El reloj de Compton: un reloj basado en la masa de una sola partícula

Para construir un reloj capaz de medir el tiempo en los primeros instantes tras la gran explosión (big bang) basta con utilizar una única partícula que tenga masa, ya que la mecánica cuántica le asocia una onda con una frecuencia bien definida. Una partícula con una masa m tiene asociada una frecuencia de Compton ω₀ = mc²/ ħ, donde c es la velocidad de la luz y ħ es la constante de Planck. La frecuencia ω₀ puede ser utilizada para construir un reloj de alta precisión, si se conoce con alta precisión la masa de dicha partícula. Y viceversa, podemos medir con alta precisión la masa de la partícula utilizando un reloj basado en dicha frecuencia. Lo más curioso es que también podemos medir la masa de un cuerpo macroscópico si conocemos su número de partículas (como en una esfera de Avogadro).

Se publica en Science una medida de la masa de un partícula con un error relativo de 4 × 10⁻⁹ (4 ppb) utilizando un interferómetro atómico. Para un átomo de cesio-133 la frecuencia de Compton medida es de ω₀/2π = (2 993 486 252 ± 12) × 10¹⁶ Hz, con un error respecto a la predicción teórica de -5.2 ± 4.0 ppb. La precisión obtenida es modesta (los mejores relojes atómicos actuales son dos órdenes de magnitud más precisos), pero el sistema puede ser utilizado a la inversa, para medir la masa gracias a la frecuencia de Compton. El nuevo método permite medir la masa de un átomo relativa a la masa del cesio, por lo que los autores proponen que la Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM) podría considerar el nuevo método para definir el kilogramo patrón en el sistema internacional de unidades (SI).

El método además permite medir masas macroscópicas utilizando esferas de Avogadro, cristales de silicio de altísima calidad que contienen un número de átomos conocido N_at = 8V/a³, donde 8 es el número de átomos en la unidad de la red cristalina, V es el volumen de la esfera y a es la distancia entre átomos en la celda unidad. La frecuencia de Compton de una esfera de Avogadro es ω_M = N_at ω_Cs m(Si)/m(¹³³Cs), en función de la frecuencia de Compton para el átomo de cesio ω_Cs. La masa total es entonces M = ω_Mħ/c². Los métodos actuales alcanzan una precisión de unas 30 ppb, que el nuevo método podría bajar a solo 4 ppb.

El artículo técnico es Shau-Yu Lan et al., «A Clock Directly Linking Time to a Particle’s Mass,» Science Express, AOP January 10, 2013 [DOI]. La noticia en otras fuentes: Robert Sanders, «A rock is a clock: Physicists use matter to measure time,» Phys.Org, Jan 10, 2013; Andrew Grant, «New clock revolves around an atom’s mass. Study claims that time can be gauged by a particle’s heft,» ScienceNews.Org, Jan 10, 2013.

Calcula tu defecto de masa atómica en número de bombas de Hiroshima

La masa de un cuerpo compuesto de partes es igual a la masa de estas partes más la masa equivalente a la energía que las une entre sí, llamada defecto de masa. Si el cuerpo es estable, la masa total del sistema compuesto es menor que la suma de las masas de sus partes por separado, luego el defecto de masa es negativo. ¿Cuál es el defecto de masa de un humano? Por cada kilogramo de tu cuerpo, el defecto de masa es de 7,6 gramos. Multiplica tu peso en kilogramos por 7,6 y calcularás tu defecto de masa en gramos. Medido en energía, tu defecto de masa es enorme. Por ejemplo, la energía de la bomba de Hiroshima corresponde a 0,70 gramos y la de Nagasaki a 0,98 gramos, con lo que un bebé recién nacido con 3,6 kg tiene un defecto de masa equivalente a 39 bombas de Hiroshima o 28 bombas de Nagasaki. Si te apetece, puedes calcular tú mismo el número de bombas de Hiroshima de tu defecto de masa, la energía con la que explotarías si la materia de tu cuerpo fuera inestable. Por cierto, el defecto de masa de la mayoría de los profesores es mayor que el de sus alumnos, luego «los profesores somos más defectuosos que nuestros alumnos.» Seguro que nunca has pensado en ello. Nos lo recuerda Rick Marshall, «The mysterious equation where mass meets energy,» Physics Education 47: 642-644, Sep. 2012.

Los más inquietos querrán saber cómo se han calculado estos números. Para calcular el defecto de masa de un cuerpo humano es necesario conocer su composición. Prácticamente toda la masa de tu cuerpo está constituida de 9 elementos: O (65,5%), C (18,6%), H (10,4%), N (3,2%), P (1,0%), K (0,4%), Fe (0,3%), S (0,3%) y Cl (0,2%). Calculando el defecto de masa de cada elemento se obtiene como suma ponderada un valor de 7,6 gramos por cada kilogramo de masa corporal.

Ya que estamos puestos, conviene recordar que un átomo está formado por electrones unidos por un campo electromagnético a un núcleo formado a su vez por protones y neutrones (llamados de forma colectiva nucleones) unidos entre sí por una fuerza nuclear fuerte. El defecto de masa Δm es la diferencia entre la masa del átomo y la de los protones y neutrones que lo forman, siendo igual a la energía que los une entre sí, vía la fórmula de Einstein ΔE = Δm c². Los electrones no contribuyen pues la energía que une los electrones al núcleo, la necesaria para ionizar el átomo, tiene un valor típico de unos 15 eV (equivalente a un defecto de masa de 2,5 × 10^–35 kg). Este valor es ridículo comparado con la energía que une a los nucleones entre sí, cuyo valor típico, salvo para los núcleos ligeros, es de 8 MeV (equivalente a un defecto de masa de 1,5 × 10^–29 kg, es decir, unas 55.000 mayor que el valor anterior). Estos números reflejan la diferencia entre una explosión de una bomba convencional (pongamos TNT), que es debida a la energía química entre los electrones, y una explosión de una bomba nuclear (como las de Hiroshima o Nagasaki), que es debida a la energía nuclear entre los nucleones.

La tabla periódica de los elementos contiene 118 elementos, siendo bismuto Z=83 el elemento estable de mayor masa. Todos los núcleos con número atómico Z>83 son inestables y se desintegran en cadenas radiactivas (fisión nuclear). En la Tierra se encuentran de forma natural 90 elementos, siendo el más masivo el uranio-238 con Z = 92. El tecnecio Z = 43 y el prometio Z = 61 son sintéticos, porque son inestables y su vida media es demasiado corta (2,6 millones de años para el Tc y 17,7 años para el Pm); si estos elementos formaban parte de la Tierra cuando nació nuestro planeta, ahora mismo ya se han desintegrado del todo. Elementos radiactivos como el torio Z=90 y el uranio Z=92 tienen vidas medias muy largas, comparables con la edad de la Tierra, por ello observamos elementos como el protactinio Z=91, cuya vida media es muy corta, pero se observan como producto de la desintegración de estos otros (el Pa está en la cadena de desintegración del U).

¿Se puede predecir la masa de las partículas elementales? (o un poco más de Numerología, por favor)

El Modelo Estándar de las Partículas Elementales no explica ni la masa, ni la carga, ni la espín, de las partículas elementales conocidas, sino que impone dichos valores a partir de la evidencia experimental. En palabras de Feynman (traducidas) «Aún queda por resolver una característica muy poco satisfactoria (del Modelo Estándar): las masas de las partículas elementales observadas. No se conoce teoría que explique estos números. Los usamos en todos nuestros cálculos, pero no los entendemos (¿por qué tienen los valores que tienen? ¿de dónde vienen estos números?). En mi opinión (la de Feynman) este es uno de los problemas, desde el punto de vista fundamental (teórico), más serios e interesantes.»

La figura de arriba, extraída de un artículo de E.L. Koschmieder, «Theory of the Elementary Particles,» ArXiv Preprint, 2008, que propone una «explicación», nos indica que la masa de los mesones (partículas formadas por un quark y un anti-quark) estables siguen un comportamiento lineal en función de la masa del mesón estable más ligero (el pión, partícula predicha por Yukawa). Esto ya se sabía de hace años… pero no había una explicación dentro del Modelo Estándar. Koschmieder trata de explicarla de forma no ortodoxa (numerológica) aludiendo a que refleja una teoría subyacente todavía desconocida. Este tipo de trabajos «numerológicos», normalmente tienen una capacidad predictiva «cuantitativa» muy limitada (dan aproximaciones burdas). Por ejemplo, en la «teoría» de Koschmieder la masa del neutrino electrónico (el más ligero de los 3 neutrinos conocidos) es igual a la masa del neutrino muónico (el segundo por masa) multiplicada por la constante de estructura fina (que indica la «fuerza» de la fuerza electromagnética entre partículas elementales). Como nadie conoce la masa de los neutrinos (se sabe que no es nula, pero no su valor, sólo la diferencia entre masas de los neutrinos se puede estimar teórica y experimentalmente sin una medida directa)… lo dicho, … como nadie la conoce, pues, por ahora, cualquier valor es «bueno».

La numerología es una de las «ramas» de la Física más denostada y criticada por todos los «científicos de pro». Aunque hay grandes físicos que han sido grandes defensores de la misma, como el propio P.A.M. Dirac o A.S. Eddington, la opinión estándar es relacionarla con el principio antrópico (defendido por «famosos» de la talla de S.W. Hawking) y concluir que de sus conclusiones aproximadas no se obtiene ciencia «verdadera». De todas formas, recordad la importancia que tuvo darse cuenta de que el protón y el neutrón (aparentemente tan distintos) eran la «misma» cosa (hoy en día, le llamamos nucleón), que introdujo el espín isotópico y con él gran parte de la moderna teoría cuántica de campos aplicada a partículas elementales (sustento del Modelo Estándar).

 En esta línea, acaba de aparecer el artículo de T. A. Mir, G. N. Shah, «Order in the mass spectrum of elementary particles,» ArXiv preprint, que propone explicar la figura de arriba usando como parámetro la diferencia de masa entre el pión (hadrón tipo mesón) y el muón (leptón, tipo de electrón de mayor masa). Este nuevo artículo alude a que dicha diferencia (29.318 MeV) es una «unidad fundamental» de masa. De curiosidades «numerológicas», la vida está llena.

La numerología siempre me recuerda a la famosa «estética» de la proporción del número phi o número dorado o número mágico o  phi = (1+raizcuadrada(5))/2 y a la aparición de los números de Fibonacci en biología. Cuando lees ciertas páginas web y artículos de divulgación parece que es completamente «verdad» que estos números aparecen por doquier (verdad numerológica). ¿Realmente aparecen los números de Fibonacci en la distribución de pétalos en las flores? Dedicaremos uan futura entrada de este blog a este «peliagudo» tema. Sólo quiero adelantar, que científicamente no es así. Hay flores de ciertas especies de plantas que sí siguen una distribución de este tipo, pero la gran mayoría no. Estadísticamente, es mera casualidad. Pero y lo que bonito que queda deshojar («despetalear») una margarita (que sí, que no, que sí, que no, …) si uno no sabe cuántos pétalos tiene. De la especia más común en España, hay flores con n (no digo cuántos ni si es par o impar) pétalos, pero que excepcionalmente también presentan n+1 o n-1 pétalos (con menor probabilidad pero nada despreciable). ¿Tienes alguna margarita a mano?

Para saber más (todo un clásico): G. J. Mitchison, «Phyllotaxis and the Fibonacci Series,» Science, 196: 270-275, 15 April 1977. Y un libro curioso, Mario Livio, «The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number,Broadway Books, New York, 2002, que está traducido al español «La proporción aúrea,» 3ra. ed., Ariel, 2006.