La botella de Klein

La definición más intuitiva de la botella de Klein (1882) se obtiene tomando un cuadrado, sea [0, 2π]×[0, 2π], e identificando las caras opuestas con una relación de equivalencia (u, 0) ∼ (u, 2π), y (0, v) ∼ (2π, 2π − v), como indican las flechas en la figura. Con cuidado se puede comprobar que resulta la “botella” que se interseca a sí misma que todos estamos acostumbrados.

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Benoît Mandelbrot (1924-2010): Fractales y el arte de hacer matemáticas visualmente bellas

TED2010, Filmed Feb 2010; Posted Jul 2010. CON SUBTITULOS EN ESPAÑOL.

Entrevista de Punset a Mandelbrot para Redes… para que la disfrutéis.

Fractales en la naturaleza (Redes).

Benoit Mandelbrot (Universidad de Yale, EEUU) impartió una gran conferencia en Madrid en 2006 con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos: “The nature of roughness in mathematics, science and art,” Special Lecture, ICM 2006, Madrid, 27 Aug 2006. Podéis disfrutar del vídeo en formato flv, son 104 Mb o siguiendo los siguientes enlaces de youtube (conviene ver las transparencias aparte).

Más información sobre fractales en este blog: “II Carnaval de Matemáticas: La naturaleza prefractal de la Naturaleza,” 10 Marzo 2010.

ICM2010 en India, las medallas Fields y dos jóvenes geómetras españoles (Isabel y Pablo)

Cada cuatro años se celebra el Congreso Internacional de Matemáticas (ICM). Como ya viene siendo habitual en las últimas ediciones, la sesión inaugural y las charlas plenarias serán retransmitidas en directo vía videostreaming (y tras el congreso estarán disponibles en la web de la IMU). Este año el ICM se celebra en Hyderabad, India. La ceremonia de inauguración, donde se anunciarán las medallas Fields y los premios Nevalinna, Gauss y Chern (este último por primera vez) será mañana 19 de agosto de 2010 a las 9:30 horas (hora local, UTC/GMT +5:30 horas) y finalizará a las 12:30. Normalmente los premios se anuncian en la última media hora de la ceremonia, luego habrá que estar atentos a las 12:00 horas (India), es decir, a las 8:30, hora española de Madrid. Tras el anuncio serán publicadas en la web del congreso (sobre las 13:00 horas (India) o 9:30, hora española de Madrid). Un congreso que durará 9 días intensos en los que esperamos que el matemático Timothy Gowers nos relate en su blog las noticias más interesantes (ya ha empezado).

Este año asistirán muchos matemáticos españoles, pero solo han sido invitados a dar una charla plenaria dos jóvenes geómetras españoles: Isabel Fernández Delgado y Pablo Mira Carrillo, “Constant mean curvature surfaces in 3-dimensional Thurston geometries,” ArXiv, 27 Apr 2010, Invited contribution to the Proceedings of ICM 2010. Permitidme un resumen de su investigación conjunta de la propia letra de sus autores, lo copio (resumido) de “ICM2010: los conferenciantes españoles,” Instituto de Ciencias Matemáticas, 8 Octubre, 2009, ya que yo mismo no podría hacerlo mejor.

“Nuestra investigación se enmarca dentro del Análisis Geométrico, una rama situada en la frontera entre la Geometría Diferencial y la teoría de ecuaciones en derivadas parciales.” Esta rama de la matemática es la que utilizó Grigory Perelman para demostrar la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. “Nuestros resultados tratan sobre la teoría de superficies de curvatura media constante y temas relacionados, y han sido obtenidos en el ambiente investigador del Departamento de Geometría y Topología de la Universidad de Granada.

Una superfice dentro de una espacio (Riemanniano o Lorentziano) 3-dimensional tiene curvatura media constante (CMC) si es un punto crítico del problema de minimización de área a volumen constante. La ecuación de Euler-Lagrange de este problema variacional es una ecuación en derivadas parciales no lineal [de tipo] elíptico, que geométricamente se traduce en que la traza de la segunda forma fundamental de la superficie sea constante. Intuitivamente, podemos pensar en las superficies de CMC como modelos para pompas de jabón con compartimientos de área interiores, y en las superficies mínimas (esto es, de curvatura media cero) como películas de jabón sin restricción alguna de volumen.

Nuestra investigación se ha centrado en el estudio de las superficies de CMC en las geometrías 3-dimensionales de Thurston. Dichas geometrías son los espacios riemannianos 3-dimensionales más simétricos que existen (incluyendo los tres espacios modelo) y están formados por una lista de 8 espacios homogéneos. En la primavera de 2007 fuimos capaces de resolver uno de los principales problemas abiertos de la teoría: el problema de Bernstein en el espacio de Heisenberg Nil3. Dicho problema plantea la clasificación de las soluciones globalmente definidas en R2 de la EDP elíptica

(1 + (fy – tx )2 ) fxx – 2 (fx + t y) (fy – t x) fxy + (1 + (fx + t y)2 ) fyy = 0,

dónde t es una constante positiva y f(x,y) es la solución buscada. Cuando t = 0, dicha EDP es la ecuación clásica de las superficies mínimas en R3, que sólo admite funciones lineales como soluciones globales.” El artículo técnico es Isabel Fernández y Pablo Mira, “Holomorphic quadratic differentials and the Bernstein problem in Heisenberg space,” Trans. Amer. Math. Soc. 361: 5737-5752, 2009 [gratis en ArXiv]. Allí se “clasifican todas las soluciones del problema de Bernstein en Nil3 en términos de diferenciales cuadráticas holomorfas en el plano complejo o el disco unidad. La clave fue otro trabajo nuestro, que obtuvimos en verano de 2005 (de hecho, nuestro primer resultado juntos).

En la actualidad, seguimos trabajando de modo conjunto en la construcción de superficies de CMC en geometrías de Thurston, aparte de en otros problemas dentro del análisis geométrico de superficies, ya por separado.”

II Carnaval de Matemáticas: La naturaleza prefractal de la Naturaleza

Tras mi participación en la Primera Edición del Carnaval de Matemáticas, organizado por Tito Eliatron, no podía ser posible mi ausencia en la “Segunda Edición del Carnaval de Matemáticas,” organizada en esta ocasión por Juan de Mairena en su blog “Juan de Mairena [v.2.71828],” el 15 de marzo de 2010. Por cierto, gracias a Tito me enteré de que ocupé en febrero de 2010 el noveno puesto entre “Los 20 mejores blogs científicos en Wikio,” aunque en marzo bajé al trigésimo puesto.  

Órdenes de magnitud (potencias de diez) en las que un sistema físico es proclamado como fractal según un estudio de artículos publicados en revistas Physical Review durante 7 años (izq.) y un romanesco mostrando su prefractalidad con gran simetría.

La idea de que la Naturaleza es fractal parte del famosísimo libro del genial Benoit B. Mandelbrot, “The Fractal Geometry of Nature,” Freeman, 1982. Los fractales tienen una belleza geométrica que atrae a todo el mundo. Libros tan bien ilustrados como el de Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, “The beauty of fractals: images of complex dynamical systems,” Springer, 1986, han tenido una repercusión enorme tanto en matemáticas como en el resto de la ciencia. ¿Realmente es fractal la Naturaleza? Obviamente no, en un sentido matemático estricto, un fractal tiene que ser autosemejante a todas las escalas y esto es físicamente imposible (“todas” son infinitas). La Naturaleza ha de ser necesariamente prefractal, autosemejante sólo en cierto número de escalas. Un objeto parecerá fractal si este número de escalas es grande. ¿Grande como qué? Tres o cuatro órdenes de magnitud parecen más que suficientes. La cuestión sobre si la Naturaleza es o no es fractal se reduce a comprobar si los sistemas físicos que se proclaman como fractales son autosemejantes en escalas de al menos 3 órdenes de magnitud (de 1 a 1000, de 100 a 103). La verdad es que la mayoría de los artículos (no matemáticos) en física que proclaman la naturaleza fractal de algún fenómeno medido experimentalmente no logran alcanzar 3 órdenes de magnitud en el número de escalas que presentan autosemejanza, como nos mostró el estudio estadístico realizado por David Avnir, Ofer Biham, Daniel Lidar, Ofer Malcai, “Is the Geometry of Nature Fractal?,” Science 279: 39-40, 2 January 1998. La Naturaleza tiene una naturaleza prefractal. Obviamente, no tardó en leerse la respuesta del propio Benoit B. Mandelbrot a dicho artículo (Benoit B. Mandelbrot; Peter Pfeifer; Ofer Biham, Ofer Malcai, Daniel A. Lidar, David Avnir, “Is Nature Fractal?,” Correspondence, Science 279: 783, 6 February 1998), replicada por los propios autores entre otros. Permitidme recordar los hechos… pero antes un vídeo de Redes para hacer boca.  

Los fractales son hermosas contrucciones matemáticas caracterizadas por una cascada interminable de detalles estructurales autosemejantes que se revelan conforme los escalamos (los vamos aumentando con una lupa). Matemáticamente un fractal es autosemejante a todas las escalas posibles. En las últimas dos décadas, muchos científicos han creido observar estructuras fractales por doquier en cualequier estructura física de geometría compleja que han observado en sus datos experimentales. Hasta en mecánica cuántica se ha proclamado la observación experimental de funciones de onda cuánticas fractales en la superficie de un semiconductor cerca de la transición entre metal y aislante (Gregory A. Fiete, Alex de Lozanne, “Seeing Quantum Fractals,”  Perspectives, Science 327: 652-653, 5 February 2010; Anthony Richardella et al., “Visualizing Critical Correlations Near the Metal-Insulator Transition in Ga1-xMnxAs“, Reports, Science, 327: 665-669, 5 February 2010).    

La declaración de fractalidad en un sistema físico está asociada a su autosemejanza: Un objeto es autosemejante si se puede construir a partir de copias semejantes a sí mismo, es decir, copias idénticas a sí mismo a las que se ha aplicado un factor de escala (transformación geométrica denominada escalado, semejanza u homotecia). Un objeto fractal no tiene ninguna escala característica sino que todas las escalas son “buenas” para representar dicho objeto. La fractalidad de ciertos resultados experimentales requiere observar las repeticiones de cierto patrón de autosemejanza en múltiples escalas que recorran varios órdenes de magnitud. Sin embargo, en la mayoría de los artículos que se publican hoy en día esta condición no se cumple y la posible fractalidad se limita a sólo unas pocos órdenes de magnitud en las escalas.    

Avnir et al. estudiaron artículos en revistas de la APS (American Physical Society), en concreto, Physical Review Letters y Physical Review desde la A a la E, publicados durante los años de 1990 a 1996, cuyos autores proclamaran haber descubierto la fractalidad de sus resultados experimentales (96 artículos en total). Para su sorpresa descubrieron que la mayoría de dichos sistemas físicos presentan autosemejanza sólo en factores de escala en dos órdenes de magnitud, entre 1 y 100, y ninguno lograba observarla en más de 3 órdenes de magnitud (ver el histograma que abre esta entrada extraído de su artículo). Matemáticamente, la fractalidad de una propiedad P se observa empíricamente si dicha propiedad depende de una cierta dimensión (resolución) r con una expresión en forma de ley de potencia dada por  

P = k r  f(D),  

donde D es la dimensión fractal calculada experimentalmente, k es una constante y el exponente f (D) es una función simple de D. En la mayoría de los casos dicha ley de potencia es ajustada utilizando regresión lineal (un procedimiento que es matemáticamente incorrecto, más detalles por ejemplo en “Todo lo que siempre quisiste saber sobre leyes de potencia,” este blog, 21 jun. 2009, o en “Qué hace un físico con las estadísticas del blog (y 2),” Pseudópodo, 18 feb 2008). Además, muchas veces la región “lineal” en la que se ajustan los datos es determinada “a ojo de buen cubero” por parte del investigador.   

Para Avnir et al. sus resultados indican claramente que la naturaleza fractal proclamada por los autores de los artículos que han estudiado es muy discutible. En su opinión la etiqueta fractal aplicada por los autores de los artículos que han estudiado es, ellos dicen tal vez, errónea. Yo pondría la etiqueta de prefractal. Más aún, no ven claro que declarar la fractalidad de unos resultados experimentales tenga ningún tipo de utilidad (“A more basic question should be asked: Is this useful?“). Se preguntan: ¿de qué sirve una ley de potencias para describir una geometría complicada? ¿en qué ayuda la ley de potencias a la hora de entender la formación de dicho patrón geométrico? ¿en qué ayuda saber que una geometría es prefractal?   

La geometría fractal es una rama de las matemáticas que estudia objetos geométricos abstractos muy complejos, por ejemplo, cuyo contorno es continuo pero no diferenciable. Sin embargo, una geometría prefractal no es tan complicada y puede ser estudiada con las herramientas estándares de la geometría convencional (no fractal). ¿Por qué no se limitan los investigadores a proclamar el descubrimiento de una ley de potencias en sus datos en lugar de proclamar su fractalidad? Avnir et al. no se mojan, dejan la pregunta en el aire. Yo me atrevo a afirmar que “fractal” suena mucho mejor, es más “comercial,” a la hora de tratar de “vender” un artículo para que sea aceptado en una revista de impacto.    

Avnir et al. acaban su artículo con una pregunta final: ¿es la geometría de la Naturaleza fractal? (“Is the geometry of nature fractal?“). Hay teorías físicas sin escala (“scale-free“) para describir fenómenos en equilibrio crítico (en imanes, líquidos y transiciones de fase) y fuera de del equilibrio (ciertos modelos de crecimiento por agregación). Dichas teorías físicas conducen de forma natural a una ley de potencias y a un comportamiento autosemejante (a todas las escalas donde se aplicables). Sin embargo, la mayoría de los artículos que proclaman la fractalidad no parecen estar ligados a este tipo de modelos y no presentan un fundamento físico subyacente que explique sus resultados. Los experimentalistas prefieren la etiqueta “fractal” para los objetos en los que han encontrado leyes de potencia. Acaban su artículo Avnir et al. con un contundente: esta es la geometría fractal de la Naturaleza (“This is the fractal geometry of nature“).    

Esta última frase en su artículo es la que más dolió a Mandelbrot quien quiso dejar claro en un comentario de respuesta al artículo que el hecho de que haya muchos investigadores abusando de la palabra “fractal” no quita ápice a que la geometría fractal se observe en la Naturaleza por doquier y su descubrimiento en muchos sistemas físicos no tenga interés. Más bien al contrario, la geometría fractal está siendo encontrada por doquier en todo tipo de estudios. Mandelbrot nos recuerda que en todos los campos científicos hay artículos cuyos análisis son discutibles.  

Mandelbrot nos recuerda que los fractales no son una panacea, no están en todas partes en la Naturaleza. Pero hay muchos sistemas que sí los presentan y su descubrimiento a permitido avanzar el conocimiento. Nos pone el ejemplo de la fractalidad en las fracturas de metales, descubierta hace unas décadas, que permitió introducir nuevas medidas de la rugosidad de las fracturas. En estos sistemas la autosemejanza alcanza hasta 5 órdenes de magnitud en las escalas (recientemente hablamos en este blog de un trabajo en  esta línea “Publicado en Nature: Un físico catalán estudia mediante ordenador la propagación de fracturas en materiales frágiles,” 4 marzo 2010). Mandelbrot nos recuerda que sus propios estudios con Berger sobre los errores de transmisión en comunicaciones de datos demostraron la fractalidad en escalas entre 7 y 9 órdenes de magnitud.  

Para Mandelbrot los resultados de Avnir et al. se entendienden mejor como desafortunados efectos colaterales del entusiasmo de los autores a la hora de reportar nuevas estructuras fractales, permitidas por una labor deficiente por parte de los revisores de dichos artículos, y no como un descrédito a una nueva herramienta matemática de gran utilidad práctica. ¡Qué va a decir un padre sobre su hijo!  

Peter Pfeifer nos comenta que él ha desarrollado técnicas matemáticas que permiten discernir si una estructura geométrica candidata a fractal realmente lo es o no. Además, nos recuerda, también lo hizo Mandelbrot, que Avnir et al. son especialistas en hacer lo que critican, calificar de fractales muchos de sus resultados experimentales modelados con leyes de potencias en menos de un orden de magnitud (“Avnir, and I, have presented, inter alia, scaling ranges of less than a decade as fractals“). Pfeifer nos recuerda que el descubrimiento de fractales requiere un análisis más profundo que sólo ajustar una ley de potencias.   

Avnir et al. contestan a ambos recordando que ellos son expertos en el estudio experimental de fractales y que han publicado el artículo de revisión más completo sobre el tema (Ofer Malcai, Daniel A. Lidar, Ofer Biham, David Avnir, “Scaling range and cutoffs in empirical fractals,” Physical Review E 56: 2817–2828, 1997). No comprenden el estupor de Mandelbrot. Su artículo en Science tiene como único objeto destacar que los descubrimientos de fractales en datos experimentales son muy excepcionales y han de ser tratados como tales. Ellos no pretenden desprestigiar o degradar artículos publicados en revistas internacionales de prestigio, que seguramente serán de utilidad para muchos otros investigadores, lo único que pretenden es destacar que hay que replantearse la fractalidad de muchos de los sistemas experimentales para los que ha sido proclamada. Ponen el ejemplo del estudio original de Richardson sobre la fractalidad de la costa de Gran Bretaña (uno de los paradigmas de los fractales desde que Mandelbrot lo presentó en su libro). Este comportamiento se extendiende sólo entre 1 y 2 órdenes de magnitud.  

Según Avnir et al. los ejemplos en la literatura científica de fractales “verdaderos” (autosemejantes en escalas de más de 3 órdenes de magnitud) son muy escasos. Para Avnir et al. es muy discutible decir que la costa de Gran Bretaña, las fracturas en metales, las nubes, y muchos otros ejemplos más son fractales. Un análisis más riguroso muestra que son sólo prefractales. La mayoría de los sistemas físicos calificados como fractales sólo presentan autosemejanza en 1’3 órdenes de magnitud y muy excepcionalmente llegan a 3. Los ejemplos con más órdenes de magnitud suelen depender de un análisis concreto de los datos y dichos órdenes de magnitud desaparecen ante una inspección más cuidadosa.  

Avnir et al. se reafirman en que la parca evidencia empírica de fractales en la Naturaleza no permite afirmar que “la Naturaleza tenga una geometría fractal.” Hay que reanalizar y estudiar cuidadosamente la fractalidad en todos los sistemas en los que ha sido proclamada con objeto de entender mejor su posible origen en dichos sistemas. Concluyen su comentario preguntándose en voz alta: “¿Por qué la Naturaleza es prefractal?” (“Why are these limited-range fractals common?“).  

Quizás es el momento de descansar un poco… aquí tenéis una entrevista de Punset a Mandelbrot para Redes… espero que la disfrutéis. 

 

Quizás el problema de Avnir et al., que Mandelbrot no acaba de aclarar,  es que confunden fractalidad y autosemejanza. La fractalidad es una propiedad topológica, pero la autosemejanza es morfológica. Están relacionadas entre sí, pero son cosas diferentes. Nos lo cuenta muy bien el genial Federico García Moliner, Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica de 1992, en “Quasiregular heterostructures: An overview of the current situation,” Microelectronics Journal 36: 870-875, October 2005.

Consideremos el conjunto de Cantor. Su contrucción geométrica es la siguiente. En primer lugar se toma el intervalo [0, 1]. En segundo lugar se le quita el tercio interior, es decir, el intervalo abierto (1/3, 2/3). En tercer lugar se repite la operación anterior con los dos segmentos que han quedado, es decir, se quitan los intervalos abiertos (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9). Y así sucesivamente ad infinitum: se quita el tercio central de todos los intervalos que quedan. El conjunto de Cantor es fractal, su dimensión de Hausdorff es menor que uno, concretamente log(2)/log(3), y además es autosemejante, por construcción está formado por dos copias de sí mismo escaladas por un factor de 1/3. Ahora bien, podemos obtener un conjunto de Cantor que es fractal pero no es autosemejante de la siguiente forma. Volvemos a tomar en primer lugar el intevalo [0,1]. Ahora en segundo lugar tomamos dos puntos aleatorios en este segmento y eliminamos el intervalo abierto entre ellos. En pasos sucesivos repetimos este procedimiento con los segmentos resultantes, tomando siempre valores aleatorios para seleccionar el subsegmento que eliminamos. El resultado (como el de la figura de la izquierda) es un conjunto fractal, pero no es autosemejante. Muchos de los sistemas físicos que son fractales en la Naturaleza no son exactamente autosemejantes y por eso los órdenes de magnitud de las escalas en las se observa dicha autosemejanza son muy limitadas. En la terminología de García Moliner son fractales cuasiregulares.

Fractal o prefractal, lo que está claro es que nuestra manera de ver muchos objetos de la Naturaleza está marcado por la visión y la profundidad del gran matemático Benoit Mandelbrot (Yale University, USA). Por eso creo que el mejor final para esta entrada es recomendaros la conferencia que impartió en Madrid en 2006 con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos: “The nature of roughness in mathematics, science and art,” Special Lecture, ICM 2006, Madrid, 27 Aug 2006. Podéis disfrutar del vídeo en http://www.icm2006.org/video/ (pinchad en “Table of Contents” > “Seventh Session” > “Special lecture”). Aquí podéis descargar directamente el vídeo en formato flv, son 104 Mb.

“Gafas de rayos X” para ver a los demás sin ropa (o desnudar a los pasajeros para volverlos a vestir ante los ojos de los “securatas”)

dibujo20081113escanerLa psicosis à la Bush contra el terrorismo aéreo desde la tagedia del 11S llevó a las empresas fabricantes de escáneres de rayos X a lograr el “no va más,” el “escáner que desnuda.” Parece ser que algunos aeropuertos en EEUU lo tienen actualmente instalado a modo de prueba. Los encargados de los controles de seguridad pueden ver una imagen muy clara del cuerpo desnudo de los pasajeros, así como de su ropa interior. Algo que viola la privacidad del pasajero uno de los Derechos Humanos básicos. Recientemente, hay cierto interés en dicha tecnología por parte de la Comunidad Económica Europea.

Ahora los fabricantes de escáneres tienen un nuevo problema. ¿Cómo difuminar el cuerpo “desnudo” y la ropa interior de los pasajeros sin obviar la posibilidad de ver los “peligros” que ocultan? Una posibilidad sorprendente, pero que pronto será práctica, es reconstruir el cuerpo desnudo “estadísticamente” a partir de una imagen del cuerpo vestido con ropa. Alexandru O. Balan y Michael J. Black, de la Universidad de Brown, en Providence, Rhode Island, EEUU, han presentado dicha técnica en “The Naked Truth: Estimating Body Shape Under Clothing,” en la European Conference on Computer Vision, October 2008 .

El sistema ha aprendido la forma del cuerpo que hay debajo de la ropa gracias a una base de datos con 2000 imágenes de barrido por láser 3D de personas vestidas y “desnudas” (en ropa interior) en diferentes posturas. Los resultados son espectaculares. Os recomiendo ver los 6 vídeos demostrativos (formato AVI). No quiero entrar en los detalles técnicos, por otro lado, no excesivamente complejos (básicamente técnicas de visión estereo junto a estimación de la geometría según una base de datos). El trabajo conformará la tesis doctoral de Balan, bajo la dirección de Black, y os puedo asegurar que dará mucho que hablar en el futuro.

La técnica se basa en dos hipótesis. (1) la forma del cuerpo humano se puede determinar independientemente de la postura. Han verificado dicha hipótesis experimentalmente. Esta hipótesis permite combinar múltiples posturas para estimar de forma muy precisa la “única” geometría del cuerpo de la persona observada. Y (2) imágenes del cuerpo humano con ropa ofrecen restricciones suficientes para inferir únivocamente la forma 3D del cuerpo. Por supuesto, cierta ropa se diseña para “ocultar” la forma (ciertas formas no deseadas) del cuerpo. Sin embargo, la ropa normal “de calle” ofrece restricciones suficientes para realizar dicha reconstrucción (como muestran los resultados del artículo). Los autores definen el concepto de “geometría corporal máximamente consistente con la silueta” (maximal silhouette-consistent parametric shape, MSCPS) que generaliza el concepto de “envolvente visual” (visual hull). Los interesados en más detalles técnicos pueden recurrir al artículo de los autores (gratuito en la web).

dibujo20081113body3d

Desde un punto de vista aplicado, a la técnica le queda todavía mucho para ser práctica con el objeto de eliminar el cuerpo desnudo observado en los “escáneres que desnudan.” Los autores dicen que están trabajando para lograr utilizar imágenes únicas (actualmente necesitan varias imágenes simultáneas, visión estereo múltiple). Los autores proponen aplicaciones bastante prosaicas para su sistema, como ahorrar dinero a la industria de los efectos especiales para cine y de los videojuegos, ahorrando tomas de cámaras a la hora de estimar las posturas de los actores en capturas de movimiento.

Hay una posible aplicación que no me resisto a comentar. El sistema conectado a una web cam en un ultraportátil constituirá una “gafas de rayos x” para “desnudar a todos los que nos rodean.”

Es imposible reconocer la forma de un tambor escuchando sólo su sonido (cosas de la televisión)

Dibujo20130723 Figure shows two isospectral drums

¿Es posible distinguir la forma del tapete de un tambor escuchando sólamente el sonido que produce al ser golpeado? Desde 1991 se sabe que es imposible, en general, es decir, que hay tambores con diferentes formas que suenan exactamente igual. Como los de la figura de arriba cuyos modos normales de vibración tienen la misma frecuencia (“suenan” igual), aunque en la figura sólo se muestran los 4 primeros. Un artículo curioso sobre este tema lo tenéis en Ivars Peterson’s MathTrek, “Drums That Sound Alike,” April 14, 1997 .

Lo que hace que los sonidos producidos por dos tambores diferentes suene diferente son las frecuencias características de vibración de sus tapetes al ser golpeados, que dependen fundamentalmente del tamaño, forma, y tensión del tapete, así como de la forma de la baquete y el modo en que se golpea. El “color” sonoro de cada tambor depende de las diferentes frecuencias de vibración que son sonidos puros “formantes” del sonido. En 1966, Mark Kac se preguntó si el conocimiento de los modos normales de vibración, estas sonidos puros, producidos por un tambor era suficiente para determinar unívocamente su forma geométrica (“Can One Hear the Shape of a Drum?”). La resolución de este problema tuvo que esperar hasta 1991, cuando Carolyn S. Gordon y David L. Webb, descubrieron un contraejemplo, dos tambores con la misma área y perímetro pero con diferente geometría que mostraban exactamente el mismo espectro sonoro.

La imagen que inicia esta entrada es del artículo de Toby Driscoll, “EIGENMODES OF ISOSPECTRAL DRUMS,” SIAM REVIEW, Vol. 39, No. 1, pp. 1-17, March 1997 , que ha verificado numéricamente la igualdad de los espectros de frecuencia con hasta 12 dígitos de precisión. Hace tiempo que lo leí y la televisión esta noche me lo ha recordado. Algo bueno tiene que tener la televisión. ¿Que qué me lo ha recordado? Ya lo he olvidado.