Descanse en paz, William P. Thurston (1946-2012)

El pasado 21 de agosto falleció de cáncer, a los 65 años de edad, el matemático estadounidense William P. Thurston (me he enterado al repasar las últimas entradas del blog gaussianos). Thurston es famoso por su extensión al caso tridimensional del teorema de geometrización (u homogeneización), uno de los resultados clave de la geometría del siglo XIX. Recuerda, toda variedad topológica bidimensional admite una estructura geométrica de curvatura constante (u homogénea), es decir, es una variedad diferenciable (o riemanniana) difeomorfa a la esfera (curvatura positiva igual a la unidad), al plano euclídeo (curvatura nula) o al plano proyectivo (curvatura negativa igual a menos uno). Por ejemplo, el toro admite una métrica homogénea que lo dota de curvatura nula. A principios de los 1970 parecía imposible extender este teorema a variedades tridimensionales, pero a finales de los 1970 se descubrió que las variedades de curvatura negativa eran menos salvajes de lo esperado; gracias al trabajo de Thurston toda la dificultad se concentró en las variedades de curvatura positiva, es decir, el dominio de la conjetura de Poincaré, la llamada conjetura de eliptización. Thurston recibió la Medalla Fields en 1982 por este trabajo. Como muchos ya sabéis, Grigory Perelman utilizó el flujo de Ricci con cirugía para demostrar la conjetura de geometrización de Thurston y como caso particular la conjetura de Poincaré (trabajo por el que se le premió con la Medalla Fields en 2006, aunque rechazó dicho galardón).

El trabajo clave de Thurston es «Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry,» Bull. Amer. Math. Soc. 6: 357-381, 1982. Explicar en detalle solo el enunciado del teorema de geometrización de Thurston-Perelman ya nos llevaría demasiado lejos. Muy brevemente podemos decir que toda variedad diferenciable tridimensional se puede descomponer (con una descomposición de esferas) en un conjunto de esferas y de subvariedades primas (aesféricas, que no son esferas), y que éstas se pueden descomponer a su vez  (con una descomposición de toros) en un conjunto de toros y de subvariedades irreducibles (atoroidales, que no son toros), y que éstas últimas, módulo ciertos grupos de simetría, pueden ser dotadas de métricas «homogéneas» de 8 tipos diferentes.

En persona dicen que Thurston dejaba a todos boquiabiertos por su conocimiento enciclopédico de geometría y topología diferencial, pero sus trabajos matemáticos fueron muy criticados por su falta aparente de rigor (por cierto, muy al estilo del trabajo de Perelman). La demostración de Thurston de 1982 para variedades de curvatura negativa contenía varios «agujeros» que Thurston no se molestó en rellenar, pues opinaba que su «esquema» de demostración era una demostración en toda regla, opinión contraria a la de muchos expertos. Finalmente, se rellenaron los «agujeros» en dos trabajos de otros autores en 1999 y 2000. Quizás por ello muchos expertos hablaban de la conjetura de geometrización como dos conjeturas en una, la de hiperbolización y la de eliptización. Cuando Perelman publicó en 2002 y 2003 su demostración de la conjetura de geometrización podemos afirmar que, por un lado, demostró de forma independiente el teorema de hiperbolización de Thurston y, por otro, demostró la conjetura de eliptización de Thurston, conjetura que es «casi» equivalente a la conjetura de Poincaré; por todo ello, el teorema de geometrización de variedades tridimensionales debe recibir el nombre conjunto de Thurston-Perelman, reservándose el nombre de teorema de Perelman para la conjetura de Poincaré.

También recibió la Medalla Fields en 1982 el padre del análisis geométrico, Shing-Tung Yau, por demostrar en 1977 la conjetura de Calabi, ahora llamada teorema de Yau (que demuestra la existencia de las variedades de Calabi-Yau). Según cuenta Yau, él fue quien le sugirió a Richard Hamilton en 1982 el uso del flujo de Ricci como vía de ataque para demostrar la conjetura de eliptización de Thurston. La demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré usa herramientas de análisis geométrico en la línea marcada por el programa de Hamilton-Yau, aunque incorporando algunas ideas revolucionarias (como el uso de herramientas para EDP hiperbólicas aplicadas a una EDP parabólica).

Más información en los blogs de Peter Woit y Terence Tao, en su universidad (Cornell), Scientific American, The New York Times, MacTutor, y muchos otros.

También os recomiendo su artículo «Mathematical Education,» Notices of the AMS 37: 844-850, 1990 [arXiv:math/0503081].