Publicado en Nature: El experimento más preciso de la dilatación gravitatoria del tiempo mediante relojes cuánticos

Un experimento de menos de un millón de dólares desarrollado por el Premio Nobel Steven Chu, Secretario de Energía del Presidente Obama, obtiene un test de precisión de la relatividad general 10000 veces más preciso que el mejor hasta ahora, 1000 veces más preciso que el que obtendrá el futuro experimento ACES que la ESA pretende instalar en la ISS y que costará más de 100 millones de euros. Según la relatividad general un reloj en un campo gravitatorio más intenso corre más lento. Normalmente este tipo de experimentos se realizan en satélites y en aviones de largo recorrido. Sin embargo, Holger Müller, Achim Peters y Steven Chu han utilizado una trampa láser para medir la diferencia entre el tiempo medido por dos relojes cuánticos separados una distancia vertical de 0,1 mm. en el campo gravitatorio de la Tierra y han verificado la teoría de Einstein con una precisión de 7 partes en mil millones. Cada reloj cuántico es un único átomo de Cesio enfriado cerca del cero absoluto encerrado en una trampa atómica por láser, la tecnología que hizo que Chu obtuviera el Premio Nobel en 1997. Steven Chu afirma que ha tenido que trabajar en el experimento de noche, durante los fines de semana y mientras viajaba en avión, debido a que dedica entre 70 y 80 horas semanales a su trabajo como Secretario de Energía. Nos lo cuenta Eric Hand, “General relativity tested on a tabletop,” Nature 463: 862, 17 February 2010, haciéndose eco del artículo técnico Holger Müller, Achim Peters, Steven Chu, “A precision measurement of the gravitational redshift by the interference of matter waves,” Nature 463: 926-929, 18 February 2010.

Christophe Salomon debe estar que trina. El investigador principal del proyecto ACES (Atomic Clock Ensemble in Space) que la ESA (European Space Agency) pretende instalar en 2013 en la Estación Espacial Internacional (ISS o International Space Station) está planeada para verificar la dilatación temporal de Einstein en un campo gravitatorio casi 1000 veces peor que el nuevo experimento de Müller et al. Una misión que costará unos 100 millones de euros a las arcas de los europeos en plena crisis siempre genera dudas. Por supuesto, Salomon se defiende afirmando que la misión también desarrollará otros experimentos relacionados y que medirá el efecto en distancias de kilómetros, en lugar de milímetros. Pero bueno, es nuestro dinero…

La teoría general de la relatividad predice que un reloj en un potencial gravitatorio U corre más despacio en un factor 1+U/c2, donde c es la velocidad de la luz, comparado con un reloj similar fuera de dicho potencial. Este efecto, llamado corrimiento al rojo gravitatorio, es importante para el funcionamiento preciso de los sistemas de GPS (Global Positioning System), en relojes atómicos de alta precisión y en futuros experimentos ultraprecisos que utilicen relojes colocados en el espacio que busquen variaciones de constantes fundamentales. El corrimiento al rojo gravitatorio ha sido medido utilizando relojes en aviones, cohetes y satélites, logrando alcanzar un error relativo de 7×10-5. El nuevo experimento basado en la interferencia cuántica de átomos ha permitido una medida mucho más precisa, alcanzando una precisión relativa de 7×10-9. Un resultado que cofirma la teoría de la relatividad general de la gravedad hasta un límite sin precedentes.

El nuevo experimento se basa en reinterpretar los experimentos de interferometría atómica que se han utilizado para medir la aceleración de la gravedad en caída libre.  La figura que abre esta entrada explica el experimento. Un átomo enfriado en una trampa láser es lanzado en vertical hacia arriba en una cámara de vacío sobre el que inciden tres pulsos ópticos desde un par de haces láser verticales antiparalelos con números de onda k1 y k2, respectivamente. Cada pulso láser transfiere un momento ħ(k1+k2) (donde ħ es h/2π y h es la constante de Planck) desde los dos fotones al átomo. Este proceso induce un retroceso del átomo que corresponde a un momento combinado ħk, donde kk1+k2. La intensidad y la duración del primer pulso láser se ha ajustado de tal forma que el proceso ocurre con una probabilidad del 50%. Como resultado, el primer pulso encuentra el átomo en un estado de superposición coherente de dos estados cuánticos, que se separan debido a su momento relativo ħk. El segundo pulso redirige el momento del átomo de forma que las trayectorias de los dos estados cuánticos coinciden en el momento en que incide el tercer pulso.

La mecánica cuántica describe el átomo en sus dos trayectorias mediante sus ondas de de Broglie en un estado coherente tal que sus oscilaciones están inicialmente sincronizadas (se separaron gracias al primer pulso láser). La aplicación del tercer pulso hace que las funciones de onda interfieran de forma constructiva o destructiva en función de su diferencia de fase, que se puede medir gracias a que afecta a la probabilidad de obtener como resultado de la medida alguno de los dos estados posibles. El resultado experimental obtenido compardo con el esperado teóricamente conduce a un error relativo de (7±7)×10-9, que es independiente de la aceleración local de la gravedad, g, y totalmente compatible con la relatividad general.

Un gran resultado de Steven Chu, máxime teniendo en cuenta lo terriblemente ocupado que estará en su cargo. Por supuesto, todos sabemos que el trabajo duro lo habrán desarrollado los otros dos autores (en especial el primer autor, Holger Müller, que por ello he puesto su foto en la figura que abre esta entrada), pero no debemos despreciar la labor de superposición desarrollada por este Premio Nobel.

PS (18 feb. 2010): Judith de Jorge, “Confirmado: Einstein tenía razón,” ABC.es, 17 feb. 2010 [visto en Menéame]; Alicia Rivera, “Átomos en vez de relojes para confirmar la teoría de Einstein con alta precisión,” El País, 17 feb. 2010.

PS (18 feb. 2010): Kanijo, “Confirmados los efectos de la gravedad sobre el tiempo,” Ciencia Kanija, 18 feb. 2010, traducción de “Gravity’s effect on time confirmed,” PhysicsWorld.com, Feb. 17, 2010.

PS (24 feb. 2010): Merece la pena leer a Enrique Álvarez, “Dos átomos para Einstein. Asombrosa detección del minúsculo efecto de la gravedad en la luz,” El País, 24/02/2010.

Como la solución de un problema centenario se transforma en su solucion conocida hace medio siglo

Yo lo he comentado en varias ocasiones en este blog. En mi opinión a la teoría de relatividad general le falta algo. Hay demasiadas soluciones de las ecuaciones de Einstein y no sabemos cómo diferenciar entre una solución “físicamente correcta” y una solución “matemáticamente correcta.” Es necesario que alguien descubra una condición, una restricción, una propiedad, que hayan de cumplir todas las soluciones físicas. En mi opinión de inexperto en el espacio de todas las soluciones, módulo difeomorfismos, debe existir un subespacio en el que se encuentren las soluciones físicamente correctas. Permitidme un ejemplo, que aunque no tiene nada que ver, muestra lo que tengo en mente.

Dibujo20090808_LAD_equations_non_covariant_formLa ecuación relativista (relatividad especial) para el movimiento de una partícula (puntual) cargada fue derivada por Lorentz (1892,1904), Abraham (1903,1905) y en formulación covariante por Dirac (1938). La ecuación de Lorentz-Abraham-Dirac (LAD, a veces llamadas, LD, AL o ALD) es una ecuación de tercer orden, en lugar de segundo orden, luego viola la ley de la inercia de Newton. Presenta soluciones que no pueden ser físicas, que asintóticamente (en el infinito) presentan aceleraciones no nulas en la ausencia de fuerzas, así como preaceleraciones, aceleraciones que aparecen antes que actúe una fuerza, y postaceleraciones, aceleraciones que aparecen una vez la acción de una fuerza ha cesado. Para muchos estas soluciones violan las leyes de la causalidad (causa-efecto). Dirac lo tenía muy claro, si una solución de la ecuación LAD presenta este tipo de “defectos” debe ser descartada. Sólo las soluciones que no los presenten son “correctas” físicamente. Una vez obtenida una solución es “fácil” verificar si es física.

¿Se puede obtener una ecuación de segundo orden que sustituya a la ecuación LAD cuyas soluciones siempre sean físicas? Tras un siglo, Herbert Spohn logró resolver este problema centenario, valga la redundancia, en su artículo “The critical manifold of the Lorentz-Dirac equation,” Europhys. Lett. 50: 287-292, 2000. Estudió todas las posibles soluciones de las ecuación LAD e identificó las que asintóticamente presentan una aceleración en infinito nula como las únicas físicas, en el sentido de que cualquier otra solución física se puede obtener a partir de estas mediante el uso de cierta teoría de perturbaciones. Ello le permitió obtener una ecuación “efectiva” de segundo orden cuyas únicas soluciones son las soluciones físicamente válidas de las ecuaciones LAD. Spohn resolvió un problema centenario.

Fritz Rohrlich, “The correct equation of motion of a classical point charge,” Physics Letters A 283: 276-278, May 2001, observó que la ecuación de Spohn había sido publicada previamente por Landau y Lifshitz (en su famoso curso de Física Teórica, en el segundo volumen, Teoría Clásica de Campos) y por otros autores, como Ford y O’Connell en 1993. En ambos casos, la ecuación correcta se derivó como una aproximación a la ecuación LAD, en lugar de como una ecuación exacta completamente equivalente a ella. Esta es la gran aportación de Spohn. Quizás, haciendo honor a la historia, deberíamos llamar a la ecuación de Spohn como ecuación de Landau-Lifshitz-Spohn (LLS). Rohrlich trató de justificar el origen físico de esta ecuación con un ejemplo concreto.

El trabajo de Spohn era estrictamente matemático. ¿Cuál es el origen físico de su ecuación? ¿Puede ser derivada físicamente a partir de principios físicos fundamentales? Fritz Rohrlich resolvió este problema en “Dynamics of a classical quasi-point charge,” Physics Letters A 303: 307-310, 2002 (ArXiv preprint “The dynamics of a charged particle“). En un artículo posterior estudió los límites de validez de la ecuación LLS (o lo que es lo mismo de LAD), en concreto en Fritz Rohrlich, “The validity limits of physical theories: response to the preceding Letter,” Physics Letters A 295: 320-322, 2002. Más argumentos físicos a favor de las ecuaciones LLS se encuentran en el artículo D. Vogt, P.S. Letelier, “On the Solutions of the Lorentz-Dirac Equation,” General Relativity and Gravitation 35: 2261-2269, diciembre 2003.

Lo dicho, la solución de un problema centenario ya había sido publicado hace 50 años. ¿Pasará lo mismo con la relatividad general de Einstein? Estará ya publicada la ecuación “correcta” pero no somos conscientes de ello.

El regalo de cumpleaños de Gödel a Einstein

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Un libro celebraría el 70 cumpleaños de Einstein en 1949. Gödel decidió escribir un artículo en el que resolvería un problema planteado por Gamow en la revista Nature en 1946. Le costó casi 3 años de trabajo, pero valió la pena. Un modelo cosmológico para un universo en rotación consistente con la relatividad general en el que una persona puede viajar a su propio pasado. Un problema que sólo un genio podía resolver, el regalo ideal para su amigo Einstein, con quien gustaba pasear en Princeton. El artículo fue enviado por Gödel al editor del libro, Schilpp, justo en el último momento (tras varias cartas de disculpa por el retraso). La historia del modelo cosmológico de Gödel nos la cuenta magistralmente Wolfgang Rindler, quien ya la contó en una conferencia en 2006 celebrando el centenario del nacimiento del propio Gödel, en el artículo que recomiendo “Gödel, Einstein, Mach, Gamow, and Lanczos: Gödel’s remarkable excursion into cosmology,” American Journal of Physics 77: 498–510, June 2009.

El universo sin materia se denomina substratum. Los modelos cosmológicos estándares cumplen el Principio Cosmológico, por el cual el substratum se asume perfectamente homogéneo e isótropo en todo momento. Un universo de este tipo es inestable y se expande. El modelo cosmológico de Gödel es homogéneo pero no es isótropo y logra evitar la expansión, es estacionario pero rota de forma rígida a un velocidad menor que la velocidad de la luz en el vacío. Un universo rotante que viola el principio de Mach, la materia que contiene puede rotar o no hacerlo, pero compatible con la relatividad general. Lo más sorprendente de este universo es que permite curvas espaciotemporales cerradas. Un observador que se mueva suficientemente rápido, más que la velocidad de rotación del universo (que es menor que la velocidad de la luz) puede retornar al pasado (en el tiempo de su reloj propio). Uno mismo puede volver a su propio pasado y suicidarse. Paradójico. Esta violación de la causalidad nos indica que este universo no es realizable físicamente. La gran crítica de Einstein al modelo de su amigo Gödel. Sin embargo, Gödel se defendió alegando que las curvas espaciotemporales tienen un radio mínimo y los cálculos indican que es enorme. Se requeriría un tiempo desmesurado para poder regresar al pasado. En la práctica nadie puede vivir lo suficiente para lograrlo.

Los físicos que no conozcan el modelo cosmológico de Gödel agradecerán (y entenderán) su métrica dada por

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Como vemos, la velocidad (lineal) de rotación (\Omega) es menor que la velocidad de la luz (c), donde a es el radio del universo. Este universo está caracterizado por una constante cosmológica negativa (\Lambda) y una curvatura (K) también negativa. Es un universo que rota en el mismo sentido que crece la variable \phi. ¿Qué distribución de materia conduce a este universo? Un gas de “polvo” modelado por un fluido perfecto pero sin presión.

La contribución de Gödel a la Festschrift de Einstein (publicación que celebra el cumpleaños de algo o alguien) es un universo sin sentido pero compatible con la teoría de Einstein, que nos recuerda que una solución matemática de unas ecuaciones físicamente correctas no es necesariamente realizable físicamente. Un universo con un reloj absoluto, con un centro y un eje de rotación, un universo al fin y al cabo que no es más que un regalo de cumpleaños para hacer pensar a Einstein sobre su propia teoría. El regalo que solo un genio de la talla de Gödel podía ofrecer a Einstein. 

Sobre la vida de Kurt Gödel se ha dicho mucho (quizás La mente más maravillosa del siglo XX). Sobre sus dos teoremas de incompletitud se ha escrito, casi, demasiado (Carlos nos los explica muy bien aquí Gödel en una cáscara de nuez: Primer Teorema de Incompletitud y Gödel en una cáscara de nuez: Segundo Teorema de Incompletitud, y Teorema de Completitud). ¿Te resulta muy técnico el trabajo de Carlos? Un resumen breve. El teorema de incompletitud de Gödel, básicamente, es equivalente a la paradoja del mentiroso: “Esta frase es falsa.” Si es verdadera, es falsa. Si es falsa, es verdadera. La frase es simultáneamente verdadera y falsa. Gödel toma una teoría T consistente (todo lo que se puede demostrar a partir de ella es verdad) y completa (todo lo verdadero se puede demostrar a partir de ella) y un teorema en dicha teoría, G, autorreferencial que afirma que “G no se puede demostrar usando la teoría T.” Si G se pudiera demostrar con los axiomas y las reglas de inferencia de T, entonces G es un teorema demostrable en T, pero entonces se contradice a sí mismo y es falso, por lo que T no puede ser una teoría consistente. Si T es consistente, entonces G es verdad y no se puede demostrar en T, es decir, T no es completa. En este sentido G es verdad pero indemostrable. La teoría T debe ser incompleta, hay afirmaciones verdaderas que no son demostrables. En general, en toda teoría habrá afirmaciones verdaderas (nadie sabe si todas serán autorreferenciales) que no son demostrables. Más aún, habrá infinitas verdades no demostrables, ya que añadir cualquier verdad no demostrable a la teoría conducirá a una nueva teoría con nuevas verdades indemostrables. El poder de lo autorreferente.

1919, el año en el que Einstein se convirtió en el icono del genio gracias al New York Times

Foto original del eclipse de 1919.

Einstein era conocido sólo en ciertos círculos científicos hasta 1919 cuando, gracias al New York Times, pasó a estar boca de todos, doctos o legos. El 9 de noviembre de 1919 se publicaba en The New York Times un artículo titulado “Eclipse Showed Gravity Variation,” fechado el día anterior en Londres. El artículo afirmaba que Sir Joseph Thomson, presidente de la londinense Royal Society, afirmaba que nos encontrabámos con uno de “los avances más importantes de todos los tiempos, quizás el más importante,” en la reunión del 7 de noviembre en la que se describían las observaciones del eclipse total de Sol ocurrido el 29 de mayo. La predicción de Einstein había sido confirmada experimentalmente. Algo que lo que logró convencer a la audencia Sir Frank Dyson. El Dr. Crommelin ofreció detalles más técnicos, estimando el error experimental en un 8% (el valor predicho por Einstein es el doble del de Newton). En palabras del presidente Thomson es “el mayor descubrimiento sobre la gravedad desde que Newton introdujo sus leyes.”

Los eclipses siempre han estado rodeados de cierta magia. Que un completo desconocido para el público en general adquiera la talla de Newton gracias a un eclipse es una noticia que llama la atención del público sin lugar a dudas. El público demandaba “conocer” al genio. El New York Times no podía defraudar a sus lectores, por lo que entrevistó a Albert Einstein en Berlín el 2 de diciembre de 1919, aparecido como “Einstein Expounds His New Theory,” aparecido el día siguiente. Se acababa de editar el libro de Einstein titulado “Relativity,” originalmente escrito en 1916, donde Einstein trataba de explicar la relatividad a “todo el mundo,” ya que según parece, “sólo una docena de personas en todo el mundo la entendía.” En la entrevista, las continuas referencias a Newton son todo un golpe de impacto para el público en general.

Supongo que pocos entendieron los comentarios de Einstein en la entrevista, por lo que el 7 de diciembre de 1919 apareció un artículo del Dr. Carmichael, autor del primer libro se relatividad en inglés. El artículo, titulado “Given de Speed, Time is Naught,” trataba de explicar la relatividad especial. El autor destaca que la teoría de Einstein aún es una teoría “no probada,” poniendo el énfasis en las paradojas temporales, como la de los gemelos “un hombre moviéndose a la velocidad de luz, no envejecería en 1000 años.” Palabras mayores.

1919, el año del eclipse, quizás el eclipse más importante de toda la ciencia, el que encumbró a Einstein, gracias a tres artículos en prensa, a todo un icono del genio científico.

¿Para qué sirve estudiar física?

“¿Para qué sirve estudiar física?” Esta es la pregunta que me hacía un amigo mientras embarcábamos en un avión. Con las prisas, contesté que “para todo.” Mi amigo no quedó muy convencido. “¿Para qué sirve la teoría de la relatividad? Para qué sirve para una persona cualquiera, no para un físico.” Mi respuesta fue rápida: “Para embarcar en un avión, por ejemplo.”

Me acordaba de un artículo sobre la aplicación de la relatividad general al embarque en un avión, que descubrí gracias al artículo de Steffen sobre cómo embarcar en un avión de forma óptima, que ya comenté en este blog. Lo tenía reciente así que empecé a hablar de que el tiempo que requiere un pasajero para sentarse en el avión depende del número de pasajeros que se encuentra en su “cono de luz futuro,” y demás cuestiones relacionadas. Creo que acabé enrollándome en el tema más de lo necesario. La cara de mi amigo reflejaba las miradas de los pasajeros que se encontraban en los asientos cercanos. Todos deseando que se callara el “plomazo” que les iba a dar el “coñazo” durante todo el viaje. Al final acabé callando. Bueno, mejor dicho, la conversación derivó por otros lares más al gusto de nuestros “escuchantes anónimos.”

El artículo de Eitan Bachmat, Daniel Berend, Luba Sapir, Steven Skiena, Natan Stolyarov, “Analysis of airplane boarding via space-time geometry and random matrix theory,” ArXiv preprint, 5 Dec 2005 , muestra como modelar el embarque de un avión mediante una geometría riemanniana 1+1 dimensiones (similar a la gravitación de Einstein pero que es en 3+1). Los autores consideran un punto x=(q,r), donde q es el índice del pasajero en la cola de embarque y r es la fila del asiento del avión que le ha tocado. Los autores normalizan estas magnitudes para que x pertenezca al cuadrado unidad. Desarrollan un modelo discreto del proceso de embarque (sentarse en el avión) que se basa en la longitud media de pasillo ocupada por un pasajero, la distancia entre filas de asientos, el número de pasajeros sentados por fila, y el tiempo medio que tarda un pasajero en abandonar el pasillo una vez ha encontrado su asiento. El límite continuo de este modelo discreto, sorprendentemente, es un modelo geométrico de espaciotiempo relativista en el que q actúa como tiempo y r como espacio (la métrica, que omito aquí, la tenéis bien explicada en el artículo). El uso de coordenadas en el cono de luz facilita la interpretación práctica de dicha geometría.

El modelo geométrico de Bachmat et al. permite comparar diferente maneras de embarcar a los pasajeros. Los autores indican que la práctica más común de embarcar los pasajeros desde atrás hacia adelante del avión (que primero embarquen las últimas filas de asientos, luego las siguientes, etc.) no es efectiva en la mayoría de los casos. De hecho, el embarque aleatorio es casi óptimo según su modelo. La mejor política que han encontrado es que primero embarquen los pasajeros con ventanilla, luego los del asiento de enmedio y finalmente los del pasillo. Por supuesto, un modelo tan sencillo ofrece conclusiones con una validez muy limitada. El artículo de Jason H. Steffen, Michael W. Moore, Paul E. Boynton, “Optimal Estimation of Several Linear Parameters in the Presence of Lorentzian Thermal Noise,” ArXiv preprint, 1 May 2008 , ofrece un modelo mucho mejor (que ya comentamos en este blog).

Para los interesados en espaciotiempo discretos y sus aplicaciones en optimización les interesará el artículo de Eitan Bachmat, “Discrete spacetime and its applications,” ArXiv preprint, 27 Feb 2007 . Por ejemplo, considera la planificación (scheduling) de la escritura en discos duros para minimizar la necesidad de fragmentación de archivos en el disco, que ya presentó en más detalle en Eitan Bachmat, “Analysis of disk scheduling, increasing subsequences and space-time geometry,” ArXiv preprint, 2 Jan 2006 .

De hecho, me ha recordado todo esto por que en el último número de American Journal of Physics se ha publicado un nuevo artículo de Jason H. Steffen, “A statistical mechanics model for free-for-all airplane passenger boarding,” ArXiv preprint, 25 Jul 2008 . En este artículo el autor modela el embarque sin asignación previa de asiento, como en muchos autobuses. El modelo se basa en la mecánica estadística suponiendo que la elección del asiento sigue una distribución de Boltzmann.

Si has llegado hasta aquí, gracias, pero quizás me he enrollado más de la cuenta.

Un viaje a Vega, una estrella cercana (o la paradoja de los gemelos en Relatividad)

Vega es la estrella más brillante de la constelación de la Lira, siendo la quinta estrella más brillante de todo el firmamento (desde España es sólo la tercera visible más brillante, tras Sirio y Arturo). Forma parte del triángulo de estrellas característico del verano, si eres aficionado a la Astronomía ya lo sabrás, junto a Deneb (en el Cisne) y Altair (en el Águila). Se encuentra en nuestro entorno local (muy cerca de nosotros), sólo a unos 25,3 años luz de distancia.

¿Cómo sería un viaje “relativista” hasta Vega desde la Tierra? El artículo de Thomas Müller, Andreas King, and Daria Adis, “A trip to the end of the universe and the twin “paradox”,” American Journal of Physics, Vol. 76, No. 4, pp. 360-373, April 2008, ArXiv Preprint, nos cuenta los detalles (que aquí presentaremos sin la matemática asociada, por otro lado, no muy difícil, cinemática relativista “elemental”). Los autores han desarrollado un código JAVA (Applet) para hacer los cálculos junto con otros programas que también serán de vuestro interés.

Ernesto (radioastrónomo) es el hermano gemelo de Teresa (astronauta), quien ha sido seleccionada para el primer viaje a Vega. Para hacer más confortable el viaje, se ha diseñado la nave para que acelere a 1g (9.81 m/s²) con lo que el viaje de ida y vuelta durará (para Teresa) 12.93 años (terrestres), aunque, por la ditación del tiempo relativista (paradoja de los gemelos), Ernesto necesitará 54.48 años para volver a ver a su hermana (en la Tierra). El viaje de Teresa se ha diseñado en 4 fases. La siguiente figura muestra la trayectoria espaciotemporal o viaje de Teresa visto por Ernesto en la Tierra (supuesta en reposo, es decir, supuesto
despreciable el movimiento rotacional de ésta respecto al Sol). Teresa iniciará su viaje en el punto (1), acelerará hasta alcanzar su velocidad máxima en el punto (2), donde empezará a desacelerar hasta pararse completamente en el punto (3), ya en Vega, donde pasará sólo unas horas (tiempo que consideraremos despreciable); el retorno será a la inversa, acelerará en dirección a la Tierra hasta el punto (4) desde donde desacelerará hasta su retorno a la Tierra, en (5). Los círculos pequeños en la figura muestran los momentos en los que Teresa envía una señal hacia la Tierra (indicando que se encuentra bien y disfruta del viaje). Ni Teresa envía estas señales a intervalos periódicos en su reloj local, ni Ernesto las recibe equiespaciadas. La figura muestra que la línea espaciotemporal de Teresa es prácticamente recta. Hemos supuesto que la nave de Teresa acelera suavemente, alcanzando el 80% de la velocidad de la luz tras el primer año de viaje. La velocidad máxima de Teresa se alcanza en el punto (2), en concreto un 99.75% de la velocidad de la luz.

¿Qué es lo que ve Ernesto desde “casa”? Como la distancia entre ambos gemelos crece, las señales que envía Teresa necesitan cada vez más tiempo para llegar a Ernesto. De hecho, Ernesto recibirá la mayoría de las señales de Teresa cuando ella ya esté en la parte final de su viaje de retorno hacia la Tierra. Por ejemplo, una señal enviada por Teresa desde la nave a los 3 años de viaje (en su tiempo propio), cuando se encuentra a 10 años luz de distancia de la Tierra, es recibida por Ernesto (en el tiempo propio de la Tierra) a los 20 años. De hecho, en el momento de recepción de la señal, Teresa ya se encuentra a 19 años luz de la Tierra y según el reloj de la nave han transcurrido 4 años de su viaje. Ver la figura de arriba.

La figura de arriba muestra la relación entre los relojes de tiempo propio de Ernesto (eje de abcisas) y Teresa (eje de ordenadas). Como vemos es una curva “no lineal”.

¿Quieres diseñar tu propio viaje interestelar? El código JAVA de los autores os permite calcular estas figuras y otras para otros viajes. Anímate.

¿Qué vería Teresa cuando viajara hacia Vega? El fondo de estrellas, pero alterado relavistamente. Los autores también presentan un código Java para que nos imaginemos qué es lo que vería Teresa. Si te apetece experimentar, ánimo.

Más sobre la paradoja de los gemelos en castellano.

Noticia sobre la paradoja de los gemelos (ArXiv Preprint del artículo citado en la noticia).

¿Permite la paradoja de los gemelos permanecer “eternamente” jóvenes?.