II Carnaval de Matemáticas: La naturaleza prefractal de la Naturaleza

Tras mi participación en la Primera Edición del Carnaval de Matemáticas, organizado por Tito Eliatron, no podía ser posible mi ausencia en la “Segunda Edición del Carnaval de Matemáticas,” organizada en esta ocasión por Juan de Mairena en su blog “Juan de Mairena [v.2.71828],” el 15 de marzo de 2010. Por cierto, gracias a Tito me enteré de que ocupé en febrero de 2010 el noveno puesto entre “Los 20 mejores blogs científicos en Wikio,” aunque en marzo bajé al trigésimo puesto.  

Órdenes de magnitud (potencias de diez) en las que un sistema físico es proclamado como fractal según un estudio de artículos publicados en revistas Physical Review durante 7 años (izq.) y un romanesco mostrando su prefractalidad con gran simetría.

La idea de que la Naturaleza es fractal parte del famosísimo libro del genial Benoit B. Mandelbrot, “The Fractal Geometry of Nature,” Freeman, 1982. Los fractales tienen una belleza geométrica que atrae a todo el mundo. Libros tan bien ilustrados como el de Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, “The beauty of fractals: images of complex dynamical systems,” Springer, 1986, han tenido una repercusión enorme tanto en matemáticas como en el resto de la ciencia. ¿Realmente es fractal la Naturaleza? Obviamente no, en un sentido matemático estricto, un fractal tiene que ser autosemejante a todas las escalas y esto es físicamente imposible (“todas” son infinitas). La Naturaleza ha de ser necesariamente prefractal, autosemejante sólo en cierto número de escalas. Un objeto parecerá fractal si este número de escalas es grande. ¿Grande como qué? Tres o cuatro órdenes de magnitud parecen más que suficientes. La cuestión sobre si la Naturaleza es o no es fractal se reduce a comprobar si los sistemas físicos que se proclaman como fractales son autosemejantes en escalas de al menos 3 órdenes de magnitud (de 1 a 1000, de 100 a 103). La verdad es que la mayoría de los artículos (no matemáticos) en física que proclaman la naturaleza fractal de algún fenómeno medido experimentalmente no logran alcanzar 3 órdenes de magnitud en el número de escalas que presentan autosemejanza, como nos mostró el estudio estadístico realizado por David Avnir, Ofer Biham, Daniel Lidar, Ofer Malcai, “Is the Geometry of Nature Fractal?,” Science 279: 39-40, 2 January 1998. La Naturaleza tiene una naturaleza prefractal. Obviamente, no tardó en leerse la respuesta del propio Benoit B. Mandelbrot a dicho artículo (Benoit B. Mandelbrot; Peter Pfeifer; Ofer Biham, Ofer Malcai, Daniel A. Lidar, David Avnir, “Is Nature Fractal?,” Correspondence, Science 279: 783, 6 February 1998), replicada por los propios autores entre otros. Permitidme recordar los hechos… pero antes un vídeo de Redes para hacer boca.  

Los fractales son hermosas contrucciones matemáticas caracterizadas por una cascada interminable de detalles estructurales autosemejantes que se revelan conforme los escalamos (los vamos aumentando con una lupa). Matemáticamente un fractal es autosemejante a todas las escalas posibles. En las últimas dos décadas, muchos científicos han creido observar estructuras fractales por doquier en cualequier estructura física de geometría compleja que han observado en sus datos experimentales. Hasta en mecánica cuántica se ha proclamado la observación experimental de funciones de onda cuánticas fractales en la superficie de un semiconductor cerca de la transición entre metal y aislante (Gregory A. Fiete, Alex de Lozanne, “Seeing Quantum Fractals,”  Perspectives, Science 327: 652-653, 5 February 2010; Anthony Richardella et al., “Visualizing Critical Correlations Near the Metal-Insulator Transition in Ga1-xMnxAs“, Reports, Science, 327: 665-669, 5 February 2010).    

La declaración de fractalidad en un sistema físico está asociada a su autosemejanza: Un objeto es autosemejante si se puede construir a partir de copias semejantes a sí mismo, es decir, copias idénticas a sí mismo a las que se ha aplicado un factor de escala (transformación geométrica denominada escalado, semejanza u homotecia). Un objeto fractal no tiene ninguna escala característica sino que todas las escalas son “buenas” para representar dicho objeto. La fractalidad de ciertos resultados experimentales requiere observar las repeticiones de cierto patrón de autosemejanza en múltiples escalas que recorran varios órdenes de magnitud. Sin embargo, en la mayoría de los artículos que se publican hoy en día esta condición no se cumple y la posible fractalidad se limita a sólo unas pocos órdenes de magnitud en las escalas.    

Avnir et al. estudiaron artículos en revistas de la APS (American Physical Society), en concreto, Physical Review Letters y Physical Review desde la A a la E, publicados durante los años de 1990 a 1996, cuyos autores proclamaran haber descubierto la fractalidad de sus resultados experimentales (96 artículos en total). Para su sorpresa descubrieron que la mayoría de dichos sistemas físicos presentan autosemejanza sólo en factores de escala en dos órdenes de magnitud, entre 1 y 100, y ninguno lograba observarla en más de 3 órdenes de magnitud (ver el histograma que abre esta entrada extraído de su artículo). Matemáticamente, la fractalidad de una propiedad P se observa empíricamente si dicha propiedad depende de una cierta dimensión (resolución) r con una expresión en forma de ley de potencia dada por  

P = k r  f(D),  

donde D es la dimensión fractal calculada experimentalmente, k es una constante y el exponente f (D) es una función simple de D. En la mayoría de los casos dicha ley de potencia es ajustada utilizando regresión lineal (un procedimiento que es matemáticamente incorrecto, más detalles por ejemplo en “Todo lo que siempre quisiste saber sobre leyes de potencia,” este blog, 21 jun. 2009, o en “Qué hace un físico con las estadísticas del blog (y 2),” Pseudópodo, 18 feb 2008). Además, muchas veces la región “lineal” en la que se ajustan los datos es determinada “a ojo de buen cubero” por parte del investigador.   

Para Avnir et al. sus resultados indican claramente que la naturaleza fractal proclamada por los autores de los artículos que han estudiado es muy discutible. En su opinión la etiqueta fractal aplicada por los autores de los artículos que han estudiado es, ellos dicen tal vez, errónea. Yo pondría la etiqueta de prefractal. Más aún, no ven claro que declarar la fractalidad de unos resultados experimentales tenga ningún tipo de utilidad (“A more basic question should be asked: Is this useful?“). Se preguntan: ¿de qué sirve una ley de potencias para describir una geometría complicada? ¿en qué ayuda la ley de potencias a la hora de entender la formación de dicho patrón geométrico? ¿en qué ayuda saber que una geometría es prefractal?   

La geometría fractal es una rama de las matemáticas que estudia objetos geométricos abstractos muy complejos, por ejemplo, cuyo contorno es continuo pero no diferenciable. Sin embargo, una geometría prefractal no es tan complicada y puede ser estudiada con las herramientas estándares de la geometría convencional (no fractal). ¿Por qué no se limitan los investigadores a proclamar el descubrimiento de una ley de potencias en sus datos en lugar de proclamar su fractalidad? Avnir et al. no se mojan, dejan la pregunta en el aire. Yo me atrevo a afirmar que “fractal” suena mucho mejor, es más “comercial,” a la hora de tratar de “vender” un artículo para que sea aceptado en una revista de impacto.    

Avnir et al. acaban su artículo con una pregunta final: ¿es la geometría de la Naturaleza fractal? (“Is the geometry of nature fractal?“). Hay teorías físicas sin escala (“scale-free“) para describir fenómenos en equilibrio crítico (en imanes, líquidos y transiciones de fase) y fuera de del equilibrio (ciertos modelos de crecimiento por agregación). Dichas teorías físicas conducen de forma natural a una ley de potencias y a un comportamiento autosemejante (a todas las escalas donde se aplicables). Sin embargo, la mayoría de los artículos que proclaman la fractalidad no parecen estar ligados a este tipo de modelos y no presentan un fundamento físico subyacente que explique sus resultados. Los experimentalistas prefieren la etiqueta “fractal” para los objetos en los que han encontrado leyes de potencia. Acaban su artículo Avnir et al. con un contundente: esta es la geometría fractal de la Naturaleza (“This is the fractal geometry of nature“).    

Esta última frase en su artículo es la que más dolió a Mandelbrot quien quiso dejar claro en un comentario de respuesta al artículo que el hecho de que haya muchos investigadores abusando de la palabra “fractal” no quita ápice a que la geometría fractal se observe en la Naturaleza por doquier y su descubrimiento en muchos sistemas físicos no tenga interés. Más bien al contrario, la geometría fractal está siendo encontrada por doquier en todo tipo de estudios. Mandelbrot nos recuerda que en todos los campos científicos hay artículos cuyos análisis son discutibles.  

Mandelbrot nos recuerda que los fractales no son una panacea, no están en todas partes en la Naturaleza. Pero hay muchos sistemas que sí los presentan y su descubrimiento a permitido avanzar el conocimiento. Nos pone el ejemplo de la fractalidad en las fracturas de metales, descubierta hace unas décadas, que permitió introducir nuevas medidas de la rugosidad de las fracturas. En estos sistemas la autosemejanza alcanza hasta 5 órdenes de magnitud en las escalas (recientemente hablamos en este blog de un trabajo en  esta línea “Publicado en Nature: Un físico catalán estudia mediante ordenador la propagación de fracturas en materiales frágiles,” 4 marzo 2010). Mandelbrot nos recuerda que sus propios estudios con Berger sobre los errores de transmisión en comunicaciones de datos demostraron la fractalidad en escalas entre 7 y 9 órdenes de magnitud.  

Para Mandelbrot los resultados de Avnir et al. se entendienden mejor como desafortunados efectos colaterales del entusiasmo de los autores a la hora de reportar nuevas estructuras fractales, permitidas por una labor deficiente por parte de los revisores de dichos artículos, y no como un descrédito a una nueva herramienta matemática de gran utilidad práctica. ¡Qué va a decir un padre sobre su hijo!  

Peter Pfeifer nos comenta que él ha desarrollado técnicas matemáticas que permiten discernir si una estructura geométrica candidata a fractal realmente lo es o no. Además, nos recuerda, también lo hizo Mandelbrot, que Avnir et al. son especialistas en hacer lo que critican, calificar de fractales muchos de sus resultados experimentales modelados con leyes de potencias en menos de un orden de magnitud (“Avnir, and I, have presented, inter alia, scaling ranges of less than a decade as fractals“). Pfeifer nos recuerda que el descubrimiento de fractales requiere un análisis más profundo que sólo ajustar una ley de potencias.   

Avnir et al. contestan a ambos recordando que ellos son expertos en el estudio experimental de fractales y que han publicado el artículo de revisión más completo sobre el tema (Ofer Malcai, Daniel A. Lidar, Ofer Biham, David Avnir, “Scaling range and cutoffs in empirical fractals,” Physical Review E 56: 2817–2828, 1997). No comprenden el estupor de Mandelbrot. Su artículo en Science tiene como único objeto destacar que los descubrimientos de fractales en datos experimentales son muy excepcionales y han de ser tratados como tales. Ellos no pretenden desprestigiar o degradar artículos publicados en revistas internacionales de prestigio, que seguramente serán de utilidad para muchos otros investigadores, lo único que pretenden es destacar que hay que replantearse la fractalidad de muchos de los sistemas experimentales para los que ha sido proclamada. Ponen el ejemplo del estudio original de Richardson sobre la fractalidad de la costa de Gran Bretaña (uno de los paradigmas de los fractales desde que Mandelbrot lo presentó en su libro). Este comportamiento se extendiende sólo entre 1 y 2 órdenes de magnitud.  

Según Avnir et al. los ejemplos en la literatura científica de fractales “verdaderos” (autosemejantes en escalas de más de 3 órdenes de magnitud) son muy escasos. Para Avnir et al. es muy discutible decir que la costa de Gran Bretaña, las fracturas en metales, las nubes, y muchos otros ejemplos más son fractales. Un análisis más riguroso muestra que son sólo prefractales. La mayoría de los sistemas físicos calificados como fractales sólo presentan autosemejanza en 1’3 órdenes de magnitud y muy excepcionalmente llegan a 3. Los ejemplos con más órdenes de magnitud suelen depender de un análisis concreto de los datos y dichos órdenes de magnitud desaparecen ante una inspección más cuidadosa.  

Avnir et al. se reafirman en que la parca evidencia empírica de fractales en la Naturaleza no permite afirmar que “la Naturaleza tenga una geometría fractal.” Hay que reanalizar y estudiar cuidadosamente la fractalidad en todos los sistemas en los que ha sido proclamada con objeto de entender mejor su posible origen en dichos sistemas. Concluyen su comentario preguntándose en voz alta: “¿Por qué la Naturaleza es prefractal?” (“Why are these limited-range fractals common?“).  

Quizás es el momento de descansar un poco… aquí tenéis una entrevista de Punset a Mandelbrot para Redes… espero que la disfrutéis. 

 

Quizás el problema de Avnir et al., que Mandelbrot no acaba de aclarar,  es que confunden fractalidad y autosemejanza. La fractalidad es una propiedad topológica, pero la autosemejanza es morfológica. Están relacionadas entre sí, pero son cosas diferentes. Nos lo cuenta muy bien el genial Federico García Moliner, Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica de 1992, en “Quasiregular heterostructures: An overview of the current situation,” Microelectronics Journal 36: 870-875, October 2005.

Consideremos el conjunto de Cantor. Su contrucción geométrica es la siguiente. En primer lugar se toma el intervalo [0, 1]. En segundo lugar se le quita el tercio interior, es decir, el intervalo abierto (1/3, 2/3). En tercer lugar se repite la operación anterior con los dos segmentos que han quedado, es decir, se quitan los intervalos abiertos (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9). Y así sucesivamente ad infinitum: se quita el tercio central de todos los intervalos que quedan. El conjunto de Cantor es fractal, su dimensión de Hausdorff es menor que uno, concretamente log(2)/log(3), y además es autosemejante, por construcción está formado por dos copias de sí mismo escaladas por un factor de 1/3. Ahora bien, podemos obtener un conjunto de Cantor que es fractal pero no es autosemejante de la siguiente forma. Volvemos a tomar en primer lugar el intevalo [0,1]. Ahora en segundo lugar tomamos dos puntos aleatorios en este segmento y eliminamos el intervalo abierto entre ellos. En pasos sucesivos repetimos este procedimiento con los segmentos resultantes, tomando siempre valores aleatorios para seleccionar el subsegmento que eliminamos. El resultado (como el de la figura de la izquierda) es un conjunto fractal, pero no es autosemejante. Muchos de los sistemas físicos que son fractales en la Naturaleza no son exactamente autosemejantes y por eso los órdenes de magnitud de las escalas en las se observa dicha autosemejanza son muy limitadas. En la terminología de García Moliner son fractales cuasiregulares.

Fractal o prefractal, lo que está claro es que nuestra manera de ver muchos objetos de la Naturaleza está marcado por la visión y la profundidad del gran matemático Benoit Mandelbrot (Yale University, USA). Por eso creo que el mejor final para esta entrada es recomendaros la conferencia que impartió en Madrid en 2006 con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos: “The nature of roughness in mathematics, science and art,” Special Lecture, ICM 2006, Madrid, 27 Aug 2006. Podéis disfrutar del vídeo en http://www.icm2006.org/video/ (pinchad en “Table of Contents” > “Seventh Session” > “Special lecture”). Aquí podéis descargar directamente el vídeo en formato flv, son 104 Mb.

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“Pi,” la película. La visión de un matemático

dibujo20081115piPara un matemático, las películas sobre matemáticos tienen un atractivo especial, y entre ellas destaca “Pi” de Darren Aronofsky, que nos presenta a un matemático Maximilian Cohen (interpretado por Sean Gullette), más parecido a un esquizofrénico paranoico que un investigador serio, quien pretende entender el comportamiento caótico de la bolsa utilizando teoría de números. Cuando escuchamos la voz en off de Max afirmando que “la matemática es el lenguaje de la Naturaleza, … hay patrones por todas partes en la Naturaleza, … y también en los mercados bursátiles,” me viene a la cabeza el libro “La geometría fractal de la Naturaleza” (1977, traducido en Tusquets Editores en 1997) de Benoit Mandelbrot, matemático de IBM que acuñó el término fractal. Pero, ¿hay comportamiento fractal en la bolsa?

A finales de la década de 1920, Raph Nelson Elliott descubrió que los mercados siguen ciclos repetitivos y desarrolló una estructura fractal para modelarlos, la teoría de ondas de Elliot. Existen dos tipos de ondas que se suceden entre sí las impulsivas y las correctivas. Las primeras están formadas por 5 ondas, 3 impulsivas y 2 correctivas; las segundas están formadas por 3 ondas, 2 correctivas y 1 impulsiva. Todas estas ondas están formadas por ondas más pequeñas, que a su vez están formadas por ondas aún más pequeñas, y así sucesivamente. Se denomina fractal a un objeto geométrico que se repite a sí mismo a múltiples escalas (siglos, décadas, años, meses, días, horas… en el caso de la bolsa). ¿Y qué tiene que ver esto con la teoría de números que usa Max en la película?

La sucesión de números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, donde un número es la suma de los dos anteriores, se denominan números de Fibonacci. Estos números aparecen en la teoría de ondas de Elliott cuando se cuentan el número de ondas a una escala determinada. ¿Y hay algún número “mágico” que pueda descubrir Max en la película? Claro que sí, el cociente entre dos números de Fibonacci sucesivos, 55/34, 144/89, … tiende en el límite hacia una constante, 1.618, llamada número dorado (la mitad de la suma de uno más la raíz cuadrada de dos). Este número es descubierto por Max mientras dibuja espirales dentro de rectángulos, ¿por qué?

dibujo20081115spiralEl número de dorado es la razón entre los lados de un rectángulo dorado, que es la unión de un cuadrado y un rectángulo dorado más pequeño. La espiral dorada, descubierta por Pitágoras, se dibuja fácilmente trazando un arco de circunferencia inscrito en cada uno de los cuadrados de esta sucesión infinita. ¿Y qué tiene que ver el número pi (3.1416) con todo esto? Realmente poco, el maestro de Max, Sol Robeson (interpretado por Mark Margolis) dice haber dedicado su vida a descubrir el patrón que siguen los decimales de pi. Desde el siglo XIX se sabe que los números irracionales como pi no tienen patrón alguno, cualquier sucesión de dígitos puede encontrarse entre los dígitos de pi. Por ejemplo, el número 05111969 aparece por primera vez a partir del decimal número 94955679.

Otra visión sobre el mismo tema “Π: Fe en el Caos.”

PS: Me regalaron el DVD original de la película, hace ya unos años. Lo he buscado, y no lo tengo, … he recordado que lo presté, … y no me lo han devuelto. No prestes películas en DVD original. Haz una copia “pirata” y regala la copia. Ahora, lo único que tengo es una copia “pirata.” Ahora, ya “me aplico el parche.”

Predecir una crisis “de libro” parece fácil, nadie lo hizo, predecir terremotos parece fácil, nadie lo hace

Muchos dicen que la actual crisis financiera no sólo era previsible, sino fácilmente predecible, hasta por cualquier alumno de económicas (que no de empresariales, si hacemos caso al dicho “el que vale, vale, y el que no, a empresariales”). Sin embargo, los todopoderosos lobbies, asesorados por las mejor pagadas mentes del universo financiero internacional, no fueron capaces de predecirla. Es una crisis “de libro.” Mirad las dos siguientes figuras, figura 1 y figura 2, y el comentario que las acompaña. Predecir parece fácil…

Varias veces en los últimos años se ha publicado que los sismólogos japoneses ya son capaces de predecir terremotos. Que ahora los terremotos son fácilmente predecibles. Los temblores de baja intensidad precursores de un gran terremoto empiezan a aparecer hasta cinco años antes. Son pistas que cualquier sismólogo (en España, geólogo especializado en sismología) tiene que saber interpretar si quiere aprobar la asignatura correspondiente (predicción de seismos). Ya en 1975 se predecían terremotos de esta forma. Sin embargo, quién predijo el seísmo de 9 grados en la escala de Richter, el mayor en los últimos 40 años, que provocó el maremoto que sesgó la vida a más de 12.000 personas en el sureste asiático en 2004.

¿Está el caos determinista detrás de la impredicibilidad de ambos fenómenos? El caos determinista caracteriza los sistemas en los que sabemos muy bien por qué ocurren las cosas cuando ocurren, pero pequeños cambios en el estado actual afectan catastróficamente al futuro no muy lejano (el efecto mariposa), con lo que saberlo muy bien nos aporta poco a la hora de predicirlo (el futuro no muy lejano).

¿Está el caos determinista detrás de la impredicibilidad de las crisis financieras y de los terremotos? Algunos opinan que sí. Otros que no. E incluso, algunos, están a mitad de camino, como los indios Bikas K. Chakrabarti, Arnab Chatterjee, y Pratip Bhattacharyya, “Two-fractal overlap time series: Earthquakes and market crashes,” Pramana Journal of Physics, 71: 203-210, August 2008 . Los autores encuentran similitudes entre la serie temporal del comportamiento de los mercados y la de los seismos con un modelo extremadamente simple, dos fractales de Cantor sumados, en los que uno de ellos se desplaza a velocidad relativa uniforme respecto al otro. La coincidencia entre estas 3 series temporales puede ser mera casualidad. O puede ser el reflejo de un modelo genérico no lineal subyacente a ambos fenómenos. En cualquier caso, como los series temporales que muestran comportamiento fractal son prácticamente impredecibles, un modelo correcto de este tipo, caso de que este lo fuera, que obviamente no lo es, no nos aporta nada a la predecir lo impredecible de los mercados o de los terremotos.

Por cierto, yo he trabajado algo en aplicaciones cuánticas de fractales de Cantor en física del estado sólido (modelos computacionales, claro). Os puedo asegurar que, incluso en modelos con geometría fractal muy simple, hay grandes dificultades a la hora de interpretar “físicamente” las soluciones matemáticas “formales” que se obtienen. El resultado matemático “es” el que es. Pero, qué significa. Nada. Bueno, no seamos “radicales,” seamos “reales.”  Todo se arregla afirmando que no existen “físicamente” los fractales, solamente existen prefractales (por debajo de cierta escala el modelo fractal deja de ser aplicable). Desafortunadamente, muchas veces, las soluciones matemáticas para los prefractales no se pueden obtener de forma cerrada, aunque se pueden obtener las de los fractales (el límite). Es como utilizar el “adónde hemos llegado” para relatar la historia del “cómo hemos llegado.” No sirve para nada. Pero no me puedes negar lo bonito que quedan los papers “rellenos” de gráficos fractales. Tienen cierta belleza. ¿Has leído el libro “The Fractal Beauty of Nature,” de Benoit B. Mandelbrot? ¡Uy!, ¡perdón! “The Fractal Geometry of Nature.” Es todo un clásico, y como tal lo tengo en mi estantería, pero, hoy por hoy, hay libros mejores sobre el tema.

Por cierto, si hablamos de fractales y mecánica cuántica no puedo dejar de mencionar las ideas sobre el espaciotiempo fractal del genial Laurent Nottale, quien “deduce” la mecánica cuántica no relativista en dicho contexto (el libro “Fractal Space-Time and Microphysics: Towards a Theory of Scale Relativity,” World Scientific, 1993, aparte de caro, es una buena lectura al respecto, si lo encuentras en alguna biblioteca universitaria; lo confieso, mi “copia” es una fotocopia). Nottale, para algunos un genio, para otros un “geek,” ha logrado un gran número de seguidores, como El Naschie, del que ya hablamos en este blog. En mi modesta opinión personal, a sus ideas les falta un “principio,” una razón. Él propone una idea curiosa y obtiene unos resultados sorprendentes, recupera gran parte de lo conocido a partir de lo desconocido (la matemática de los fractales todavía está “en pañales”). Sus resultados son más numerológicos que “razonables.” Ese es su problema. Muchos aluden a que Einstein tuvo una “gran” ventaja, la matemática de las variedades riemannianas era “nueva” pero tenía más de 30 años cuando necesitó de ella. Muchos aluden que Nottale tiene una “gran desventaja,” la matemática de las variedades “riemannianas” fractales está aún por desarrollar (ahora mismo sólo se tienen ideas muy vagas, descritas por físicos, falta mucho trabajo matemático para instanciarlas en “verdades” matemáticas).

No sé por qué, pero con una copa de cava de más, desvarío más de la cuenta. ¿Se me nota? ¿Qué os quería contar? He perdido el hilo…

PS: ¡Cómo va a quedar una botella de cava con un culín! Hay que tomárselo. Tras mi última “copa,” he tratado de releer lo que he escrito (mi mujer, también aficionada al cava, ya se ha ido a la cama) y sigo sin enterarme de lo que quería decir… así que si no te enteras de lo que va, no te preocupes, ni el autor lo sabe.

Desayuna con la inestabilidad de Rayleigh-Taylor en tu taza de café

La hora del desayuno es una hora tan buena como cualquier otra para experimentar con la física. Hoy hablaremos de la inestabilidad Rayleigh-Taylor, que aparece en la interface entre dos fluidos cuando el más denso flota encima del más ligero, como el aceite flotando encima del agua o el café encima de la leche. Esta inestabilidad se desarrolla cuando dos capas planas y paralelas de fluido inmiscible en equilibrio sufren una pequeña perturbación que hace que el fluido más pesado caiga hacia abajo por la gravedad y el más ligero suba hacia arriba.

La inestabilidad se nos muestra con la generación de una compleja red de patrones que los matemáticos asocian a estructuras fractales. ¿Quieres verlos? Prepara un poco de café y un buen vaso (tranparente) de leche. Vierte el café sobre el vaso, espera unos minutos y podrás observar como la estructura fractal surge espontáneamente. La siguiente figura muestra lo que podrás observar. Las fotos (a), (b) y (c) se han obtenido a los 10, 30 y 90 segundos, respectivamente, utilizando granos de café instantáneo (Nescafé) mezclados con tinta china, para que se vea mejor en la foto, vertidos con una pipeta sobre el vaso de leche. En las fotos de abajo se ha utilizado agua en lugar de leche para que se vea mejor el efecto.

El artículo de los japoneses Michiko Shimokawa y Shonosuke Ohta, “Annihilative fractals of coffee on milk formed by Rayleigh-Taylor instability,” ArXiv preprint, 15 sep 2008 , estudia la dimensión fractal de los patrones generados por inestabilidad de Rayleigh-Taylor para un poco café vertido en una taza de leche. Dicha dimensión fractal es de 1.88±0.06 (calculado utilizando la técnica de contar cajas o box counting). El comportamiento de este patrón fractal es muy curioso y se parece bastante al modelo matemático de una “alfombra” de Sierpinski (cuya dimensión es 1.89). Aparte de la dimesión, el análisis de la función de correlación entre ambos fractales muestra otras similutdes (los detalles técnicos en el artículo son fáciles de entender, para los interesados).

Según estos japoneses, este tipo de estructura fractal no ha sido observada en el pasado y la han bautizado como “fractal del café” (coffee fractal). Sugieren que su conexión con la alfombra de Sierpinski no es casual sino que el fractal del café se forma por aniquilación de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor con el mismo patrón de construcción de Sierpinski. Aunque sus conclusiones, en mi opinión, son prematuras, han recibido el gran honor de que su trabajo sea snapshot en Nature, Katharine Sanderson, “Snapshot: How do you like your coffee?,” Nature 455, 579 ( 2008 ).

Felix Klein, el programa Erlangen, fractales, Mandelbrot y los métodos numéricos en el plano complejo

La geometría en el s.XIX recorrió un “extraño” camino. De la geometría euclidiana, aparentemente la geometría del mundo que nos rodea, bien fundamentada axiomáticamente pero con la “lacra” del axioma de las paralelas, ¿es un teorema? ¿debe ser un axioma? ¿podemos definir geometrías que no lo cumplan? Gauss, la “zorra” de las matemáticas, que borraba con su “rabo” las huellas de su pensamiento, aunque gracias a su diario personal, recuperado más tarde, aunque de forma incompleta, sabemos que demostró que era posible una geometría con una variante de dicho axioma, válida para la esfera (durante muchos años, Gauss se dedicó a la geodesia). Otros la descubrieron más tarde, la geometría no euclídea, junto a otras variantes, nombres como Lobachevsky o Bolyai.

¿Pero qué hace que una teoría matemática sea o describa una geometría? El programa de Erlangen de Klein nos ofrece una respuesta. Un conjunto de objetos invariante ante la acción de un grupo ES una geometría, por lo que se denominan a las acciones del grupo como transformaciones “geométricas.” La teoría de grupos, que Galois elevó a la gloria del álgebra, era elevada por Klein al cielo de la geometría. Ya en el s.XX, la teoría de semigrupos la elevaría al sumum del análisis. La teoría de grupos como metamatemática. ¡Qué pensaría Klein de los fractales!

El libro “Indra’s Pearls: The Vision of Felix Klein,” de David Mumford, Caroline Series y David Wright, Cambridge University Press, 2002 , merece, en este sentido, una lectura cuidada y un disfrute gráfico con sus impresionantes figuras (como la mayoría que adornan los libros sobre fractales, de gran belleza y profundidad geométrica). La página web que los autores del libro han preparado, nos ofrece gratuitamente más perlas. En este libro, los matemáticos disfrutarán de los grupos de Schottky, un tipo de transformación de Möbius, también llamados grupos kleinianos.

La gran belleza “matemáticas” de los fractales es que normalmente están asociados a los números complejos y estos son la manera “ideal” de representar los números. De ello ya se dió cuenta Cardano, que codescubrió cómo reolver ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4 de forma general. Sin embargo, su fórmula tenía un grave problema. A veces “no era aplicable”. Un ejemplo sencillo es el polinomio , cuya raíz entera igual a 4 no es fácilmente “visible” en el resultado obtenido utilizando la fórmula del propio Cardano, en concreto, la fórmula siguiente

. Los que conocen los números complejos sabrán que ambos resultados son equivalentes. A los que no, les recomiendo “aprenderlo” (merece la pena, “El Camino a la Realidad,” Roger Penrose, es un buen punto de partida para entender cómo los números complejos son “el lenguaje numérico” de la realidad). Cardano se vio “obligado” a “crear” (o quizás “descubrir”) los números complejos, que hasta Euler y Gauss, siglos más tarde, no ganaron el estatus que tienen hoy en día (que Penrose “disfruta” en su libro, un libro “disfrutón” donde los haya, aunqe pesa “demasiado” como lectura playera del verano).

Por cierto, yo leí “The Road to Reality” de Penrose al poco de salir en Gran Bretaña (encargé a un amigo que viajaba a Escocia que se hiciera con una copia para mí). “Supersesgado” hacia sus “twistors,” yo, que no soy “nadie”, hubiera escrito el mismo libro con un enfoque completamente diferente, sin embargo, he de reconocer que como “La nueva mente del emperador”, engancha, … “sesga” al lego… pero engancho incluso al técnico. Ya ha pasado a la la historia de la divulgación científica, no por lo que quiere Penrose, “reivindicar los twistors,” sino por que varias generaciones de jóvenes se formarán como físicos y matemáticos gracias a él. Amén, perdón, “que así sea,” en nombre de Penrose, digno hijo de su padre.