma de datos. Los resultados aparecen resumidos en la parte izquierda de la tabla de arriba; gracias a dichos datos utilizando su simulador ha podido obtener los datos que aparecen en la parte derecha de la tabla de arriba. Aunque el procedimiento de validación no me parece muy razonable, la figura de abajo muestra una concordancia razonable entre lo esperado en teoría y lo observado en los experimentos. 

En resumen, un trabajo curioso que disfrutarán quienes sepan leer en alemán.