Interesante historia de las fórmulas y algoritmos para pi

El artículo de Jesús Guillera Goyanes, “Historia de las fórmulas y algoritmos para pi,” Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, 10(1):159-178, 2007, nos presenta algoritmos y fórmulas tan interesantes como los de Arquímedes, Viete, Wallis, Newton, Comtet, Gregory, Leibniz, Machin, Euler, e incluso Gauss y Ramanujan. Los algoritmos de Borwein están entre los más eficientes. El artículo acaba de ser traducido al inglés (”History of the formulas and algorithms for pi,” Jesus Guillera, ArXiv preprint, 5 Jul 2008 ).

A los interesados en el artículo también les gustará la propia tesis doctoral del autor, “Series de Ramanujan: Generalizaciones y conjeturas,” defendida el 2 de julio de 2007. El trabajo de Ramanujan todavía nos deparará muchas más sorpresas en el futuro.

Tampoco me puedo resistir a recomendaros el artículo “Fun with Fourier series,” Robert Baillie, ArXiv preprint, submitted on 1 Jun 2008 , del que extraigo la figura de abajo, como botón de muestra.

Felix Klein, el programa Erlangen, fractales, Mandelbrot y los métodos numéricos en el plano complejo

La geometría en el s.XIX recorrió un “extraño” camino. De la geometría euclidiana, aparentemente la geometría del mundo que nos rodea, bien fundamentada axiomáticamente pero con la “lacra” del axioma de las paralelas, ¿es un teorema? ¿debe ser un axioma? ¿podemos definir geometrías que no lo cumplan? Gauss, la “zorra” de las matemáticas, que borraba con su “rabo” las huellas de su pensamiento, aunque gracias a su diario personal, recuperado más tarde, aunque de forma incompleta, sabemos que demostró que era posible una geometría con una variante de dicho axioma, válida para la esfera (durante muchos años, Gauss se dedicó a la geodesia). Otros la descubrieron más tarde, la geometría no euclídea, junto a otras variantes, nombres como Lobachevsky o Bolyai.

¿Pero qué hace que una teoría matemática sea o describa una geometría? El programa de Erlangen de Klein nos ofrece una respuesta. Un conjunto de objetos invariante ante la acción de un grupo ES una geometría, por lo que se denominan a las acciones del grupo como transformaciones “geométricas.” La teoría de grupos, que Galois elevó a la gloria del álgebra, era elevada por Klein al cielo de la geometría. Ya en el s.XX, la teoría de semigrupos la elevaría al sumum del análisis. La teoría de grupos como metamatemática. ¡Qué pensaría Klein de los fractales!

El libro “Indra’s Pearls: The Vision of Felix Klein,” de David Mumford, Caroline Series y David Wright, Cambridge University Press, 2002 , merece, en este sentido, una lectura cuidada y un disfrute gráfico con sus impresionantes figuras (como la mayoría que adornan los libros sobre fractales, de gran belleza y profundidad geométrica). La página web que los autores del libro han preparado, nos ofrece gratuitamente más perlas. En este libro, los matemáticos disfrutarán de los grupos de Schottky, un tipo de transformación de Möbius, también llamados grupos kleinianos.

La gran belleza “matemáticas” de los fractales es que normalmente están asociados a los números complejos y estos son la manera “ideal” de representar los números. De ello ya se dió cuenta Cardano, que codescubrió cómo reolver ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4 de forma general. Sin embargo, su fórmula tenía un grave problema. A veces “no era aplicable”. Un ejemplo sencillo es el polinomio , cuya raíz entera igual a 4 no es fácilmente “visible” en el resultado obtenido utilizando la fórmula del propio Cardano, en concreto, la fórmula siguiente

. Los que conocen los números complejos sabrán que ambos resultados son equivalentes. A los que no, les recomiendo “aprenderlo” (merece la pena, “El Camino a la Realidad,” Roger Penrose, es un buen punto de partida para entender cómo los números complejos son “el lenguaje numérico” de la realidad). Cardano se vio “obligado” a “crear” (o quizás “descubrir”) los números complejos, que hasta Euler y Gauss, siglos más tarde, no ganaron el estatus que tienen hoy en día (que Penrose “disfruta” en su libro, un libro “disfrutón” donde los haya, aunqe pesa “demasiado” como lectura playera del verano).

Por cierto, yo leí “The Road to Reality” de Penrose al poco de salir en Gran Bretaña (encargé a un amigo que viajaba a Escocia que se hiciera con una copia para mí). “Supersesgado” hacia sus “twistors,” yo, que no soy “nadie”, hubiera escrito el mismo libro con un enfoque completamente diferente, sin embargo, he de reconocer que como “La nueva mente del emperador”, engancha, … “sesga” al lego… pero engancho incluso al técnico. Ya ha pasado a la la historia de la divulgación científica, no por lo que quiere Penrose, “reivindicar los twistors,” sino por que varias generaciones de jóvenes se formarán como físicos y matemáticos gracias a él. Amén, perdón, “que así sea,” en nombre de Penrose, digno hijo de su padre.

Cómo ordenar o clasificar las revistas internacionales de investigación mediante el índice H

El índice H de una revista internacional no es fácil de calcular utilizando el ISI Web of Science, ya que requiere datos históricos acumulados. Sin embargo, el SCImago sí lo permite calcular (aunque sólo es el índice H desde 1994, dado que se basa en datos de Scopus de Elsevier). ¿Cuáles son las dos revistas de investigación más prestigiosas del mundo en la actualidad? La mayoría de nosotros pensará que son Nature y Science, quizás por este orden. ¿Qué dice el índice H de SCImago al respecto?

1. Nature, 531 artículos citados más de 531 veces, según SCImago 2007;

2. Science, 521.

5. PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America), 339.

11. Physical Review Letters, 268

Los interesados pueden consultar el listado completo.

No me “desagrada” este orden. ¿Qué pasa con las revistas de … pongamos, Computer Science?

1. Bioinformatics 111; 2. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 111; 3 IEEE Transactions on Information Theory 102; 4 IEEE Journal on Selected Areas in Communications 101; 5 IEEE Transactions on Communications 92; 6 IEEE Transactions on Image Processing 88; 7 IEEE Communications Magazine 84; …

Tampoco, “chirría” este otro orden. ¿Y con las de Mathematics, Computational Mathematics?

1 SIAM Journal on Numerical Analysis 45; 2 Applied Mathematics and Computation 37; 3 Mathematics of Computation 32; 4 Numerische Mathematik 32; 5 Journal of Computational and Applied Mathematics 31; 6 Computers and Mathematics with Applications 30; …

No sé, no sé, me gusta menos, … quizás porque estoy acostumbrado al índice de impacto del ISI que las ordena de forma completamente diferente.

Todos tenemos preconcepciones. “Sabemos” qué revistas internacionales son más prestigiosas, independientemente de su índice de impacto, muchas tienen índices de impacto “ficticios” (ya que muchos editores se dedican a la ingeniería del índice de impacto). El trabajo de SCImago (de algunos amigos granadinos) me gusta. No “coincido” del todo con sus resultados, pero en muchos casos muestra ser más “fiable” con la “intuición”, menos “paradójico” que el índice de impacto, que este año en MATHEMATICS, APPLIED coloca a la “prestigiosa” (en “casa” del Editor Principal porque no lo es en ningún otro lugar) INTERNATIONAL JOURNAL OF NONLINEAR SCIENCES AND NUMERICAL SIMULATION, como la de mayor índice de impacto y con diferencia, con un índice de impacto “paradójicamente” enorme para el prestigio que tiene. Eso sí, si ojeas los últimos números, ciertos matemáticos “muy buenos” están publicando en ella, supongo que aprovechando la burbuja “especulativa” de su índice de impacto.

eScienceNews: El Google de las noticias científicas

Uno de los éxitos de Google fue el uso de robots de búsqueda automática. Michael Imbeault, canadiense, ha desarrollado un periódico de noticias científicas basado en un robot o buscador automático. Fundamentalmente busca en Google News y en Yahoo News. http://esciencenews.com. Lo lanzó hace un mes y ya tiene 5000 visitas diarias.

Este tipo de buscadores automáticos de noticias no generan nuevas noticias, por lo que han de basarse en quienes de verdad las generan (CNN.com, MSNBC.com), pero de forma automática construyen el titular, ordenan las noticias por importancia y/o interés, clasifican éstas en grupos relacionados (en función de la co-ocurrencia de palabras entre ellas), y usan técnicas estadísiticas BAYESIANAS para asignar los artículos automáticamente a categorías como Astronomía, Salud o Clima. El orden o ranking de las noticias se basa en su fecha, el número de sitios web que las citan, y otros factores relacionados cno su importancia.

Obviamente, Google News y Yahoo News no contienen todas las noticias científicas del mundo, limitándose a sitios tan famosos como Nature News, la sección de ciencia de The New York Times, páginas de noticias de universidades y centros de investigación, como la NASA, etc. Pero Michael Imbeault ha prometido extender estos sitios poco a poco hasta cubrir la “Google-Internet” (la parte de la web alcanzable mediante buscadores).

Imbeault, como no puede ser menos para una “animal” universitario, quiere aplicar técnicas de Web Semántica (Web 3.0) para obtener un mejor significado de los contenidos de los textos de las noticias. ¡Qué tenga suerte!

Búsqueda Google en Revistas de Acceso Abierto (u otro Google Custom Search Engine)

Los “Google Custom Search Engine” son motores de búsqueda tipo Google que podemos desarrollar nosotros mismos para buscar en ciertos sitios web o páginas web específicas. Uno de nosotros se pega el “curro” de buscarlas y los demás disfrutan de esa posibilidad de la Web 2.0.

Nuestro amigo David (léase en inglés) ha desarrollado uno para los “Open Access Journals“, revistas de acceso abierto. En estas revistas, los costes de publicación los pagan los autores, pero a cambio la suscripción a la revista es totalmente gratuita. Por lo demás son exactamente iguales que cualquier otra revista científica (con revisión por pares, etc.).

Lánzate a buscar artículos técnicos (normalmente en inglés) utilizando David’s Open Access Journals. Todo son ventajas, entre ellas, la total compatibilidad con el formato de búsqueda de Google (al que la mayoría ya estamos acostumbrados). Enhorabuena David, un buen trabajo.

Chebfun para Matlab (o la diversión del numérico con tintes de simbólico)

El proyecto chebfun es una colección de algoritmos, y un sistema software basado en Matlab orientado a objetos, iniciado por Nick Trefethen y Zachary Battles en 2002, que extiende la potencia de los métodos numéricos al tratamiento “casi” simbólico de funciones continuas y continuas a trozos. Incluye algoritmos continuos para algoritmos como la descomposición QR o la SVD. Todo se basa en métodos espectrales o desarrollos de Fourier-Chebyshev. Es espectacular.

Algunos ejemplos:

¿Cuál es la integral de exp(-sqrt(x)) entre 0 y 10?
>> x = chebfun(’x',[0 10]); sum(exp(-sqrt(x)))
ans = 1.647628069579947

¿Cuál es el máximo local de la función sin(x)+sin(x²) en el mismo intervalo?
>> max(sin(x)+sin(x.^2))
ans = 1.985446580874099

¿Cuántas raíces tiene la función de Bessel J₀(x) entre 0 y 1000?
>> length(roots(chebfun(@(x) besselj(0,x),[0 1000])))
ans = 318

Y muchas más cosas… En resumen “Métodos Numéricos con Funciones en lugar de con Números”.

Gracias, Nick.

Metropolis y los métodos de Montecarlo (o la manía de usar Maniac para algo útil)

Las programadoras del ENIAC primero utilizaban paneles de cables.

Nick (Nicholas Constantine) Metropolis (nacido el 11 de junio de 1915) trabajó con Edward Teller y con J. Robert Oppenheimer en el proyecto Manhattan en Los Alamos durante la Segunda Gran Guerra. Tras ella, en 1948 lideró el grupo de Los Alamos que desarrolló y construyó el Maniac, uno de los primeros ordenadores electrónicos digitales. Metropolis desarrolló, junto a Teller, John von Neumann, Stanislaw Ulam, y Robert Richtmyer, los llamados métodos de Montecarlo (in inglés Monte Carlo, como les llamó el propio Metropolis). Es sorprendente, pero mucha gente asocia a Metropolis con las técnicas de muestreo basadas en la importancia, el llamado algoritmo de Metropolis, muy utilizadas en simulación de Montecarlo, olvidando su importante papel en el desarrollo de uno de los algoritmos más importantes en toda la Historia de la Informática.

El origen de métodos tan importantes como el método de Montecarlo siempre se puede trazar en el pasado muy lejos y siempre hasta llegar a los más grandes genios. Por ejemplo, Enrico Fermi, quien siempre estaba calculando algo, usó técnicas de muestreo estadístico en problemas de difusión de neutrones al menos en 1934, tras el descubrimiento en 1933 por Frederic Joliot e Irene Curie (la hija, también Nobel) de la radioactividad inducida en elementos ligeros mediante el bombardeo con partículas alfa (núcleos de Helio). Recuerda que Chadwick descubrió el neutrón un año antes. La idea de Fermi fue utilizar neutrones en lugar de partículas alfa. Utilizó métodos de Montecarlo para realizar sus cálculos. Nunca lo publicó. Se conoce la historia porque se la contó a Emilio Segré.

Las programadoras del ENIAC más tarde utilizaban paneles control (idea de Nick).

En 1948, Nick visitó el ENIAC donde, gracias a una sugerencia de von Neumann, implementó por primera vez cálculos de Montecarlo computerizados. Contratado por la Universidad de Chicago, desarrolló el computador electrónico de Los Alamos llamado MANIAC (Mathematical and Numerical Integrator and Computer) que utilizaba la arquitectura de programa almacenado de von Neumann. Lo más maravilloso de tener uno de los primeros ordenadores a principios de los 1950s es que prácticamente cualquier que se hacía con él era pionera y muy importante. El computador abría un amplio abanico de posibilidades de investigación científica hasta ese momento inalcanzables. En el MANIAC se realizaron las primeras simulaciones de osciladores no lineales acoplados (problema de Fermi-Pasta-Ulam, programado por la señorita Tsingou), idea de Fermi en 1953 acabó como informe técnico sin publicar por su fallecimiento. Pero también se desarrollaron trabajos tan importantes como el análisis del código genético (Gamow, Metropolis; 1954), el muestreo basado en importancia (Metropolis, Teller; 1953), física computacional de fluidos en 2D (Metropolis, von Neumann; 1954), y muchos otros más. Casi cada artículo abría un nuevo campo de conocimiento.

MANIAC II sustituyó a MANIAC I en Los Alamos en 1956, que incluía un aritmética en punto flotante y era mucho más poderoso. MANIAC III, con circuitos de estado sólido, se desarrolló en la Universidad de Chicago. Los MANIAC funcionaron hasta 1977.

WiFi-For-Fun (o cómo funcionan la WiFi y WiMax en Mijas, Málaga)

Traducción libre del artículo de Robdert Morrow, “Wi-Fi-Fo-Fum,” Science, Vol. 320. no. 5879, pp. 1018-1019,  23 May 2008.

La gran revolución de la comunicación sin hilos en la última década ha sido la implementación de la Wi-Fi en los llamados “puntos calientes” (hot spots) tanto en nuestras casas, como en aeropuertos, hoteles y restaurantes. Con una cobertura entre 10 y 50 m, dependiendo de los obstáculos y de la calidad de la señal requerida, un módem Wi-Fi puede servir para todos los usarios de un pequeño bloque (ver la figura de arriba). Áreas mayores requieren el uso de varias estaciones. La última versión de los equipos Wi-Fi, basada en una versión de prueba del estándar IEEE 802.11n promete tasas de hasta 600 Mb/s (megabits por segundo), lo que es suficiente para la transmisión simultánea de varias señales de T.V. de alta definición. El problema de extender el rango útil de la Wi-Fi se encuentra con los problemas del coste y de la interferencia con otras fuentes de radio frecuencias. Estas dificultades se han resuelto con el nuevo estándar, WiMAX, que opera en la banda de radio estándar (en la que se encuentran los canales de radio comerciales) pero con una potencia de transmisión mayor.

La especificación original de la Wi-Fi es de 1990 en el proyecto 802.11 de la IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers). Desde entonces, la especificación de la Wi-Fi ha mejorado mucho conforme se han obtenido tanto avances teóricos como prácticos. El primer estándar 802.11, publicado en 1997, soportaba transmisión de datos a 1 y 2 Mb/s. La aceptación internacional del estándar se facilitó con su uso a nivel mundial en la banda de 2.4-gigahercios (GHz), de uso gratuito prácticamente en todo el mundo. Originalmente, los emisores eran muy caros y los dispositivos de diferentes fabricantes se comunicaban bastante mal entre sí. Estos inconvenientes no impidieron que el protocolo 802.11 se usará en muchas corporaciones para conectar computadores sin necesidad de cables.

Un año clave para la evolución del 802.11 fue 1999. Primero, apareció 802.11b, que permitía transmisión a 5.5 y 11 Mb/s. Segundo, varios fabricantes se unieron en la asociación Wi-Fi Alliance con objeto de certificar y testear la compatibilidad e interoperabilidad de sus productos. Abanderar un logo Wi-Fi garantiza desde entonces que el producto puede comunicarse con otros productos también certificados, independientemente del fabricante. Finalmente, el tercer gran avance fue el protocolo 802.11a, que especificaba un proceso completamente nuevo para la comunicación mediante radio digital llamado multiplexado por división de frecuencia ortogonal (OFDM).

En el protocolo 802.11a, la modulación multicanal usa 48 subcanales de datos y 4 subcanales piloto, espaciados los más próximos posibles en frecuencia dentro de la misma banda sin causar interferencia mutua. Los subcanales piloto actúan como referencias para los cambios en las propiedades de la transmisión en diferentes condiciones ambientales. Cada subcanal propaga su propio flujo de datos, lo que permite tasas de transmisión de entre 6 y 54 Mb/s en la banda de licencia libre de 5 GHz. Los datos se transmiten por pulsos en ventanas de 4 µs llamadas símbolos; combinando información de amplitud y fase, varios bits se pueden transmitir en el mismo símbolo.

El estándar 802.11a se adoptó lentamente debido a que los transmisores (radios) de 5 GHx eran caras de fabricar, la banda de 5 GHz no estaba disponible de forma gratuita en todo el mundo, y los procesadores digitales de señal (DSP) para procesar la transmisión OFDM sólo se han abaratado recientemente. En junio de 2003, la aparición del estándar 802.11g resolvió todos estos inconvenientes. Además, cambios en la legislación de varios países permitió el uso de OFDM en la banda de 2.4 GHz, que operando a menor frecuencia permite un abaratamiento en la fabricación de los dispositivos (ya que los componentes electrónicos integrados pueden utilizar una tecnología de integración más sencilla al ser de mayor tamaño). Además, los procesadores DSP se volvieron más rápidos y baratos.

Si quieres dominar el mercado, tienes que seguir avanzando siempre. Los fabricantes de dispositivos 802.11 no son una excepción. La última mejora, 802.11n, será estándar IEEE a finales de 2008. El 802.11n también utiliza OFDM pero permite hasta 4 antenas de transmisión, cada una emitiendo de forma independiente. Con un DSP suficientemente poderoso, esta antenas también pueden utilizar “beam forming”, es decir, canalizar todas las señales en la misma dirección hacia el receptor.

Aunque la Wi-Fi es muy versátil no permite dar servicio a grandes regiones en las que se encuentren usuarios fijos, móviles y en movimiento con un coste bajo y una potencia ultrabaja. Varias ciudades que estudiaron la posibilidad de desplegar una red Wi-Fi de cobertura completa desecharon la idea ya que requería instalar miles de estaciones por todo el territorio. Con objeto de proveer el acceso a datos de alta velocidad y amplia cobertura, al menos para usuarios de posición fija, se desarrolló el estándar WiMAX fijo (IEEE 802.16- 2004). Proveer servicioes de datos de alta velocidad para usuarios móviles es el gran reto en la ingeniería de comunicaciones no guiadas terrestres. La soluciones actuales van desde las propuestas basadas en telefonía móvil 3G (de tercera generación) al estándar IEEE llamado 802.16e-2005 para la WiMAX móvil comercial. WiMAX tiene mucho en común con 802.11n, el uso de la OFDM (pero ahora hasta 2048 subportadores), el uso de múltiples antenas con flujos de datos independientes, y el uso de la técnica de beam forming.

Quizás la mayor ventaja de WiMAX sobre la Wi-Fi es que opera en varias bandas de frecuencia bajo licencia, lo que elimina la interferencia y cacofonía propia de las bandas no sujetas a licencia. Además, un servicio bajo licencia está sujeto a una legislación que permite que los transmisores WiMAX pueden alcanzar una mayor potencia, puedan ser fácilmente expandidos o ampliados, permitiendo una cobertura de más de 1 km, o al menos unas 20 veces más que la alcanzada por una estación base de Wi-Fi. WiMAX permite cubrir toda una ciudad con sólo una docena de estaciones base.

El gran inconveniente de la tecnología WiMAX es que en un contexto donde los usuarios son móviles, ciertas estaciones pueden llegar a recibir un enorme número de solicitudes de usuarios, lo que requiere métodos de asignación de recursos extremadamente avanzados. WiMAX lo permite asignando los diferentes grupos de subportadoras OFDM a diferentes usuarios. De esta manera, una estación base de WiMAX puede atender los flujos de datos de múltiples usuarios simultáneamente y en el caso de que su rendimiento baje, puede redirigir parte del tráfico a otras estaciones cercanas.

Se espera que las estaciones Wi-Fi dominen la cobertura en espacios interiores con una gran densidad de usuarios. Siendo WiMAX la mejor opción para cubrir áreas grandes poco densas. De esta forma, la mejor manera de garantizar cobertura permanente (por ejemplo en vehículos) es tener acceso a ambos sistemas. Afortunadamente, ya se pueden adquirir en el mercado dispositivos duales WiMAX y Wi-Fi a precio razonable.

Mijas, la ciudad de los burros taxis, una de las ciudades más “ricas” de España (con hipódromo, gran número de urbanizaciones de extranjeros que pagan religiosamente sus impuestos, con playa, y muchas más cosas, por ejemplo, el autor nació allí, … lo dicho, Mijas será de las primeras ciudades españolas con cobertura completa WiMAX. Ha sacado un concurso público por 300 mil euros en el Programa “Mijas Digital”. El plazo máximo para la realización del despliegue será de 3 meses desde la firma del contrato de adjudicación del concurso.

Nanotransistores con canal de nanotubos para los ordenadores del futuro

La mayoría de los ordenadores actuales utilizan microprocesadores con tecnología basada en transistores de efecto de campo FET de tipo MOS (metal-óxido-semiconductor). La tecnología microelectrónica más utilizada en la actualidad es la CMOS. El parámetro característico de un transistor MOS es la longitud del canal. Hasta hace poco se pensaba que era imposible bajar de una 1 micra para la longitud del canal, pero actualmente es fácil encontrar procesadores (los últimos de Intel) con 0,13 y hasta 0,08 micras (unos 80 nanómetros). La cuestión es, ¿se puede fabricar un transistor con una longitud de canal de pocos nanómetros? La física del estado sólido estándar no lo permite (requiere que por el canal pase un flujo de miles de electrones). Sin embargo, la nanotecnología ofrece varias posibilidades, siendo la más prometedora los transistores de nanotubos. Xinran Wang et al. “Room-Temperature All-Semiconducting Sub-10-nm Graphene Nanoribbon Field-Effect Transistors,” Phys. Rev. Lett. 100, 206803 ( 2008 ), presentan los transistores de efecto de campo basados en canal de nanotubos de menos de 10 nanómetros (sí, 0,01 micras), que tienen bastantes ventajas respecto a otros nanotransistores basados en nanotubos permitiendo todo tipo de dispositivos semiconductores. La tecnología GNFET dará bastante que hablar en el futuro.

Los transistores de efecto de campo FET basados en tecnología del grafeno son una de las tecnologías más prometedoras a la hora de sustituir a los transistores FET de los procesadores actuales. Los autores del artículo, por primera vez, han logrado fabricar con esta tecnología transistores con longitud de canal menor de 10 nm. La figura de abajo muestra la gran linealidad de las curvas de caracterización de estos nuevos transistores. La fabricación masiva de este tipo de transistores tardará unos años en llegar pero por ahora se encuentran entre las tecnologías más prometedoras.

Circuitos electrónicos flexibles (o el corcho y el papel de nanotubos)

La figura muestra (A) el proceso de fabricación de circuitos CMOS ultrafinos que utilizan nanotiras (nanoribbons) de silicio de gran flexibilidad ante dobleces y que se pueden estirar/comprimir recuperando su forma original. (B to D) Fotografías de algunos de los circuitos fabricadods. En (B) aparece un recuadro (inferior derecha) que muestra un único inversor CMOS. Estos circuitos se pueden (C) enrollar y (D) arrugar sin alterar su funcionamiento. El trabajo se ha publicado en Dae-Hyeong Kim et al. “Stretchable and Foldable Silicon Integrated Circuits,” Science, Vol. 320. no. 5875, pp. 507-511, 25 April 2008.

La electrónica flexible antes de este trabajo utilizaba materiales orgánicos conductores, pero su rendimiento es mucho peor que la electrónica obtenida con materiales inorgánicos. En este trabajo se ha desarrollado por primera vez una manera de combinar nanotiras de silicio con un sutrato flexible de goma o plástico que permite crear circuitos electrónicos robustos, flexibles y “doblables” sin sacrificar el rendimiento de la electrónica convencional. La característica más interesante de estos nuevos circuitos flexibles es que la propia circuitería electrónica prácticamente no sufre los esfuerzos provocados por el doblado o estiramiento, que se concentran en el substrato flexible, por ello el rendimiento electrónico no se ve afectado.

El corcho tiene propiedades muy curiosas. Por ejemplo, cuando se estira o comprime en la dirección axial, cambio muy poco en su dirección radial, es decir, tiene un coeficiente de Poisson próximo a cero. La mayoría de los materiales tienen un coeficiente de Poisson positivo, aunque algunos también tiene un coeficiente negativo, como ciertas espumas de polímeros que se expanden lateralmente cuando son estiradas. El artículo de Lee J. Hall et al. “Sign Change of Poisson’s Ratio for Carbon Nanotube Sheets,” Science, Vol. 320. no. 5874, pp. 504-507, 25 April 2008, describe la creación de un material parecido al papel formado por una mezcla de nanotubos, tanto monocapa como multicapa. Variando la fracción de nanotubos multicapa logran controlar el coeficiente de Poisson del material resultante, pasando de un valor positivo a uno negativo, incluyendo la posibilidad de un valor nulo. El nuevo material de la familia de los “papeles de nanotubos” (buckypaper) tendrá importantes aplicaciones prácticas en el desarrollo de nuevos materiales compuestos (composites) para formar hojas planas, músculos artificiales, y sensores mecánicos y químicos.

Lenguajes de alto nivel para la computación cuántica (o computación cuántica para informáticos)

 Los lenguajes de programación cuántica se pueden dividir en cuatro grandes clases (A) imperativos, (B) declarativos (normalmente, funcionales), y (C) otros (algunos son sólo formalismos matemáticos). Hay muchos lenguajes de programación útiles para la computación cuántica, algunos incluso de alto nivel. En la página web de I. Glendinning “Quantum programming languages and tools,” tienes un listado de los más interesantes. El artículo Donald A. Sofge, “A Survey of Quantum Programming Languages: History, Methods, and Tools,” ArXiv Preprint, 7 Apr 2008, presenta una revisión bastante completa de este tipo de lenguajes. Un artículo que también merece la pena leer, pero que es más antiguo, es Roland Rüdiger, “Quantum Programming Languages: An Introductory Overview,” The Computer Journal, Volume 50, Number 2, Pp. 134-150, 2006 (web). 

 

 El primer lenguaje de computación cuántica es la Máquina de Turing Cuántica o Máquina de Deutsch, sin embargo, no resulta nada práctica para implementar algoritmos cuánticas (¿quién usa la Máquina de Turing (Clásica) para programar?). Aún así, si conoces Mathematica, puedes usar el notebook de Joachim Hertel, “Quantum Turing Machine Simulator,” The Mathematica Journal, vol. 8, no. 3, 2002. La implementación de los algoritmos Deutsch-Jozsa, de factorización de Shor, y de búsqueda de Grover, son prácticas muy interesantes utilizando dicho simulador pero requerirían un trabajo “inmenso” (si lo logras no dejes de informarme).

El pseudocódigo propuesto por Knill acabó resultando en el primer lenguaje imperativo cuántico, C quántico (QCL http://tph.tuwien.ac.at/~oemer/qcl.html). Estos lenguajes se basan en utilizar una memoria RAM cuántica (QRAM), con un flujo de control clásico que involucra tantos datos clásicos como cuánticos. Merece la pena leer el proyecto fin de carrera (master thesis) de Bernhard Ömer, “Quantum Programming in QCL,” que incluye implementaciones QCL de los algoritmos cuánticos más populares. Por ejemplo, el algoritmo de Peter Shor para factorización de números requiere 9 páginas de texto en QCL, aunque en pesudocódigo es extraordinariamente corto.

Otro lenguaje cuántico basado en C++ es Q Language. Incluyo construcciones cuánticas básicas para todas las operaciones cuánticas más utilizadas, como QHadamard, QFourier, QNot, QSwap, and Qop. Permite definir nuevos operadores y todo en un contexto “orientado a objetos”.  Discutir otros lenguajes imperativos, como qGCL (quantum Guarded Command Language) de Sanders-Zuliani o LanQ de Mlnarik nos llevaría lejos.

Los lenguajes cuánticos declarativos se basan en el paradigma funcional utilizando una variante cuántica del Lambda cálculo de Church, por ejemplo, el lenguaje introducido por Maymin que ha sido la base de QFC (Quantum Flow Charts) de Selinger que ha dado lugar a QPL (Quantum Programming Language) y a cQPL.

Más información en la Wiki http://www.quantiki.org/wiki/index.php/Quantum_Programming_Language 

Un viaje a Vega, una estrella cercana (o la paradoja de los gemelos en Relatividad)

Vega es la estrella más brillante de la constelación de la Lira, siendo la quinta estrella más brillante de todo el firmamento (desde España es sólo la tercera visible más brillante, tras Sirio y Arturo). Forma parte del triángulo de estrellas característico del verano, si eres aficionado a la Astronomía ya lo sabrás, junto a Deneb (en el Cisne) y Altair (en el Águila). Se encuentra en nuestro entorno local (muy cerca de nosotros), sólo a unos 25,3 años luz de distancia.

¿Cómo sería un viaje “relativista” hasta Vega desde la Tierra? El artículo de Thomas Müller, Andreas King, and Daria Adis, “A trip to the end of the universe and the twin “paradox”,” American Journal of Physics, Vol. 76, No. 4, pp. 360-373, April 2008, ArXiv Preprint, nos cuenta los detalles (que aquí presentaremos sin la matemática asociada, por otro lado, no muy difícil, cinemática relativista “elemental”). Los autores han desarrollado un código JAVA (Applet) para hacer los cálculos junto con otros programas que también serán de vuestro interés.

Ernesto (radioastrónomo) es el hermano gemelo de Teresa (astronauta), quien ha sido seleccionada para el primer viaje a Vega. Para hacer más confortable el viaje, se ha diseñado la nave para que acelere a 1g (9.81 m/s²) con lo que el viaje de ida y vuelta durará (para Teresa) 12.93 años (terrestres), aunque, por la ditación del tiempo relativista (paradoja de los gemelos), Ernesto necesitará 54.48 años para volver a ver a su hermana (en la Tierra). El viaje de Teresa se ha diseñado en 4 fases. La siguiente figura muestra la trayectoria espaciotemporal o viaje de Teresa visto por Ernesto en la Tierra (supuesta en reposo, es decir, supuesto
despreciable el movimiento rotacional de ésta respecto al Sol). Teresa iniciará su viaje en el punto (1), acelerará hasta alcanzar su velocidad máxima en el punto (2), donde empezará a desacelerar hasta pararse completamente en el punto (3), ya en Vega, donde pasará sólo unas horas (tiempo que consideraremos despreciable); el retorno será a la inversa, acelerará en dirección a la Tierra hasta el punto (4) desde donde desacelerará hasta su retorno a la Tierra, en (5). Los círculos pequeños en la figura muestran los momentos en los que Teresa envía una señal hacia la Tierra (indicando que se encuentra bien y disfruta del viaje). Ni Teresa envía estas señales a intervalos periódicos en su reloj local, ni Ernesto las recibe equiespaciadas. La figura muestra que la línea espaciotemporal de Teresa es prácticamente recta. Hemos supuesto que la nave de Teresa acelera suavemente, alcanzando el 80% de la velocidad de la luz tras el primer año de viaje. La velocidad máxima de Teresa se alcanza en el punto (2), en concreto un 99.75% de la velocidad de la luz.

¿Qué es lo que ve Ernesto desde “casa”? Como la distancia entre ambos gemelos crece, las señales que envía Teresa necesitan cada vez más tiempo para llegar a Ernesto. De hecho, Ernesto recibirá la mayoría de las señales de Teresa cuando ella ya esté en la parte final de su viaje de retorno hacia la Tierra. Por ejemplo, una señal enviada por Teresa desde la nave a los 3 años de viaje (en su tiempo propio), cuando se encuentra a 10 años luz de distancia de la Tierra, es recibida por Ernesto (en el tiempo propio de la Tierra) a los 20 años. De hecho, en el momento de recepción de la señal, Teresa ya se encuentra a 19 años luz de la Tierra y según el reloj de la nave han transcurrido 4 años de su viaje. Ver la figura de arriba.

La figura de arriba muestra la relación entre los relojes de tiempo propio de Ernesto (eje de abcisas) y Teresa (eje de ordenadas). Como vemos es una curva “no lineal”.

¿Quieres diseñar tu propio viaje interestelar? El código JAVA de los autores os permite calcular estas figuras y otras para otros viajes. Anímate.

¿Qué vería Teresa cuando viajara hacia Vega? El fondo de estrellas, pero alterado relavistamente. Los autores también presentan un código Java para que nos imaginemos qué es lo que vería Teresa. Si te apetece experimentar, ánimo.

Más sobre la paradoja de los gemelos en castellano.

Noticia sobre la paradoja de los gemelos (ArXiv Preprint del artículo citado en la noticia).

¿Permite la paradoja de los gemelos permanecer “eternamente” jóvenes?.

Computación cuántica óptica sobre silicio (o primeras puertas lógicas cuánticas en guías ópticas planares integradas)

La portada del número de hoy de Science nos remite a la implementación de puertas lógicas cuánticas basadas en tecnología fotónica integrada en sustratos de silicio, en concreto, utilizando guías ópticas; los autores del trabajo han mostrado que circuitos cuánticos arbitrarios se pueden implementar utilizando guías ópticas planares integradas sobre un sustrato de silicio, en chips convencionales, cuando sobre ellas se propagan fotones individuales. El futuro de esta tecnología es muy prometedor.

Alberto Politi, Martin J. Cryan, John G. Rarity, Siyuan Yu, Jeremy L. O’Brien, “Silica-on-Silicon Waveguide Quantum Circuits,” Science, Vol. 320. no. 5876, pp. 646 - 649, 2 May 2008, ArXiv preprint, han mostrado por primera vez el sueño de muchos especialistas en computación cuántica, cómo usar la luz (fotones) para desarrollar tecnologías cuánticas utilizando arquitecturas basadas en óptica integrada que permiten implementaciones escalables, de gran miniaturización y, como han mostrado para puertas simples, de gran calidad (alta fidelidad “cuántica”). Como primer paso solamente han logrado implementar las puertas lógicas cuánticas más sencillas: la interferencia cuántica de 2 fotones con una visibiliad del 94.8 ± 0.5%, una puerta NO-controlada (CNOT) con una fidelidad en sus estados lógicos del 94.3 ± 0.2%, y un estado con 2 fotones entreladzados con una fidelidad mayor del 92%. Estos resultados muestras cómo es posible “escribir” en una oblea de silicio circuitos cuánticos sofisticados, gérmen de una futura tecnología cuántica basada en fotones, incluyendo computación cuántica y otras tecnologías basadas en información cuántica.

Un bit es la mínima unidad de información “clásica determinista” y representa un 0 o un 1, en la que se basa el ordenador que usas para leer ésto. Un pbit (bit probabilístico) es la mínima unidad de información “clásica no determinista”, representa un 0 con probabilidad p y un 1 con probabilidad 1-p (donde p es un número real entre 0 y 1, con propiedades de probabilidad). Un qubit (bit cuántico) es la mínima unidad de información “cuántica”, representa un estado de superposición (entanglement) entre un estado |0> con amplitud de probabilidad α y un estado |1> con amplitud de probabilidad β (donde α y β son dos números complejos, con módulo y fase; en realidad sólo se necesitan dos números reales para describir un qubit, ya que hay una fase común entre α y β, sólo necesitamos conocer la diferencia de fase, y la suma del cuadrado de las amplitudes de probabilidad debe ser la unidad |α|² + |β|² = 1). La mejor manera de representar un qubit es la esfera de Bloch (ver figura de arriba).

La característica fundamental de los qubits es que cuando son medidos (medida cuántica del estado) se obtiene como resultado un pbit (ver arriba). La puerta lógica NOT (invertir el bit o qubit) en su versión cuántica toma la siguiente forma (ver abajo). Esta puerta tiene como entrada un qubit y como salida también un solo qubit, e “invierte” las amplitudes de probabilidad de ambos estados.

La puerta con dos qubits más sencilla con dos qubits de entrada y dos qubits de salida es el NO-controlado (C-NOT o CNOT). El primer qubit controla si se aplica (1) o no (0) la operación NOT sobre el segundo qubit, de forma que si el primer qubit es 0, la salida coincide con la entrada, pero si es 1, se invierte en el salida el segundo qubit.

Para implementar esta puerta lógica han utilizado la combinación de guías ópticas sobre la oblea de silicio qeu se muestra en esta figura, que muestra además el resultado esperado de las medidas cuánticas del estado del par de qubits a a la salida de esta configuración, así como los resultados experimentalmente medidos. Un resultado muy espectacular. 

Entre las puertas lógicas cuánticas de un qubit de entrada y otro de salida, la más famosa es la que entrelaza el qubit de entrada de forma “equipartita”, la llamada puerta de Hadamard. Cuya representación lógica y resultado es el siguiente.

Los autores han implementado dos combinaciones de puertas de Hadamard y de CNOT, en concreto sendas H a la entrada y salida del bit de control en una CNOT (B) y sólo a la entrada (C) con muy buenos resultados.

CNOT, H y la puerta T (un desfase en uno de los qubits de un par, no implementada por los autores del artículo) forman un conjunto de puertas lógicas universales (cualquier circuito lógico cuántico se puede construir con ellas). La obtención de un set universal con esta nueva tecnología está sólo a un paso.

Los espectaculares resultados obtenidos, utilizando una implementación física extremadamente simple (comparada con realizaciones experimentales previas en fotónica cuántica, que requieren complejos sistemas de interferómetros) demuestra que es posible construir circuitos lógicos cuánticos de gran fidelidad con esta tecnología. Además, aunque sólo a priori, estos circuitos serán fácilmente escalables (aunque habrá que estudiar cómo les afecta el fenómeno de la decoherencia).  

Cifras y Letras (o búsqueda automática versus inteligencia artificial)

En la página de Pedro Reina tienes un código que automáticamente resuelve los problemas de números y letras del programa (más de 15 años en antena) de “Cifras y Letras” (si quieres en vivo y en directo, para que no tengas el problema de Jose Mari Aznar al ver el video de arriba).

La explicación del funcionamiento del código nos muestra que es extremadamente simple, pero efectivo, rayando la búsqueda sistemática. En el último número de Investigación y Ciencia (abril 2008), Parrondo, especialista en paradojas en teoría de juegos, que le han hecho famoso (como en su momento lo hicieron con Nash, el de la peli “Una mente maravillosa”), en la sección “Juegos Matemáticos” dedica el número a una explicación (muy buena) de los algoritmos de Reina. Los que estáis suscritos que la disfrutéis.

 

 

Variaciones de Mozart - creaciones de un genio con ingenio (o cómo el caos determinista puede ayudar a los compositores)

Traducción libre “adornada” del artículo de Diana S. Dabby, “Creating Musical Variation,” Science, Vol. 320. no. 5872, pp. 62 - 63, 4 April 2008.

Mozart necesitaba dinero. Recurrió a su amigo Michael Puchberg, quien se hizo de rogar. Hasta 21 cartas le envió entre 1788 y 1791, en las que se presentan hasta 24 variantes de la súplica “Amigo, me puedes prestar un céntimo?”. Mozart trataba con estas variaciones de lograr que su obra fuera del gusto de su “amigo”. Es un ejemplo perfecto de las llamadas variaciones musicales muy típicas en el s. XVIII, con exponentes tan importants como Haydn. Sobre un tema melódico de base se introducen múltiples “adornos” que lo enriquecen y le añaden complejidad. Arnold Schoenberg, uno de los grandes músicos del s. XX, definió las variaciones como “repetición en la que el algunas cosas se cambian pero el resto se mantienen”. Por ejemplo, 4 notas, de la misma duración, se pueden variar con alteraciones de ritmo, añadiendo notas vecinas, cambiando el orden de las notas, etc.

La moderna música disco y sus variantes nos muestran un gran número de ejemplos de variaciones. La música House parte de una muestra (sampling) de un disco anterior al que someten a múltiples transformaciones utilizando instrumentos electrónicos. Por ejemplo, French Kiss, del DJ Lil’Louis, la primera canción house que vendió un millón de copias en el mundo.

Pero desde el punto de vista de la música “clásica” (sus aficionados a veces la llaman “culta”) el gran revolucionario del s.XX antecesor de la moderna música electrónica es sin lugar a dudas John Cage, que rompió con toda la tradición permitiendo variaciones que hoy en día llamaríamos “cáoticas”: La partitura de la obra permite que el intérprete varíe, reordene, “decida” durante la ejecución. Cada obra es única.

Las técnicas matemáticas del caos permite “recrear” (o “interpretar”) este tipo de de obras mostrando todo un nuevo universo musical. Si la partitura de la obra viene descrita por un sistema dinámico caótico, sensible a las condiciones iniciales o a ciertos parámetros de tal forma que pequeñas variaciones de éstos conducen a grandes variaciones en la obra, estas perturbaciones durante la ejecución de la misma hacen que cada interpretación sea necesariamente única. Estas infinitas variaciones enriquecen la obra (cual la interpretación del jazz se enriquece gracias a las improvisaciones de sus intérpretes).

La autora del artículo, Diana Dabby, del Departmento de Ingeniería Eléctrica del MIT nos muestra algunas variaciones caóticas sobre una obra de Bach en el siguiente video de youtube.