El regalo de cumpleaños de Gödel a Einstein

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Un libro celebraría el 70 cumpleaños de Einstein en 1949. Gödel decidió escribir un artículo en el que resolvería un problema planteado por Gamow en la revista Nature en 1946. Le costó casi 3 años de trabajo, pero valió la pena. Un modelo cosmológico para un universo en rotación consistente con la relatividad general en el que una persona puede viajar a su propio pasado. Un problema que sólo un genio podía resolver, el regalo ideal para su amigo Einstein, con quien gustaba pasear en Princeton. El artículo fue enviado por Gödel al editor del libro, Schilpp, justo en el último momento (tras varias cartas de disculpa por el retraso). La historia del modelo cosmológico de Gödel nos la cuenta magistralmente Wolfgang Rindler, quien ya la contó en una conferencia en 2006 celebrando el centenario del nacimiento del propio Gödel, en el artículo que recomiendo “Gödel, Einstein, Mach, Gamow, and Lanczos: Gödel’s remarkable excursion into cosmology,” American Journal of Physics 77: 498–510, June 2009.

El universo sin materia se denomina substratum. Los modelos cosmológicos estándares cumplen el Principio Cosmológico, por el cual el substratum se asume perfectamente homogéneo e isótropo en todo momento. Un universo de este tipo es inestable y se expande. El modelo cosmológico de Gödel es homogéneo pero no es isótropo y logra evitar la expansión, es estacionario pero rota de forma rígida a un velocidad menor que la velocidad de la luz en el vacío. Un universo rotante que viola el principio de Mach, la materia que contiene puede rotar o no hacerlo, pero compatible con la relatividad general. Lo más sorprendente de este universo es que permite curvas espaciotemporales cerradas. Un observador que se mueva suficientemente rápido, más que la velocidad de rotación del universo (que es menor que la velocidad de la luz) puede retornar al pasado (en el tiempo de su reloj propio). Uno mismo puede volver a su propio pasado y suicidarse. Paradójico. Esta violación de la causalidad nos indica que este universo no es realizable físicamente. La gran crítica de Einstein al modelo de su amigo Gödel. Sin embargo, Gödel se defendió alegando que las curvas espaciotemporales tienen un radio mínimo y los cálculos indican que es enorme. Se requeriría un tiempo desmesurado para poder regresar al pasado. En la práctica nadie puede vivir lo suficiente para lograrlo.

Los físicos que no conozcan el modelo cosmológico de Gödel agradecerán (y entenderán) su métrica dada por

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Como vemos, la velocidad (lineal) de rotación (\Omega) es menor que la velocidad de la luz (c), donde a es el radio del universo. Este universo está caracterizado por una constante cosmológica negativa (\Lambda) y una curvatura (K) también negativa. Es un universo que rota en el mismo sentido que crece la variable \phi. ¿Qué distribución de materia conduce a este universo? Un gas de “polvo” modelado por un fluido perfecto pero sin presión.

La contribución de Gödel a la Festschrift de Einstein (publicación que celebra el cumpleaños de algo o alguien) es un universo sin sentido pero compatible con la teoría de Einstein, que nos recuerda que una solución matemática de unas ecuaciones físicamente correctas no es necesariamente realizable físicamente. Un universo con un reloj absoluto, con un centro y un eje de rotación, un universo al fin y al cabo que no es más que un regalo de cumpleaños para hacer pensar a Einstein sobre su propia teoría. El regalo que solo un genio de la talla de Gödel podía ofrecer a Einstein. 

Sobre la vida de Kurt Gödel se ha dicho mucho (quizás La mente más maravillosa del siglo XX). Sobre sus dos teoremas de incompletitud se ha escrito, casi, demasiado (Carlos nos los explica muy bien aquí Gödel en una cáscara de nuez: Primer Teorema de Incompletitud y Gödel en una cáscara de nuez: Segundo Teorema de Incompletitud, y Teorema de Completitud). ¿Te resulta muy técnico el trabajo de Carlos? Un resumen breve. El teorema de incompletitud de Gödel, básicamente, es equivalente a la paradoja del mentiroso: “Esta frase es falsa.” Si es verdadera, es falsa. Si es falsa, es verdadera. La frase es simultáneamente verdadera y falsa. Gödel toma una teoría T consistente (todo lo que se puede demostrar a partir de ella es verdad) y completa (todo lo verdadero se puede demostrar a partir de ella) y un teorema en dicha teoría, G, autorreferencial que afirma que “G no se puede demostrar usando la teoría T.” Si G se pudiera demostrar con los axiomas y las reglas de inferencia de T, entonces G es un teorema demostrable en T, pero entonces se contradice a sí mismo y es falso, por lo que T no puede ser una teoría consistente. Si T es consistente, entonces G es verdad y no se puede demostrar en T, es decir, T no es completa. En este sentido G es verdad pero indemostrable. La teoría T debe ser incompleta, hay afirmaciones verdaderas que no son demostrables. En general, en toda teoría habrá afirmaciones verdaderas (nadie sabe si todas serán autorreferenciales) que no son demostrables. Más aún, habrá infinitas verdades no demostrables, ya que añadir cualquier verdad no demostrable a la teoría conducirá a una nueva teoría con nuevas verdades indemostrables. El poder de lo autorreferente.

Una rosa azul para mi mujer en el día de San Valentín (o qué regalar en San Valentín el próximo año)

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La primera “rosa azul” del mundo. Fotos de Toru Yamanaka
La rosa azul es símbolo de lo utópico, quizás porque es difícil de producir, aunque se pondrá a la venta en el año 2009, gracias a las técnicas de modificación genética. Al menos así lo afirmó la compañía japonesa Suntory el 5 de febrero. Aunque se espera que sean caras, quizás le regale una a mi mujer el próximo año por San Valentín, “fiesta” epistolar por excelencia en europa durante el siglo XIX, importada más tarde a EEUU, desde donde retornó a nosotros aún más tarde.

La compañía japonesa Suntory colabora con la compañía australiana Florigene (Melbourne), especializada en la investigación de la modificación de los colores de las flores gracias a los genes de la red metabólica de la antocianina, en el programa “la rosa azul”. Las antocianinas son los pigmentos más habituales en las flores y se localizan en las vacuolas de las células epidérmicas de los pétalos. Desafortunadamente las rosas naturales no tienen ningún pigmento azul. Florigene ha utilizado técnicas de clonación (modificación genética) para alterar dicha vía metabólica, insertando el gen de la delfinidina (de color azul) y para silenciar el gen de la reductasa de dihidroflavonol (utilizando técnicas de RNAi de CSIRO), para lograr la tan deseada rosa azul (el “grial” de los floristas).

Las fotos de la “rosa azul” publicadas por TokyoTimes en realidad no son tan azules como uno esperaría. Un análisis del color (vía lo foto) nos muestra que el color RGB es aproximadamente 112, 104, 177 (29% rojo, 26% verde, 45% azul), es decir, más próximo al violeta (o lila)

La compañía Suntory lo sabe y ha afirmado que seguirán investigando para conseguir que la rosa azul sea más azul aún (todavía queda mucho para esto). Para que todos tengamos “sueños azules” en San Valentín, hoy en día, una gran fiesta para los Grandes Centros Comerciales y las Grandes Superficies (aunque este año con la “crisis” en ciernes, no sé que “opinarán” nuestros bolsillos).