La paradoja de los gemelos en un espaciotiempo arbitrario según la relatividad general

Jean-Pierre Luminet, poeta, escritor, divulgador científico, astrofísico, experto mundial en agujeros negros y relatividad general, lleva tiempo sin copar los titulares de las noticias en los medios, desde que propuso su modelo dodecaédrico de Poincaré para el universo, portada en Nature el 9 de octubre de 2003. Los desmemoriados deberían volver a leer el News & Views del sudafricano (no confundir con el del CERN) George F. R. Ellis, “Cosmology: The shape of the Universe,” [gratis aquí], el artículo original Jean-Pierre Luminet et al., “Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background,” [gratis aquí] y sus secuelas, la comparación con los últimos datos del fondo cósmico de microondas del WMAP3 en S. Caillerie et al., “A new analysis of the Poincaré dodecahedral space model,” en 2007 [en ArXiv], y la versión divulgativa del propio autor, Jean-Pierre Luminet, “The Shape and Topology of the Universe,” en 2008. Jean-Pierre ha recopilado muchas noticias sobre su universo aquí.

Dibujo20091101_twin_paradox_torus_universeJean-Pierre ha publicado poco en ArXiv desde entonces, sólo algunos artículos epistemológicos sobre la Historia de la Gran Explosión y el Fin de la Física. Por ello me ha sorprendido hoy con un curioso artículo sobre la paradoja de los gemelos en un universo de geometría y topología arbitraria, J.-P. Luminet, “Time, Topology and the Twin Paradox,” ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009, aunque en realidad es una secuela “digerible” de un artículo anterior, Jean-Philippe Uzan, Jean-Pierre Luminet, Roland Lehoucq, Patrick Peter, “Twin paradox and space topology,” Eur. J. Phys. 2002 [gratis en ArXiv].

La “paradoja” de los gemelos tiene fácil “resolución” en un espaciotiempo plano (en el marco de la relatividad especial), gracias a que el gemelo que viaja tiene que acelerarse (cambiar su velocidad) para cambiar de dirección y poder regresar. El análisis en relatividad general es más complicado ya que, por un lado, estas aceleraciones son equivalentes a campos gravitatorios, lo que provoca un retraso adicional de los relojes, una dilatación temporal gravitatoria, y por otro lado, no es necesaria ninguna aceleración para explicarla en un espaciotiempo compacto, en el que el gemelo puede regresar dándole una vuelta a todo el universo sin cambiar su velocidad.

En un universo con una topología múltiplemente conexa, como el toro de la figura de la izquierda, la explicación de la “paradoja” se encuentra en la propia topología. Hay trayectorias “convencionales” como la número 2, que implican aceleraciones, pero también hay trayectorias como la 3 y la 4 que no las requieren. En estas trayectorias la asimetría entre ambos gemelos que explica la “paradoja” se encuentra en el hecho de que las trayectorias que siguen no son homotópicamente equivalentes. El índice (en inglés winding number) de las trayectorias 2, 3 y 4 es (0,0), (1,0) y (0,1) , con lo que si cada gemelo sigue una trayectoria con diferente índice se produce la dilatación que explica que el que se mantiene en reposo envejezca más rápido que el que se va de viaje. La homotopía y la topología al auxilio del físico relativista que trata de explicar la paradoja de los gemelos en relatividad general. Los cálculos en detalle son complicados pero las ideas son muy sencillas.

PS (3 noviembre 2009): Un nuevo artículo de Jean-Pierre sobre la simetría y la belleza en el arte, en la ciencia y en la astronomía puede ser de interés para muchos de los lectores: J.-P. Luminet, “Science, Art and Geometrical Imagination,” ArXiv, 2 Nov 2009.

Un viaje a Vega, una estrella cercana (o la paradoja de los gemelos en Relatividad)

Vega es la estrella más brillante de la constelación de la Lira, siendo la quinta estrella más brillante de todo el firmamento (desde España es sólo la tercera visible más brillante, tras Sirio y Arturo). Forma parte del triángulo de estrellas característico del verano, si eres aficionado a la Astronomía ya lo sabrás, junto a Deneb (en el Cisne) y Altair (en el Águila). Se encuentra en nuestro entorno local (muy cerca de nosotros), sólo a unos 25,3 años luz de distancia.

¿Cómo sería un viaje “relativista” hasta Vega desde la Tierra? El artículo de Thomas Müller, Andreas King, and Daria Adis, “A trip to the end of the universe and the twin “paradox”,” American Journal of Physics, Vol. 76, No. 4, pp. 360-373, April 2008, ArXiv Preprint, nos cuenta los detalles (que aquí presentaremos sin la matemática asociada, por otro lado, no muy difícil, cinemática relativista “elemental”). Los autores han desarrollado un código JAVA (Applet) para hacer los cálculos junto con otros programas que también serán de vuestro interés.

Ernesto (radioastrónomo) es el hermano gemelo de Teresa (astronauta), quien ha sido seleccionada para el primer viaje a Vega. Para hacer más confortable el viaje, se ha diseñado la nave para que acelere a 1g (9.81 m/s²) con lo que el viaje de ida y vuelta durará (para Teresa) 12.93 años (terrestres), aunque, por la ditación del tiempo relativista (paradoja de los gemelos), Ernesto necesitará 54.48 años para volver a ver a su hermana (en la Tierra). El viaje de Teresa se ha diseñado en 4 fases. La siguiente figura muestra la trayectoria espaciotemporal o viaje de Teresa visto por Ernesto en la Tierra (supuesta en reposo, es decir, supuesto
despreciable el movimiento rotacional de ésta respecto al Sol). Teresa iniciará su viaje en el punto (1), acelerará hasta alcanzar su velocidad máxima en el punto (2), donde empezará a desacelerar hasta pararse completamente en el punto (3), ya en Vega, donde pasará sólo unas horas (tiempo que consideraremos despreciable); el retorno será a la inversa, acelerará en dirección a la Tierra hasta el punto (4) desde donde desacelerará hasta su retorno a la Tierra, en (5). Los círculos pequeños en la figura muestran los momentos en los que Teresa envía una señal hacia la Tierra (indicando que se encuentra bien y disfruta del viaje). Ni Teresa envía estas señales a intervalos periódicos en su reloj local, ni Ernesto las recibe equiespaciadas. La figura muestra que la línea espaciotemporal de Teresa es prácticamente recta. Hemos supuesto que la nave de Teresa acelera suavemente, alcanzando el 80% de la velocidad de la luz tras el primer año de viaje. La velocidad máxima de Teresa se alcanza en el punto (2), en concreto un 99.75% de la velocidad de la luz.

¿Qué es lo que ve Ernesto desde “casa”? Como la distancia entre ambos gemelos crece, las señales que envía Teresa necesitan cada vez más tiempo para llegar a Ernesto. De hecho, Ernesto recibirá la mayoría de las señales de Teresa cuando ella ya esté en la parte final de su viaje de retorno hacia la Tierra. Por ejemplo, una señal enviada por Teresa desde la nave a los 3 años de viaje (en su tiempo propio), cuando se encuentra a 10 años luz de distancia de la Tierra, es recibida por Ernesto (en el tiempo propio de la Tierra) a los 20 años. De hecho, en el momento de recepción de la señal, Teresa ya se encuentra a 19 años luz de la Tierra y según el reloj de la nave han transcurrido 4 años de su viaje. Ver la figura de arriba.

La figura de arriba muestra la relación entre los relojes de tiempo propio de Ernesto (eje de abcisas) y Teresa (eje de ordenadas). Como vemos es una curva “no lineal”.

¿Quieres diseñar tu propio viaje interestelar? El código JAVA de los autores os permite calcular estas figuras y otras para otros viajes. Anímate.

¿Qué vería Teresa cuando viajara hacia Vega? El fondo de estrellas, pero alterado relavistamente. Los autores también presentan un código Java para que nos imaginemos qué es lo que vería Teresa. Si te apetece experimentar, ánimo.

Más sobre la paradoja de los gemelos en castellano.

Noticia sobre la paradoja de los gemelos (ArXiv Preprint del artículo citado en la noticia).

¿Permite la paradoja de los gemelos permanecer “eternamente” jóvenes?.