Turbulencia gravitacional en el espaciotiempo Anti-de Sitter

Dibujo20130316 Horizon radius vs amplitude for initial data - number reflections off the AdS boundary before collapse

Me ha llamado la atención el concepto de turbulencia gravitacional, el estado turbulento en un espaciotiempo AdS (Anti-de Sitter). Los espaciotiempos de Minkowski (M), de Sitter (dS) y Anti-de Sitter (AdS) son estables ante perturbaciones infinitesimales (lineales); sin embargo,sólo son estables a perturbaciones finitas (no lineales) los espaciotiempos de M y dS, siendo AdS inestables no linealmente, es decir, una perturbación finita en un AdS crece hasta formar agujeros negros vía una cascada energética similar a la que produce la turbulencia en un fluido (los modos de baja frecuencia evolucionan a modos de alta frecuencia como vórtices en un fluido se descomponen en vórtices más pequeños a todas las escalas). La turbulencia gravitacional en un espacio AdS es un concepto muy sugerente, pues implica una turbulencia cuántica del espaciotiempo. La correspondencia AdS/CFT relaciona una teoría cuántica de campos conforme (CFT) en (d-1) dimensiones con una teoría gravitacional (cuántica) en un espacio AdS en d dimensiones. Nació en el contexto de la teoría de cuerdas (una teoría CFT de acoplamiento débil aparece en el régimen no perturbativo de toda teoría de cuerdas), pero hoy en día tiene vida propia, junto a las ideas holográficas, prometiendo aplicaciones en física de la materia condensada, teorías de campos con acoplamiento fuerte, plasmas de quarks y gluones, turbulencia cuántica, etc. Recomiendo a los físicos la consulta de las transparencias de la charla de Óscar Dias (with Gary Horowitz, Don Marolf, and Jorge Santos), “Gravitational turbulent instability of AdS,” XVIII IFT UAM/CSIC-Madrid Xmas Workshop Dec. 2012 [slides], así como Oscar J. C. Dias, Gary T. Horowitz, Don Marolf, Jorge E. Santos, “On the Nonlinear Stability of Asymptotically Anti-de Sitter Solutions,” arXiv:1208.5772, 28 Aug 2012, y Oscar J.C. Dias, Gary T. Horowitz, Jorge E. Santos, “Gravitational Turbulent Instability of Anti-de Sitter Space,” arXiv:1109.1825, 8 Sep 2011. También es interesante la consulta de Tadashi Takayanagi, “Holographic Entanglement Entropy and Emergent Spacetime,” Entangle This: Strings, Fields and Atoms @ IFT UAM-CSIC Madrid Nov. 19-21, 2012 [slides]; y Masahiro Nozaki, Shinsei Ryu, Tadashi Takayanagi, “Holographic Geometry of Entanglement Renormalization in Quantum Field Theories,” JHEP 10 (2012) 193, arXiv:1208.3469.

Un modelo excepcionalmente simple capaz de incorporar los efectos de la turbulencia de pared

Simulación de turbulencia de pared de Sergio Hoyas y Javier Jiménez (http://torroja.dmt.upm.es/).

La turbulencia creada por el flujo de un fluidos cerca de una superficie a altos números de Reynolds se denomina turbulencia de pared. Su importancia es enorme en muchas aplicaciones (por ejemplo, da cuenta del 50% de la resistencia aerodinámica del ala de un avión), pero su cálculo es difícil porque se concentra en una capa muy delgada cercana a la pared. En esta capa está la región donde los efectos de los mecanismos de transporte molecular, tales como la viscosidad, se oponen al transporte de momento, calor y/o masa entre la pared y el fluido. Las simulaciones numéricas de la turbulencia de pared (como las de Sergio Hoyas y Javier Jiménez) requieren supercomputadores (como Mare Nostrum). Para el diseño industrial de muchos sistemas se requiere el uso de un modelo simple que modele las propiedades promedio de la capa turbulenta de pared. Marusic et al. presentan hoy en Science un modelo no lineal sencillo que da cuenta de estas propiedades y que puede ser incorporado fácilmente a los simuladores de física de fluidos actuales con un coste muy bajo. El modelo considera solo las componentes de la velocidad paralelas a la superficie y tiene dos parámetros cuyos valores se pueden obtener empíricamente (gracias a las simulaciones en supercomputadores). Sorprende que un modelo de capa límite tan sencillo sea capaz de predecir las propiedades globales del movimiento turbulento cerca de la pared. Nos lo cuenta Ronald J. Adrian, “Closing In on Models of Wall Turbulence,” Perspectives, Science 329: 155-156, 9 July 2010, haciéndose eco del artículo técnico de I. Marusic, R. Mathis, N. Hutchins, “Predictive Model for Wall-Bounded Turbulent Flow,” Science 329: 193-1969, July 2010.

Un fluido viscoso cerca de una pared ha de cambiar su velocidad hasta que justo en la pared sea idéntica a la de esta. Esta variación tan rápida induce esfuerzos tangenciales en la superficie que conduce a grandes pérdidas de energía (de gran importancia en las aplicaciones prácticas). Se estima que el 50% del consumo de combustible de un avión durante su vuelo se gasta en superar la tracción debida a las capas límites turbulentas de pared en su fuselaje. Números similares se observan en el movimiento de grandes barcos y submarinos. La turbulencia de pared también es importante en la física de la atmósfera con importantes consecuencias meteorológicas y climatológicas.

Uno de los grandes desafíos de la física de fluidos actual es comprender y predecir el comportamiento de la turbulencia de pared. Gracias a las simulaciones en supercomputadores se ha descubierto que las capas límite turbulentas poseen ciertas características recurrentes (patrones coherentes ) muy difíciles de observar mediante técnicas experimentales. Estas simulaciones son complicadas porque requieren resolver escalas muy grandes y muy pequeñas simultáneamente. Para el fuselaje de un avión las escalas van de cientos de metros a menos de un milímetro. En general , las capas límite turbulentas se caracterizanpor un número adimensional denominado número de Reynolds(Re), que es esencialmente el cociente entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Incluso en los mayores supercomputadores solo se pueden resolver numéricos flujos a números de Re muchos órdenes de magnitud por debajo de los observados en problemas prácticos. Números del orden de mil en las simulaciones que hay que comparar con valores de hasta cien mil en las aplicaciones.

Estudios recientes a  altos de Re han mostrado que en la turbulencia de pared se mezclan movimientos de muy gran escala (VLSM, llamados “superestructuras”) y movimientos a escalas muy bajas. Los primeros se superponen y modulan el comportamiento de los segundos. El nuevo modelo matemático se basa en acoplar ambos tipos de movimientos de forma que permite una predicción estadística de las fluctuaciones de la velocidad en la región cercana a la pared. Sin entrar en detalles matemáticos, el nuevo modelo ofrece una expresión algebraica sencilla que utiliza únicamente la información a gran escala del campo de velocidades en la región exterior a la capa turbulenta y permite determinar el comportamiento promedio del fluido en un escala logarítmica asociada a la propia capa turbulente. La comparación entre resultados experimentales en túneles de viento a altos números de Reynolds indican que el modelo tiene un poder predictivo más allá de lo que se podría esperar debido a su simplicidad, de ahí que se haya publicado en la prestigiosa revista Science.

Teoría de cuerdas y holografía cuántica como medio para entender la turbulencia en fluidos clásicos

Se atribuye a Albert Einstein la siguiente frase: “Voy a preguntar a Dios dos cuestiones: el porqué de la relatividad y el porqué de la turbulencia. Soy optimista en obtener respuesta a la primera cuestión”. El premio Nobel de Física Richard Feynman dijo que la turbulencia era “el problema aún no resuelto más importante de la física clásica”. El problema de la turbulencia es uno de los 7 problemas del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotado cada uno con 1 millón de dólares. La turbulencia [1] es el comportamiento aparentemente aleatorio de un fluido a altos números de Reynolds que observamos por doquier en la Naturaleza, en la atmósfera, en los océanos, en el interior de las estrellas o en el interior de los cilindros del motor de tu coche. Enumerar todas las aplicaciones de la turbulencia nos llevaría muchos párrafos. Hay varias teorías que tratan de explicar la turbulencia, que parten de las ideas estadísticas originales del ruso Andrey Kolmogorov y del análisis de ecuaciones de Navier-Stokes realizado por el francés Jean Leray [1]. Sin embargo, el problema de la turbulencia, entender cómo se genera el régimen turbulento a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes y unas condiciones de contorno adecuadas, sigue aún abierto y promete estarlo durante mucho tiempo. En mi opinión habría  que hablar del problema de las turbulencias, ya que los múltiples regímenes turbulentos que se observan experimentalmente podrían tener explicaciones diferentes.

[1] Diego Córdoba, Marco Antonio Fontelos, José Luis Rodrigo, “Las matemáticas de los fluidos: torbellinos, gotas y olas,” La Gaceta de la RSME 8: 53-83, 2005.

Las ideas de Wheeler sobre gravedad cuántica a la escala de Planck implican que el espaciotiempo es caótico y estocástico, una espuma cuántica que se comporta como un fluido en régimen turbulento y que presenta una ley de escala similar a la ley de escala de Kolmogorov para la turbulencia. Por ello muchos científicos han tratado de aplicar ideas del campo de la turbulencia al espaciotiempo a escala cuántica. Alexander A. Migdal [2,3] dio un paso más allá e interpretó las ecuaciones de Navier-Stokes como una ecuación de Schrödinger efectiva para la función de onda que describe los bucles de Wilson (un concepto técnico en el que no entraré) asociados al campo de velocidad clásico. Un retrueque técnico realmente curioso que Migdal desarrolló con objeto de entender el espaciotiempo cuántico en términos de la teoría de la turbulencia, pero que también podía tener aplicaciones a la hora de entender la turbulencia utilizando técnicas matemáticas de física cuántica (teoría cuántica de campos). Ahora le ha tocado el turno a los físicos especialistas en teoría de cuerdas.

[2] Alexander A. Migdal, “Loop Equation and Area Law in Turbulence,” Int. J. Mod. Phys. A 9: 1197-1238, 1994 [ArXiv preprint, 1993].

[3] Alexander A. Migdal, “Turbulence as Statistics of Vortex Cells,” ArXiv preprint, 29 Jun. 1993.  

Los expertos en teoría de cuerdas dominan herramientas matemáticas de extrema complejidad que podrían tener aplicaciones en ramas de la física menos exóticas que la física de altas energías a la escala de Planck y la gravedad cuántica. Ramas de la física más próximas al experimento (ya que los aceleradores de partículas del tamaño de nuestra galaxia serán difíciles de construir durante el presente milenio). Las técnicas de dualidad tipo AdS/CFT ya han encontrado aplicaciones en física del estado sólido y los expertos en dichas técnicas, con ojo avisor, buscan otras en otros campos. Ahora le ha tocado a la turbulencia. Vishnu Jejjala de la Universidad de Londres Queen Mary, y sus colaboradores propusieron que la teoría de cuerdas permitía entender las leyes de Kolmogorov para la turbulencia [4] y ahora nos proponen un modelo holográfico para la turbulencia que aspira a entender este fenómeno en 3+1 dimensiones utilizando sólo 2+1 dimensiones gracias a una correspondencia AdS/CFT adecuada [5].

[4] Vishnu Jejjala, Djordje Minic, Y. Jack Ng, Chia-Hsiung Tze, “Turbulence and Holography,” Class. Quant. Grav. 25: 225012, 2008 [ArXiv preprint]. 

[5] Vishnu Jejjala, Djordje Minic, Y. Jack Ng, Chia-Hsiung Tze, “String Theory and Turbulence,” ArXiv, 14 Dec 2009. 

La teoría de cuerdas es una teoría de la gravedad cuántica que modela el espaciotiempo a la escala de Planck como una espuma espaciotemporal que parece turbulenta, por ello Jejjala et al. proponen aplicar la ecuación de Wheeler–DeWitt a la turbulencia. La solución de esta ecuación sería la función de onda cuántica del espaciotiempo que los autores proponen que podría describir la densidad de probabilidad que modela la turbulencia. Lo curioso es que un modelo holográfico del espaciotiempo (basado en la correspondencia AdS/CFT) presenta invarianzas de escala similares a las que presenta la teoría de Kolmogorov que modela la distribución de energía entre las distintas escalas espaciales en la turbulencia, conocida como cascada de energía turbulenta. El primer artículo de Jejjala et al. [4] presentaba estas ideas con objeto de deducir las leyes de invarianza de escala de Kolmogorov para la turbulencia en 3+1 dimensiones (ley de los 4/3) y para la turbulencia en 2+1 dimensiones (ley del 2/3), así como las leyes de escala en 2+1 dimensiones de Kraichnan.

El segundo artículo de Jejjala et al. [5] es más reciente y me parece más interesante. En teoría de cuerdas, el concepto de holografía se refiere a la posibilidad de hacer una correspondencia entre una teoría de campos en un espaciotiempo en 3+1 dimensiones y otro espacio tiempo de 2+1 dimensiones (que actúa como un borde del primero). En física clásica este tipo de ideas no son extrañas a los que conocen la teoría de ecuaciones en derivadas parciales elípticas (como la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson). La solución en el interior de un dominio acotado viene especificada unívocamente por el valor de la solución en el contorno de dicho dominio. En teoría de cuerdas la idea es similar pero más poderosa. Una teoría de campos de Yang-Mills supersimétrica (SYM) tipo N=4 (con 4 supersimetrías) en 3+1 dimensiones es completamente (exactamente) equivalente a una teoría SYM tipo N=8 (con más supersimetrías, luego más sencilla) en 2+1 (aún más sencilla por su baja dimensionalidad). Las cuerdas en la teoría en 3+1 dimensiones (técnicamente son bucles de Wilson para el área) corresponden a cuerdas y (mem)branas en la teoría en 2+1 dimensiones, de tal forma que las cuerdas permiten explorar el régimen ultravioleta (UV o las distancias cortas) y las (mem)branas el régimen infrarrojo (IR o las distancias grandes). Todo cálculo en 3+1 dimensiones se reduce a un cálculo adecuado en 2+1 dimensiones. Más aún, todo cálculo con cuerdas (UV) tiene un análogo con (mem)branas (IR). Esta dualidad permite desarrollar con detalle cálculos en la teoría en 3+1 dimensiones que serían prácticamente imposibles sino fuera por la posibilidad de trabajar en 2+1 dimensiones y pasando de los regímenes UV y IR a conveniencia. Estas ideas se ilustran en la parte más a la izquierda de la figura de abajo.

Siguiendo con la figura, ahora arriba, la parte central es la propuesta de Jejjala et al. [5]. El flujo turbulento en 3+1 dimensiones que cumple la invarianza de escala de Kolmogorov se puede describir utilizando teoría cuántica de campos y bucles de Wilson, de forma que, gracias a la aplicación de técnicas de teoría de cuerdas, equivale a un flujo turbulento en 2+1 dimensiones descrito por una teoría cuántica de campos con dos regímenes: el ultravioleta, que da origen a las invarianzas de escala de Kolmogorov, y el infrarrojo, que da origen a las invarianzas de Kraichman. La analogía es bastante interesante. Como ilustra la figura más a la derecha, el proceso de inicio de la turbulencia por una cascada de energía de Kolmogorov corresponde, en la analogía cuántica, a la ruptura de un bucle de Wilson grande en una serie de bucles de Wilson más pequeños. Realmente curioso.

Por ahora, el trabajo de Jejjala et al. está todavía en pañales. Sin embargo, el enorme arsenal de técnicas matemáticas desarrolladas por los teóricos de cuerdas y físicos teóricos cuánticos durante los últimos 40 años, hasta ahora fuera del alcance de los especialistas en turbulencia, podría llegar a revolucionar nuestra comprensión de este difícil fenómeno, que hasta ahora ha escapado a todos nuestros ataques.

En este blog también puedes leer: La correspondencia AdS/CFT, 16 Septiembre 2009. La teoría de cuerdas y el secreto de los superconductores de alta temperatura, 22 Julio 2009. Gran éxito de la teoría de cuerdas en el estudio de las transiciones de fase cuánticas en líquidos de Fermi, 26 Junio 2009.

La turbulencia en el flujo de multitudes y sus trágicas consecuencias

dibujo200807824jaramatEl Hajj es la peregrinación que realizan los musulmanes a La Meca, Arabia Saudí. El musulmán debe peregrinar al menos una vez en la vida a la ciudad de La Meca, siempre y cuando tenga los medios económicos y las condiciones de salud necesarias. Se realiza durante el duodécimo mes del calendario musulmán. Más de 3 millones de fieles se congregan en un solo día en La Meca para realizar el Hajj.

Una tragedia ocurrió el 12 de enero de 2006 en el puente de Jamarat, en la ciudad saudita de Mina, cerca de La Meca, en la última jornada de la peregrinación anual, con al menos 345 peregrinos aplastados por una avalancha humana. La foto presenta el nuevo puente de Jamarat que ha sido diseñado utilizando los más recientes avances en el estudio de las avalanchas de multitudes humanas, para evitar la posible causa de la tragedia: la turbulencia de la multitud (crowd turbulence), D. Helbing, A. Johansson and H. Z. Al-Abideen, “The Dynamics of Crowd Disasters: An Empirical Study,” Physical Review E 75, 046109, 2007 [ArXiv preprint]. La página web de los autores nos muestra algunos vídeos utilizados en su análisis así como un análisis de las ondas de “presión” humana estimadas por su algoritmo de análisis de dichas imágenes. Recomiendo ver los cuatro porque son muy interesantes.

Los investigadores utilizaron los datos de las cámaras instaladas para filmar la multitud en el puente para extraer las posiciones y velocidades de los peatones en función del tiempo. Los autores han observado que incluso en multitudes con una densidad muy alta de personas (hasta 10 por metro cuadrado), el movimiento de la multitud no está completamente parado. Ello provoca que haya densidades locales altas (supercríticas). Cuando la densidad es baja, la multitud avanza de forma fluida (flujo laminar). Sin embargo a altas densidades pueden aparecer una transición brusca entre el flujo laminar y dos nuevos tipos de flujo. Por un lado, las ondas avance-parada (stop-and-go) que aparecen cuando la densidad es alta y el flujo se encuentra por debajo de un flujo crítico. Este tipo de ondas son similares a las ondas de choque en el tráfico de automóviles. Por otro lado, el flujo humano turbulento, cuando las “presiones” en la multitud superan un cierto umbral (este tipo de flujo no se da en vehículos, que se sepa). En flujo turbulento, las personas pierden el control de su marcha, se les salen los zapatos, se atrancan con los vestidos de otros, encuentran dificultades para respirar, lo que unido al calor puede provoca ansiedad y hasta asfixia. Más aún, el acceso a los caídos para darles la atención requerida se vuelve imposible. Se “masca” la tragedia.

Lo importante de este trabajo de investigación, aparte de descubrir un nuevo fenómeno de interés científico, es que permite sacar conclusiones sobre como diseñar las vías de paso (como el puente de Jamarat) para multitudes con objeto de evitar las condiciones que provocan un flujo “peligroso”. Los autores presentan en su artículo una serie de recomendaciones sobre cómo rediseñar este puente en concreto. Desafortunadamente, como se lamentan los autores en su web (ver los párrafos finales) no todas sus recomendaciones han sido consideradas en el diseño. Ciertas decisiones políticas, de mayor prioridad, así como otras decisiones de equipos de expertos sauditas independientes, muchas veces en conflicto con las recomendaciones de estos expertos “extranjeros” también han sido tenidas en cuenta. Como era de esperar.

El siguiente video muestra las recomendaciones gubernamentales para la próxima Hajj con especial énfasis en el tránsito por el nuevo puente de Jamarat. Aunque con un locutor en árabe, creo que no es difícil entender qué están contando, incluso si apagáis el sonido. El primer tercio habla de la construcción del nuevo puente, el segundo de las medidas de seguridad contra tragedias que incorpora y el último tercio son recomendaciones a los peregrinos para hacer más cómodo su viaje.