¿Por qué se utiliza la teoría de grupos en física de partículas elementales?

Simetría SU(4) de sabor (4 quarks). En el plano C=0 la simetría SU(3) de sabor (3 quarks) de la vía óctuple del Nobel Murray Gell-Mann.

¿Qué es una partícula elemental? Un “objeto” con “momento”, “energía”, “masa”, “espín”, y algunas “cargas” localizado en el espaciotiempo (en un lugar del espacio en un momento dado).

Sea una partícula elemental “libre” (no sujeta a fuerzas externas). ¿Qué es el momento (lineal)? Si las propiedades de un “objeto” físico “aquí” son las mismas (invariantes) que “allí”, hay algo que se conserva, es el “momento”. ¿Qué es la energía (total)? Si las propiedades de un “objeto” físico “hoy” son las mismas (invariantes) que “mañana”, hay algo que se conserva, es la “energía”. ¿Qué es la masa? Para un “objeto” libre, la energía (total) es energía cinética (masa) que depende de su velocidad. Si el “objeto” puede estar en reposo, la energía cinética en dicho caso es la “masa” (en reposo). Si el “objeto” no puede estar en reposo, tiene “masa” nula. ¿Qué es el momento cinético (angular)? Si las propiedades de un “objeto” físico “sólido” son las mismas independientemente del ángulo con la que las veamos, hay algo que se conserva, es el momento cinético. Para una partícula elemental que es un “objeto” puntual, no sólido, la conservación del momento cinético es trivial. “Sorprendentemente,” la teoría de la relatividad de Einstein “obliga” a que toda partícula elemental tenga un “momento cinético interno” que se denomina “espín”. Lo descubrió “físicamente” Dirac para el electrón, pero en teoría de grupos era algo conocido hacía tiempo (las representaciones espinoriales de grupos).

En Física Matémática, toda magnitud “conservada” en un sistema físico es resultado de una simetría en su descripción matemática (teorema de Emmy Noether). En Matemáticas, las simetrías son descritas utilizando teoría de grupos (de transformaciones). Una simetría es lo que no cambia ante la acción de un grupo (de transformaciones). Si f(x,t) es la función que describe una partícula elemental localizada en el espaciotiempo en (x,t), ¿cómo podemos garantizar que describe un “objeto” con “momento”, “energía”, “masa”, y “espín”? Basta con que f corresponda a alguna representación del grupo de Poincaré (la invarianza ante traslaciones y rotaciones en el espacio tiempo). Es decir, f deberá ser una “función” (representación) escalar, pseudoescalar, vectorial, pseudovectorial, espinorial, tensorial, etc. No entraré en detallar qué es una representación de un grupo y en concreto representaciones de grupos de Lie (como el de Poincaré) que modelan simetrías continuas (cuyos parámetros son diferenciables y permiten utilizar el concepto de álgebra de Lie).

La asociación de partículas (libres) con representaciones del grupo de Poincaré dota de significado a conceptos abstractos como “momento”, “energía”, “masa” y “espín”. Una elección “adecuada” del espacio al que pertenece la función f que describe la partícula automáticamente garantiza valores “medibles” para dichos conceptos.

Las partículas elementales se observan en la Naturaleza en clases (o tipos). Ciertas interacciones (colisiones, desintegraciones, etc.) se observan sólo entre ciertos tipos de partículas. “Abusemos” del lenguaje un poco. Hay partículas machos (fermiones) y hembras (bosones). A los machos les gusta “normalmente” interactuar con las hembras (las interacciones entre fermiones “normalmente” están mediadas por bosones). Aunque a algunos machos les gusta interactuar con otros machos (hay fermiones que interactúan con fermiones en teorías como la de Fermi para la fuerza débil) y a algunas hembras les gusta interactuar con otras hembras (hay bosones no lineales que interactúan entre ellos como los gravitones). También hay “lucha” de clases. Hay machos de ciertas “clases” que prefieren interactuar con hembras “de su misma clase” y no con hembras de otras clases, y viceversa. Lo mismo pasa con las iteracciones hombre-hombre y hembra-hembra.

¿Qué propiedad caracteriza las “clases” de partículas elementales en función de sus interacciones? Las “cargas” (topológicas) asociadas a ciertas simetrías. Cargas como la eléctrica (QED), la de color (QCD), o cargas “efectivas” como el isoespín o la hipercarga (“extrañeza”). ¿Qué simetría es la responsable de la “conservación” de estas “cargas”? O mejor, ¿la invarianza respecto a qué simetría conduce a la aparición de estas cargas conservadas? Obviamente, se trata de una simetría “interna” (propia) de la partícula elemental. Algo que “no vemos” cuando “vemos” a la partícula en un lugar y un momento determinados del espaciotiempo. Sabemos que está ahí cuando observamos cómo interactúa la partícula con otras. El “trato” entre partículas nos muestra de qué clase son. La única partícula no clasista, que interactúa con todas las demás, es el gravitón (aún no observada) que es responsable de la fuerza de la gravedad. Las demás partículas son “clasistas”. La “lucha de clases” entre partículas nos indica que “poseen” simetrías internas.

La descripción matemática de las simetrías internas requiere la introducción de ciertos grupos (continuos o de Lie) “internos” que se aplican al espacio (de representación del grupo de Poincaré) al que pertenece la función matemática que describe a cada partícula. Grupos como U(1), responsable de la carga eléctrica (invarianza de fase), SU(2), responsable de la fuerza electrodébil a alta energía, SU(3), responsable de la carga de “color”, responsable de la fuerza fuerte entre quarks a alta energía, etc. ¿Por qué decimos que ciertos grupos sólo aparecen a alta energía? Porque las simetrías que “vemos” muy claras a alta energía, “no se ven” a baja energía, parece como si hubieran desaparecido “parcialmente”. Decimos que la simetría está rota. La simetría SU(2) de la fuerza electrodébil está rota a baja energía y observamos dos fuerzas muy distintas, el electromagnetismo y la fuerza débil. La simetría SU(3) de color de la fuerza fuerte está rota a baja energía donde es imposible observar los quarks (fermiones coloreados) que sufren dicha fuerza sino estados compuestos sin color (“blancos”) que aparentan ser partículas elementales (hadrones clasificados como bariones y mesones).

Hay simetrías “aproximadas” que podríamos calificar de “accidentales”, como la vía óctuple de Gell-Mann basada en SU(3) que explica las partículas (hadrones, es decir, bariones y mesones) “formadas” por 3 quarks (los menos masivos) denominados arriba, abajo y extraño. Introdujo el concepto de hiperarga (“extrañeza”) como magnitud que se conserva en una partícula si uno de sus constituyentes es un quark extraño. Para Gell-Mann, en esa época, los quarks eran meros “instrumentos” matemáticos que “expresaban” las simetrías internas de las partículas, se necesitó casi un década para obtener pruebas experimentales de su existencia (hoy en día, los físicos experimentales afirman “ver” quarks por doquier). El esquema SU(3) le permitió predecir una partícula con 3 quarks extraños que fue detectada experimentalmente. El descubrimiento del cuarto quark nos llevó a un modelo SU(4), como en la figura que inicia esta entrada. En la actualidad se conocen 6 quarks porque lo que la simetría “aproximada” de Gell-Mann “correcta” es SU(6), llamada SU(6) de sabor. Esta simetría es “buena” para los 3 quarks más ligeros, pero su poder predictivo es “pobre” en el caso general, debido a la gran diferencia de masas entre los quarks. Hay una diferencia de 5 órdenes de magnitud entre la masa del quark más ligero (up, arriba) y el más pesado (top, cima).

Descubrir una nueva simetría entre las partículas elementales significa que hay nuevas “cargas” (propiedades) asociadas a ellas que las hace “clasistas” y que ciertas interacciones entre partículas están prohibidas (reglas de selección) porque estas “cargas” no se conservarían en dichas interacciones. Estas “nuevas” simetrías estarán rotas, porque a baja energía no se las observa (creemos que conocemos muy bien lo que pasa a “baja” energía). Estas “nuevas” simetrías conducirán a resultados “no esperados” a alta energía. Garrett Lisi y su “teoría “simple” para todo” introducen nuevas simetrías que deberán estar rotas a baja energía. En su trabajo no dice cómo se rompen (la ruptura puede ser espontánea, ocurrió en el Big Bang de forma “natural”, o dinámica, hay una cierta combinación de factores que llevó a que se produjera, por ejemplo, en el contexto del principio antrópico). Garrett elige un grupo de simetría interna para todas las partículas conocidas, E8, y las representa utilizando ciertas “representaciones de grupos” de ciertos subgrupos de E8 (que es muy rico en subgrupos). ¿Y contiene su teoría al Modelo Estándar? Lisi lo impone, seleccionando ad hoc (arbitrariamente) que así sea. Él elige (impone) que la teoría (lagrangiano) así sea. El grupo de Lie E8 puede ser muy bello pero su lagrangiano (“el del” modelo estándar) no lo es y además es muy “artificial”. Lo ideal sería una ruptura espontánea de la simetría de E8.

PREMIO ABEL concedido a la teoría de grupos

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El estadounidense John G. Thompson y el francés Jacques Tits han sido distinguidos hoy con el premio Abel, considerado el Nobel de las matemáticas, por sus logros en el campo de la Teoría de Grupos, campo que podemos afirmar que nació tras el duelo a muerte que acabó con la vida de Evariste Galois, a los 20 años de edad, pero quien la noche anterior al duelo, temiendo lo peor, trató de revolucionar el conocimiento matemático sobre cuándo las raíces de polinomios se pueden expresar utilizando operaciones elementales, cosa que había descubierto pero no publicado, basándose en ciertos grupos de simetría de los polinomios, que se representaban mediante unos objetos matemáticos “curiosos”, los grupos resolubles. La teoría de Galois es sin lugar a dudas el nacimiento de la moderna teoría de grupos.

Los trabajos de Thompson y Tits han sido fundamentales para obtener la clasificación de todas las representaciones de grupos finitos, que modelan las transformaciones de simetría discretas (como las de los polígonos simétricos de n lados).

Uno de los grandes logros de Thompson, junto al fallecido Feit (que también merecería el Abel), fue probar el Teorema del Orden Impar, mostrar que muchos grupos de simetría finitos se pueden descomponer en cierto tipo de grupos “primos”, igual que la descomposición en números primos de los números naturales. Ello permitió concebir que se podría obtener una clasificación completa de los grupos finitos si se lograban clasificar estos grupos finitos “primos” (una especie de Tabla de los Elementos para los Grupos Finitos). El artículo de Thompson-Feit publicado en 1963 tenía 255 páginas y en aquel momento fue la demostración más larga de un teorema hasta entonces publicada. Además, fue el inicio de una serie de artículos de cientos de páginas para clasificar a los grupos más difíciles, los llamados “monstruos” (grupos “esporádicos”, que han de ser estudiados uno a uno). El mayor de ellos, llamado “El Monstruo”, culminación del trabajo de Thompson y Tits es un objeto en 26 dimensiones tan intrincado que sólo se puede “ver” bien en un espacio de 196883 dimensiones y que tiene más simetrías internas que átomos hay en el Sol.

Gracias a Thompson y Tits, hoy pensamos que ya se ha completado la clasificación de todos los grupos finitos. Si se escribe dicha clasificación ocupará más de 10000 páginas de desarrollos matemáticos complicados. Quizás la mayor obra de la Matemática en toda la historia.

Si te gusta (o gustó) el cubo de Rubik, para su resolución, “lo más natural” es aplicar la teoría de grupos. Aunque si no la conoces te diviertes más resolviéndolo.