Cuatro micrófonos son suficientes para oír la forma de una habitación

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Se publica en PNAS la solución a un problema clásico en acústica, cuántos micrófonos son necesarios para oír la forma de una habitación tridimensional utilizando los sonidos generados por un altavoz. La respuesta es al menos cuatro (con probabilidad uno y para una habitación poliédrica convexa). Como los autores del artículo son de la Escuela Politécnica Federal de Lausana, Suiza, han ilustrado su algoritmo con la Catedral de Lausana. Los sonidos se reflejan en las paredes y forman ecos que son recogidos por los micrófonos y etiquetados por el nuevo algoritmo, lo que permiten reconstruir la forma tridimensional de la habitación. Se necesitan al menos cuatro micrófonos porque con menos pueden aparecer “ecos fantasmas” que parecen provenir de una pared “fantasma” (que no existe). Quizás pienses que es más fácil ver la forma tridimensional de la habitación que oírla, pero la técnica permite detectar objetos o personas en movimiento dentro de la habitación, luego si se usan ultrasonidos puede tener aplicaciones prácticas muy curiosas. Por supuesto, lo más interesante del trabajo técnico es la demostración matemática y el algoritmo desarrollado, que se basan en álgebra lineal y será disfrutado por muchos matemáticos. Nos lo ha contado Mark D. Plumbley, “Hearing the shape of a room,” PNAS 110: 12162–12163, 23 Jul 2013, que se hace eco del artículo técnico de Ivan Dokmanić, Reza Parhizkar, Andreas Walther, Yue M. Lu, Martin Vetterli, “Acoustic echoes reveal room shape,” PNAS 110: 12186-12191, 23 Jul 2013.

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Hazlo y publícalo ya, aunque se pueda hacer mejor, no importa, pero publícalo ya

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En la ciencia actual el prestigio está asociado al impacto y éste al número de citas recibidas. Hacer algo importante sin molestarse en afinar los detalles es mucho mejor, pues los revisores no pondrán inconvenientes y el trabajo recibirá gran número de citas de quienes refinen los detalles. Yitang (Tom) Zhang (de la Universidad de New Hampshire) ha demostrado que existen infinitos pares de primos separados menos de una distancia de 70.000.000; es obvio que no es lo mismo que demostrar la conjetura de los primos gemelos, pero no importa. Lo importante es saber si la constante 70.000.000 puede ser reducida usando las técnicas de Zhang y por supuesto que puede serlo, y mucho. ¿Tiene que molestarse Zhang en hacerlo? No, todo lo contrario, para ser una persona de éxito tiene que dejar que los demás lo hagan por él, pues ello incrementará su “índice de impacto” (quiero decir, su número de citas) y cuanto antes publique él su resultado mucho mejor. La demora cercena el éxito de los demasiado egoístas que ignoran como funciona la ciencia actual.

La página web “Bounded gaps between primes,” PolyMath, [última edición hoy] 24 jun 2013, nos indica que los 70.000.000 del 14 de mayo obtenidos por Zhang bajaron a 4.801.744 el 4 de junio, a 248.898 el 14 de junio, y, poco a poco, hasta hoy, 24 de junio, hasta sólo 10.206, un número que seguirá bajando durante meses y años. Por supuesto, todo el mundo sabe que el número nunca bajará hasta 2 utilizando las técnicas de Zhang, son demasiado “torpes,” pero la cuestión no es hasta dónde bajará este número, que bajar más, bajará más, si no el gran número de citas que está recibiendo el trabajo de Zhang por ser un trabajo inacabado del tipo “hazlo y pubícalo ya, y no te molestes en mejorarlo que otros lo harán más rápido y mejor que tú.” En ciencia, siempre se citará al padre de la idea.

Cuento esto porque muchos de los lectores de este blog creen que han descubierto algo “grande” y creen que si lo publican algún “listo” se lo robará. Así no funciona la ciencia y lo que se publica por la vía estándar queda para siempre. Los que ocultan sus supuestos descubrimientos no hacen ciencia, hacen paraciencia. Y la paraciencia siempre queda en el olvido.

Cómo predecir el impacto futuro de un artículo científico

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Albert-László Barabási es uno de los expertos más prestigiosos del mundo en teoría de redes. Su último artículo presenta un modelo bibliométrico capaz de predecir el impacto a largo plazo de un artículo científico a partir de una estimación de tres parámetros: la eficacia relativa (relative fitness), la inmediatez y la longevidad del artículo. Para mi sorpresa y la de los propios autores el nuevo modelo tiene una capacidad predictiva extraordinaria, siendo independiente del área de investigación; por ejemplo, permite predecir el número de citas y la vida media de cada artículo científico. Por supuesto, lo complicado es estimar de forma fiable los tres parámetros del modelo para un artículo dado, siendo más fácil si el artículo ya tiene cierta “vida” (unos 10 años) y/o ha tenido un buen número de citas. Habrá que esperar a futuras críticas hacia este modelo, pero si nos creemos los resultados presentados en el artículo técnico, se trata de un modelo espectacular. El artículo técnico es Dashun Wang, Chaoming Song, Albert-László Barabási, “Quantifying Long-term Scientific Impact,” arXiv:1306.3293, 14 Jun 2013.

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Francis en ¡Eureka!: Demostrada la conjetura débil de Goldbach

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Ya está disponible el audio de mi sección ¡Eureka! en el programa La Rosa de los Vientos de Onda Cero. Sigue este enlace para disfrutarlo. Como siempre una transcripción libre.

Esta semana las matemáticas han sido noticia porque se ha resuelto un problema propuesto hace más de 270 años. Un problema sencillo de enunciar, pero muy difícil de demostrar. ¿Qué problema se ha resuelto? En 1742, el matemático Christian Goldbach le preguntó por carta a su amigo y famoso matemático Leonhard Euler si podía demostrar dos resultados muy sencillos sobre números. Por un lado, lo que hoy en día llamamos la conjetura de Goldbach, o conjetura fuerte de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 16 = 3 + 13, etc. Y por otro lado, una variante de este problema que hoy en día llamamos la conjetura débil de Goldbach, que afirma que  todo todo número impar mayor que 5 puede escribir como suma de tres números primos. Por ejemplo, 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 35 = 19 + 13 + 3, o 77 = 53 + 13 + 11, etc. El matemático peruano Harald Andrés Helfgott ha publicado un trabajo en el que afirma haber demostrado la conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach). Por supuesto, en estas noticias de matemáticas tenemos que ser cautos. La demostración ocupa 133 páginas y se basa en un trabajo previo de más de 100 páginas. La confirmación “oficial” todavía podría tardar un tiempo, pero varios expertos, como el famoso Terence Tao, que recibió la medalla Fields en el año 2006 en Madrid, afirman que la nueva demostración tiene muy buena pinta y casi seguro que es correcta.

Recomiendo leer a “(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach,” Gaussianos.com, 14 mayo 2013. El artículo técnico para los matemáticos que deseen profundizar es H. A. Helfgott, “Major arcs for Goldbach’s theorem,” arXiv:1305.2897, 13 May 2013; creo que es recomendable leer antes H. A. Helfgott, “Minor arcs for Goldbach’s problem,” arXiv:1205.5252, 23 May 2013.

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Carnaval Matemáticas: El artículo matemático más corto de la historia

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Este artículo matemático con un solo párrafo, una sola referencia bibliográfica, título, autores y afiliaciones, podría ser el artículo matemático más corto (L. J. Lander and T. R. Parkin, “Counterexample to Euler’s conjecture on sums of like powers,” Bull. Amer. Math. Soc. 72: 1079, 1966), pero existen otros aún más cortos (dependiendo de la definición de longitud que decidamos tomar). El más parco en palabras (sólo dos palabras) es el siguiente.

Dibujo20130521 can n2plus1 unit equilateral triangles cover an equilateral triangle

Dicen que decía Paul Erdös que “un matemático es una máquina de convertir café en teoremas” (en realidad lo decía su amigo Alfred Rényi; gracias @ClaraGrima por recordarlo). Alexander Soifer decidió retar a sus colegas en Princeton, durante la hora del café, a resolver el siguiente problema: ¿cuál es el mínimo número de triángulos equiláteros necesarios para recubrir un triángulo equilátero de lado n+ε? John H. Conway tenía que volar en avión a una conferencia y durante el trayecto descubrió una solución con n²+2 triángulos. Tras retornar, a la hora del café, Conway compartió su descubrimiento con Soifer. Mientras viajaba en avión a otra conferencia, Soifer logró construir una demostración gráfica a partir de la solución de Conway. A su regreso decidieron escribir un artículo conjunto. Conway quiso que su artículo fuera el récord absoluto en el número mínimo de palabras. Por ello, su artículo sólo tendría dos palabras “n²+2 can” y dos figuras (con la demostración gráfica). Nada más y nada menos. Lo enviaron el 28 de abril de 2004 a la revista American Mathematical Monthly, exactamente como aparece en la figura de arriba.

El 30 de abril, la asistente del editor, Mrs. Margaret Combs, les indicó que, por favor, añadieran alguna frase al texto explicando su artículo.

The Monthly publishes exposition of mathematics at many levels, and it contains articles both long and short. Your article, however, is a bit too short to be a good Monthly article. . . A line or two of explanation would really help.

Conway envió una carta el editor principal protestando y preguntando si “¿existe alguna relación entre la cantidad y calidad?”

I respectfully disagree that a short paper in general—and this paper in particular—merely due to its size must be “a bit too short to be a good Monthly article.” Is there a connection between quantity and quality?. . . We have posed a fine (in our opinion) open problem and reported two distinct “behold-style” proofs of our advance on this problem. What else is there to explain?

Conway era muy famoso y quizás por ello Bruce Palka, el editor principal, decidió proponerle lo siguiente el 4 de mayo de 2004:

The Monthly publishes two types of papers: “articles,” (…) from about six to twenty-five pages, and “notes,” which are shorter, (…) typically in the one-to-five page range. (…) The standard way in which we use such short papers these days is as “boxed filler” on pages that would otherwise contain a lot of the blank space that publishers abhor. . . If you’d allow us to use your paper in that way, I’d be happy to publish it.

Conway respondió que aceptaba que su artículo apareciera rellenado una de las páginas blancas entre artículos. El artículo apareció en el número de enero de 2005 de dicha revista, aunque el editor les cambió el título (J.H. Conway, A. Soifer, “Covering a triangle with triangles,” American Mathematical Monthly 112: 78-78, Jan. 2005).

Nos cuenta la historia con más detalles el propio Alexander Soifer, “Building a Bridge III: from Problems of Mathematical Olympiads to Open Problems of Mathematics,” Mathematics Competitions 23: 27-38, 2010.

Coda final: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

Sábado, reseña: “Hasta el infinito, y más allá” de Clara Grima y Raquel García Ulldemolins

Dibujo20130511 Hasta el infinito y mas alla - book cover - clara grima y raquel garcia

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —como diría el pequeño Ven. Hay muchos libros titulados “Hasta el infinito, y más allá” pero el de Clara Grima y Raquel García Ulldemolins, editado por Espasa, es único por muchas cosas. Gracias a las (mate)aventuras de Ven(tura), Sal(vador) y su fiel compañero canino Gauss, niños y adultos disfrutarán acercándose a las matemáticas desde un punto de vista muy diferente al habitual. “Un libro para todos aquellos que temen a las Matemáticas,” complemento ideal a “El Diablo de los Números” de Hans Magnus Enzensberger. Este estupendo libro de Clara y Raquel, que recomiendo a todos los lectores, es un regalo ideal para ocasiones especiales y, por qué no, para todas las ocasiones. ¿Aún no lo has leído? ¡A qué estás esperando!

El libro empieza por el más difícil todavía: “Perdona, Buzz, pero después del infinito no hay nada.” Qué padre no ha tenido que contestar a las preguntas ¿qué es el infinito? y ¿qué hay más allá del infinito? que se realizan todos los niños tras oír a Buzz Lightyear en la saga Toy Story de Disney Pixar. Un concepto difícil que se ilustra en el libro gracias al hotel de Hilbert en “¡Mi infinito es más grande que el tuyo!” Muchos padres disfrutarán con este capítulo, aunque creo que para muchos niños será un inicio muy duro. Yo hubiera empezado el libro con algo más ligero, más gráfico, quizás con “¿Qué es eso que dibujas Mati? ¡Ese caramelo es mío!” sobre los diagramas de Voronoi, famosos en España gracias a “¿Está Voronoi? Que se ponga,” “Cada uno en su región y Voronoi en la de todos” y por supuesto a “Mati y sus mateaventuras.”

Sigue el libro por un camino difícil para los niños, con “Mati, ¿estás segura de que π no es racional?,” y con “Voy a leerte la mente, abuela.” Los matemáticos disfrutan explicando la evolución del concepto de número, pero conceptos tan abstractos como el de número real o el de números binarios, propios del siglo XIX, me parece que deberían formar parte del final del libro y no del principio, pues pueden desanimar a muchos lectores potenciales.

Muchos de los tópicos presentados en el libro son muy conocidos, pero se presentan con tal frescura que se disfrutan como si fuera la primera vez. En “Flores, palacios y números” se discuten el número aúreo, “No te creo Mati, ¿cómo va ser un número de oro?,” y la sucesión de números de Fibonacci, “Una flor, otra, dos flores.”

Clara Grima investiga en geometría computacional en la Universidad de Sevilla, por lo que tiende a poner ejemplos de teoría de grafos con los que disfrutarán grandes y pequeños. “Cómo voy a salir del laberinto sin el hilo?,” “¡Ese caramelo es mío!” y “¿Por qué no hay un poli en cada sala?” son claros ejemplos. Tópicos modernos e interesantes con los que disfrutarán incluso los estudiantes de ciencias matemáticas y los profesores de matemáticas podrán incorporar con facilidad a sus clases. Todo ello sin olvidar temas muy populares en la divulgación matemática como los tratados en “Pues vaya lío de puentes, ¿no?” y “¿Sólo con 4 colores?” En este último caso yo hubiera retado a los lectores más jóvenes a resolver un problema más sencillo que el famoso mapa de 1 de abril de Martin Gardner, como por ejemplo el siguiente.

Dibujo20131011 four color map

En casa todos hemos disfrutado del libro, pero no todo pueden ser piropos. “Antes de empezar…” nos dice Mati que “a mucha gente no le gustan las palabras esdrújulas” como matemáticas. Sin embargo, el libro abusa de ellas y sobre todo del sufijo “-mente.” Estas palabras dificultan el ritmo de la lectura y deben ser evitadas para lograr una lectura más ágil, sobre todo, en mi opinión, para libros dirigidos a niños y jóvenes. Cuando yo leí por primera vez “respondió vehementemente” me quedé sorprendido. Muchos lectores tendrán que recurrir al diccionario para saber qué es la “vehemencia” o algo “vehemente” (términos aplicados muchas veces al estado emocional del pequeño Ven). Yo hubiera escrito “respondió vehemente” o incluso hubiera evitado este término adulto. Hay muchos más ejemplos como “Gauss miraba atentamente,” que yo hubiera cambiado por “Gauss miraba atento,” o “números correspondientes entre 64 y 127” que yo hubiera acortado a “números entre 64 y 127” sin pérdida de significado.

Yo hubiera hecho una buena revisión del lenguaje utilizado, tratando que fuera menos adulto y más ágil. Hay muchos pequeños cambios que en una segunda edición se podrían corregir con facilidad. Por cierto, el libro presenta pocas erratas, aunque destaca el “2 + x 0,08” en la fórmula de la página 42.

En resumen, me ha gustado mucho este pequeño libro de popularización de las matemáticas. Su módico precio hará las delicias de quienes quieran regalar el mejor regalo posible: un poco de cultura matemática.

Pierre Deligne, Premio Abel 2013

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Pierre Deligne, matemático belga de 69 años, que demostró la conjetura de Weil en 1973 y obtuvo por ello la medalla Fields en 1978, ha recibido hoy el Premio Abel 2013, un premio de la Academia Noruega de Ciencias y Letras que “imita” a los Premio Nobel de la Academia Sueca en periodicidad y dotación (casi un millón de dólares), pero que se concede sólo a matemáticos. Deligne trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) en Princeton, Nueva Jersey, ha ganado el premio “por sus contribuciones seminales a la geometría algebraica y por su impacto transformador en la teoría de números, teoría de representaciones y esferas conexas.” Tim Gowers ha vuelto a ser elegido para presentar el premio. Deligne trabaja en geometría algebraica campo que estudia las variedades algebraicas, es decir, las hipersuperficies en varias dimensiones que se describen median las soluciones de una ecuación algebraica (un polinomio multivariable igual a cero); por ejemplo, una circunferencia de radio r puede ser descrita como la solución de la ecuación algebraica  +  = . Había cuatro conjeturas de Weil, siendo la cuarta la más difícil, la demostrada por Deligne, que está relacionada con la hipótesis de Riemann. A finales de los 1970 se pensó que el trabajo de Deligne abría una nueva línea de ataque a la hipótesis de Riemann y despertó mucho interés en la comunidad. Deligne se basó en el trabajo de su mentor, el matemático de origen alemán Alexander Grothendieck, que demostró la segunda conjetura de Weil en 1965 y obtuvo por ello la Medalla Fields en 1966. En 1988, Deligne y Grothendieck recibieron el Premio Crafoord de la Real Academia Sueca de las Ciencias. El anuncio del premio “styleBelgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner,” Abel Prize, 2013. Obviamente, la noticia está en todos los medios. La foto la he extraído de Philip Ball, “Belgian mathematician rewarded for shaping algebra. Pierre Deligne nets Abel Prize for proving a deep conjecture about algebra and geometry,” Nature News, 20 March 2013.

PS: Tim Gowers presentó el Premio Abel. Su charla la puedes leer en “The Work of Pierre Deligne.” Más información sobre la función tau de Ramanujan y sobre las conjeturas de Weil (también recomiendo leer esto y esto otro).

“El indomable Will Hunting” y los “árboles irreducibles con 10 vértices”

Esta escena de la película “El indomable Will Hunting” (título original “Good Will Hunting”) de 1997, dirigida por Gus Van Sant y protagonizada por Matt Damon y Ben Affleck (en la que también aparece Robin Williams) describe un problema matemático de la teoría de grafos: dibujar un sistema de representantes de las 10 clases de árboles con 10 vértices homeomórficamente irreducibles. La solución de este problema fue obtenida por Frank Harary, Geert Prins, “The number of homeomorphically irreducible trees, and other species,” Acta Mathematica 101: 141-162, 1959 [copia gratis]. La solución a este problema para árboles con hasta 10 vértices aparece en la siguiente figura, extraída de dicho artículo (en formato un poco más compacto).

Dibujo20130221 diagrams all homeomorphically irreducible tress with less than 10 points

En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cada par de vértices está conectado sólo por un único camino. Una definición más técnica nos dice que un grafo simple no dirigido G con un número finito n de vértices es un árbol si cumple cualquiera de las siguientes condiciones (todas equivalentes entre sí): (1) es conexo y tiene n-1 aristas, o (2) es conexo y no tiene ciclos, o (3) tiene n-1 aristas y no tiene ciclos, o (4) existe una única trayectoria entre cada par de vértices [gracias Alberto por el comentario de más abajo]. El grado de un vértice es el número de aristas a las que está conectado. Una “hoja” es un vértice de grado 1. Un vértice interno es un vértice de grado mayor que 1. Un árbol es irreducible si no tiene vértices de grado 2.

Dibujo20130221 one irreducible and three reducible trees

En esta figura, el único árbol irreducible es el de n=4, ya que los de n=5, 6 y 7 vértices todos se pueden reducir a dicho árbol eliminando los vértices de grado 2 que están marcados con una circunferencia en color rojo.  Obtener todos los grafos con 10 vértices que son irreducibles no es difícil y cualquiera tanteando un poco puede hacerlo. Obviamente, lo más difícil es demostrar que no existe ningún otro.

¿Te atreves a dibujar todos los árboles irreducibles con n=11? No te pide que demuestres que tu lista es completa, sólo que lo intentes. No es un problema difícil (no creo que te requiera más de una hora de trabajo). Si lo haces te sentirás como Matt Damon (o como Will Hunting) Por supuesto, puedes chequear tu respuesta con el artículo original (que presenta los grafos irreducibles hasta n=12); también, hay programas de ordenador en la web que te permiten dibujarlos (si te gusta programar en Mathematica este problema es bonito para resolver por uno mismo sin buscar el notebook en la web). ¿Eres profesor de matemáticas? Por qué no le propones este problema a tus alumnos (resuelves el caso hasta n=6 y les pides a los alumnos que tanteen los casos n=7 u n=8).

Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

La dinámica caótica del aprendizaje del ajedrez

Dibujo20130211 Complex learning dynamics showing strategy trajectories

¿Por qué aprender a jugar bien al ajedrez es tan difícil? Un nuevo estudio afirma que la razón podría ser que la dinámica del aprendizaje por refuerzo de estos juegos bipersonales es caótica (está caracterizada por un atractor extraño). Las estrategias de juego aprendidas se comportan como órbitas (trayectorias) del sistema dinámico y son impredecibles debido su gran sensibilidad a los detalles del proceso (pequeños cambios en el proceso de aprendizaje conducen a grandes cambios en el resultado final) ). El estudio de Tobias Galla (Universidad de Mánchester, GB) y J. Doyne Farmer (Universidad de Oxford, GB; Instituto de Santa Fe, Nuevo México, EEUU), publicado en PNAS, ha consistido en la simulación por ordenador de miles de juegos de dos jugadores en los que se simulaba la toma de decisiones propia de una persona. Obviamente, eran juegos muy sencillos, pero los autores creen que si se observa la dinámica caótica para juegos tan sencillos también se debería observar en juegos más complejos (como el ajedrez o el póker). Como siempre, el nicho natural de la teoría de juegos son los mercados financieros, por ello los autores creen que su estudio podría tener implicaciones socioeconómicas; quizás los mercados son impredecibles debido a que aprender cómo evolucionan está controlado por una dinámica caótica. El artículo técnico es Tobias Gallaa, J. Doyne Farmer, “Complex dynamics in learning complicated games,” PNAS 110: 1232-1236, Jan 22, 2013. Vía “Una explicación científica para la imposibilidad de dominar por completo algunos juegos,” CORDIS, Jan 11, 2013.

Francis en ¡Eureka!: Las matemáticas también son protagonistas de las noticias

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El audio de mi sección ¡Eureka! en La Rosa de los Vientos, Onda Cero, ya está disponible. Puedes escucharlo siguiendo este enlace. Como siempre, una transcripción libre del contenido.

Se ha publicado esta semana que un matemático de la Universidad de Sevilla ha demostrado que los papeles de Bárcenas aireados por El País son falsos gracias a la ley de Benford. ¿En qué consiste esta ley? Miguel Lacruz (profesor de matemáticas de la Universidad de Sevilla) publicó en su blog “Café Matemático” un análisis basado en la ley de Benford o la ley del primer dígito. Esta ley fue descubierta en 1881 por el astrónomo Simon Newcomb en tablas de logaritmos (muy utilizadas cuando no había calculadoras) y redescubierta en 1938 por el físico Frank Benford, que verificó la ley con otras tablas de números diferentes. La ley afirma que en las tablas de números de magnitudes que crecen de forma exponencial con el tiempo (como muchos fenómenos económicos, como los precios, las exportaciones, incluso las entradas contables o los balances de capital) el primer dígito aparece más veces que los demás. De hecho, el 30% de los números empiezan por el dígito uno, el 18% por el número dos, el 13% el número tres, y así sucesivamente hasta llegar a menos del 4,6% para los números que empiezan por el dígito nueve. Existen listas de números que no cumplen esta ley, pero en muchas listas puede utilizarse para saber si la tabla de números ha sido falsificada.

Miguel Lacruz, “Los papeles de Bárcenas,” Café matemático, 4 feb 2013. M. Arrizabalaga, “Un matemático aplica la ley de Benford a los papeles de Bárcenas y concluye que son falsos,” ABC.es, 6 feb. 2013; “Un profesor de la Universidad de Sevilla compara la frecuencia de los dígitos en los supuestos apuntes del extesorero del PP y afirma que han sido maquillados.”

El profesor Lacruz ha descubierto que los papeles de Bárcenas no cumplen con esta ley por lo que están falsificados. El estudio de Miguel Lacruz analizó 84 asientos contables desde 2002 a 2008 en los papeles de Luis Bárcenas y encontró que no cumplen la ley de Benford. Por ejemplo, el uno es el primer dígito en el 50% de los números de Bárcenas, en lugar del 30% que predice la ley de Benford, el dos aparece sólo un 10% de las veces en lugar del 18% predicho, o por ejemplo el seis aparece un 13% como primer dígito en lugar del 7% de las veces esperado. Además, el profesor Lacruz observó que la contabilidad del PP entre 2008 y 2011 sí cumple perfectamente la ley de Benford. Por ello afirmó en su blogs que los números de Bárcenas estaban falsificados y Luis Bárcenas miente.

¿Este análisis es fiable, riguroso y podría ser utilizado por un juez? En realidad no lo es. La ley de Benford es un ley de potencias y el análisis estadístico de las leyes de potencia hay que realizarlo con mucho cuidado. Un análisis matemático riguroso requiere que el número de datos sea suficientemente grande; en el caso de los papeles de Bárcenas y de la contabilidad del PP, analizados por el profesor Lacruz, resulta que este número es insuficiente para concluir nada. En rigor un análisis basado en la ley de Benford no es aplicable a tan pocos datos. Por ejemplo, la anomalía con el dígito seis, más común de lo predicho por la ley de Benford, tiene una explicación sencilla en España, un millón de pesetas en lugar de un “uno” empieza por un “seis” en euros. En resumen, por pura casualidad en los datos de Bárcenas entre 2002 a 2008 hay una discrepancia y en los de 2008 a 2011 del PP hay un acuerdo con la ley de Benford, pero es pura casualidad. De hecho, si todos los datos se escriben en pesetas, la ley se cumple, aunque también por casualidad. Por tanto, no se puede concluir nada sobre la falsedad o no de dichos datos.

Recomiendo Abel Fernández, “La Ley de Benford y la presunta contabilidad B del PP,” Sintetia, 7 feb. 2013.

Cambiando de tema. Hace dos semanas fue noticia una matemática española que había resuelto un problema matemático planteado hace 80 años. ¿Hay novedades sobre dicha noticia? En el último congreso de la Real Sociedad Matemática Española celebrado en Santiago de Compostela a finales de enero, hubo una rueda de prensa en la que la española Eva Gallardo Gutiérrez, profesora de matemáticas de la Universidad Complutense y Carl Cowen, profesor de la Universidad de Indiana, en Indianapolis, EEUU, habían logrado resolver el problema del subespacio invariante, que planteó el genial matemático John von Neumann en 1935. Quizás el problema más importante del área de Análisis Funcional y la Teoría de Operadores aún por resolver. Sin embargo, la alegría para la comunidad matemática española ha durado poco. El 5 de febrero los propios autores han comunicado que su demostración no resuelve el problema y que una de las afirmaciones que realizan no está bien justificada. Ahora mismo están trabajando para resolver este problema, pero no parece fácil lograrlo. En marzo publicarán la demostración tanto si logran resolver el problema como si no, para que otros matemáticos les ayuden. Por ello, a día de hoy el problema del subespacio invariante sigue sin estar resuelto.

“Carl Cowen y Eva Gallardo presentan la solución afirmativa al “problema del subespacio invariante”,” RSME, feb. 2013, y en este blog “Resuelto el problema del subespacio invariante,” 26 enero 2013.

¿En qué consiste este problema matemático? El problema es difícil de explicar en un lenguaje llano. Imagina que tomas una pelota de baloncesto con las manos y le das muchas vueltas. Siempre existe un eje de giro, tal que el resultado final se podría haber obtenido rotando una sola vez sobre dicho eje de giro. El eje de giro es un subespacio invariante para el operador de rotación de la pelota de baloncesto. El problema del subespacio invariante consiste en saber si para ciertos espacios con infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert también es cierto que siempre existe, digámoslo así, un “eje” de giro (un subespacio invariante). Este tipo de espacios se usan en la teoría matemática de la mecánica cuántica y para la reconstrucción de datos de tomografía computerizada. Por lo que la solución del problema podría tener algunos usos futuros de interés aplicado.

Miguel Lacruz, “Statement from Cowen and Gallardo,” Café Matemático, 5 feb. 2013, y en este blog “Una pena, pero el problema del subespacio invariante sigue abierto,” 5 feb. 2013.

Y para acabar, se ha descubierto un nuevo número primo de Mersenne. Mersenne fue un monje francés del siglo 17 que predijo que todos los números que son iguales a una potencia de dos menos uno (2^p-1) son números primos. Sin embargo, esto no es cierto, como se demostró a finales del siglo 19. Hoy en día se conocen 48 números de Mersenne que son primos, el último se ha descubierto el 25 de enero: el número dos elevado a 57.885.161 menos uno (2^57.885.161 -1) es primo (un número con 17.425.170 dígitos). Se han utilizado 360.000 ordenadores conectados por internet y han sido necesarios 17 años. Este es el programa de ordenador más largo que se ha ejecutado en internet hasta el momento.

“GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^57885161 -1,” 25 Jan 2013; “Mersenne Primes: History, Theorems and Lists.”

¿Para qué sirve descubrir números primos tan grandes? Los sistemas de cifrado que más se utilizan en internet para proteger cuentas bancarias, datos de tarjetas y demás información sensible se basan en algoritmos que utilizan números primos. Los avances en la detección de primos con gran número de cifras, como este cuadragésimo octavo número de Mersenne redundan en avances en el desarrollo de este tipo de algoritmos y acaban resultando en transacciones seguras por internet mucho más seguras. Así que aunque parezca una tontería, este tipo de descubrimientos son importantes en nuestra vida diaria.

Lo dicho, si quieres escuchar el audio, si aún no lo has hecho, sigue este enlace

Imagen: No sé si podrá utilizar alguna imagen de los papeles de Bárcenas en El País . La foto de los matemáticos está en https://francisthemulenews.files.wordpress.com/2013/01/dibujo20130126-carl-c-cowen-eva-gallardo-congreso-2013-rsme.jpg