No se sabe si todos los números naturales están en Pi (o sobre los números anormales)

Todos los números están en Pi,” Microsiervos.com, nos recuerda que todos los números naturales estarían contenidos en la expresión decimal del número Pi, que es un número irracional y trascendente, si fuera un número normal. No se sabe si Pi es un número normal. Más aún, si fuera cierto, todo número natural estaría repetido en la expresión decimal de Pi infinitas veces.

Un número irracional es normal en base b si todos los números naturales escritos en base b aparecen infinitas veces en su represenatación (con infinitos dígitos) en base b (los matemáticos preferirán una definición más técnica). Un número irracional es (absolutamente) normal si lo es en todas las posibles bases b. Borel demostró en 1909 (la idea original es de 1898) que todo número irracional en [0,1] (y por ende, todo número real irracional) es normal con probabilidad 1, es decir, “lo normal es que un número irracional sea normal.” Turing también lo demostró pero no lo publicó (se publicó en 1992). El primer ejemplo explícito de número normal fue introducido por Sierpinski en 1916. Obviamente, lo normal es que un número normal no sea computable (como le ocurre a los números reales). Que yo sepa el único número normal que se haya demostrado que no es computable es la constante de Chaitin.

¿Es Pi un número normal en alguna base? No se sabe. Mucha gente cree que sí, pero hay que demostrarlo. ¿Por qué? Porque a los matemáticos les gusta demostrar estas cosas. Sí, pero no. Se ha demostrado que existen números irracionales (absolutamente) anormales. El primero fue encontrado por Greg Martin, “Absolutely Abnormal Numbers,” The American Mathematical Monthly 108: 746-754, 2001 (ArXiv preprint).

¿Podría ser Pi un número anormal? Sí, hasta que no se demuestre lo contrario (que es normal). Los interesados en más información sobre constantes famosas que pueden o no ser normales les recomiendo el artículo de David H. Bailey and Richard E. Crandall, “On the Random Character of Fundamental Constant Expansions,” Experimental Mathematics 10: 175-190, 2001. Los interesados en la historia de los número normales durante el s. XX disfrutarán de Glyn Harman, “One hundred years of normal numbers,” que se puede leer gracias Google Books. También disfrutaréis del breve artículo de Davar Khoshnevisan “Normal Numbers are Normal,” 2006.

Dibujo20090705_Generalized_by_Entire_Functions_of_Champernowne_and_Copeland_Erdos_normal_numbers

Uno de los números normales (en base 10) más famosos es el de David Champernowne (1933), buen amigo de Alan Turing, que ves arriba (que “Champ” publicó cuando era estudiante de matemáticas, antes de acabar la carrera). Obviamente, demostrar que es un número normal es trivial en base 10, por construcción, pero ¿es normal en otras bases? Que yo sepa, nadie lo sabe aún, por cierto, el número se ha demostrado que es irracional transcendente. El genial Erdös, con Copeland, encontró un número normal (en base 10, no se ha demostrado que sea absolutamente normal) casi maravilloso, que también veis arriba (sus dígitos son los de los números primos). En trabajos posteriores, Erdös demostró que las dos construcciones de más arriba (las dos primeras líneas de la figura) con una función f que sea un polinomio también conduce a un número normal (en base 10). Recientemente se ha demostrado cómo generalizar dicha demostración cuando f es una función entera (de orden logarítmico), en Manfred G. Madritsch, Jörg M. Thuswaldner, Robert F. Tichy, “Normality of numbers generated by the values of entire functions,” Journal of Number Theory 128: 1127-1145, May 2008 (copia gratis).

¿Qué pasaría si f fuera un algoritmo? En dicho caso, Pi sería un número normal, ya que podemos construir un algoritmo que calcule el n-ésimo dígito de su desarrollo decimal (en cualquier base). No parece fácil seguir esta línea de razonamiento pero a mí se me antoja prometedora. Debe ser que no trabajo en teoría de números.

“Pi,” la película. La visión de un matemático

dibujo20081115piPara un matemático, las películas sobre matemáticos tienen un atractivo especial, y entre ellas destaca “Pi” de Darren Aronofsky, que nos presenta a un matemático Maximilian Cohen (interpretado por Sean Gullette), más parecido a un esquizofrénico paranoico que un investigador serio, quien pretende entender el comportamiento caótico de la bolsa utilizando teoría de números. Cuando escuchamos la voz en off de Max afirmando que “la matemática es el lenguaje de la Naturaleza, … hay patrones por todas partes en la Naturaleza, … y también en los mercados bursátiles,” me viene a la cabeza el libro “La geometría fractal de la Naturaleza” (1977, traducido en Tusquets Editores en 1997) de Benoit Mandelbrot, matemático de IBM que acuñó el término fractal. Pero, ¿hay comportamiento fractal en la bolsa?

A finales de la década de 1920, Raph Nelson Elliott descubrió que los mercados siguen ciclos repetitivos y desarrolló una estructura fractal para modelarlos, la teoría de ondas de Elliot. Existen dos tipos de ondas que se suceden entre sí las impulsivas y las correctivas. Las primeras están formadas por 5 ondas, 3 impulsivas y 2 correctivas; las segundas están formadas por 3 ondas, 2 correctivas y 1 impulsiva. Todas estas ondas están formadas por ondas más pequeñas, que a su vez están formadas por ondas aún más pequeñas, y así sucesivamente. Se denomina fractal a un objeto geométrico que se repite a sí mismo a múltiples escalas (siglos, décadas, años, meses, días, horas… en el caso de la bolsa). ¿Y qué tiene que ver esto con la teoría de números que usa Max en la película?

La sucesión de números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, donde un número es la suma de los dos anteriores, se denominan números de Fibonacci. Estos números aparecen en la teoría de ondas de Elliott cuando se cuentan el número de ondas a una escala determinada. ¿Y hay algún número “mágico” que pueda descubrir Max en la película? Claro que sí, el cociente entre dos números de Fibonacci sucesivos, 55/34, 144/89, … tiende en el límite hacia una constante, 1.618, llamada número dorado (la mitad de la suma de uno más la raíz cuadrada de dos). Este número es descubierto por Max mientras dibuja espirales dentro de rectángulos, ¿por qué?

dibujo20081115spiralEl número de dorado es la razón entre los lados de un rectángulo dorado, que es la unión de un cuadrado y un rectángulo dorado más pequeño. La espiral dorada, descubierta por Pitágoras, se dibuja fácilmente trazando un arco de circunferencia inscrito en cada uno de los cuadrados de esta sucesión infinita. ¿Y qué tiene que ver el número pi (3.1416) con todo esto? Realmente poco, el maestro de Max, Sol Robeson (interpretado por Mark Margolis) dice haber dedicado su vida a descubrir el patrón que siguen los decimales de pi. Desde el siglo XIX se sabe que los números irracionales como pi no tienen patrón alguno, cualquier sucesión de dígitos puede encontrarse entre los dígitos de pi. Por ejemplo, el número 05111969 aparece por primera vez a partir del decimal número 94955679.

Otra visión sobre el mismo tema “Π: Fe en el Caos.”

PS: Me regalaron el DVD original de la película, hace ya unos años. Lo he buscado, y no lo tengo, … he recordado que lo presté, … y no me lo han devuelto. No prestes películas en DVD original. Haz una copia “pirata” y regala la copia. Ahora, lo único que tengo es una copia “pirata.” Ahora, ya “me aplico el parche.”

Interesante historia de las fórmulas y algoritmos para pi

El artículo de Jesús Guillera Goyanes, “Historia de las fórmulas y algoritmos para pi,” Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, 10(1):159-178, 2007, nos presenta algoritmos y fórmulas tan interesantes como los de Arquímedes, Viete, Wallis, Newton, Comtet, Gregory, Leibniz, Machin, Euler, e incluso Gauss y Ramanujan. Los algoritmos de Borwein están entre los más eficientes. El artículo acaba de ser traducido al inglés (“History of the formulas and algorithms for pi,” Jesus Guillera, ArXiv preprint, 5 Jul 2008 ).

A los interesados en el artículo también les gustará la propia tesis doctoral del autor, “Series de Ramanujan: Generalizaciones y conjeturas,” defendida el 2 de julio de 2007. El trabajo de Ramanujan todavía nos deparará muchas más sorpresas en el futuro.

Tampoco me puedo resistir a recomendaros el artículo “Fun with Fourier series,” Robert Baillie, ArXiv preprint, submitted on 1 Jun 2008 , del que extraigo la figura de abajo, como botón de muestra.