Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan

Me ha encantado la entrada de Antonio (Aberrón), “Una lección de física inesperada con un “slinky”,” Fogonazos, 11 octubre 2011. Te recomiendo disfrutarla. Me ha encantado sobre todo por la discusión, en privado, que hemos tenido algunos colaboradores de Amazings sobre este curioso y elemental problema de física, la propagación de una onda longitudinal en un muelle colocado en vertical bajo la influencia de la gravedad. La parte de abajo del muelle queda en reposo hasta que el muelle se contrae completamente, lo que queda muy bien ilustrado en los vídeos mostrados por Aberrón. La cuestión en discusión es si se mueven las anillas del muelle intermedias antes de que las anillas de la parte de arriba las toquen. De ahí hemos derivado en cómo se mueve el centro de masas y cómo caería un slinky en un plano inclinado. La discusión ha sido divertida, pero en honor a la privacidad solo indicaré unos retazos de mi opinión al respecto.

En mi opinión, la explicación de Aberrón en su entrada es correcta y está muy bien redactada. Aún así, yo lo explicaría de forma intuitiva, aunque simplificando un poquito, de la siguiente manera. Lo que pasa se entiende mejor anilla a anilla como si fueran trozos independientes del muelle. Primero numeraré las anillas de 1 a n, desde arriba hacia abajo; las primeras anillas están más separadas que las últimas, todas muy juntas. Al soltar el muelle, la anilla número 1 (la de más arriba) cae hasta tocar a la anilla 2; mientras cae la número 1 ninguna de las anillas, ni siquiera la 2, se mueve. Luego el bloque formado por las anillas números 1 y 2 cae y toca a la 3; durante esta caída, ninguna de las anillas de la 3 a la N se mueve; y así sucesivamente. Conforme el muelle va cayendo las primeras anillas se agrupan todas juntas en un bloque (relajadas en la posición de reposo del muelle). Podéis ver en el vídeo y en la figura de arriba como el bloque de anillas juntas de la parte de arriba va creciendo conforme va cayendo, conforme nuevas anillas se van añadiendo, pero las anillas que están por debajo del bloque se mantienen bien separadas, quietas, como si nada, no se mueven nada en absoluto (repito que estoy simplificando un pelín).

El centro de masas del muelle cae bajo el efecto de la gravedad en caída libre, con una aceleración igual a g. Sin embargo, la parte alta del muelle cae con una aceleración mayor que g, debido a la tensión del propio muelle (las anillas en la parte alta están bastante separadas entre sí respecto a la posición en reposo). ¿Dónde está el centro de masas del muelle? Obviamente, no está en el mismo punto en el que estaría si el muelle estuviera en reposo, sino algo más abajo, porque la parte alta del muelle está más estirada que la parte baja del mismo debido al peso del propio muelle; un punto de la parte de arriba soporta por debajo un peso mayor que un punto por la parte de abajo. Hay un par de vídeos en Question Of The Week que ilustran muy bien la posición del centro de masas del slinky utilizando una pelota de tenis en caída libre. En el primer vídeo, se marca el punto donde está el centro de gravedad del slinky relajado (no estirado). El punto no se mueve hasta que la parte de arriba lo toca; lleva la pelota antes, porque por supuesto el centro de gravedad del slinky estirado está más bajo. En el segundo vídeo se marca el centro de gravedad correcta y se observa como slinky y pelota caen al mismo tiempo. Te recomiendo ver dichos vídeos.

La aceleración de la gravedad es constante en cada anilla del muelle; pero la tensión en cada anilla del muelle no lo es, hay más tensión en la parte de arriba que en la de abajo, por eso se estira más por arriba que por abajo (recuerda la ley de Hooke). La gravedad es una fuerza externa y actúa sobre el centro de masas si consideramos el muelle en su conjunto y cuando se suelta el muelle el centro de gravedad cae con dicha aceleración. Sin embargo, la tensión en cada anilla del muelle es una fuerza interna y varía de una anilla a otra en función de lo estirado que esté el muelle en cada zona. Como bien ilustra la entrada de Aberrón, antes de soltar el muelle, cada trozo del muelle está en equilibrio de fuerzas; hacia abajo tensión y gravedad y hacia arriba solo tensión, por lo que la tensión hacia arriba es mayor que la tensión hacia abajo. El trozo más alto del muelle no tiene tensión hacia arriba pero está sujeto por la mano que por la ley de acción y reacción introduce una fuerza hacia arriba para lograr el equilibrio. El trozo de más abajo no tiene tensión hacia abajo y la tensión hacia arriba compensa la gravedad en dicho punto (el peso de dicho trozo).

Cuando se suelta el muelle, el punto de arriba ya no tiene tensión hacia arriba solo tensión hacia abajo y gravedad por lo que cae con una aceleración algo mayor que la gravedad. El centro de gravedad del muelle cae con la aceleración de la gravedad ya que las tensiones son fuerzas internas y no afectan al movimiento conjunto (centro de masas) del muelle. El trozo de muelle de más abajo no se mueve porque el equilibrio de fuerzas sigue actuando en dicho punto (hacia abajo hay gravedad y hacia arriba hay tensión en valor igual al peso de dicho trozo debido a la gravedad). Los trozos de muelle intermedios no se mueven mientras estén por debajo del centro de gravedad. Los trozos por encima del centro de gravedad tienen una aceleración hacia abajo mayor conforme más alejados estén de él. Los trozos por debajo del centro de gravedad no se mueven. Hay que recordar que el centro de gravedad es un punto ficticio y el movimiento del centro de gravedad no corresponde al movimiento físico de un trozo concreto. Mirando con atención el movimiento de los puntos en la figura de Aguirregabiria en la entrada de Aberrón creo que se ve muy claro. He utilizado Paint para añadir algunas curvas a dicha figura (sé que se podría haber hecho mejor, pero las prisas, ya se sabe).

Los puntos negros en el muelle ayudan mucho a la hora de ver lo que pasa. Para estimar la curva del centro de gravedad he copiado (en rojo) la curva del objeto encima del muelle que cae de forma libre (se podría haber hecho mejor, pero solo quiero que de una idea del movimiento). La curva verde une un punto conforme cae con una aceleración mayor que la gravedad y el recuadro en verde muestra un punto que se mantiene en reposo durante gran parte de la caída.

Bueno, no le doy más vueltas. El que quiera un modelo matemático sencillo de este problema, junto con su solución analítica, lo puede encontrar (como no, derivado en formulación lagrangiana) en Haiduke Sarafian, “A Closed Form Solution of the Run-Time of a Sliding Bead along a Freely Hanging Slinky,” Lecture Notes in Computer Science 3039: 319-326,  2004. Hay muchos artículos sobre el slinky (soft spring) en revistas como American Journal of Physics, Physics Education, etc.  Os animo a profundizar a los interesados.

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4 pensamientos en “Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan

  1. La verdad es que a mí el vídeo me sorprendió, me esperaba que el muelle se comprimiera hasta el centro desde ambos extremos (un extremo baja, otro sube) a la vez que cae. Cuán equivocado estaba. Una cosita:

    “Me ha encantado sobre todo por la discusión, en privado, que hemos tenido algunos colaboradores de Amazings sobre este curioso y elemental problema de física, la propagación de una onda longitudinal en un muelle colocado en vertical bajo la influencia de la gravedad.”
    Me pasan en exclusiva un apasionante documento gráfico que plasma tal discusión :D

  2. Más gráfico tensorial

    pues no necesita instrucciones más allá de su propia dinámica para bajar escaleras

  3. Una de las preguntas que nos hacíamos era precisamente si las demás anillas se mueven mientras la primera cae, y aquí hay dos posibles respuestas: sí o no. Sigue sin convencerme lo de “no se mueven absolutamente nada, pero estoy simplificando un pelín”. Podemos decir que, dadas las condiciones, la aproximación de que no se mueven absolutamente nada es válida. Pero la explicación que das, tal y como la das, resulta, a mi modo de ver, contraintuitiva. Y me explico.

    Dices que cuando la anilla 1 cae, las 2..n están absolutamente quietas, y que la 2 no se mueve hasta que la 1 impacta contra ella. Pero en el momento en que la 1 ha bajado un poco, la fuerza que experimenta la 2 hacia arriba es menor y deja de estar en equilibrio de fuerzas. Por tanto, tiene que caer por necesidad. Y en ese momento, la 3 estará experimentando una fuerza hacia arriba menor que antes, y también caerá. Y así sucesivamente.

    Lo que ocurre es que la anilla superior cae antes de que nuestro ojo sea capaz de distinguir un movimiento en las anillas de abajo, pero me parece acertado afirmar que se mueven en pos de que se entienda el fenómeno.

  4. a todo esto,¿ esto es una “solución” especial o no? Quiero decir, ¿la constante de elasticidad del muelle tiene k ser una exacta o no? o k condiciones se necesitan?

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