Pierre Deligne, Premio Abel 2013

Pierre Deligne, matemático belga de 69 años, que demostró la conjetura de Weil en 1973 y obtuvo por ello la medalla Fields en 1978, ha recibido hoy el Premio Abel 2013, un premio de la Academia Noruega de Ciencias y Letras que «imita» a los Premio Nobel de la Academia Sueca en periodicidad y dotación (casi un millón de dólares), pero que se concede sólo a matemáticos. Deligne trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) en Princeton, Nueva Jersey, ha ganado el premio «por sus contribuciones seminales a la geometría algebraica y por su impacto transformador en la teoría de números, teoría de representaciones y esferas conexas.» Tim Gowers ha vuelto a ser elegido para presentar el premio. Deligne trabaja en geometría algebraica campo que estudia las variedades algebraicas, es decir, las hipersuperficies en varias dimensiones que se describen median las soluciones de una ecuación algebraica (un polinomio multivariable igual a cero); por ejemplo, una circunferencia de radio r puede ser descrita como la solución de la ecuación algebraica x² + y² = r². Había cuatro conjeturas de Weil, siendo la cuarta la más difícil, la demostrada por Deligne, que está relacionada con la hipótesis de Riemann. A finales de los 1970 se pensó que el trabajo de Deligne abría una nueva línea de ataque a la hipótesis de Riemann y despertó mucho interés en la comunidad. Deligne se basó en el trabajo de su mentor, el matemático de origen alemán Alexander Grothendieck, que demostró la segunda conjetura de Weil en 1965 y obtuvo por ello la Medalla Fields en 1966. En 1988, Deligne y Grothendieck recibieron el Premio Crafoord de la Real Academia Sueca de las Ciencias. El anuncio del premio «styleBelgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner,» Abel Prize, 2013. Obviamente, la noticia está en todos los medios. La foto la he extraído de Philip Ball, «Belgian mathematician rewarded for shaping algebra. Pierre Deligne nets Abel Prize for proving a deep conjecture about algebra and geometry,» Nature News, 20 March 2013.

PS: Tim Gowers presentó el Premio Abel. Su charla la puedes leer en «The Work of Pierre Deligne.» Más información sobre la función tau de Ramanujan y sobre las conjeturas de Weil (también recomiendo leer esto y esto otro).

Endre Szemerédi ha ganado el Premio Abel 2012

Endre Szemerédi ha ganado el Premio Abel 2012 “por sus contribuciones a los fundamentos de la matemática discreta y la informática teórica, así como por sus profundas contribuciones en teoría aditiva de números y teoría ergódica.» Los detalles de la cita del premio y la charla de Tim Gowers sobre el trabajo de Endre aclaran los motivos del merecido Premio (la charla está disponible en vídeo). ¿Qué puedo decir? Poco, ya que ya se ha dicho casi todo. Recomiendo leer a ^DiAmOnD^, «Endre Szemerédi: una leyenda viva de las matemáticas,» Gaussianos, 21 marzo 2011, y «Endre Szemerédi, premio Abel 2012,» Gaussianos, 22 marzo 2012; Instituto de Ciencias Matemáticas, «Endre Szemerédi, Premio Abel 2012,» Madri+d, 21 marzo 2012; «Premio Abel 2012 para el matemático Endre Szemerédi, teórico de la computación,» SINC/ICMAT, 21 marzo 2012.

Diagrama de bloques de la demostración original del Teorema de Szemerédi (1975).

Endre Szemerédi es el digno sucesor de Paul Erdős, su mentor y descubridor en Budapest (le llamaban el «chico» («Srac») de Erdős); igual que él, nunca recibió la Medalla Fields. Su teorema más famoso, llamado teorema de Szemerédi (el artículo original), resolvió una  famosa conjetura de Erdős-Turán, demostrando que en todo conjunto de enteros infinito (suficientemente grande) existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Una progresión aritmética es un conjunto de números de la forma n, n+m, n+2m, n+3m, etc. Por suficientemente grande se entiende que la densidad del conjunto de números sea positiva, es decir, que en todo subconjunto de números de tamaño N, el número de elementos menores o iguales que N crece linealmente con N y con una constante de proporcionalidad bien definida (en el límite cuando N tiende a infinito). Klaus Roth recibió la Medalla Fields en 1958 por demostrar este resultado para progresiones aritméticas de longitud 3 en 1952, pero su argumento no se podía extender a k>3. Endre Szemerédi consiguió demostrarlo para k=4 en 1967 y generalizarlo para todo k>3 en 1973 (apareció publicado en Acta Arithmetica en 1975). Szemerédi fue invitado a contar su demostración en el ICM (Congreso Internacional de Matemáticos) de 1974 en Vancouver, la única charla plenaria sobre teoría combinatoria. Hay que destacar que este resultado ha tenido importantes aplicaciones fuera de la teoría de números, en teoría ergódica.

Las contribuciones de Szemerédi a la matemática, en especial a la teoría combinatoria aplicada a grafos y algoritmos, son muy numerosas. Quizás hay que destacar el lema de regularidad de Szemerédi en teoría combinatoria extremal, que permite resolver muchos problemas de grafos que involucran grafos grandes. Este lema afirma que un grafo muy grande (con muchos vértices y muchas conexiones entre ellos) se parece bastante a un grafo del mismo tamaño, algo más pequeño, pero con conexiones aleatorias. Gracias a este lema, ciertas propiedades generales de los grafos aleatorios (expresadas en un lenguaje probabilístico) se pueden aplicar a casi cualquier grafo de gran tamaño. No entraré en más detalles.

Imre Bárány y József Solymosi escribían sobre Szemerédi en el libro «An Irregular Mind. Szemerédi is 70,»  Springer Verlag, 2010, que «su cerebro está conectado de manera diferente a la mayoría de los matemáticos; tiene una forma única de pensar, una visión extraordinaria capaz de ver más allá, de encontrar la estructura oculta en un resultado matemático, o de crear una estructura nueva completamente de la nada. Cuando trabaja con coautores, su insistencia en que dicha estructura va a funcionar es a menudo decisiva para obtener el resultado final.»

Carnaval de Matemáticas 2.2: John W. Milnor gana el Premio Abel 2011 y un bien merecido millón de dólares

Hoy a las 12:00, la Academia Noruega de Ciencias y Letras ha concedido el Premio Abel 2011 a John W. Milnor, matemático de la Universidad de Stony Brook en Nueva York, «por sus descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra.» John Milnor, profundo, imaginativo, sorprendente, ya con 80 años de edad, es todo un «monumento vivo» a la matemática en todas sus facetas. Ha trabajado en todo lo que un matemático puede trabajar: sistemas dinámicos, teorías de juegos, teoría de grupos, teoría de números, etc. Un millón de dólares (6 millones de coronas noruegas o unos 750 mil euros) a quien recibió la Medalla Fields en 1962 por sus contribuciones a la topología diferencial y a las esferas exóticas en particular. Nos lo cuentan la mayoría de los medios, como «John Milnor obtiene el premio Abel de matemáticas. El extenso trabajo de este estadounidense se caracteriza por la perspicacia, la imaginación y la belleza,» EL PAÍS, Madrid, 23/03/2011; Philip Ball, «Maths polymath scoops Abel award. John Milnor wins ‘Nobel of maths’ for his manifold works,» News, Nature, Published online 23 March 2011; «John Milnor, Premio Abel 2011,» Instituto de Ciencias Matemáticas, Madri+d, 23 marzo, 2011; «Premio Abel 2011,» DivulgaMAT, 23 de Marzo de 2011;etc.

Resumir el trabajo de Milnor es casi imposible, pero lo ha intentado Timothy Gowers en «The Work of John Milnor (pdf).» En este blog hablamos de su trabajo en «Carnaval de Matemáticas: Esferas exóticas, el invariante de Arf-Kervaire y la hipótesis del día del juicio final,» 13 febrero 2010. Por ello esto será mi segunda contribución para la Edición 2.2 (año 2, edición 2) del Carnaval de Matemáticas que se celebra del 14 al 25 de marzo de 2011 en el blog Gaussianos.

Si eres matemático disfrutarás con el vídeo de la conferencia sobre Topología Diferencial que John Milnor impartió en 1965 («Differential Topology,» The Earle Raymond Hedrick Lectures, 1965).

Si eres, o incluso si no eres, matemático disfrutarás con el vídeo de la conferencia de John Milnor, «Geometry of Growth and Form,» Institute for Advanced Study’s celebration of its eightieth anniversary, September 24, 2010. John discute si una transformación conforme permite relacionar la forma de diferentes especies de seres vivos que estén relacionadas entre sí; realmente curiosa.

PREMIO ABEL concedido a la teoría de grupos

El estadounidense John G. Thompson y el francés Jacques Tits han sido distinguidos hoy con el premio Abel, considerado el Nobel de las matemáticas, por sus logros en el campo de la Teoría de Grupos, campo que podemos afirmar que nació tras el duelo a muerte que acabó con la vida de Evariste Galois, a los 20 años de edad, pero quien la noche anterior al duelo, temiendo lo peor, trató de revolucionar el conocimiento matemático sobre cuándo las raíces de polinomios se pueden expresar utilizando operaciones elementales, cosa que había descubierto pero no publicado, basándose en ciertos grupos de simetría de los polinomios, que se representaban mediante unos objetos matemáticos «curiosos», los grupos resolubles. La teoría de Galois es sin lugar a dudas el nacimiento de la moderna teoría de grupos.

Los trabajos de Thompson y Tits han sido fundamentales para obtener la clasificación de todas las representaciones de grupos finitos, que modelan las transformaciones de simetría discretas (como las de los polígonos simétricos de n lados).

Uno de los grandes logros de Thompson, junto al fallecido Feit (que también merecería el Abel), fue probar el Teorema del Orden Impar, mostrar que muchos grupos de simetría finitos se pueden descomponer en cierto tipo de grupos «primos», igual que la descomposición en números primos de los números naturales. Ello permitió concebir que se podría obtener una clasificación completa de los grupos finitos si se lograban clasificar estos grupos finitos «primos» (una especie de Tabla de los Elementos para los Grupos Finitos). El artículo de Thompson-Feit publicado en 1963 tenía 255 páginas y en aquel momento fue la demostración más larga de un teorema hasta entonces publicada. Además, fue el inicio de una serie de artículos de cientos de páginas para clasificar a los grupos más difíciles, los llamados «monstruos» (grupos «esporádicos», que han de ser estudiados uno a uno). El mayor de ellos, llamado «El Monstruo», culminación del trabajo de Thompson y Tits es un objeto en 26 dimensiones tan intrincado que sólo se puede «ver» bien en un espacio de 196883 dimensiones y que tiene más simetrías internas que átomos hay en el Sol.

Gracias a Thompson y Tits, hoy pensamos que ya se ha completado la clasificación de todos los grupos finitos. Si se escribe dicha clasificación ocupará más de 10000 páginas de desarrollos matemáticos complicados. Quizás la mayor obra de la Matemática en toda la historia.

Si te gusta (o gustó) el cubo de Rubik, para su resolución, «lo más natural» es aplicar la teoría de grupos. Aunque si no la conoces te diviertes más resolviéndolo.