El análisis funcional y la estabilidad de la materia

Dibujo20121219 Balloon Pop

El lector sabe que dos litros de gasolina tienen el doble de energía que un litro; en termodinámica se dice que la energía es una magnitud extensiva. Demostrarlo parece fácil, pero no lo es. La solución de este problema, el problema de la estabilidad de la materia, requiere el uso de poderosas herramientas de análisis funcional, como mostró Elliott H. Lieb (quien el pasado 31 de julio cumplió 80 años). El problema matemático a resolver consiste en demostrar que la energía de un sistema de N partículas en interacción mutua (dos a dos) cumple que el límite E(N)/N es constante para N→∞. Quizás mucha gente piense que este problema tiene una solución sencilla, pero la demostración de Freeman Dyson y Andrew Lenard [1,2] era complicada en extremo, casi imposible de entender para un físico; gracias al trabajo de Elliott Lieb y Walter Thirring [3] las ideas físicas subyacentes vieron la luz, pero guiadas por el lenguaje del análisis funcional (que los físicos ya conocían gracias a que John von Neumann lo utilizó en sus fundamentos matemáticos de la física cuántica). Estoy aprovechando estas fechas navideñas para leer los trabajos originales de Elliott H. Lieb, gracias a su compilación en el libro “The Stability of Matter: From Atoms to Stars,” Edited by W. Thirring, Springer, 1997.

Dibujo20121219 hard-core potential function

Las estrellas con una masa arbitraria no son estables y colapsan bajo la fuerza de la gravedad. La masa límite para una estrella fría estable se denomina límite de Chandrasekhar. Por ejemplo, para una enana blanca, una estrella estable en la que la presión de degeneración de sus electrones debida al principio de exclusión de Pauli compensa a su gravedad, este límite es de 1,44 masas solares; por encima de este límite la estrella para convertirse en una estrella de neutrones, que también tiene una masa límite, unas 3 masas solares, el llamado límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff. Estos resultados se obtuvieron analizando la estabilidad de la materia en el caso relativista, es decir, la estabilidad de las soluciones del hamiltoniano “relativista”

H_N=\sum_{i=1}^N\sqrt{p_i^2+m_i^2}+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{i-1}v(x_i-x_j).

Este hamiltoniano no está acotado por debajo para N suficientemente grande, un resultado independiente del potencial v(x) utilizado. Este resultado difiere del obtenido en el caso no relativista (mucho más difícil de estudiar), que permite que la materia sea estable.

El hamiltoniano (no relativista) de un sistema de N partículas en interacción a pares viene dado por

H_N=\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m_i}+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{i-1}v(x_i-x_j).

Como contiene un sumatorio doble, a priori, uno espera que E(N)\sim{N^2} en lugar de E(N)\sim{N}. La única posibilidad de que \lim_{N\to\infty}E(N)/N sea constante es que el potencial v(x) tenga las propiedades adecuadas. L. van Hove (1950) lo demostró usando la mecánica estadística clásica para un potencial de núcleo duro (hard-core), que es infinito por debajo de cierto radio crítico (ver la figura de arriba). Sin embargo, la materia es cuántica y hay que utilizar las leyes de la mecánica estadística cuántica. Para el caso de un potencial gravitatorio, v(x_i-x_j)=-Gm_im_j/|x_i-x_j|, J. M. Lèvy-Leblond (1969) demostró que la materia no es estable ya que para bosones E(N)\sim{N^3} y para fermiones E(N)\sim{N^{7/3}}. Para el caso de un potencial electrostático, v(x_i-x_j)=e_ie_j/|x_i-x_j|, F. J. Dyson y A. Lenard (1967) demostraron que la materia es estable, E(N)\sim{N}, si todas las partículas con el mismo signo de carga eléctrica son fermiones. En caso contrario, si hay bosones con ambos signos de carga eléctrica, demostraron que la materia es inestable con E_N entre los límites N^{5/3} y N^{7/5}. Esta demostración fue simplificada y mejorada por E. H. Lieb y W. Thirring (1968) quienes demostraron que para el hamiltoniano

H_N=\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m_i}+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{i-1}e_ie_j/|x_i-x_j|,

con e_i=\pm{e}, y \sum_{i}{e_i}=0, el estado cuántico de mínima energía E_N satisface:

(i) Si v(r)=1/r, entonces E_N\sim{N} para fermiones y E_N\sim{N^{7/5}} para bosones.

(ii) Si v(r)=(1-e^{-\mu{r}})/r, entonces E_N\sim{N} tanto para fermiones como bosones.

(ii) Si v(r)=re^{-\mu{r}}, entonces E_N\sim{N}^2 tanto para fermiones como bosones.

Este teorema, demostrado mediante técnicas de análisis funcional, nos indica que la estabilidad de la materia es algo excepcional en mecánica estadística cuántica no relativista. Pero aún siendo excepcional, no es imposible como en el caso relativista.

¿Por qué se requiere el uso de herramientas de análisis funcional? Porque las propiedades termodinámicas del sistema se describen mediante relaciones funcionales. La propiedad de que la energía sea una magnitud extensiva equivale a que sea una función homogénea: f(\lambda{}x)=\lambda\,f(x), con \lambda\in\mathbf{R}^{n+}. La propiedad de que la energía todal de un sistema compuesto de partes sea menor que la suma de la energía de dichas partes por separado equivale a que sea una función subaditiva: f(x_1+x_2)\le{}f(x_1)+f(x_2). Un famoso teorema de análisis funcional de Landsberg implica que una función que sea homogénea y subaditiva también es convexa: f(\lambda\,x_1+(1-\lambda)\,x_2)\le\lambda\,f(x_1)+(1-\lambda)\,f(x_2). La convexidad es la clave para la demostración de la estabilidad de la materia en los trabajos de Lieb y sus colegas, por ello, se utilizan técnicas matemáticas de análisis funcional.

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5 pensamientos en “El análisis funcional y la estabilidad de la materia

  1. Si existe una dinámica no lineal cuasiclásica subyacente y de la que la QM/QFT fuera “emergente”, mi opinión es que la extensividad o más bien la “aditividad” de la energía debería “caer” de los postulados. En el fondo, tal idea se mantiene desde el approach de “deformed relativities” (relatividad doble y triplemente especial, por ejemplo) y otras extesiones de la relatividad, que están teniendo un “revival” con el asunto de la “localidad relativa”. Después de todo…En Relatividad Especial se pierde la regla usual de adición de velocidades y tenemos un regla no lineal bien comprobada de adición de velocidades relativistas. Esto es, la regla usual de aditividad de la energía debería caer de los postulados. Otra cosa interesante es qué sentido tendría un principio de superposición no lineal en tal teoría…Ya he visto que ha salido el libro de Weinberg de Mecánica Cuántica, a ver si me sale un trabajo algo más estable que clases a domicilio y puedo comprarme un par de libros que ando deseando de mi wish list de Amazon…

    El paper del Barrow “Dimensionality”, del que hablé en mi blog http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2012/11/18/log054-barrow-units/, también habla sobre la estabilidad de la materia en D=3+1. Es curioso que al parecer D=3+1 es algo así como un “punto fijo” estable en el asunto de la estabilidad de energía en un “flujo dimensional” de las leyes “espaciotemporalmente posibles” (tanto gravitatorias como electromagnéticas, o incluso nucleares si incluimos en la discusión el potencial de Yukawa como el mismo Barrow comenta en el artículo antes citado).

    Es importante comentar que Walter Thirring es célebre por el efecto Lense-Thirring gravitomagnético, y también por los libros que a mí me gusta llamar “mamuts”, sus cursos de “física-matemática” (véase libros by Walter Thirring en amazon o en google books) en los que explica mediante análisis funcional y casi en el 95 por ciento de los casos notación “libre de coordenadas” casi toda la física conocida. Posiblemente, esos textos, quedan ahí para las generaciones venideras. Hay más de un truco curioso explicado en sus libros que no he visto en ninguna otra parte, aunque en ocasiones, el uso que hace del análisis funcional, el cálculo exterior en variedades o la teoría de operadores (en sus libros de Mecánica Cuántica), pese a su elegancia, oculta y oscurece mucho la intuición física de algunos problemas que se entienden mejor en cierta “representación” o usando ciertas coordenadas específicas(pese a que por supuesto es elegante ver que es verdad en cualquier referencial con el oportuno cuidado).

  2. Hola,perdonar mi ignorancia en fisica,pero entonces ¿la materia es el equilibrio
    entre la velocidad de la energia y la gravedad, en un espacio formado al crearse

    la materia,o es otra cosa?
    perdon y gracias.

    • Miguel, tu pregunta es incomprensible. ¿”Velocidad de la energía”? La velocidad es un concepto aplicable a ondas, partículas y todo lo compuesto de ondas o partículas. ¿”Velocidad de la gravedad”? La velocidad de la luz (según teoría y experimentos). ¿”Equilibrio”? Este concepto termodinámico no tiene sentido en tu pregunta. ¿”Espacio formado”? Los físicos creemos que la creación del espaciotiempo y los campos (la “materia”) fue simultáneo, pero en realidad no tenemos ni idea.

      ¿Qué es la materia? En cosmología es lo que contribuye a la expansión cósmica que cumple la ecuación de estado de la materia (puede ser “oscura” o “bariónica”). En física de partículas se suele decir que la “materia” son las partículas de tipo fermión (aunque ahora también hay físicos que hablan de “materia” en el sentido de cualquier partícula, sea bosón o fermión). En otras ramas de la física, el concepto de “materia” es otras cosas.

  3. miguel, una forma de entender el asunto que planteas es dirigirte a Pierre-Simon Laplace (1749-1827), un científico francés pionero en muchas áreas de la ciencia. Sigo a la Wikipedia:

    “En Exposition du système du monde (Exposición del sistema del mundo, 1796) expuso una teoría sobre la formación del sol y del sistema solar a partir de una nebulosa o remolino de polvo y gas. Aunque con mucho mayor detalle y múltiples refinamientos, esta “Hipótesis nebular” permanece en nuestros días como el fundamento básico de toda la teoría de la formación estelar. Por otra parte, demostró también la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de la teoría matemática de probabilidades (en su obra Théorie analytique des probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método de los mínimos cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló de manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamente determinista”.

    Tira de ese hilo y avanza en el tiempo para conocer más detalles de esta cuestión.

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