La solución de la paradoja de Loschmidt sobre la flecha del tiempo mediante la entropía cuántica de von Neumann

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Experimento mental: (a) Alicia en un laboratorio aislado realiza una medida de Stern-Gerlach produciendo un bit de entropía (para ella, no para Bernardo). (b) Bernardo "cancela" la medida de Alicia por decorrelación y la entropía para Alicia se reduce (no así la entropía total) pero ella no puede "recordar" que alguna vez hubiera crecido.

Lorenzo Maccone afirma en “Quantum Solution to the Arrow-of-Time Dilemma,” Phys. Rev. Lett. 103: 080401, 21 Aug. 2009 [gratis en ArXiv], haber resuelto la paradoja de Loschmidt: ¿cómo surge la flecha del tiempo termodinámica en un universo cuya física es reversible? ¿Cómo surge la segunda ley de la termodinámica que afirma que la entropía siempre crece? La definición clásica de la entropía no permite resolver la paradoja. Maccone utiliza la definición de entropía (cuántica) de von Neumann en la que el observador juega un importante papel. La “memoria” del observador recuerda solamente la física compatible con la segunda ley de la termodinámica. Las violaciones de dicha ley se pueden dar pero son “olvidadas” por el observador. Las ideas de Maccone recuerdan a las de Roger Penrose y otros que ven en el proceso de medida cuántica la irreversibilidad que conduce a la segunda ley de la termodinámica. Los interesados en más información divulgativa pueden recurrir a la excelente traducción de Kanijo “Una flecha cuántica del tiempo,” Ciencia Kanija, 18 ago. 2009, del artículo “A Quantum Arrow of Time,” Physical Review Focus, 24, 17 Aug. 2009. Como ha ocurrido en varias ocasiones y seguirá ocurriendo, Kanijo se me adelantó [ya está meneado y merece llegar a portada]. En estas ocasiones siempre surge la pregunta ¿qué contar? Como siempre, la respuesta es “algo más técnico.”

“I show that entropy in a system can both increase and decrease (as time reversal dictates), but that all entropy-decreasing transformations cannot leave any trace of their having happened. Since no information on them exists, this is indistinguishable from the situation in which such transformations do not happen at all: ‘‘The past exists only insofar as it is recorded in the present.’’  Then the second law is forcefully valid: the only physical evolutions we see in our past, and which can then be studied, are those where entropy has not decreased.” [Palabra de Lorenzo Maccone].

Hay que empezar recordando la definición de entropía de von Neumann (recordatorio de cualquier curso de mecánica estadística cuántica). Hay varias formulaciones equivalentes entre sí de la mecánica cuántica, cada una de las cuales tiene sus ventajas en ciertos problemas y sus inconvenientes en otros. Una de ellas es la basada en matrices de densidad que nos permite estudiar sistemas microscópicos y mesoscópicos con el mismo formalismo, es decir, nos permite modelar fácilmente un conjunto de sistemas cuánticos en interacción. La matriz de densidad cumple versión cuántica de la ecuación de Liouville de la mecánica clásica estadística. La ecuación de Liouville-von Neumann es \mbox{i}\,\hbar\,\partial\rho/\partial t = [H,\rho], donde el operador densidad es el equivalente cuántico de la función de distribución de probabilidad. La entropía de von Neumann de un sistema cuántico se define como S(\rho)\equiv-\mbox{Tr}[\rho\,\log_2\rho]. En los sistemas en los que se pueden definir tanto la entropía clásica como la entropía de von Neumann, ambas entropías coinciden (módulo una constante multiplicativa sin importancia). Por supuesto, hay sistemas en los que solo es aplicable la entropía cuántica.

“Entropy can decrease, but its decrease is accompanied by an erasure of any memory that the entropy-decreasing transformation has occurred.” [Palabra de Lorenzo Maccone].

Cualquier interacción entre dos sistemas A y C que haga decrecer la entropía en una cierta cantidad de bits debe reducir la información mutua cuántica en la misma cantidad de bits, salvo que dicha entropía se acumule en cierto reservorio R. La información mutua cuántica mide la cantidad de información que correlaciona dos sistemas cuánticos, sean A y C, definiéndose como S(A;C)\equiv S(\rho_A)+S(\rho_C)-S(\rho_{AC}), donde \rho_{AC} es el estado del sistema conjunto AC, y \rho_A y \rho_C los estados de A y C por separado. El resultado fundamental del artículo de Lorenzo Maccone, que la reducción de entropía implica un efecto de borrado de la memoria del estado inicial del sistema, se escribe mediante la fórmula matemática

\Delta S(A)+\Delta S(C)-\Delta S(R)-\Delta S(A;C)=0,                        (1)

donde \Delta S(X)\equiv S_t(\rho_X)-S_0(\rho_X) es la diferencia de entropía entre el estado final (en el momento t) y el estado inicial para el sistema X, y \Delta S(A;C)=S_t(A:C)-S_0(A:C). No entraré en los detalles de la demostración (muy sencilla, por otra parte). La interpretación de esta fórmula es que el efecto de borrado de la memoria proviene de la pérdida de información mutua cuántica. La memoria de un suceso es un sistema físico A que tiene una información mutua clásica no nula de un sistema C. El borrado de la memoria de este suceso se produce al eliminarse la información cuántica mutua S(A;C), ya que esta última cantidad es una cota superior de la información mutua clásica I(A;C) (omito la demostración, también sencilla).

La interpretación de la ecuación (1) es que, si queremos disminuir la entropía de los sistemas A y C sin incrementar la entropía del reservorio R, es necesario reducir la información mutua cuántica entre los sistemas A y C. En la figura que abre esta entrada, un experimento mental, el sistema A es el laboratorio de Alicia y el sistemas C es una partícula de espín 1/2: sus entropía finales se reducen en un bit a costa de borrar dos bits de información mutua cuántica S_0(A;C).

La ecuación (1) nos dice que tomando como sistema A al observador, Alicia, y su laboratorio, y considerando un tiempo intermedio en el que S(C) es mayor que en los momentos inicial y final, debido a alguna transformación que incremente la entropía sin que sea absorbida por el reservorio R, ésta se puede reducir mediante una transformación que decremente la entropía a costa de reducir la información mutua entre el observador A y el sistema observado C. Incluso si la entropía S(C), medida desde el punto de vista del observador, decrece, el observador no será consciente de ello, ya que la transformación que decrece la entropía debe factorizar (separar) el observador A y el sistema C que contienen información del suceso que incrementó con anterioridad su entropía. La memoria de tal evento (que decrece la entropía) será parte de las correlaciones que se destruirán. Un resultado directo de la regla de Born aplicada al entrelazamiento entre observador y sistema observado (un proceso mecánico cuántico irreversible).

Animo a los interesados en más detalles a que se lean el artículo técnico, fácil de leer si uno ha recibido alguna vez un curso de mecánica cuántica.

El espacio no existe, el tiempo sí, o a vueltas con el “it from bit”

La unificación de la mecánica cuántica y la gravedad, el súmmum de la física teoría, una teoría cuántica de la gravedad, parece todavía lejos. La naturaleza cuántica del espaciotiempo, su geometría, es quizás la clave. Wheeler, autor del famoso “it from bit,” proponía que el espaciotiempo era un concepto emergente de una realidad pregeométrica subyacente, algo no geométrico. Desafortundamente, la mayoría de las pregeometrías propuestas hasta el momento son realmente geometrías (discretas, pero geometrías). ¿Cómo concebir algo que no sea geométrico a alta energía pero que observado a baja energía parezca geométrico y equivalente al espaciotiempo relativista? He de recordar que alta energía, equivale a intervalos de tiempo muy breves, a distancias en el espacio muy cortas, a movimientos muy rápidos, a temperaturas muy altas, … lo que muchos piensan que solo ocurrió en la Gran Explosión.

¿La pregeometría subyacente es materia o la materia también emerge junto con el espaciotiempo? ¿Existe el tiempo en el universo pregeométrico o surge junto con el espacio al emerger el espaciotiempo? Los especialistas en gravedad cuántica suelen ofrecer dos respuestas contradictorias entre sí. Para algunos, el tiempo no existe, es una propiedad emergente (ejemplificado por su ausencia explítica en la ecuación cuántica pra el universo entero de Wheeler-de Witt). Para otros, por el contrario, la pregeometría tiene que cambiar y el cambio es sinónimo de tiempo, luego hay un tiempo pregeométrico. ¿Son iguales el tiempo pregeométrico y el que emerge junto con el espaciotiempo? Obviamente, a alta energía, no pueden coincidir, uno existe, el otro no. A baja energía, el tiempo geométrico podría coincidir con el tiempo.

Física sin geometría. Sin espacio ni tiempo. ¿Cómo hacer física sin geometría? ¿Solo con información? Esa es la propuesta de Wheeler. Hay que hacer física solo con information (el “bit” de “it from bit”). Muchos proponen que la mecánica cuántica es, en realidad, la única teoría física posible compatible con hacer física sólo con información. Una teoría física sobre la información (en lugar de sobre ondas, partículas, materia o energía). La teoría física más simple que se puede deducir sólo a partir de información. . El genial Gilles Brassard (uno de los creadores del cifrado cuántico) es uno de los defensores más acérrimos de esta idea. Recomiendo a los interesados “Is information the key?,” Nature Physics 1: 2 – 4, 2005 . Todavía nadie lo ha logrado. Todavía no ha sido posible demostrar que la mecánica cuántica se puede deducir de una teoría (clásica) estadística (o probabilística) a la que le imponemos la condición de que sea una teoría de la información. Ha habido progresos, pero son lentos.

Información como pregeometría. Información, a alta energía, que a baja energía se convierte en realidad, en un espaciotiempo repleto de materia y energía.

Ideas que le vienen a uno a la mente tras leer a Fotini Markopoulou, “Space does not exist, so time can,” FQXi contest on the Nature of  Time. La propuesta pregeométrica de Markopoulou es la llamada “quantum graphity” (“gravedad cuántica de grafos”). Me guta la palabra “geometrogénesis.” Recomiendo a los interesados Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou, Lee Smolin, “Quantum Graphity,” ArXiv, Submitted on 17 Nov 2006 , y Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou, Simone Severini, “Quantum Graphity: a model of emergent locality,” ArXiv, Submitted on 6 Jan 2008 (publicado en Physical Review D).