La obra que inspiró “Cosmos” de Carl Sagan: “The Ascent of Man” de Jacob Bronowski

Estoy leyendo el libro del matemático Marcus du Sautoy, “Simetría. Un viaje por los patrones de la naturaleza,” Acantilado, 2009. El autor del famoso libro “La música de los números primos,” Acantilado, 2007, presentó en España su nuevo libro en octubre de 2009.

Se hicieron eco todos los medios. Por ejemplo, «La gente cree que la matemática es similar a la magia,» El Mundo, 9 oct. 2009, y “Du Sautoy: “La Alhambra es un microcosmos de simetrías,” El divulgador de Oxford combina en un ensayo la ciencia con las obras de Escher, Borges y Bach para desentrañar los patrones que rigen la naturaleza,” El País, 9 oct. 2009). Decidí comprar el libro, pero me demoré hasta las fechas navideñas (me lo autorregalé con la excusa de comprarle otro libro como regalo a mi mujer).

Todavía no he acabado de leerlo. Me está gustando. Y creo que ha gustado a mucha gente. Hasta a Don José Manuel Sánchez Ron, “El alma científica del arte. Las simetrías son, en algún sentido, el “pilar más profundo y descarnado” de la belleza. Varios libros explican las relaciones entre ciencia y creación artística,” El País, 21 nov. 2009. Don José Manuel es sin lugar a dudas el historiador de la ciencia más importante de España y sus libros sobre la historia de la ciencia española son siempre un placer.

No sé por qué he demorado iniciar la lectura de este libro. Parecía como que algo me obligaba a empezar su lectura y sin embargo lo puse en la cola de espera. Pero los patrones de la simetría de du Sautoy me asaltaban por doquier. Hasta en la portada del suplemento dominical de El País, me encontré de sopetón con su “careto” sobre una camisa de corte oriental. Y es que debe estar vendiendo libros en España, no debo ser el único que se los compra, ya que en dicho suplemento le dedicaban una extensa entrevista Julia Luzán, “Marcus du Sautoy. “Las matemáticas son como una droga.” Inglés, excéntrico, amante del placer y de las simetrías, este catedrático de matemáticas en Oxford es uno de los científicos más importantes del mundo en su especialidad,” El País, 10 ene. 2010. Me estaba pasando igual que a Marcus cuando visitó la Alhambra, no podía parar de ver simetrías por todas partes… bueno, yo no podía parar de ver el “careto” de Marcus por doquier…

Ya he empezado y ya he acabado los tres primeros capítulos. El libro está muy bien y desde aquí lo recomiendo. Aunque no me gusta que hable tanto de su hijo, parecen historias de viejo “chochete,” al más puro estilo de Leopoldo Abadía, la lectura es fácil pero te hace pensar y descubres cosas que no sabías. Eso es lo más importante de un libro de divulgación, disfrutar y aprender, disfrutar aprendiendo. Os pongo un ejemplo.

“Uno de los programas de televisión que más me impactaron durante la búsqueda de cosas matemáticas en mi adolescencia fue “El ascenso del hombre” de Jacob Bronowski. Me viene un vivo recuerdo de una escena del programa en la que Bronowski está sentado en la Alhambra hablando de la simetría. Lo recuerdo en el harén, explicando cómo las paredees están cubiertas de simetrías sexy en vez de imágenes de mujeres sexy.”

¿Bronowski? ¿Quién es Bronowski? Yo no recuerdo haber visto nunca un documental de este señor. Lo busco en Internet y descubro que es el “padre” de Carl Sagan, el divulgador que inspiró la obra magistral “Cosmos.” Y youtube nos permite disfrutar de estos documentales (13) a trocitos (cada capítulo en 5 partes de 10 minutos). Todo un placer. Los he disfrutado… oyéndolos, ya que los he escuchado de fondo mientras trabajaba. Buscaba la escena de la Alhambra, pero me los he tragado todos. Muchas escenas de Bronowski me recuerdan mucho a escenas en las que he visto a Sagan, pero rodadas casi una década antes. Me han resultado curiosas las escenas con ordenadores, con pantallas vectoriales, utilizando dos ruedas en lugar de ratón, … y una teatralidad que recuerda muchísimo a “Cosmos.”

Os los recomiendo, aunque están en inglés, merecen la pena.

Para abriros boca, el capítulo donde aparece la Alhambra es el número 5, “Chapter 5 – The Music of the Spheres,” a partir del minuto 25:00. La escena que cita Marcus en su libro empieza en el minuto 27:30 (os gustará el ordenador de 1970 y el “ratón” de ruedas en el minuto 46:40).

Por supuesto, lo mejor es ver todos los capítulos en su orden porque como en “Cosmos” de Sagan el orden de los capítulos está muy bien pensado y presenta una solución de continuidad muy curiosa y cuidada. Lo dicho, os dejo el primer capítulo (“Chapter 1 – Lower than the Angels”)  y os animo a que me abandonéis y paséis a Google Video y allí vayáis pinchando en los “Vídeos relacionados” (a la derecha de la pantalla) para ir pasando a las siguientes capítulos. Podréis disfrutar, como yo, de esta obra magistral de la divulgación televisiva.

Escribir libros de matemáticas, la mejor manera de aprender matemáticas

Tengo buenos amigos en la Universitat de Vàlencia y sé que allí hay grandes profesionales de la docencia y la investigación que trabajan mucho, aunque algunos son un poco “rarillos”. Por ejemplo, un amigo ha escaneado todos sus apuntes manuscritos por el mismo durante toda su carrera. Labor de chinos, máxime teniendo en cuenta que, me confesó, sólo los ojea (que no hojea, ya que las pantallas de ordenador no tienen hojas) muy de cuando en cuando. Me lo confesó con la “boca chica” mientras me los enseñaba orgulloso.

dibujo20081111carlosserreA Carlos Ivorra Castillo, profesor del Departamento de Matemáticas para la Economía y la Empresa, de la Facultad de Economía de Universitat de Vàlencia, no le conozco. Pero sin lugar a dudas, trabajador es muy trabajador. Confiesa: “Me gusta estudiar matemáticas en mis ratos libres y mi forma de hacerlo es organizar lo que estudio en forma de libros.” Sus libros “gratuitos” merecen la pena. Muchos no son fáciles de leer (requieren un buen bagaje en matemáticas). Pero la mayoría, al interesado en Matemáticas, le podrán ser útiles, especialmente recomendables son para los estudiantes “por vocación” de Matemáticas (es sorprendente, al menos para mí, pero las estadísticas dicen que “por vocación” en Matemáticas hay muy poca gente matriculada).

¿Qué destacar del loable trabajo de Ivorra? Es difícil elegir. Él, hoy mismo, tiene destacados con un reluciente “NUEVO” rojo sobre fondo amarillo dos documentos, un libro y un artículo breve. Permitidme unos comentarios sobre ellos.

El artículo breve versa sobre “Las fórmulas de Cardano-Ferrari,” que permiten “la resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado.”  El artículo está bien, pero es demasiado “de libro.” Le falta un poco de “alma.” Me gusta mucho más, por ejemplo, el artículo de similar corte, pero en inglés, de Jasbir S Chahal, “Solution of the Cubic. A Simple Version of Cardano’s Formula,” Resonance, 11(8): 53-61, August 2006. Presenta una expresión fácil de recordar para la fórmula que resuelve un polinomio cúbico (tras el cambio de variable de Viète). Para el estudiante amante de las matemáticas, los resultados matemáticos del s. XVI presentados en ambos artículos, que en mi opinión se complementan, deberían ser “entretenimiento” obligado. Si es tu caso, ánimo.

El libro es “Representaciones de grupos finitos,” que según Carlos “expone los resultados básicos de la teoría de representaciones ordinarias sobre el cuerpo de los números complejos [y] sobre cuerpos arbitrarios, [así como] una introducción a la teoría de representaciones modulares.” La representación de un grupo es un homomorfismo (de grupos) entre cada elemento del grupo y un operador lineal invertible (matriz) de un espacio vectorial (vectores sobre los que “actúa” el grupo). Es un concepto clave a la hora de estudiar las simetrías (acciones de grupos) en problemas en ingeniería, física y matemáticas.
Hay cientos de libros sobre representaciones de grupos (finitos, como el de Carlos, o compactos, como los grupos de Lie, muy usados por los físicos).

Cada libro tiene su “toque personal.” Los hay muy matemáticos y los hay muy aplicados. Yo estudié este tema con el libro de Jean Pierre Serre (referencia [6] del libro de Carlos) “Linear Representations of Finite Groups,” Springer-Verlag, 1977. Por lo que he ojeado del libro de Carlos, que, perdón, no he leído aún, es que tengo cierta “querencia” por el maestro, se parece bastante al libro de Serre, valgan las distancias. Así que creo que estudiante de matemáticas con interés en esta teoría y con “querencia” por el español puede disfrutar y sacarle provecho al libro de Carlos. Pero si no tiene “querencia” por el español y/o está acostumbrado a leer matemáticas en inglés, no puede dejar de recomendar el libro de Serre, breve (sólo 170 páginas) y de “exquisita” lectura, para los mejores paladares. 

Por cierto, supongo que no habrás percibido la sutileza, pero intencionadamente he acompañado la foto de Carlos con la foto de Jean Pierre y he puesto esta última un poquito más grande.

Visualización de la música para los que no somos sinestésicos (o la simetría OPTIC(a) de las variaciones Goldberg)

¿Qué es la armonía? ¿Por qué ciertos acordes musicales suenan bien y otros suenan mal (disonantes)? Helmholtz ya trató de entenderlo en su libro “On The Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music,” 1863. ¿Cuál es la rama de las matemáticas más adecuada para “entender” la música? La geometría es la respuesta que nos ofrece Rachel Wells Hall, “Geometrical Music Theory,” Science, 320: 328-329, 18 April 2008 , quien nos comenta los resultados del artículo de Clifton Callender, Ian Quinn, Dmitri Tymoczko, “Generalized Voice-Leading Spaces,” Science, 320: 346-348, 18 April 2008 , donde se propone el uso de la teoría de grupos finitos para “entender” las reglas de la armonía musical (el uso “armónico” de acordes, ritmos y escalas musicales). El artículo es  técnico y utiliza conceptos tan “exóticos” comos las orbivariedades (orbifolds) de gran actualidad en geometría moderna.

hola

Partitura y su representación como transición entre clases de equivalencia en el espacio OPT.

La geometría del temperamento musical, ¡qué palabro! siempre me recuerda a “el clave bien temperado,” de Bach. Mi profesora de piano, años há, siempre decía que “veía los colores” de la música (quizás fuera sinestésica). Cualquier combinación de las notas DO, MI y SOL suena a DO, tiene el “color blanco” del DO (forman un acorde de DO-Mayor). Estas combinaciones son equivalentes entre sí. Las clases de equivalencia vienen determinadas por una relación de equivalencia (simetría preservada por todos los miembros de la clase). Callender et al. introducen la relación de equivalencia denominada OPTIC (fundamental en la teoría de la armonía en la música de occidente). Dos secuencias de notas son equivalentes si una es el desplazamiento en una o varios octavas de la otra (O), si una es la reordenación o permutación de la otra (P), si una es la transposición musical de la otra (T), si una es la inversión de la otra (I), o si las notas son las mismas sin tener en cuenta las repeticiones, equivalencia cardinal (C). Cada clase de simentría según la relación de equivalencia OPTIC se corresponde con un grupo de simetría discreta. También podemos utilizar simetrías limitadas OP, OPT, etc.

Los autores del artículo (músicos, compositores y musicólogos) llevan años trabajando en la aplicación de la geometría a la hora de analizar obras musicales. De hecho, éste no es el primer artículo de uno de ellos en la prestigiosa Science, Dmitri Tymoczko ya publicó “The Geometry of Musical Chords,” Science, 313: 72-74, 2006 , que presentaba el programa de ordenador ChordGeometries para visualizar en 3D acordes y voces en “tiempo real” a partir de ficheros MIDI (o la interpretación en directo mediante una teclado electrónico). Si os gusta la música os resultará “gracioso” el susodicho programa (de todas formas, para que no haya descontentos, primero debéis ver el vídeo).

Por cierto, Glenn Gould, en mi modesta opinión, toca demasiado rápido las Goldberg.

La belleza de la teoría de grupos en física de partículas (o más sobre Garrett Lisi y E8)

Murray Gell-Mann (1929-) dominó el campo de las partículas elementales en los 1960s con sus ideas sobre cómo sistematizar (cual Mendeléyev) la inmensa cantidad de datos experimentales sobre partículas “elementales” que se obtuvieron en dicha década (recibió el Nobel de Física en 1969). Utilizó como herramienta la teoría de grupos continuos (de Lie) compactos. Su introducción en 1964 de los quarks como “entes matemáticos,” independientemente también lo hizo George Zweig, útiles para sistematizar los hadrones, los bariones y los mesones conocidos en aquella época (hoy sabemos que estaban constituidos por los tres quarks más ligeros, arriba, abajo y extraño). Gell-Mann nunca pensó que fueran partículas de verdad. Si lo fueran, como tienen carga eléctrica no entera deberían haber sido fácilmente “vistos”. Por supuesto, tras los experimentos en el SLAC de Stanford en 1969 y su interpretación por parte de Richard Feynman y James Bjorken, entre otros, en términos de “subpartículas” elementales (partones, más tarde llamados quarks), Gell-Mann se convirtió en un gran defensor de la naturaleza “real” pero “oculta” de los quarks. Técnicamente, están confinados en los hadrones de tal forma de que no son accedibles experimentalmente. Hoy en día los físicos experimentales “ven quarks” por doquier en sus diagramas de bloques tipo LEGO (“mira un quark por aquí, mira, otro por allá).

Leí un artículo, hace ya bastantes años (ahora soy incapaz de encontrarlo en el “dios” Google), en el que Gell-Mann afirmaba que el mayor reto de la física teórica era descubrir cómo obtener la versión cuántica de (“cuantizar”) una teoría de campos basada en grupos de Lie no compactos. Problemas como la aparición de probabilidades negativas, es decir, la ausencia de unitariedad (por ejemplo, para el grupo SL(2,C), ver J.P. Hsu, M.D. Xin, “Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory,” Phys. Rev. D 24: 471-474, 1981, o J.P. Hsu, T.Y. Shi, “Unitarity and invariant Lagrangians under Yang-Mills-Weyl transformations,” Il Nuovo Cimento A, 79: 321-332, 1984), o la no renormalizabilidad (entre otras dificultades técnicas) parecen extremadamente difíciles de resolver.

¿Por qué preocuparnos por las teorías de campos basadas en grupos no compactos? Este tipo de grupos aparecen siempre que se trata de “cuantizar” la gravedad. Un uso reciente es la “teoría simple para todo” de Garrett Lisi basada en el grupo excepcional E8 de la que ya hemos hablado. La propuesta de Lisi es el uso de la técnicas de cuantización BRST (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin). Aplicada a la cuantización de teorías basadas en grupos compactos no parece muy complicada. Un ejemplo sencillo e ilustrativo en el caso abeliano lo tenéis en D. R. Bes and O. Civitarese, “Illustrations of the Becchi-Rouet-Stora-Tyutin invariance by means of simple toy models,” Am. J. Phys. 70: 548-555, 2002 . ¿Qué pasa en el caso no compacto? ¿Qué dificultades surgen? ¿Es prometedora en dicho caso esta técnica? La verdad no lo sé. El único artículo que parece agarrar el toro por los cuernos es el de A.E. Margolin, V.I. Strazhev, “Yang-Mills field quantization with noncompact gauge group,” Modern Physics Letters A, 7: 2747-2752, 1992, pero sólo ha sido citado 1 vez en el ISI WOS, lo que es “mala señal”.

¿Ha habido avances recientes en la cuantización BRST de teorías de campos basadas en grupos no compactos? La verdad es que no había estado al loro de este campo en los últimos años y no lo sé. Tendré que estar más al loro, es un campo que promete recibir mucha atención en los próximos años.

¿Por qué se utiliza la teoría de grupos en física de partículas elementales?

Simetría SU(4) de sabor (4 quarks). En el plano C=0 la simetría SU(3) de sabor (3 quarks) de la vía óctuple del Nobel Murray Gell-Mann.

¿Qué es una partícula elemental? Un “objeto” con “momento”, “energía”, “masa”, “espín”, y algunas “cargas” localizado en el espaciotiempo (en un lugar del espacio en un momento dado).

Sea una partícula elemental “libre” (no sujeta a fuerzas externas). ¿Qué es el momento (lineal)? Si las propiedades de un “objeto” físico “aquí” son las mismas (invariantes) que “allí”, hay algo que se conserva, es el “momento”. ¿Qué es la energía (total)? Si las propiedades de un “objeto” físico “hoy” son las mismas (invariantes) que “mañana”, hay algo que se conserva, es la “energía”. ¿Qué es la masa? Para un “objeto” libre, la energía (total) es energía cinética (masa) que depende de su velocidad. Si el “objeto” puede estar en reposo, la energía cinética en dicho caso es la “masa” (en reposo). Si el “objeto” no puede estar en reposo, tiene “masa” nula. ¿Qué es el momento cinético (angular)? Si las propiedades de un “objeto” físico “sólido” son las mismas independientemente del ángulo con la que las veamos, hay algo que se conserva, es el momento cinético. Para una partícula elemental que es un “objeto” puntual, no sólido, la conservación del momento cinético es trivial. “Sorprendentemente,” la teoría de la relatividad de Einstein “obliga” a que toda partícula elemental tenga un “momento cinético interno” que se denomina “espín”. Lo descubrió “físicamente” Dirac para el electrón, pero en teoría de grupos era algo conocido hacía tiempo (las representaciones espinoriales de grupos).

En Física Matémática, toda magnitud “conservada” en un sistema físico es resultado de una simetría en su descripción matemática (teorema de Emmy Noether). En Matemáticas, las simetrías son descritas utilizando teoría de grupos (de transformaciones). Una simetría es lo que no cambia ante la acción de un grupo (de transformaciones). Si f(x,t) es la función que describe una partícula elemental localizada en el espaciotiempo en (x,t), ¿cómo podemos garantizar que describe un “objeto” con “momento”, “energía”, “masa”, y “espín”? Basta con que f corresponda a alguna representación del grupo de Poincaré (la invarianza ante traslaciones y rotaciones en el espacio tiempo). Es decir, f deberá ser una “función” (representación) escalar, pseudoescalar, vectorial, pseudovectorial, espinorial, tensorial, etc. No entraré en detallar qué es una representación de un grupo y en concreto representaciones de grupos de Lie (como el de Poincaré) que modelan simetrías continuas (cuyos parámetros son diferenciables y permiten utilizar el concepto de álgebra de Lie).

La asociación de partículas (libres) con representaciones del grupo de Poincaré dota de significado a conceptos abstractos como “momento”, “energía”, “masa” y “espín”. Una elección “adecuada” del espacio al que pertenece la función f que describe la partícula automáticamente garantiza valores “medibles” para dichos conceptos.

Las partículas elementales se observan en la Naturaleza en clases (o tipos). Ciertas interacciones (colisiones, desintegraciones, etc.) se observan sólo entre ciertos tipos de partículas. “Abusemos” del lenguaje un poco. Hay partículas machos (fermiones) y hembras (bosones). A los machos les gusta “normalmente” interactuar con las hembras (las interacciones entre fermiones “normalmente” están mediadas por bosones). Aunque a algunos machos les gusta interactuar con otros machos (hay fermiones que interactúan con fermiones en teorías como la de Fermi para la fuerza débil) y a algunas hembras les gusta interactuar con otras hembras (hay bosones no lineales que interactúan entre ellos como los gravitones). También hay “lucha” de clases. Hay machos de ciertas “clases” que prefieren interactuar con hembras “de su misma clase” y no con hembras de otras clases, y viceversa. Lo mismo pasa con las iteracciones hombre-hombre y hembra-hembra.

¿Qué propiedad caracteriza las “clases” de partículas elementales en función de sus interacciones? Las “cargas” (topológicas) asociadas a ciertas simetrías. Cargas como la eléctrica (QED), la de color (QCD), o cargas “efectivas” como el isoespín o la hipercarga (“extrañeza”). ¿Qué simetría es la responsable de la “conservación” de estas “cargas”? O mejor, ¿la invarianza respecto a qué simetría conduce a la aparición de estas cargas conservadas? Obviamente, se trata de una simetría “interna” (propia) de la partícula elemental. Algo que “no vemos” cuando “vemos” a la partícula en un lugar y un momento determinados del espaciotiempo. Sabemos que está ahí cuando observamos cómo interactúa la partícula con otras. El “trato” entre partículas nos muestra de qué clase son. La única partícula no clasista, que interactúa con todas las demás, es el gravitón (aún no observada) que es responsable de la fuerza de la gravedad. Las demás partículas son “clasistas”. La “lucha de clases” entre partículas nos indica que “poseen” simetrías internas.

La descripción matemática de las simetrías internas requiere la introducción de ciertos grupos (continuos o de Lie) “internos” que se aplican al espacio (de representación del grupo de Poincaré) al que pertenece la función matemática que describe a cada partícula. Grupos como U(1), responsable de la carga eléctrica (invarianza de fase), SU(2), responsable de la fuerza electrodébil a alta energía, SU(3), responsable de la carga de “color”, responsable de la fuerza fuerte entre quarks a alta energía, etc. ¿Por qué decimos que ciertos grupos sólo aparecen a alta energía? Porque las simetrías que “vemos” muy claras a alta energía, “no se ven” a baja energía, parece como si hubieran desaparecido “parcialmente”. Decimos que la simetría está rota. La simetría SU(2) de la fuerza electrodébil está rota a baja energía y observamos dos fuerzas muy distintas, el electromagnetismo y la fuerza débil. La simetría SU(3) de color de la fuerza fuerte está rota a baja energía donde es imposible observar los quarks (fermiones coloreados) que sufren dicha fuerza sino estados compuestos sin color (“blancos”) que aparentan ser partículas elementales (hadrones clasificados como bariones y mesones).

Hay simetrías “aproximadas” que podríamos calificar de “accidentales”, como la vía óctuple de Gell-Mann basada en SU(3) que explica las partículas (hadrones, es decir, bariones y mesones) “formadas” por 3 quarks (los menos masivos) denominados arriba, abajo y extraño. Introdujo el concepto de hiperarga (“extrañeza”) como magnitud que se conserva en una partícula si uno de sus constituyentes es un quark extraño. Para Gell-Mann, en esa época, los quarks eran meros “instrumentos” matemáticos que “expresaban” las simetrías internas de las partículas, se necesitó casi un década para obtener pruebas experimentales de su existencia (hoy en día, los físicos experimentales afirman “ver” quarks por doquier). El esquema SU(3) le permitió predecir una partícula con 3 quarks extraños que fue detectada experimentalmente. El descubrimiento del cuarto quark nos llevó a un modelo SU(4), como en la figura que inicia esta entrada. En la actualidad se conocen 6 quarks porque lo que la simetría “aproximada” de Gell-Mann “correcta” es SU(6), llamada SU(6) de sabor. Esta simetría es “buena” para los 3 quarks más ligeros, pero su poder predictivo es “pobre” en el caso general, debido a la gran diferencia de masas entre los quarks. Hay una diferencia de 5 órdenes de magnitud entre la masa del quark más ligero (up, arriba) y el más pesado (top, cima).

Descubrir una nueva simetría entre las partículas elementales significa que hay nuevas “cargas” (propiedades) asociadas a ellas que las hace “clasistas” y que ciertas interacciones entre partículas están prohibidas (reglas de selección) porque estas “cargas” no se conservarían en dichas interacciones. Estas “nuevas” simetrías estarán rotas, porque a baja energía no se las observa (creemos que conocemos muy bien lo que pasa a “baja” energía). Estas “nuevas” simetrías conducirán a resultados “no esperados” a alta energía. Garrett Lisi y su “teoría “simple” para todo” introducen nuevas simetrías que deberán estar rotas a baja energía. En su trabajo no dice cómo se rompen (la ruptura puede ser espontánea, ocurrió en el Big Bang de forma “natural”, o dinámica, hay una cierta combinación de factores que llevó a que se produjera, por ejemplo, en el contexto del principio antrópico). Garrett elige un grupo de simetría interna para todas las partículas conocidas, E8, y las representa utilizando ciertas “representaciones de grupos” de ciertos subgrupos de E8 (que es muy rico en subgrupos). ¿Y contiene su teoría al Modelo Estándar? Lisi lo impone, seleccionando ad hoc (arbitrariamente) que así sea. Él elige (impone) que la teoría (lagrangiano) así sea. El grupo de Lie E8 puede ser muy bello pero su lagrangiano (“el del” modelo estándar) no lo es y además es muy “artificial”. Lo ideal sería una ruptura espontánea de la simetría de E8.

Garrett Lisi y su nueva teoría algebraica sobre todo (o a la Lisimanía le falta la geometría y la física cuántica)

Me encanta perder el tiempo leyendo artículos de física teórica que no entiendo. Nuestro amigo y asiduo lector Kondor, me preguntaba por la nueva teoría del físico A. Garrett Lisi, “An Exceptionally Simple Theory of Everything,” ArXiv preprint, 6 Nov 2007 . Dicho artículo me pasó desapercibido en su momento, me pego un tirón de orejas, aunque tiene un título de puro marketing (no así a mucha otra gente, incluso en español). La Lisi-manía está de moda (en los dos sentidos, los fans de Lisi y los que le tienen manía). Lisi es el “nuevo Einstein” del s. XXI: “guaperas”, con una guapa novia, surfista, con un despacho móvil en su caravana y trabajando “a lo grande” desde un enfoque “abandonado” (GUT + supergravedad + teoría gravitodébil). ¡Qué monstruo! Muchas madres querrían que su hijo fuera de mayor como Lisi: científico, famoso, surfista y protagonista de programas de T.V. de prensa rosa. Lo sé, lo sé, es… ¡envidia! ¡Que le tengo envidia! Que a mí me da “miedo” eso de practicar el surf (lo mío eran las aguas bravas).

Esta nueva teoría algebraica de Lisi está muy bien comentada, en inglés, por Sabine de BackReaction “A Theoretically Simple Exception of Everything.” Yo no puedo hacerlo mejor. Si sabes inglés, te lo recomiendo. La objeción más fuerte que he encontrado al trabajo de Lisi, obviamente sólo una idea a la que quedan muchos años para madurar, nos la ofrece John Baez: no unifica bien fermiones y bosones (el comentario de Baez requiere un buen conocimiento de teoría de grupos de Lie para entenderlo). La crítica de Lubos Molt en “the reference frame” es dura, divertida, y muestra un poco de “envidia”, pero da también en el grano.

Seré breve. El Modelo Estándar de la Física de Partículas Elementales y la Teoría General de la Relatividad para la Gravitación son teorías matemáticas complicadas que se pueden entender desde múltiples puntos de vista. Un punto de vista “maravilloso” es el punto de visto del Álgebra (teoría de grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones). A los matemáticos que trabajan en Álgebra Abstracta les encanta. Una explicación muy buena del Modelo Estándar en este sentido la tienes en M. Robinson, K. Bland, G. Cleaver, J. Dittmann, “A Simple Introduction to Particle Physics,” ArXiv preprint, 18 Oct 2008 (se lee fácil y si quieres ir al grano puedes ir directamente a la página 127).

Subgrupos de E8 o sus múltiples "caras".

Básicamente, las 24 partículas elementales conocidas (12 fermiones = 2×3 quarks, 3 electrones y 3 neutrinos, y 12 bosones = 1 fotón, 3 bosones vectoriales y 8 gluones) y al menos un bosón de Higgs, por descubrir, están caracterizadas por magnitudes que se conservan (números cuánticos) que indican cuándo dos de ellas pueden interactuar entre sí. No hay un todos con todos. Estas leyes de conservación se escriben como el resultado de una simetría en la descripción matemática de dichas partículas. Estas simetrías “internas” se escriben como grupos de Lie. Los fermiones se modelan con un grupo producto SU(3)xSU(2)xU(1), más o menos (obvio detalles técnicos como la quiralidad). Los bosones surgen de forma automática (son predicciones) si dicha simetría es local (relativista). Los fermiones, a alta energía, no tienen masa. Adquieren masa a baja energía gracias a un mecanismo de ruptura (espontánea) de la simetría (se supone que como “prueba” de este proceso se observará el bosón de Higgs). La teoría de la gravedad se basa en un grupo SO(3,1), que se diferencia de los demás en que no es compacto, lo que técnicamente dificulta las cosas y se supone, no tenemos teoría cuántica de la gravedad, que el gravitón, aún por descubrir, será una partícula predicha a partir de dicha seimetría. La no compacidad del grupo SO(3,1) genera enormes problemas técnicos desde el punto de vista del álgebra a la hora de entender todo (en física teórica) como el grupo producto SO(3,1)xSU(3)xSU(2)xU(1) (por eso nadie lo escribe de esta forma).

Hemos hablado del álgebra. Pero también hay geometría y eso es harina de otro cantar. Y también hay dinámica cuántica y relativista, teoría especial para el SU(3)xSU(2)xU(1) y teoría general para SO(3,1). Es decir, también hay física. No todo es matemáticas. ¡Qué bonito si todo fuera matemáticas!

Volvamos al álgebra. La unificación de SU(3)xSU(2)xU(1) es un “pegote mal hecho”. Es bastante “fea” (cuando se miran los detalles no parece “natural”, parece un “truco” para que salga lo que tiene que salir). Así que desde los 1970s se han propuesto muchos grupos (normalmente, compactos) que unifican este producto con un solo grupo. Las llamadas Teorías de Gran Unificación (GUT) como las basadas en SU(5), SU(6), SO(10), E6, E8, etc. Nota que E8 contiene a E6 que contiene a SO(10) que contiene a SU(5). Que yo sepa, la GUT más prometedora es la basada en SO(10), es sencilla y resuelve un problema que tiene SU(5), además “gusta” porque lleva fácil a E8 (que se popularizó como E8xE8 en teoría de cuerdas heteróticas en los 1980s). Esta “gran” unificación GUT es sólo para los fermiones y conduce a la aparición de nuevos bosones (aún no descubiertos). La versión espinorial de SO(10) tiene dimensión 16, por lo que puede describir hasta 16 fermiones. Conduce a cosas tan curiosas como que el protón se desintegra (aún no demostrado), que existen muchos monopolos magnéticos (aún por descubrir), que existen nuevos bosones portadores de fuerza (aún por descubrir), que hay varios bosones escalares de Higgs (aún por descubrir), etc. Hoy en día, SO(10) es solamente una idea “bonita” ya que los físicos teóricos prefieren a otras “misses”.

Diagrama de raíces de E8.

La belleza de las matemáticas, tan aclamada por Paul A. Dirac y sus seguidores, nos lleva a preguntarnos ¿cuál de estos grupos para GUT es el más bello? Todos estos grupos son bonitos, pues son muy simétricos. Pero la belleza siempre conlleva misterio. A muchos matemáticos les parece que el más grande de todos E8, el menos comprendido de todos, el más misterioso, es el más bonito. Bueno, sobre gustos no hay nada escrito.

¿Pero qué pasa con la gravedad? Su grupo, el de Poincaré, SO(1,3) es un poco “jodido” y es difícil de pegar con los demás. Hay un teorema (Coleman-Mandula) que afirma que no se puede “pegar” SO(3,1) con cualquier otro grupo y obtener una “buena” teoría cuántica de campos. Por ello, no se habla de teorías GUT que incluyan la gravedad. ¿Lisi? ¿Dónde está Lisi? Lisi propone una teoría GUT basada en E8 que incluye como subgrupo a SO(4,1) pero no a SO(3,1) y le da un “retrueque” al teorema de Coleman-Mandula. ¡Bien hecho! Pero entonces Lisi no recupera la gravedad de Einstein. Bueno, más o menos, SO(4,1) es el grupo de simetría del espaciotiempo tipo de Sitter (lo que no está nada mal) y viéndolo “bien” nos ofrece algo parecido a lo que nos ofrece SO(3,1). “Se acepta pulpo como animal de compañía.”

Estamos hablando de Álgebra, sólo de álgebra. No lo olvidemos (una teoría cuántica de campos que modele la realidad requiere más cosas). Volvamos a E8. Pero E8 es demasiado grande. Como variedad real tiene dimensión 496 y como variedad compleja “sólo” dimensión 248. Su representación adjunta tiene dimensión  248, y aunque depende de cómo lo hagamos, E8 puede albergar hasta 248 partículas. Pero no conocemos tantas partículas elementales. El truco es “conocido” y sencillo. Lo que técnicamente se llaman las raíces del grupo las podemos “agrupar” haciendo que varias representen la misma partícula. Como E8 tiene muchos subgrupos, podemos mirar E8 desde el punto de vista de uno de esos subgrupos, y agrupar para que parezca que hay menos de las que en realidad hay. Eso son los bonitos diagramas (grafos con colorines) que se ven en los dos videos que acompañan a esta entrada. Podemos “rotar” el grafo del diagrama de raíces de E8 y observar otros grafos más sencillos, con menos “raíces” (son grupitos de raíces). Haciéndolo correctamente (Lisi parte E8 básicamente en F4 y G2, ver figura más arriba, los “rota” y los “superpone”) podemos explicar las 24 partículas elementales conocidas (fermiones y bosones), así como el Higgs y el gravitón. Lo que pasa es que los números no cuadran perfectamente y hay más grupitos de raíces que partículas. Pero esto no es un problema, todo lo contrario, es una predicción. La teoría de Lisi predice 22 nuevos bosones (18 de los cuales son coloreados, como los gluones). Esto es álgebra, no hay física. Lisi cree que el LHC, faltaría más, encontrará pruebas de algunas de estas partículas.

Este descripción algebraica de todo (TOE) es maravillosa, ¿cuál es el problema? En las teorías GUT normalmente se modelan con álgebra los fermiones, pero no los bosones. Para modelar ambos es necesario una simetría que los conecte, la supersimetría. Pero la teoría E8 de Lisi ¿es supersimétrica? No, no lo es (todavía). Entonces cómo lo hace. ¡A huevo! ¿Y por qué no? ¡Con dos cojones! ¡Es sólo álgebra! La objeción de John Baez a la teoría de Lisi, que muchos otros han repetido, va en esta línea. No sabemos seguir trabajando por este camino. Hasta ahora nadie sabe cómo usar un grupo que vea por igual fermiones y bosones (por la cara digo que esto es un bosón y aquello un fermión) para construir un teoría cuántica de campos consistente. ¿Sabrá hacerlo Lisi? Lo dudo. ¿Sabrá hacerlo alguien? Ahora muchos genios estarán dándole vuelta a la cabeza (aprovechando que la teoría de cuerdas está de capa caída y que el LHC no empezará a dar resultados hasta dentro de unos 8 meses, con suerte). Quizás algún nuevo Einstein sea capaz de descubrir cómo hacerlo, pero ahora mismo, nadie lo sabe (que yo sepa).

La teoría de Lisi es una GUT “extraña”. ¿Qué pasa con la gravedad en la teoría de Lisi? ¿Se puede construir una teoría cuántica de la gravedad para la parte de E8 que Lisi asocia al gravitón? Lisi propone el uso de una técnica desarrollada por MacDowell-Mansouri para construir una teoría tipo GUT para la gravedad, que orginalmente se propuso para la supergravedad, que requiere supersimetría. No soy capaz de entender los detalles técnicos del trabajo de MacDowell-Mansouri, que investigadores como Smolin han utilizado en Gravedad Cuántica de Bucles (loop quantum theory). Es como un “truco” para obtener la teoría de la gravedad de Einstein con constante cosmológica a partir de un grupo SO(4,1) en lugar del habitual SO(3,1). Por supuesto, el “truco” tiene una fuerte base matemática (geométrica). En lugar de usar una conexión de Levi-Civita (geometría riemanniana), utiliza una conexión de Cartan (geometría “cartaniana”). El trabajo de Derek K. Wise, “MacDowell-Mansouri gravity and Cartan geometry,” ArXiv preprint, 30 Nov 2006, parece interesante, pero no he tenido tiempo de leerlo. 

El genial Lee Smolin, cada vez que alguien usa la teoría de MacDowell-Mansouri, que a él le encanta, está al loro y realiza algún progreso en dicha línea. Su artículo “The Plebanski action extended to a unification of gravity and Yang-Mills theory,” ArXiv preprint, 6 Dec 2007 , trata sobre la teoría de Lisi y nos aclara algunas ideas (Lisi siempre presume de que Smolin es su “amigo”). Smolin critica que la acción (física) propuesta por Lisi no es localmente invariante ante el grupo E8, sale ante un subgrupo; además, su incorporación de los fermiones en pie de igualdad con los bosones, tipo BRST (algo técnico) es muy discutible. Smolin considera que la “unificación” ideas de gravedad cuántica de bucles y las ideas algebraicas sobre E8 de Lisi podría dotar a estas ideas de una teoría cuántica consistente (algo que por ahora parece bastante difícil). Smolin “pisa el freno de la moto” pero no se baja de ella. Por si acaso.

Ha nacido la Lisimanía. ¡Cómo están las fans!

En resumen, no me he enterado de nada tras leer el artículo de Lisi. Tendré que esperar a que se publiquen artículos que la expliquen mejor. Me parece que la teoría está en “pañales.” Lo que no es poco. Parece que al genial Lee Smolin le ha llamado la atención el trabajo (¿una garantía?). Pero si queréis mi opinión, creo que las ideas de Lisi están muy alejadas de las ideas que todo el mundo espera que tenga una teoría de todo. Todos esperamos que explique el espaciotiempo y sus propiedades (teoría pregeométrica), todos esperamos que explique cuánticamente la gravedad, que resuelva el problema del observador en mecánica cuántica a escala cosmológica, etc. Todos esperamos mucho de una teoría sobre todo (TOE). Me da la sensación que las ideas de Lisi son darle vueltas a la misma tortilla y que no van al grano. Necesitamos nuevas ideas conceptuales, no más garabatos en hojas de papel (y en animaciones en colorines por ordenador).

Kondor, gracias, he disfrutado. Tu recomendación ha sido estupenda. A los demás que sepan inglés, el video que nos ha recomendado Kondor te resultará muy interesante y ameno (aunque está pronunciado por un americano, es un inglés que se entiende fácil). Lo tiene todo, es divertido, gráficamente atractivo y no aburre. Eso sí, ante la pregunta de Ted, al final, ni el tal Ted se explica bien, ni el tal Lisi sabe contestarle. Quiere contestar para que todo el mundo lo entienda, pero acaba repitiendo como un loro lo ya dicho y parece que no llega más allá (casi parece que no sabe de qué habla o qué le han preguntado). Si yo hubiera sido Lisi, hubiera contestado de otra forma. Pero así es el directo (“live is live”).

PS: UnNews, fuente de dos de las imágenes y muy divertido.

PREMIO ABEL concedido a la teoría de grupos

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El estadounidense John G. Thompson y el francés Jacques Tits han sido distinguidos hoy con el premio Abel, considerado el Nobel de las matemáticas, por sus logros en el campo de la Teoría de Grupos, campo que podemos afirmar que nació tras el duelo a muerte que acabó con la vida de Evariste Galois, a los 20 años de edad, pero quien la noche anterior al duelo, temiendo lo peor, trató de revolucionar el conocimiento matemático sobre cuándo las raíces de polinomios se pueden expresar utilizando operaciones elementales, cosa que había descubierto pero no publicado, basándose en ciertos grupos de simetría de los polinomios, que se representaban mediante unos objetos matemáticos “curiosos”, los grupos resolubles. La teoría de Galois es sin lugar a dudas el nacimiento de la moderna teoría de grupos.

Los trabajos de Thompson y Tits han sido fundamentales para obtener la clasificación de todas las representaciones de grupos finitos, que modelan las transformaciones de simetría discretas (como las de los polígonos simétricos de n lados).

Uno de los grandes logros de Thompson, junto al fallecido Feit (que también merecería el Abel), fue probar el Teorema del Orden Impar, mostrar que muchos grupos de simetría finitos se pueden descomponer en cierto tipo de grupos “primos”, igual que la descomposición en números primos de los números naturales. Ello permitió concebir que se podría obtener una clasificación completa de los grupos finitos si se lograban clasificar estos grupos finitos “primos” (una especie de Tabla de los Elementos para los Grupos Finitos). El artículo de Thompson-Feit publicado en 1963 tenía 255 páginas y en aquel momento fue la demostración más larga de un teorema hasta entonces publicada. Además, fue el inicio de una serie de artículos de cientos de páginas para clasificar a los grupos más difíciles, los llamados “monstruos” (grupos “esporádicos”, que han de ser estudiados uno a uno). El mayor de ellos, llamado “El Monstruo”, culminación del trabajo de Thompson y Tits es un objeto en 26 dimensiones tan intrincado que sólo se puede “ver” bien en un espacio de 196883 dimensiones y que tiene más simetrías internas que átomos hay en el Sol.

Gracias a Thompson y Tits, hoy pensamos que ya se ha completado la clasificación de todos los grupos finitos. Si se escribe dicha clasificación ocupará más de 10000 páginas de desarrollos matemáticos complicados. Quizás la mayor obra de la Matemática en toda la historia.

Si te gusta (o gustó) el cubo de Rubik, para su resolución, “lo más natural” es aplicar la teoría de grupos. Aunque si no la conoces te diviertes más resolviéndolo.