Nueva ecuación para la propagación de ondas en el Mar de Alborán

En el Mar de Alborán, entre la costa andaluza y la norteafricana, las aguas del mar están divididas en capas según la profundidad ya que penetra agua del Atlántico a través del Estrecho de Gibraltar, formando una capa encima del agua, más salada, del Mediterráneo. En el interfaz entre ambas capas se observa un cambio rápido en salinidad (haloclina), en temperatura (termoclina) y en densidad (picnoclina) que permite la formación de ondas (solitones), llamadas ondas de aguas profundas, que son visibles en fotografías espaciales (desde satélites y transbordadores espaciales). En este blog podréis leer también “Solitones en el Estrecho de Gibraltar (o cómo se ven las ondas internas en el Estrecho desde el espacio),” 8 Mayo 2008, y “Demostración en laboratorio para estudiantes de la existencia de ondas solitarias internas en el Estrecho de Gibraltar,” 9 Enero 2009.

Un modelo del Mar de Alborán requiere considerar varias capas simultáneas en profundidad, la topografía del fondo marino y la geometría de la costa. Incluso despreciando estas dos últimas, el modelado matemático de las ondas en este sistema multicapas presenta ciertas dificultades. Las ecuaciones más utilizadas son la versión multicapa de las ecuación de aguas someras (shallow water), pero se han introducido ciertas simplificaciones de las mismas, como las basadas en la ecuación Green-Naghdi (1976) y su extensión multicapa (1999) (Multilayer Green-Naghdi o MGN). Sin embargo, estas últimas tienen problemas de estabilidad y están mal puestas (ill-posed) para ciertas condiciones de contorno. Este es un gran problema desde el punto de vista numérico ya que el método numérico hereda estas inestabilidades y las amplifica, resultando muy difícil obtener soluciones correctas en integraciones durante mucho tiempo. Una nueva ecuación que resuelve estos problemas ha sido introducida en el reciente artículo de Cotter, Holm y Percival, la llamada ecuación de aguas profundas de la raíz cuadrada (Square Root Depth Wave Equation o SRDWE). Los autores le llaman ecuación √D, donde D alude a la profundidad. El artículo técnico es Colin C. Cotter, Darryl D. Holm, James R. Percival, “The Square Root Depth Wave Equations,” ArXiv, 11 Dec 2009.

La nueva ecuación (o sistema de ecuaciones en el caso multicapa) resuelve los problemas de la ecuación MGN y preserva todas sus ventajas. La ecuación puede parecer compleja en el caso multicapa (ver el artículo técnico) así que os mostraré la versión monocapa:

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=-g\nabla\left(D-b\right)-\frac{d^{2}}{6}\nabla\left(\frac{1}{\sqrt{D}}\frac{\partial^{2}\sqrt{D}}{\partial t^{2}}\right).

\frac{\partial D}{\partial t}+\nabla\cdot D\mathbf{u}=0,

donde \mathbf{u} y D son el campo de velocidad en la capa y la profundidad. Esta ecuación tiene estructura hamiltoniana y es linealmente estable (como demuestra el análisis de dispersión presentado en el artículo). Desafortunadamente, aunque era de esperar, la expresión analítica exacta de sus ondas solitarias no se ha obtenido aún y parece difícil que logre obtenerse (aunque numéricamente es fácil de obtener). A los que como yo estamos interesados en los métodos numéricos aplicados a la propagación de ondas no lineales en problemas fluidodinámicos nos parece una contribución muy interesante. Una ecuación más para analizar numéricamente. Otra más de Darryl D. Holm. A los demás, no sé, …

Picones (peakons): ondas no lineales y la mar picada

Dibujo20090901_peakon_trains_formation_from_gaussian_initial_data

“Tú, la mar y un vino.” No es necesario que la mar esté picada para que observemos en alta mar que las olas no son ondulaciones suaves, sino que presentan picos puntiagudos. En estos picos, la derivada matemática de la superficie del mar no está definida. La ausencia de derivada, aunque sólo sea en ciertos lugares, complica mucho el modelado matemático de las olas en alta mar. Camassa y Holm descubrieron en 1993 una ecuación en derivadas parciales que modela la propagación de ondas (singulares) con picos, que llamaron “solitones picados” (peaked solitons), que hoy llamamos “picones” (peakons). Dicha ecuación es integrable, se puede escribir matemáticamente su solución general, demostrándose que cualquier onda acaba descomponiéndose en un tren (una serie) de picones (como muestra la figura que ilustra esta entrada). La ecuación de Camassa-Holm se puede derivar asintóticamente a partir de las ecuaciones de Euler para un fluido utilizando la aproximación de aguas someras (shallow water). Un buen resumen sobre la teoría de picones lo podéis encontrar en Darryl D. Holm, “Peakons,” Encyclopedia of Mathematical Physics 4: 12-20, 2006 (ArXiv preprint, 29 Aug 2009). El artículo original de Roberto Camassa y Darryl D. Holm, “An integrable shallow water equation with peaked solitons,” Phys. Rev. Lett. 71: 1661-1664, 1993 (ArXiv preprint, 13 May 1993).

Los aficionados a la matemática aplicada y a la física de ondas no lineales, o quienes al menos sepan qué es la ecuación de Korteweg-de Vries, disfrutarán con el artículo de Holm, muy bien ilustrado y con una matemática bastante asequible (al menos para mí, que me dedico a estos temas). Los demás se pueden conformar con saber que la mar picada ya forma parte de la realidad que la matemática es capaz de describir con precisión.

Por cierto, una pregunta, ¿sabes lo que es la inestabilidad (modulacional) de Benjamin-Feir?

Volando por encima de la barrera del sonido (o no haciéndolo, quién sabe)

Espectacular video en el que un avión de combate “vuela” a la velocidad del sonido. La onda de choque que rodea al avión supersónico (F-14) comprime el aire tanto que provoca que la humedad ambiental forme una nube de vapor (el cambio brusco de presión causa que la temperatura baje brúscamente, lo que si hay humedad en el ambiente provoca que el vapor de agua se condense en gotitas que conforman la nube que vemos). Precioso.

Bueno, seamos fieles a la verdad, el avión del video no está volando ni a la velocidad del sonido ni por encima de ella, sino por debajo. ¿Cómo? Técnicamente, la nube de condensación de Prandtl-Glauert se puede formar fácilmente a velocidades altas, pero inferiores a la velocidad del sonido. No puede considerarse una “prueba” de que el avión de combate vuela por encima de la barrera del sonido o de que ha roto dicha barrera.

De hecho, normalmente, los contenidos de humedad necesarios para que se produzca este fenómeno se suelen dar a “baja” altura y los aviones supersónicos tienen prohibido volar tan bajo (salvo en caso de conflictos bélicos, etc.). En cualquier caso, qué bonito es disfrutar de este precioso fenómeno.

El “sonic boom” sobre Málaga y los “eurofighters” del Ministerio de Defensa Español

Muchos se han sobresaltado esta mañana, a las 9:50 horas, en la Costa del Sol. Se han escuchado dos explosiones intensas sin que fuera fácil determinar de dónde provenían. “Ruído ensordecedor y seco que llegó a hacer temblar muchos cristales alarmando a los ciudadanos. Muchos optaron por llamar a la policía y a emergencias temiendo que podría ser un atentado. Otros llamaron a sus amigos y familiares. La red telefónica fija y móvil se colapsó durantes unos minutos. Ya ocurrió lo mismo en el año 2000. Muchos medios se han hecho eco de la noticia, no sólo el Diario Sur (el periódico más vendido en la provincia de Málaga) sino también El Mundo y El País. La causa oficial, dos aviones de combate supersónicos, modelo Eurofigther (las fotos son del modelo Typhoon de nuestro Ejército del Aire), que volaban (a unos 37.000 pies) por encima de la velocidad del sonido (unos 1200 km/h). Esta altura es legal. Es decir, no se les ha escuchado porque volaban “bajo”, volaban “a su altura”.

¿Por qué se ha escuchado tan fuerte y con tanta potencia (han vibrado cristales)? Según el periódico El Mundo, citando como fuente el Ministerio de Defensa, “al parecer las condiciones climatológicas [serán meteorológicas] han favorecido que el normal estruendo que se origina cuando se supera [será cuando se vuela con una velocidad superior a] la barrera del sonido se haya multiplicado. [Los periodistas, ya se sabe].”

Lo primero que me gustaría recordar es que el sonido del “sonic boom” no se produce cuando el avión atraviesa la barrera del sonido y luego se apaga. Es permanente mientras el avión vuele por encima de dicha velocidad. Se debe a una onda de choque (cambio brusco de la presión) en un gran cono que tiene su vértice en el avión. Escuchamos un “boom” cuando el cono sónico a la altura del suelo pasa por encima de nuestras cabezas. Por eso parece que empieza y acaba. Pero es permanente mientras el avión vuela, acompañándolo durante su vuelo. El primer dibujo en la entrada de la wiki lo aclara muy bien.

Lo segundo, que la velocidad a la que se rompe la barrera del sonido (vuelo supersónico) depende de la altura de vuelo, ya que la temperatura afecta a la velocidad del sonido. Los aviones de combate a 37000 pies de altuna, unos 11.2 km, vuelan cerca de la frontera entre la troposfera (donde vivimos) y la tropopausa, donde el aire tiene unos -60 ºC. La velocidad del sonido en el aire a unos 20ºC es de unos 340 m/s, pero a 0ºC es de 331 m/s y a -60ªC es sólo de 272 m/s, es decir, el eurofighter habrá superado la barrera del sonido (y volará a más de Mach 1.0) por encima de los 979 km/h (mucho menos de los más de 1200 km/h que proclaman muchos periodistas). De hecho los eurofighter pueden volar a Mach 2.0, a esa altura, unos 1900 km/h.

Los “boom sónicos” son ondas de choque débiles y a la altura del suelo pueden generar una cambio brusco de presión de hasta 100 Pascales. Dependiendo de las condiciones atmosféricas y de la trayectoria del vuelo, la onda de choque durante el vuelo supersónico puede alcanzar al oyente en tierra de varias formas, la más típica un boom primario. La forma de la curva de presión en este boom es una onda de choque doble en forma de N (onda-N o N-wave), caracterizada por dos incrementos bruscos de la presión de hasta 100 pascales, separados por de 1 a 3 décimas de segundo, con niveles sonoros audibles de entre 114-134 dB (decibelios). El boom sónico primario sorprende porque es inesperado. Sobre todo en el Sur de España donde no es habitual que las condiciones meteorológicas sean las adecuadas. La figura muestra el número de días (en función de la meteorología diaria durante el año 2000) en los que NO se podría escuchar en tierra (en el suelo) el boom sónico (si sobrevolara un avión supersónico, algo que tampoco ocurre todos los días). La figura proviene del estudio alemán Martina Kästner and Dietrich Heimann, “SOUND PROPAGATION OF SONIC BOOMS THROUGH REAL ATMOSPHERES EMITTED FROM A NEW SUPERSONIC BUSINESS AIRCRAFT,” en los Proceedings del ICAM2007. Los autores han utilizando técnicas de trazado de rayos para seguir la posición de la onda de choque en función de las condiciones meteorólogicas diarias.

¿Por qué a veces escuchamos el boom sónico y otras veces no? El cono de sónico no es uniforme, porque la temperatura desde 11 km hasta la Tierra cambia (decrece) linealmente y la velocidad del sonido se incrementa linealmente, lo que introduce una deformación en el cono (el “sonido” se refracta en al atmósfera). El artículo de Reinhard Blumrich, François Coulouvrat, Dietrich Heimann, “Variability of focused sonic booms from accelerating supersonic aircraft in consideration of meteorological effects,” The Journal of the Acoustical Society of America, 118:696-706 , 2005 , estudia en detalle cómo afectan las condiciones meteorológicas en la audición del boom sónico [página web de Heimann].

Solitones en el Estrecho de Gibraltar (o cómo se ven las ondas internas en el Estrecho desde el espacio)

Estas fotos desde los satélites ERS de la ESA (las blanco y negro) y desde la Estación Espacial Internacional, ISS de la NASA (la foto a color tomada por un astronauta a bordo) nos muestran los efectos en la superficie de la propagación de trenes de ondas internas. Las ondas internas son ondas en el interior del océano (o de un mar) y se dan cuando el volumen de agua está estratificado, es decir, tiene capas de diferente densidad. Las ondas internas se producen en la interfase entre ambos estratos de agua. La imagen por satélite (mucho más “poderosa” que las técnicas basadas en radar en superficie) ha permitido una comprensión muy detallada de este fenómeno. Un revisión reciente aparece en Alpers W., Brandt P., and Rubino A., “Internal Waves Generated in the Straits of Gibraltar and Messina: Observations from Space,” in V. Barale and M. Gade (Editors), “Remote Sensing of the European Seas”, Springer, 319-330, 2008.

En el Mar de Alborán, entre la costa Andaluza y la Norteafricana, estas ondas internas son debidas a la interacción entre el flujo de agua entrante/saliente y la compleja topografía del fondo marino. De hecho, el flujo medio entrante está compuesto de dos capas con flujos en direcciones opuestas, la capa superior de agua Atlántica que fluye hacia el Mediterráneo, y la inferior de agua del Mediterráneo que fluye en dirección hacia el Océano Atlántico. La profundidad media del a interfase entre estas dos capas varía de unos 80 m en el lado Mediterráneo a unos 800 metros en el lado Atlántico. El agua del Atlántico y el agua del Mediterráneo tienen diferente salinidad, la del Mediterráneo, que fluye por abajo, tiene 38 PSU, y la del Atlántico, que fluye por arriba, tiene sólo 36 PSU. El cambio relativo de densidad en esta interfase, de tipo haloclino, es decir, determinado fundamentalmente por el cambio en salinidad, es de 0.002. Parece poco, pero es suficiente para que gracias a la topografía del fondo (vemos un corte transversal abajo, más o menos, en el centro del Estrecho de Gibraltar) se puedan producir las ondas internas que, en superficie, generan lo que vemos en la foto de arriba. Estas ondas se pueden interpretar como trenes de solitones (ver Juan E. Nápoles Valdes, Arturo González Thomas, “Solitones, una no-linealidad no tan solitaria“).

Tanto en en Centro Oceanográfico de Málaga, sito en Fuengirola, como en la propia Universidad de de Málaga, departamentos de Análisis Matemático (grupo dirigido por Carlos Parés) y Física Aplicada II (grupo dirigido por Jesús García Lafuente) se estudian este tipo de fenómenos en nuestro mar de Alborán.