La explicación del teorema que sacudió los cimientos cuánticos

Lo prometido es deuda. Varios lectores me han pedido una explicación del teorema descrito en la traducción de Kanijo, “Un teorema sacude los cimientos cuánticos,” Ciencia Kanija, Nov. 19, 2011 [original de Eugenie Samuel Reich, “Quantum theorem shakes foundations,” Nature News, 17 November 2011]. El teorema PBR en cuestión se ha publicado en el artículo de Matthew F. Pusey, Jonathan Barrett, Terry Rudolph, “The quantum state cannot be interpreted statistically,” ArXiv, Submitted on 14 Nov 2011.

Un teorema demostrado por físicos y el mismo teorema demostrado por matemáticos son dos cosas muy diferentes, en la forma que no en el contenido. Los matemáticos aclaran todas y cada una de las hipótesis utilizadas y su terminología es unívoca. Sin embargo, los físicos asumen muchas hipótesis de facto (para qué repetir “lo que todo el mundo sabe”) y la terminología depende de la escuela de los físicos que publican la demostración (cada escuela le llama de forma algo diferente a cada cosa). Por todo ello el teorema PBR ha generado bastantes malentendidos, incluso entre los propios físicos. La palabra “estadística” que aparece en el título del artículo genera muchas dudas y lo demuestra la primera frase del artículo de Reich (traducido por Kanijo): “La función de onda es un objeto físico real, después de todo, dicen los investigadores.” ¿Qué significa “real” en esta frase? Trataré de aclarar un poco el artículo técnico pues lo que ahora mismo tienes en mente que significa “estadístico” y “real” en el contexto de las interpretaciones de la mecánica cuántica casi con toda seguridad difiere de lo que utilizan los autores del artículo PBR (salvo que seas experto en estas lides, en cuyo caso no tienes que leer el resto de esta entrada, pues ya sabes lo que voy a contar).

Para evitar malentendidos, quisiera aclarar que yo no estoy en posesión de la verdad y que voy a dar mi opinión sobre un artículo técnico. Si prefieres la opinión de un experto puedes empezar leyendo el magnífico artículo de Matt Leifer, “Can the quantum state be interpreted statistically?,” 20 November, 2011. Leifer, tras explicar las diferencias entre las interpretaciones ontológica y epistemológica de la mecánica cuántica, describe en cierto detalle la demostración del teorema PBR. Una visión más pragmática, él dice más operacional, la puedes encontrar en Scott Aaronson, “The quantum state cannot be interpreted as something other than a quantum state,” Shtetl-Optimized, November 19th, 2011. Finamente, la parte bayesiana de la demostración la resume bien Steve Hsu, “Is the wavefunction real?,” Information Processing, November 18, 2011.

Qué quieren demostrar los autores del artículo PRB

La introducción del artículo PBR incluye sendas citas de Albert Einstein y Edwin T. Jaynes que aclaran su objetivo. Los autores quieren resolver la dicotomía que existe entre la interpretación ontológica y la epistemológica de la función de onda, o en sus propias palabras la dicotomía entre si los “estados cuánticos” que representa la función de onda son “estados de realidad” o son “estados de conocimiento.” A mí me parece inapropiado, por las connotaciones que sugiere, pero los autores usan el término “conocimiento estadístico.” Me parece inapropiado porque la palabra “estadístico” lleva a reminiscencias de una teoría de variables ocultas o de una teoría clásica precuántica, cuando en el artículo los autores utilizan en todo momento la mecánica cuántica convencional en el marco de la interpretación de Conpenhague y su interpretación probabilística basada en la regla de Born.

La función de onda cuántica representa toda la información (“propiedades físicas medibles”) que un observador tiene sobre un sistema cuántico. Gracias a la función de onda se puede determinar la probabilidad de obtener cualquier resultado posible para la medida experimental de un observable concreto. Simplificando matices de carácter técnico, hay dos visiones contrapuestas sobre como interpretar esta información (sobre como interpretar la función de onda):

(1) La visión “estadística” (así la llaman en PBR, aunque es más apropiado llamarla visión epistemológica) afirma que la función de onda contiene la información que un observador posee sobre un sistema cuántico; diferentes observadores pueden poseer una información diferente sobre el mismo sistema cuántico. Parafraseando a Einstein, la función de onda describe el “estado mental” del observador en relación al sistema físico; para Einstein se trata de una descripción “incompleta” del sistema físico real, pero muchos físicos cuánticos afirman incluso que el observador que tiene estos “estados mentales” debe ser consciente.

(2) La visión “realista” (así la llaman en PBR, aunque es más apropiado llamarla visión ontológica) afirma que la función de onda contiene la información cognoscible o que se puede conocer sobre un sistema cuántico; todos los observadores que analicen de forma correcta el mismo sistema cuántico deben coincidir en el contenido de esta información porque esta información es “real,” es decir, es independiente del observador. El observador no tiene que ser macroscópico, e incluso el “vacío cuántico” puede ser un observador válido.

Para mí, como para la mayoría de los físicos cuánticos, os obvio que la visión (1) es incorrecta; la mayoría creemos a pies juntillas en la visión (2), es decir, que la función de onda cuántica describe la “realidad” del sistema físico y, por tanto, es “real” en un sentido ontológico del término. El artículo PBR presenta un teorema que afirma que la visión (1) es incorrecta, es decir, demuestra algo que a muchos nos parece obvio. Como siempre, lo obvio, por obvio, no siempre es obvio. Un matemático diría que hasta lo obvio hay que demostrarlo.

Recuerda, las palabras “estadístico” y “real” en el lenguaje común y en el contexto de las interpretaciones de la mecánica cuántica tienen significados muy diferentes. “Que no te confunda la noche,” ni el día. En el artículo PBR estas palabras significan (salvo matices técnicos que aclara Matt Leifer) lo que he indicado más arriba para las visiones (1) y (2).

En la demostración del teorema PRB los autores afirman que si dos observadores utilizan dos funciones de onda diferentes para representar el mismo sistema cuántico, porque tienen información a priori diferente sobre el mismo, entonces es posible construir un protocolo de medida “especial” tal que los resultados físicos obtenidos por ambos observadores sean diferentes. En concreto, para ciertas preparaciones del sistema cuántico, uno de los observadores afirmará que hay una probabilidad no nula de observar un resultado imposible (cuya probabilidad por construcción es siempre cero). Los autores de PRB concluyen que dos observadores no pueden asignar dos funciones de onda diferentes al mismo sistema (aunque aparentemente sean compatibles con todas las medidas); siempre es posible demostrar que uno de estos dos observadores lo está haciendo mal (es “irracional” en palabras de Scott Aaronson). Por tanto, la función de onda es “real” (en el sentido ontológico del término) y no “estadística” (en su sentido epistemológico).

La demostración se basa en el uso de estados mezcla

Los estados de un sistema en mecánica cuántica son de dos tipos, puros y mezclas. Un estado puro es un estado cuántico de un sistema que es perfectamente conocido con anterioridad a la realización de una medida. En la mayoría de las ocasiones la información que se posee acerca del estado de un sistema es incompleta y solo es posible una descripción mediante una mezcla estadística de sus posibles estados. En un estado mezcla hay una cierta probabilidad asociada a cada uno de los estados puros que constituyen dicho estado.

Volvamos al teorema PRB. Si los dos observadores asignan sendos estados puros ortogonales diferentes al mismo sistema, sean |φ> y |ψ>, donde |φ>≠|ψ> y <φ|ψ>=0, entonces demostrar cual de los dos está equivocado es muy fácil. Basta medir el sistema y comprobar si el estado resultante del sistema coincide con |φ>, o con |ψ>. El observador que estaba equivocado creía que su función de onda describía un estado puro del sistema, cuando en realidad solo describía un estado mezcla (su conocimiento a priori sobre el sistema le confundió).

El problema es más complicado cuando permitimos que los dos observadores describan el mismo sistema mediante estados mezcla. Supongamos que un observador describe el sistema con un estado |0> y el otro observador utiliza un estado |+>, que no son ortogonales entre sí <0|+>≠0; por ejemplo, |+>=(|0>+|1>)/√2, cuyo estado ortogonal es |->=(|0>-|1>)/√2. ¿Cómo saber si alguno de los observadores está equivocado? Podemos medir el sistema en la base {|0>,|1>} y si se obtiene como resultado |1> entonces el primer observador está equivocado. O podemos medir el sistema en la base {|+>, |->} y si se obtiene como resultado |-> entonces es el segundo observador el que está equivocado. Por supuesto, el sistema podría estar en un estado mezcla y ambos observadores podrían estar equivocados, habiendo una probabilidad no nula de que el sistema tras la medida esté en el estado |1> cuando es medido en la base  {|0>,|1>}, o en el estado |-> cuando es medido en la base en la base {|+>, |->}. El artículo PRB afirma que siempre es posible construir una base tal que determine cual de los dos observadores (que han asignado funciones de onda distintas al mismo sistema) está equivocado. Además, se puede lograr que este procedimiento experimental de medida sea inmune al ruido (repitiendo el procedimiento de medida un número suficiente de veces se puede compensar el efecto del ruido). Para los detalles técnicos remito al artículo PRB (o a la explicación de Matt Leifer).

Quizás te preguntes, por qué dos observadores con un conocimiento a priori diferente pueden disentir a la hora de asignar una función de onda concreta al mismo sistema cuántico. Podemos poner un ejemplo clásico sencillo (sugerido por los autores del artículo PBR, aunque yo lo voy a exagerar un poquito). Supón que dos observadores quieren estudiar los resultados que se obtienen al lanzar una moneda; puede salir cara (C) o cruz (X). El primer observador cree que la moneda es justa: hay una probabilidad del 50% de que salga cara y otra del 50% de que sea cruz (en cuántica esto sería un estado mezcla). El segundo observador sabe que la moneda está sesgada, tiene dos caras: hay una probabilidad del 100% de que salga cara y nunca saldrá cruz (en cuántica esto sería un estado puro). Ambos observadores presencian 5 lanzamientos de la moneda en los que ha salido CCCCC. ¿Cómo interpretan ambos observadores este resultado? (en cuántica sería ¿qué función de onda asignan a este sistema?). Para el primer observador se trata de una tirada razonable, aunque poco probable (5 caras salen solo el 3% de veces). Para el segundo observador se trata de una confirmación de su conocimiento, simpre sale cara. Sin embargo, cinco lanzamientos de la moneda son insuficientes para saber, sin el conocimiento a priori, si la moneda está sesgada o es justa. El resultado del experimento es compatible con el conocimiento a priori de ambos observadores. ¿Hay algún experimento sencillo que permita saber cuál de los dos observadores tiene una descripción completa del sistema? No hay que pensar mucho, basta mirar la moneda y comprobar que tiene dos caras. ¿Qué pasaría si la moneda tiene un sesgo del q% (con q≠50)? Es fácil diseñar un experimento estadístico para verificar esta hipótesis. Lo que hacen los autores del artículo PBR es hacer lo mismo para dos observadores y un sistema cuántico general.

Resumen final

Hay muchos teoremas en la mecánica cuántica que parecen muy obvios una vez que uno conoce el enunciado de dicho teorema y cuya demostración es muy sencilla (escribir lo obvio suele ser muy obvio). Pero como siempre alguien tiene que tener la imaginación y la intuición para enunciarlos y demostrarlos. En mi opinión, el teorema PBR es interesante pero no es revolucionario y sus implicaciones no serán tan importantes como las de las desigualdades de Bell (como sugiere Reich, traducido por Kanijo). Lo que en mi opinión esta claro es que este teorema tendrá aplicaciones prácticas en computación e información cuánticas, como ya ha ocurrido con otros teoremas obvios como el teorema de no clonación.

Un comentario final para acabar. ¿Este teorema demuestra que la interpretación epistemológica de la función de onda es errónea? No, porque los que prefieran esta visión pueden seguir una interpretación epistemológica “radical” según la cual la mecánica cuántica prohibe que los observadores utilicen información a priori que tienen sobre el sistema para definir su función de onda; ningún observador puede usar ningún tipo de información a priori por lo que todos los “estados mentales” de los observadores deben ser equivalentes entre sí. El teorema PBR relega la epistemológica de la función de onda a filosofía pura; en dicho contexto la visión epistemológica sigue viva y coleando (porque es irrefutable con argumentos físicos). Aún así, yo prefiero la visión ontológica de la función de onda.

¿Sigue ahí la Luna cuando no la miramos? o el problema de lo “real” en mecánica cuántica

dibujo20081111moon¿Existe la Luna cuando no la miramos? ¿Podemos aplicar la Mecánica Cuántica a los objetos macroscópicos? El problema de la existencia de la realidad es importante en mecánica cuántica. Las desigualdades de Bell indican que o bien la mecánica cuántica es no local (y por tanto incompatible con la teoría de la relatividad) o bien no es “realista” (no podemos suponer que los objetos microscópicos (donde la mecánica cuántica es aplicable) tienen propiedades con valores bien definidos o”reales”). La mecánica cuántica requiere que supongamos que no están bien definidos los valores de dichas propiedades (los estados cuánticos posibles están entrelazados). Sólo la observación de sus valores mediante un experimento nos permite conocer sus valores “reales” que se instancian en el propio proceso de medida (colapso de la función de onda). Al observar los objetos los convertimos en “reales”. 

¿Es posible construir una teoría de variables ocultas con valores bien definidos siempre que doten a los sistemas cuánticas de “realismo”? Las desigualdades de Bell han sido verificadas experimentalmente y “demuestran” que esto no es posible. Sin embargo, muchos investigadores se sienten incómodos ante esta característica de la mecánica cuántica. Les gustaría que la mecánica cuántica fuera una teoría física de la información “oculta”. Nuestra ignorancia de los valores de las variables ocultas es lo que hace que la mecánica cuántica parezca “no realista”.

David Mermin presentó un modelo simple de variables ocultas compatible con las desigualdades de Bell (“Quantum Mysteries for Anyone,” The Journal of Philosophy, 78: 397-408, 1981;  ver también “Bringing home the atomic world: Quantum mysteries for anybody,” American Journal of Physics, 49: 940-943, 1981). Aunque muchos investigadores han criticado dicho modelo, otros piensan que es “razonable” ya que recupera la “realidad” para la mecánica cuántica, que se reduce a una mera teoría de la información (oculta) sobre la realidad.

El problema de la “realidad” en mecánica cuántica sería un problema muy técnico, más bien metafísico, de interés para pocos sino fuera porque todos creemos que la mecánica clásica es una aproximación a la cuántica, que es la teoría “correcta”. Cualquier sistema físico es “cuántico,” aunque no lo parezca (la decoherencia cuántica se encarga de ello). Por ejemplo, la Luna es una objeto cuántico (que no lo parece). ¿Es “real” la Luna, cuando no es observada por nadie? ¿Es necesario que alguien esté permanentemente observando la Luna para que parezca “real”? ¿Quién la observa permanentemente? ¿El vacío cuántico?

Mermin afirma que su modelo permite recuperar la “realidad” metafísica de los objetos macroscópicos como la Luna (“Is the Moon There When Nobody Looks? Reality and the Quantum Theory,” Physics Today, 38: 38, 2007) ). Muchos dudan del modelo de Mermin y han encontrado algunas deficiencias. Guillaume Adenier, “Quantum entanglement, fair sampling, and reality: Is the moon there when nobody looks?,” American Journal of Physics, 76: 147-152, February 2008, corrige dichas deficiencias y mejora dicho modelo recuperando la “realidad” de la Luna, cuando no es observada. Si eres físico, ¿te atreves a encontrar deficiencias en el modelo de Adenier? La mecánica cuántica es muy “sutil” y seguramente alguien las encontrará y el artículo de Einstein-Podolsky-Rosen seguirá siendo una de las contribuciones más importantes a la mecánica de todo el siglo XX. Albert Einstein, uno de los creadores de la mecánica cuántica y uno de los mayores expertos en el s. XX en su “metafísica.”

¿Por qué me he acordado de este artículo de Adenier? Anteayer compré mis primeras tabletas de turrón el año. Todavía no las he abierto y ahora me encuentro en Menéame con: ¡No las abras antes de Navidad! No vaya a ser que te pase lo que al Turrón de Schrödinger: FOTO antes y después de ABRIRLA. El club del tetraedro de nuevo da en el grano. “Claro que los de la empresa del turrón siempre pueden decir que el suyo es el turrón de Schrödinger, que la foto se corresponde con el turrón justo antes de abrir la caja, que en el momento en el que se hace una observación el estado del turrón puede cambiar a… otro estado. Eso pasa por abrir las cajas antes de Navidad, hombre, si es que…”

Más información, si te ha sabido a poco:

Física y Todo lo demás: “Variables Ocultas y Desigualdad de Bell.” Incluye enlace al artículo EPR original.

Maikelnai’s blog: “La física cuántica le dice adios a la realidad.”

Dr. Gonzalo Abal “Paradoja EPR y desigualdades de Bell: Pruebas experimentales, estado acutal del conocimiento.” Algo más técnico para los físicos.

Para los que necesitan evolucionar: “Nuevo experimento cuántico, afirma que la realidad no existe si no la observas.”

El Trasgu Probabilista: “Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica (John S. Bell),” Alianza Editorial. El libro que hay leer si este tema te interesa. Una maravilla. Uno de mis libros de cabecera cuando le quiero dar a la cabeza.