El crecimiento de tumores cancerosos y la deposición de posos de café en una gota en evaporación

Dibujo20130208 Illustration depicting deposition mechanism - Radially outward flows carry particles from drop center to drop edge
La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) se introdujo en 1986 para describir la formación de irregularidades en un frente de solidificación con una fuente estocástica y tiene muchas aplicaciones, como el crecimiento de tumores cancerosos. Las estructuras que se forman dependen de la geometría de las partículas (o células) que se agregan, difiriendo si son esféricas o elipsoidales. En este último caso, aplicable a cristales líquidos, se utiliza una variante de la ecuación KPZ con desorden “sofocado” (quenching disorder), llamada KPZQ. Para estudiar los límites de validez de la ecuación KPZ y decidir cuándo es necesario recurrir a la ecuación KPZQ, se necesita un sistema experimental fácil de manejar en laboratorio y bien descrito por ambas ecuaciones. El matemático Alexei Borodin (Instituto Técnico de Massachusetts, MIT) y varios colegas nos proponen que dicho sistema es el dibujo de los posos del café cuando una gota se seca por evaporación. Gracias a un microscopio conectado a un ordenador se puede determinar la forma y la distribución estadística de las partículas del líquido durante el proceso, lo que permite demostrar la validez de la ecuación KPZ y cómo se produce la transición a la ecuación KPZQ. Durante la evaporación de la gota las partículas disueltas fluyen hacia el borde de la gota donde se pegan unas a otras; en el caso de partículas elipsoidales la tendencia es apilarse formando “torres,” lo que provoca un crecimiento más rápido del frente que si el apilamiento fuera de partículas esféricas. El nuevo artículo es Peter J. Yunker, Matthew A. Lohr, Tim Still, Alexei Borodin, D. J. Durian, and A. G. Yodh, “Effects of Particle Shape on Growth Dynamics at Edges of Evaporating Drops of Colloidal Suspensions,” Phys. Rev. Lett. 110: 035501, Jan 18, 2013. El artículo origina era Mehran Kardar, Giorgio Parisi, Yi-Cheng Zhang, “Dynamic Scaling of Growing Interfaces,” Phys. Rev. Lett. 56: 889-892, Mar 3, 1986. Me han gustado los dos vídeos que acompañan al nuevo artículo y que ilustra muy bien a nivel microscópico la dinámica que describe a nivel macroscópico la ecuación KPZ. Por cierto, también se pueden “fabricar” galaxias con los posos del café, como conté en la “formación de galaxias en los posos de una taza de café.”

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La fí­sica de la cafetera (o como obtener un café a la temperatura óptima)

dibujo20081124cafetera¿Te gusta el café? Quizás te interese conocer la fí­sica de la cafetera “estándar”. Concetto Gianino, “Experimental analysis of the Italian coffee pot “moka”,” American Journal of Physics, 75: 43-47, 2007, presenta la termodinámica de la cafetera mostrando que, aunque es termodinámicamente muy ineficiente como máquina de calor, no importa, ya que lo que realmente queremos es que el café resultante tenga un buen sabor. El artículo, desafortunadamente, no nos aclara cuándo se obtiene un café ideal (en cuanto a sabor).

¿Cómo es el café espresso ideal? Ernesto Illy, “The complexity of coffee,” Scientific American, 286: 86­91, 2002, presenta un estudio de la quí­mica del café recién hecho y muestra que los sabores que se consideran más agradables se obtienen cuando la temperatura del agua es del orden de 93ºC, la presión es suficiente para permitir que el volumen de agua que atraviese el “cazo” de café granulado de la cafetera “moka” corresponda a una sola taza (entre 30­ y 50 mililitros) y el agua fluya a través de éste durante unos 30 segundos o menos. Si el agua está más caliente de 95ºC, el café tiende a saber “quemado”, y si es menor que 93ºC, algunos de los sabores “más gustosos” del café se quedan en el grano.

¿Cómo podemos obtener un café ideal en una cafetera “estándar”? Warren D. King, “The physics of a stove-top espresso machine,” American Journal of Physics, 76: 558-­565, June 2008, presenta un análisis de la cafetera estándar (exactamente la que aparece en la foto; por cierto, yo tengo una igual) con objeto de determinar la cantidad de agua con la que hay que rellenarla para obtener un café a la temperatura óptima (en el rango de 90­ a 95 ºC).

dibujo20081124cafeteraworkingEl funcionamiento de la cafetera es bien conocido. Se llena parcialmente de agua la vasija (vessel) a presión y se pone al fuego. El agua caliente se eleva por el tubo (exit tube) hasta alcanzar el contenedor con el café (coffee plug). Mezclada con el café el agua caliente sale por la parte superior en forma de café líquido. Este proceso puede durar varios minutos. El agua fluye hasta que el nivel de agua dismuye hasta que su nivel cae por debajo del tubo (exit tube). En este momento sólo vapor de agua puede ascender hacia arriba, produciendo el conocido “pitido,” señal sonora que nos advierte que el café está listo para ser servido.

¿Hay que esperar a que el agua hierva? No, aunque la mayoría de los manuales afirman que sí y que la presión dentro de la vasija tiene que ser la presión de vapor del agua. Esto no es necesario. De hecho, se puede obtener un café de mejor calidad si no permitimos que el agua llegue a hervir, eso sí, siempre y cuando no nos importe dejar de escuchar un sonoro “pitido”.

Por supuesto, si calentamos la cafetera hasta una temperatura inferior a 100ºC el volumen de agua que se asciende como café puede ser inferior al volumen de la vasija. Si queremos un café mejor habrá que desaprovechar cierta cantidad de agua. Lo ideal es que el café se “cocine” a una temperatura inferior a 95ºC, aunque superior a 90ºC.

El artículo de Warren D. King presenta un modelo muy fácil de entender para la física de la cafetera que el propio autor valida utilizando datos experimentales de propia cosecha. Los experimentos son fáciles de repetir y pueden ser un buen objeto de estudio práctico para un laboratorio de física o de termodinámica.

Muchos dicen que los italianos son los reyes del buen café. Si sabes italiano (o te atreves a leer algo escrito en italiano) el artículo A. Varlamov, G.Balestrino, “La fisica di un buon caffè,” será de tu interés.

Desayuna con la inestabilidad de Rayleigh-Taylor en tu taza de café

La hora del desayuno es una hora tan buena como cualquier otra para experimentar con la física. Hoy hablaremos de la inestabilidad Rayleigh-Taylor, que aparece en la interface entre dos fluidos cuando el más denso flota encima del más ligero, como el aceite flotando encima del agua o el café encima de la leche. Esta inestabilidad se desarrolla cuando dos capas planas y paralelas de fluido inmiscible en equilibrio sufren una pequeña perturbación que hace que el fluido más pesado caiga hacia abajo por la gravedad y el más ligero suba hacia arriba.

La inestabilidad se nos muestra con la generación de una compleja red de patrones que los matemáticos asocian a estructuras fractales. ¿Quieres verlos? Prepara un poco de café y un buen vaso (tranparente) de leche. Vierte el café sobre el vaso, espera unos minutos y podrás observar como la estructura fractal surge espontáneamente. La siguiente figura muestra lo que podrás observar. Las fotos (a), (b) y (c) se han obtenido a los 10, 30 y 90 segundos, respectivamente, utilizando granos de café instantáneo (Nescafé) mezclados con tinta china, para que se vea mejor en la foto, vertidos con una pipeta sobre el vaso de leche. En las fotos de abajo se ha utilizado agua en lugar de leche para que se vea mejor el efecto.

El artículo de los japoneses Michiko Shimokawa y Shonosuke Ohta, “Annihilative fractals of coffee on milk formed by Rayleigh-Taylor instability,” ArXiv preprint, 15 sep 2008 , estudia la dimensión fractal de los patrones generados por inestabilidad de Rayleigh-Taylor para un poco café vertido en una taza de leche. Dicha dimensión fractal es de 1.88±0.06 (calculado utilizando la técnica de contar cajas o box counting). El comportamiento de este patrón fractal es muy curioso y se parece bastante al modelo matemático de una “alfombra” de Sierpinski (cuya dimensión es 1.89). Aparte de la dimesión, el análisis de la función de correlación entre ambos fractales muestra otras similutdes (los detalles técnicos en el artículo son fáciles de entender, para los interesados).

Según estos japoneses, este tipo de estructura fractal no ha sido observada en el pasado y la han bautizado como “fractal del café” (coffee fractal). Sugieren que su conexión con la alfombra de Sierpinski no es casual sino que el fractal del café se forma por aniquilación de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor con el mismo patrón de construcción de Sierpinski. Aunque sus conclusiones, en mi opinión, son prematuras, han recibido el gran honor de que su trabajo sea snapshot en Nature, Katharine Sanderson, “Snapshot: How do you like your coffee?,” Nature 455, 579 ( 2008 ).