La supergravedad como una doble teoría gauge

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Uno de los resultados más interesantes de la física teórica de la última década es que la gravedad es dual al “cuadrado” de una teoría de Yang-Mills (GR = YM×YM), propiedad que también muestra la supergravedad (SUGRA=SYM×SYM). Visto al revés, la “raíz cuadrada” de la (super)gravedad es una teoría (super)Yang-Mills. Este resultado de Bern, Carrasco y Johansson (CBJ) es análogo a las relaciones de Kawai, Lewellen y Tye (KLT) en teoría de cuerdas, que afirman que las cuerdas cerradas (responsables de la gravedad) son duales al producto de cuerdas abiertas levógiras y cuerdas abiertas dextrógiras (ambas representando teorías gauge). El objetivo de quienes trabajan en este campo es demostrar que la supergravedad es una teoría finita. Los avances recientes han sido grandes, pero aún queda mucho camino por recorrer. Nos resume el estado actual Henrik Johansson (CERN) en “Towards Determining the UV Behavior of Maximal Supergravity,” SUSY 2013, ICTP Trieste, Aug 29, 2013 [pdf slides; video].

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Conexión, curvatura y la geometría diferencial de las teorías de Yang-Mills

Volviendo la hilo que estaba siguiendo, resumo lo anterior. Las teorías de Yang-Mills son la versión no lineal de las ecuaciones de Maxwell, donde “no lineal” quiere decir que las excitaciones del campo tipo partícula pueden interaccionar entre sí (algo imposible en el electromagnetismo). Para especificar una teoría de Yang-Mills se necesita especificar una conexión en un fibrado y una métrica en su espacio base (el espaciotiempo). El grupo de estructura del fibrado representa las simetrías “internas” del campo, es decir, las transformaciones geométricas que se pueden aplicar a las componentes del campo sin que cambie la física descrita por dicho campo. Se llama “internas” a estas simetrías porque no afectan a los puntos del espaciotiempo (como las transformaciones de Lorentz y Poincaré). A estas transformaciones geométricas “internas” se les llama transformaciones gauge y a las teorías de Yang-Mills también se les llama teorías de campo gauge.

El párrafo anterior se puede repetir con símbolos matemáticos. Un campo de Yang-Mills es una conexión en un fibrado principal cuyo espacio base es el espacio de Minkowski en 4D, sea \mbox{M}_{4}, y cuyo grupo de estructura (que coincide con el espacio de fibras) es un grupo de Lie, sea \mbox{G}, con álgebra de Lie \mbox{g} (recuerda que el álgebra de Lie es el espacio tangente a cada punto del grupo de Lie); la importancia del álgebra es que permite tratar de forma lineal las transformaciones no lineales del grupo, luego es más fácil cuantizar objetos que “viven” en el álgebra que en el grupo, pues la física cuántica es “intrínsecamente” lineal. En física, el fibrado principal se considera trivial \mbox{E}=\mbox{M}_{4}\times\mbox{G}, lo que significa que se asocia a cada punto del espaciotiempo una transformación geométrica “interna” del grupo que actúa sobre los campos definidos en dicho espaciotiempo.

El potencial del campo de Yang-Mills, la conexión, es una 1-forma A:\mbox{M}_{4}\rightarrow\mbox{g}, que a cada punto del espaciotiempo le asigna un elemento del álgebra de Lie; usando una base del álgebra, podemos escribir A(x)=A^{a}_{\mu}(x)t^{a}dx^{\mu}, donde se ha usado el convenio de suma de índices repetidos de Einstein, x^{\mu}\mu=0,1,2,3 son las coordenadas (locales) en el espaciotiempo \mbox{M}_{4}, y t^{a}, a=1,2,\ldots,\dim\mbox{g}=\dim\mbox{G} son los elementos de una base (también llamados generadores) del álgebra \mbox{g}; recuerda que los generadores del grupo se obtienen exponenciando los del álgebra.

Una teoría de Yang-Mills es una teoría gauge porque la intepretación física de A se realiza módulo la acción del grupo (la aplicación de una transformación del grupo no afecta a la física). En concreto, si aplicamos una transformación arbitraria del grupo a cada punto del espacio, sea h:\mbox{M}_{4}\rightarrow\mbox{G} la matriz que la representa en la representación adjunta del grupo, los generadores del álgebra se transforman como t^{a}\rightarrow{h(x)}t^{a}h^{-1}(x), lo que induce una transformación gauge en el campo A(x)\rightarrow{h^{-1}(x)}A(x){h(x)}+h^{-1}dh(x)=A^{h}(x), pero la física descrita por A(x) y A^h(x) es exactamente la misma. Un estado físico de la teoría es una clase de equivalencia de los potenciales del campo bajo transformaciones gauge.

Los físicos derivan las ecuaciones del campo a partir de un principio variacional de acción extrema. La acción del campo de Yang-Mills viene determinada por la curvatura, una 2-forma con valores en \mbox{g} dada por F=F^{a}_{\mu\nu}t^{a}dx^{\mu}{\wedge}dx^{\nu}, donde F^{a}_{\mu\nu}={\partial}_{\mu}A_{\nu}-{\partial}_{\nu}A_{\mu}+f^{abc}A^{b}_{\mu}A^{c}_{\nu}, y f^{abc} son las constantes de estructura del álgebra \mbox{g}, es decir, [t^{a},t^{b}]=t^{a}t^{b}-t^{b},t^{a}=f^{abc}t^{c}. En la literatura físico-matemática es habitual escribir F=dA+A{\wedge}A (usando el lenguaje de las formas diferenciales).

Una transformación gauge no solo afecta a los potenciales, sino también a los campos vía la curvatura F\rightarrow{h^{-1}}{F}{h}. Como la física (los campos y sus ecuaciones) tienen que ser invariantes ante transformaciones gauge, las ecuaciones del campo que se deducirán de aplicar un principio de “mínima” acción exigen que la acción se defina utilizando una expresión invariante gauge. En la teorías de Yang-Mills se utiliza la expresión más obvia, la 4-forma \mbox{tr}F\wedge{F^{*}}=F^{a}_{\mu\nu}F^{a}_{\mu\nu}, donde F^{*} es el dual de Hodge de F respecto a la métrica (aquí se ve como determinar la acción del campo requiere especificar una métrica); recuerda que esta expresión matemática contiene derivadas hasta el segundo orden de A. La acción del campo en forma integral toma la forma

S(A)=\frac{1}{4\,g^{2}}\int_{\mbox{M}_{4}}F^{a}_{\mu\nu}F^{a}_{\mu\nu}d^{4}x=\frac{1}{4\,g^{2}}\int\mbox{tr}F\wedge{F^{*}}d^{4}x,

donde la constante positiva g^{2} es un parámetro adimensional llamado constante de acoplamiento.

Quizás conviene que comprobemos que la constante de acoplamiento es adimensional. Recuerda, en general, la dimensión de una magnitud física es el producto de las tres unidades fundamentales de longitud [L], tiempo [T] y masa [M]. Cuando se usan unidades en las que la velocidad de la luz c=1 y la constante de Planck \hbar=1, lo habitual en física teórica, tanto los tiempos como las masas se miden en unidades de longitud (en concreto, [T] = [L]/c y [M]=[L]^{-1}\hbar/c). Se comprueba fácilmente que la dimensión de la conexión (el potencial) es [A]=1/[L], la de la curvatura (los campos) es [F]=1/[L]^2, y obviamente la de elemento de espaciotiempo [d^4 x]=[L]^4, con lo que si la acción es adimensional S también lo es g^{2}.

La constante de acoplamiento adimensional es una propiedad en 4D y no es verdad en 3D, donde [d^3 x]=[L]^3, implica que [g^2]=[L], ni en 2D, donde [d^2 x]=[L]^2, implica que [g^2]=[L]^2. Por tanto, en 2D y 3D la constante de acoplamiento tiene unidades de longitud, o de masa, y aparece de manera natural un parámetro de masa en la teoría de Yang-Mills; sin embargo, en 4D es adimensional y la teoría no tiene ningún parámetro de masa, luego en la teoría clásica no existe ningún “salto de masa” y cualquier versión cuántica de la teoría a nivel perturbativo (es decir, una aproximación en serie de potencias de la constante de acoplamiento) tampoco puede tener ninguno. Sin embargo, la versión cuántica de la teoría puede mostrar un “salto de masa” si de forma dinámica aparece un parámetro de masa, por ejemplo debido al efecto de términos no lineales como (A{\wedge}A)^2.

La ecuaciones para el campo clásico de Yang-Mills son ecuaciones hiperbólicas (ecuaciones de onda). En la teoría cuántica constructiva o axiomática se utiliza una transformación de Wick (que vuelve el tiempo complejo t\rightarrow \mbox{i}t) para transformar el espacio de Minkowski en un espacio euclídeo y obtener ecuaciones elípticas (ecuaciones de campo) para el campo. Siguiendo esta filosofía la acción del campo se escribe

S(A)=\frac{1}{4\,g^{2}}\int_{\mathbb{R}^{4}}\mbox{tr}F\wedge{F^{*}}d^{4}x,

que no afecta a la física descrita (pues la transformación de Wick se puede deshacer fácilmente) y facilita enormemente el análisis matemático del problema.

El comportamiento de las soluciones de un problema elíptico depende del tipo de singularidades que presenten. Si la curvatura no presenta singularidades y es de cuadrado integrable, F\in\mbox{L}^2, entonces el campo es autodual F^{*}=\pm{F} y las soluciones del campo son de tipo solitón (llamadas en este contexto “instantones”). Se ha conjeturado que las ecuaciones de Yang-Mills autoduales son integrables (lo que permitiría escribir la expresión general de sus soluciones y realizar una cuantización directa), pero no está demostrado. Sin embargo, en física, se da el caso complicado, la curvatura no es de cuadrado integrable y presenta singularidades, F\not\in\mbox{L}^2 y $latex F^{*}\neq\pm{F}$. Las singularidades pueden ser un conjunto finito de puntos aislados (soluciones llamadas “merons”), una curva unidimensional (soluciones llamadas “líneas de carga”), o superficies bidimensionales (soluciones llamadas “vórtices”). El análisis matemático detallado de todas estas soluciones es un problema abierto.

La manera más directa para un físico de realizar la cuantización de una teoría de Yang-Mills es utilizar una integral funcional de caminos; en ejemplos sencillos se ha demostrado que es equivalente a utilizar cualquier otro tipo de cuantización. Sin embargo, para el matemático este método está plagado de dificultades y se requiere el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas para entender estas integrales de forma rigurosa. El problema del milenio requiere desarrollar estas herramientas. De hecho, todos los libros y artículos de revisión sobre la teoría constructiva o axiomática de campos cuánticos (como el libro de Glimm y Jaffe, o los trabajos de Balaban o Rivasseau) omiten considerar las teorías de Yang-Mills pues prácticamente no hay nada que contar, más allá de un sinnúmero de dificultades.

En términos generales, la integral de caminos conecta los estados asintóticos de las partículas lejos del lugar de su interacción, antes y después de ésta, mediante la acción del campo. Los estados asintóticos son solución de las ecuaciones linealizadas del campo y describen las partículas del campo como partículas “libres” (algo que a los físicos no les gusta cuando se aplica a los “gluones” ya que estos estados “libres” no son observables como tales), llamémosles A_{{in}}A_{{out}}. Obviamente, estos estados “libres” sufren correcciones debidas a la autointeracción del campo no lineal de Yang-Mills (la interacción de estas partículas “libres” con el vacío las reviste y las confina impidiendo que sean observables).

Volviendo a la matemática, la integral funcional de caminos toma la forma

Z(A_{{in}},A_{{out}})=e^{\mbox{i}W(A_{{in}}, A_{{out}})}=\int_{A_{{in}},t\to{-\infty}}^{A_{{out}}, t\to{+\infty}}e^{\mbox{i}S(A)}dA,

donde S(A) es la acción clásica del campo (que incluye otra integral en su definición). No hay una teoría rigurosa de las integrales de camino que nos permita lidiar con estos objetos tan complicados, a lo más podemos hacerlo con las gaussianas (las que tienen como integrando una exponencial de una forma cuadrática). Además, hay que factorizar el efecto de la simetría gauge en la métrica del espacio de conexiones dA, ya que solo hay que integrar utilizando las clases de equivalencia de las conexiones, las órbitas del grupo, es decir, todas las conexiones que se pueden obtener unas a partir de las otras utilizando las transformaciones del grupo conducen a la misma física y solo se deben contar una sola vez en la integral.

Para obtener un integrando gaussiano, siguiendo los pasos de la técnica de Fadéev y Popov, también introducida por ‘t Hooft, se puede realizar un cambio de variable de integración a A=B+ga, donde B describe el efecto de las condiciones de contorno o estados asintóticos “libres” (normalmente se escribe W(B)=W(A_{{in}}, A_{{out}})), a tiene condiciones de contorno nulas y g es la constante de acoplamiento. Utilizando este cambio de variable, se puede factorizar de la métrica en el espacio de conexiones dA la parte correspondiente a las órbitas del grupo, ya que el funcional S(B+a)-S(B) es constante a lo largo de estas órbitas. Nótese que, fijado B, una transformación gauge conduce a a\to{a^{h}}=\frac{1}{g}(A^{h}-B).

No quiero entrar en detalles muy técnicos, solo quiero mostrar dónde puede aparecer un parámetro con unidades de masa en la teoría. Gracias al cambio de variable anterior se puede obtener una integral gaussiana para a que permite obtener los propagadores de las partículas (los “gluones” libres) de la teoría. Para dar sentido a dicha integral hay que regularizarla introduciendo un valor de corte, es decir, substituyendo una integral infinita por \int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{\mu}+\int_{\mu}^{\infty}=\lim_{\epsilon\to{0}}\int_{\epsilon}^{\mu}+\int_{\mu}^{\infty}; para \epsilon\to{0} la dependencia respecto a \epsilon y \mu debe desaparecer en los resultados finales obtenidos, algo que solo ocurrirá si la teoría es renormalizable (ésta es una de las definiciones de renormalizabilidad). La primera integral diverge logarítmicamente como \ln\epsilon/\mu. El parámetro \mu tiene unidades de longitud, es decir, de masa y en la literatura física a veces se escribe \ln\Lambda/m, donde m corresponde a la “masa” de las partículas “libres” de la teoría.

Un cálculo detallado (ver los detalles en las referencias de más abajo), conduce a

W(B)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{g^{2}}+\frac{11}{48\pi^{2}}C(G)\ln\frac{\epsilon}{\mu}\right)\int\mbox{tr}(F\wedge{F^{*}})+\cdots,

donde C(G) es el valor del operador de Casimir del grupo \mbox{G} en su representación adjunta y se han omitido correcciones de orden superior. Sin entrar en más detalles de teorías cuánticas de campos, lo importante de esta expresión para W(B) es la aparición de un parámetro dimensional \mu. El problema del “salto de masa” está relacionado con la posibilidad (bastante razonable a la vista de esta expresión) de que los estados asintóticos de las partículas (descritos por B) dependan del parámetro \mu de forma explícita y por tanto correspondan a partículas con masa (aunque no le guste a un físico, los “gluones” de la teoría serían partículas con masa).

Obviamente, en QCD, el confinamiento de los gluones hace que los estados asintóticos “libres” tengan que ser neutros respecto a la carga de color, las llamadas glubolas (“glueballs”). No se debe confundir esto con el problema del salto de masa que describe estados de la teoría que no pueden ser observados. Ya hablé de la confusión típica entre los físicos de hablar de “salto de masa” para las glubolas, cuya masa es mayor que la de un protón (un gigaelectrónvoltio). En el problema del milenio, el salto de masa no puede superar la escala de energía de confinamiento, \Lambda, que ronda los 270 megaelectrónvoltios, y las estimaciones hablan de valores incluso muchísimo más pequeños.

La masa de las partículas de la teoría (los “gluones” no confinados) corresponde al espectro del operador hamiltoniano (u operador de energía) de la teoría y si existe el salto de masa se puede demostrar que dicho espectro será \{0\}\cup\{m\}\cup[2m,\infty), donde el valor 0 corresponde a la energía del vacío, el valor m a la masa de los “gluones” libres de la teoría y aparece un espectro continuo de energía a partir del valor 2m. Si no existe el salto de masa, algo de lo que dudan pocos expertos, pero que hasta que no se demuestre lo contrario es una posibilidad que no podemos descartar de forma rotunda, el espectro sería [0,\infty), exactamente el mismo que en la teoría clásica de Yang-Mills (los “gluones” no confinados podrían tener una energía arbitraria). El salto de masa es una propiedad genuínamente cuántica que no aparece en la teoría clásica.

Toda esta derivación “formal” es conocida desde los 1970, pero nadie sabe cómo realizarla de forma matemáticamente rigurosa. Por un lado, hay que demostrar que la integral de caminos es un objeto bien definido, lo que requiere una construcción rigurosa de la medida en el espacio de conexiones, es decir, de un objeto aparentemente tan trivial como dA. Una vez logrado hay que determinar el espectro de la teoría resultante y comprobar si el operador de energía (el generador de las traslaciones en el tiempo) presenta un salto de masa en su espectro.

Definir la medida en el espacio de conexiones en una teoría en redes (lattice Yang-Mills) es fácil pero no se sabe obtener su límite continuo o límite para volumen infinito. Este es un posible camino para resolver el problema del milenio, aunque ahora mismo no hay “buenas ideas” sobre cómo llevarlo a cabo. Tampoco se sabe si una versión rigurosa del procedimiento formal esbozado más arriba conducirá a una solución del problema (de hecho, la mayoría los expertos opina que esto no se puede hacer y que hay que partir de ideas completamente nuevas). La situación actual del problema del salto de masa es que no hay ningún camino abierto que parezca prometedor. Mucha gente opina que es uno de los problemas del milenio más difíciles, sino el más difícil.

El salto de masa (la masa de los gluones) es un fenómeno no observado en la Naturaleza debido al efecto del confinamiento, es decir, existen efectos cuánticos que impiden que se observen en la Naturaleza estados libres de los gluones con masa. Por ello, el problema del salto de masa está relacionado con el confinamiento porque su efecto no es observable debido al confinamiento. Sin embargo, esta relación no se puede explotar porque tampoco existe una teoría matemática rigurosa que explique el confinamiento; de hecho, no se sabe si tal teoría ayudará a resolver este problema al permitir separar su efecto o no. La mayoría de los expertos opina que no es una buena vía de ataque tratar de resolver el problema del confinamiento y que ocurrirá al contrario, la solución del problema del sato de masa ayudará a entender el primero y no al revés.

No aburro más. Los interesados en más detalles técnicos deben saber que he seguido el hilo del artículo de L. D. Faddeev, “Mass in Quantum Yang-Mills Theory,” arXiv:0911.1013. A los que quieran más detalles les recomiendo el libro (que está en español y es fácil de conseguir) A. A. Slavnov, L. D. Faddéev, “Introducción a la teoría cuántica de los campos gauge,” Editorial URSS, 1999. Por supuesto, hay mucha literatura adicional, pero no quiero marear mucho más sobre este tema. Recomiendo la lectura del último libro (aún en proceso de escritura y gratis en su web) de Vincent Rivasseau. Las charlas del congreso “Mathematical Foundations of Quantum Field Theory” January 2012, también son un buen punto de partida para conocer a los expertos en estos asuntos y seguir sus publicaciones.

Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras

Un millón de dólares le espera a quien resuelva el problema del “salto de masa” en las ecuaciones de Yang-Mills (YM) puras en 4D (3+1). La teoría de la interacción fuerte entre quarks y gluones, la cromodinámica cuántica (QCD) es una YM en 4D basada en el grupo SU(3), pero no es pura, porque tiene fermiones (los quarks); una teoría QCD pura solo tendría gluones. Para merecer el millón de dólares habrá que construir con rigor matemático una versión cuántica de una teoría de YM en 4D según la teoría cuántica constructiva de campos (por ejemplo, en la axiomática de Wightman). Una vez logrado habrá que estudiar si dicha teoría presenta un salto de masa, es decir, si todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa (como muchos físicos creen) o no la tienen (como ocurre en la versión clásica de dicha teoría). Los gluones no tienen masa en una teoría YM con fermiones, pero hay indicios númericos (lattice QCD) de que sí la tienen en una YM pura.

El salto de masa es un fenómeno cuántico no perturbativo, lo que significa que no se puede calcular utilizando los diagramas de Feynman (la herramienta perturbativa por excelencia) que usan los físicos para calcular las predicciones de la QCD en las colisiones de partículas del LHC en el CERN. Muchos físico-matemáticos creen que entender el salto de masa tendrá aplicaciones prácticas para los físicos, pero nadie lo sabe con seguridad. Mi experiencia hablando con físicos es que muchos no entienden lo que es el problema del salto de masa (y la mayoría de los matemáticos tampoco). Unos y otros disfrutarán con la charla de Edward Witten sobre este problema que abre esta entrada, “What One Can Hope To Prove About Three-Dimensional Gauge Theory,” Simons Center Workshop “Mathematical Foundations of Quantum Field Theory,” Jan. 17, 2012 [Slides pdf; video mp4].

Puedes consultar el enunciado oficial del Problema del Milenio de Arthur Jaffe y Edward Witten, así como un informe breve de Michael Douglas sobre el estado en abril de 2004 de este problema. No son presentaciones muy técnicas y no se ha avanzado mucho desde 2004. Yo no soy experto en estos asuntos, pero hace unos 10 años (cuando era más joven e intrépido) leí bastante sobre este tema. Mi guía básica era el libro de James Glimm yArthur Jaffe, “Quantum Physics. A Functional Integral Point of View,” 2nd ed., Springer, 1987 (referencia obligada para quien se inicie en la axiomática de Arthur S. Wightman, que fue director de la tesis doctoral de Arthur M. Jaffe en 1966). Al final llegué a la conclusión de que era un problema demasiado difícil para mí.

Una teoría QCD en 4D con fermiones sin masa no tiene salto de masa, como demostró (aunque no de forma rigurosa) el Premio Nobel Gerardus ‘t Hooft utilizando un argumento basado en anomalías triangulares en “Which topological features of a gauge theory can be responsible for permament confinement?,” Lecture II, Recent developments in gauge theories, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on recent developments in gauge theories, Cargèse, Corsica, August 26 – September 8, 1979, (1980), pp. 117-133. Otra demostración similar aparece en Cumrun Vafa, Edward Witten, “Eigenvalue inequalities for fermions in gauge theories,” Comm. Math. Phys. 95: 257-276 (1984).

Hay varias confusiones muy extendidas entre los físicos al respecto del problema del “salto de masa” que conviene comentar. La primera confusión proviene del uso del mismo término para dos cosas diferentes. El problema matemático del “salto de masa” se refiere a que el espectro cuántico del operador hamiltoniano H de la teoría aplicado al vacío H |Ω> tiene un ínfimo mayor de cero; en la teoría clásica el espectro tiene un ínfimo nulo y no hay salto de masa (demostrarlo es casi trivial), por lo que el origen del salto de masa es cuántico; además la versión cuántica perturbativa de la teoría tampoco tiene salto de masa, por lo que su origen además de cuántico es no perturbativo. Para muchos físicos, sin embargo, el “salto de masa” se refiere a la posibilidad de que haya agregados de gluones, neutros a la carga de color, que tengan una masa finita no nula, llamados glubolas (glueballs); según ellos bastaría probar que la menor masa posible para una glubola es mayor que cero para resolver el problema del milenio, lo que no es verdad y ha llevado a algunos físicos a afirmar que han resuelto el problema del milenio, cuando en realidad han resuelto un problema completamente distinto. No sé muy bien de donde parte la confusión, pero hay un famoso artículo de Richard P. Feynman que incurre en ella, “The qualitative behavior of yang-mills theory in 2 + 1 dimensions,” Nuclear Physics B 188: 479-512 (1981).

La segunda confusión entre los físicos también ha llevado a que se hayan publicado varias demostraciones incorrectas. En concreto, me refiero al problema del límite infrarrojo para el propagador del gluón en QCD. La masa efectiva del gluón es cero en el límite ultravioleta (energías grandes o distancias cortas), pero puede ser finita en el límite infrarrojo (energías pequeñas o distancias grandes). Para este problema, Marco Frasca ha publicado una solución matemática cerrada en “Infrared Gluon and Ghost Propagators,” Phys. Lett. B 670: 73-77, 2008 [arXiv:0709.2042], y en “Mapping a Massless Scalar Field Theory on a Yang-Mills Theory: Classical Case,” Mod. Phys. Lett. A 24: 2425-2432, 2009 [arXiv:0903.2357]; una demostración parecida de que el límite infrarrojo da una masa mayor que cero ha sido publicada por Alexander Dynin, “Energy-mass spectrum of Yang-Mills bosons is infinite and discrete,” arXiv:0903.4727, Subm. 27 Mar 2009. La técnica utilizada por estos autores , construir una solución exacta (trivial) de las ecuaciones de Yang-Mills basada en una solución para un campo escalar phi-4 (teoría cuya versión cuántica presenta “salto de masa” como se demuestra en el libro de Glimm y Jaffe), permite determinar el límite infarrojo para el propagador del gluón, pero no resuelve el problema del milenio. El problema que han resuelto es un problema diferente (lo que no quita que sea un resultado físico interesante y haya merecido su publicación en revistas internacionales). Aunque Frasca reclama su millón de dólares, nunca lo recibirá (por estos resultados, claro).

La tercera confusión común entre los físicos es la equivalencia entre el problema del “salto de masa” y el del confinamiento de quarks y gluones (el hecho de que en la Naturaleza solo observan estados neutros para la carga de color, por lo que estas partículas con carga de color no se pueden observar de forma libre, como se puede obsever un electrón o un fotón). Estos dos problemas abiertos en la QCD no tienen nada que ver el uno con el otro, por lo que resolver uno de ellos no ofrecerá (a priori) información sobre el otro. Los primeros indicios numéricos (lattice QCD) de la existencia del salto de masa provienen de estudios del problema del confinamiento, por lo que muchos físicos ven una asociación íntima entre estos dos problemas, pero hoy en día la opinión de los expertos es que no hay relación entre ambos.

Y la cuarta confusión entre muchos físicos es creer que el salto de masa ha sido “demostrado” de forma numérica (utilizando L-QCD por “lattice QCD”) y está fuera de toda duda. En una YM 4D la constante de acoplamiento es adimensional y no hay ningún parámetro con unidades de masa, por lo que la versión cuántica debe sufrir una “transmutación dimensional” (un proceso dinámico por el que un parámetro adimensional se vuelve dimensional y adquiere dimensiones de masa). Sin embargo, en L-QCD hay un parámetro dimensional natural, el espaciado de la red Δx que discretiza el espaciotiempo (también llamado a en la literatura física). Esta parámetro de longitud corresponde a un parámetro de masa (sería la longitud de onda de Compton de un gluón con cierta masa), por tanto, toda teoría L-QCD presenta un salto de masa de manera natural. El problema del milenio equivale a demostrar que el límite cuando Δx→0 de este salto de masa es finito (en lugar de nulo). Obviamente, nadie lo ha podido demostrar y la evidencia numérica actual es “pobre” (usar Δx muy pequeños es muy costoso e incluso con supercomputadores se han de usar valores demasiado grandes), aunque mucha gente “observa” en las gráficas que parece que hay un “salto de masa.”

¿Realmente está demostrado que hay un “salto de masa” o podría ocurrir que no existiera? La evidencia en L-QCD es realmente concluyente solo en las teorías YM 2D (1+1), donde por cierto la constante de acoplamiento tiene unidades de masa y no es necesaria la transmutación dimensional para que la teoría cuántica tenga un parámetro de masa. En teorías YM 2D, aunque no hay demostración rigurosa para los matemáticos, el problema se puede considerar resuelto. Sin embargo, en las teorías YM 3D (2+1), donde la constante de acomplamiento al cuadrado tiene unidades de masa y tampoco es necesaria la transmutación dimensional, las pruebas en L-QCD no son concluyentes. Pero, aunque mis palabras puedan sorprender a algunos físicos no muy puestos en este tema, para el problema realmente importante, las teorías YM 4D (3+1), que requiere transmutación dimensional, no hay indicios L-QCD sobre la existencia del “salto de masa” pues los valores del espaciado de la red estudiados son muy limitados y extrapolar su comportamiento para Δx→0 está más allá de todo lo razonable.

Bueno, no aburro más. Mañana habrá otra entrada más sobre estos asuntos. Los que se hayan quedado con ganas de más y no quieran esperar a mañana pueden leer sobre los objetivos de la teoría cuántica constructiva de campos y el problema del salto de masa en Arthur Jaffe, “Quantum Theory Relativity,” August 2007, pdf gratis.

En este blog también puedes leer “El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills,” 4 junio 2011; y “Me ha defraudado Óscar García Prada en su charla sobre la “Existencia de Yang-Mills y del salto de masa”,” 2 junio 2011. También te interesará leer “La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares,” 17 noviembre 2009.