Publicado en Science: ¿Resuelta la paradoja de Abraham-Minkowski sobre el momento lineal de la luz con un empate?

Cometa Hale–Bopp visto en California en 1997 mostrando dos colas (izq.). La cola azul de iones es debida al impulso del viento solar. La cola blanca de polvo es debida a la presión de la radiación solar. El momento en este segundo caso es menor que en el primero por eso las dos colas se separan. Comparación entre las fórmulas para el momento de Abraham (der. arriba) y Minkowski (der. abajo) para el momento / pseudomomento de la luz en un medio. (C) Nature (izq.) y Science (der.)

El momento de luz describe la fuerza que la luz ejerce sobre los objetos que la absorben o reflejan. La cola de un cometa es debida a la acción de la luz solar que transfiere momento a las partículas de polvo que lo rodean generando una cola en la dirección opuesta al Sol. El momento lineal, p, de la luz (de un fotón) en el vacío está claro y es igual a p=E/c, donde E es la energía del fotón y c es la velocidad de la luz. Sin embargo, en un medio material con índice de refracción n la cuestión no está resuelta. En 1908, Hermann Minkowski calculó la respuesta obteniendo p=(n E)/c, pero en 1909, Max Abraham propuso como fórmula para lo mismo p= E/(n c). ¿Cuál es la respuesta correcta? Como nos cuenta Adrian Cho en Science [1], Stephen Barnett, físico teórico de la Universidad de Strathclyde, Glasgow, GB, afirma que ha resuelto la paradoja de Abraham-Minkowski [2] dándole la razón a Peierls [3]: las dos fórmulas son correctas, pero se refieren a cosas distintas y son aplicables en contextos diferentes. La fórmula de Minkowski se refiere al momento canónico y la de Abraham al momento cinético. El momento total del sistema materia-luz es único, pero su separación en dos componentes, una para la luz y otra para el material, puede ser realizada de dos formas diferentes, asociando a la luz la parte cinética o asociando a ella la parte canónica, de ahí que haya dos fórmulas posibles. Lo dicho, una solución que me suena muy similar a la ya ofrecida por Peierls [3]. Todo esto me suena a algo ya leído. Como nos contó Leonhardt en Nature [4], algunos experimentos indican que Minkowski tenía razón, otros que la tenía Abraham. Por ejemplo, el Premio Nobel Wolfgang Ketterle [5] midió el efecto en 2005 utilizando estados condensados de Bose-Einstein y, para su sorpresa, observó la predicción de Minkowski. Dereli et al. [6] utilizaron la teoría general de la relatividad para presentar una respuesta dual: cuando la luz actúa como onda, Minkowski tiene razón (como en el experimento de Ketterle), pero cuando actúa como partícula, es la fórmula de Abraham la que se aplica. ¿Ha resuelto Barnett la paradoja? En mi opinión, todavía no y correrán más chorros de tinta discutiendo este asunto tanto con experimentos mentales como con nuevos experimentos.

Fórmulas del artículo de Barnett (sólo para físicos).

Resumen de las fórmulas de Barnett, para los lectores que sean físicos. (C) Phys. Rev. Lett.

Permitidme que recapitule lo que nos cuenta Peierls [3]. Cuando la luz atraviesa un medio material, el campo electromagnético de la luz pone en movimiento los átomos del medio, por lo que el momento lineal total, p, tiene dos componentes, el propio de la luz y el del movimiento de los átomos. La paradoja tiene su origen en que si consideramos un fotón como una onda plana infinita y tomamos un medio infinito, podemos elegir un sistema inercial que se mueva a una velocidad finita arbitraria sin afectar a la física del problema pero, obviamente, afectando al momento total. La fórmula de Abraham considera el medio en reposo y calcula sólo la contribución del campo electromagnético de la luz utilizando el teorema de Poynting. Pero su fórmula no es invariante relativista. La fórmula de Minkowski calcula el pseudomomento (vector de onda) de la luz. El pseudomomento es la magnitud que se conserva ante simetrías de traslación. En el vacío, momento y pseudomomento coinciden, pero en un medio material no lo hacen. Por eso la fórmula de Abraham y la de Minkowski no coinciden. La solución de Barnett utiliza los términos momento canónico y momento cinético en lugar de los términos momento y pseudomomento utilizados por Peierls.

La fórmula de Abraham para el momento del fotón en el cristal se obtiene con el siguiente análisis. Imaginemos un fotón que se dirige hacia un bloque de cristal (véase la figura que abre esta entrada). Juntos, el cristal y el fotón poseen una masa y una energía totales que fluyen en la misma dirección que el fotón. Según las leyes de Newton del movimiento, el flujo debe continuar sin cesar conforme el fotón pasa a través del cristal. Pero dentro del cristal, el fotón se ralentiza. Así que para mantener el flujo constante de energía, el cristal tiene que retroceder en la misma dirección. Por otra parte, la fórmula de Minkowski se obtiene como sigue. Los átomos del medio pueden absorber fotones y reemitirlos. Si el átomo puede absorber luz de una longitud de onda ligeramente más larga que la del fotón que se aproxima, entonces, para absorber el fotón, el átomo debe acelerar alejándose de la fuente de la luz de tal forma que desde su perspectiva la longitud de onda de la luz se acorta por efecto Doppler (como se vuelve más grave el sonido de una sirena si estas en un automóvil que se aleja de la sirena). Este desplazamiento Doppler es proporcional al índice de refracción del medio.

Según Barnett, los dos casos descritos en el párrafo anterior describen dos situaciones diferentes. La fórmula de Abraham modela el “momento cinético” (el impulso mecánico que ejercen los fotones al incidir en el cristal como partículas). Cualquier experimento que mida dicho impulso será descrito por la fórmula de Abraham. La fórmula de Minkowski modela algo más sutil, el “momento canónico” (asociado a la naturaleza ondulatoria de la luz) que es mayor en un material que en el vacío porque longitud de onda de la luz de es más corta en el material. Cualquier experimento para demostrar los efectos de la luz como onda cumplirá con la fórmula de Minkowski. Para los físicos indicaré que Barnett llama “momento canónico” aludiendo al momento conservado según el teorema de Noether para la invarianza del sistema ante traslaciones espaciales. 

La diferencia entre el trabajo de Barnett [2] y el de Dereli et al. [6], en mi modesta opinión, es muy pequeña, si la hay, y en ambos casos se argumenta alrededor de las ideas de Peierls [3]. Por ello, en mi modesta opinión, el debate sobre la paradoja de Abraham-Minkowski continúa abierto.

[1] Adrian Cho, “Century-Long Debate Over Momentum of Light Resolved?,” Science 327: 1067, 26 February 2010.

[2] Stephen M. Barnett, “Resolution of the Abraham-Minkowski Dilemma,” Physical Review Letters 104: 070401, 19 Feb. 2010.

[3] Rudolf Ernst Peierls, “More surprises in theoretical physics,” Princeton University Press, 1991.

[4] Ulf Leonhardt, “Optics: Momentum in an uncertain light,” News and Views, Nature 444: 823-824, 14 December 2006.

[5] Gretchen K. Campbell, Aaron E. Leanhardt, Jongchul Mun, Micah Boyd, Erik W. Streed, Wolfgang Ketterle, David E. Pritchard, “Photon Recoil Momentum in Dispersive Media,” Physical Review Letters 94: 170403, 4 May 2005 [gratis site .au].

[6] T. Dereli, J. Gratus, R.W. Tucker, “The covariant description of electromagnetically polarizable media,” Physics Letters A 361: 190-193, 29 January 2007 [ArXiv preprint gratis].

La importancia de un solo fotón (el más energético observado en una fuente de rayos gamma) en las violaciones de la relatividad especial

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Los científicos de la colaboración GBM/LAT del observatorio espacial de rayos gamma Fermi (GLAST) han observado un fotón, solo un fotón, de 31 GeV, de la fuente intensa de rayos gamma (cortos) GRB 090510. Más energético de lo esperado interpretan su observación como que la escala de masas para una teoría cuántica de la gravedad es al menos 102 veces mayor que la escala de Planck. ¡Increíble! Concluir tanto de tan poco. Su observación limita las posibles violaciones de la relatividad especial (posibles dependencias lineales de la velocidad de propagación del fotón con respecto a su energía). Por supuesto, puede que exista una interpretación menos exótica, ya que sabemos muy poco de la física de las fuentes intensas de rayos gamma cortos. Pero hay que buscar los titulares y estos científicos no han querido desaprovechar su oportunidad. La ciencia de las grandes colaboraciones muchas veces está guiada por la búsqueda de los titulares, sobre todo si como es el caso quieren publicar en Nature. El artículo técnico es Abdo et al. (Fermi GBM/LAT Collaborations), “Testing Einstein’s special relativity with Fermi’s short hard gamma-ray burst GRB090510,” ArXiv, Submitted on 13 Aug 2009 (merece la pena leer la información suplementaria). Visto en el blog de Bee (Sabine Hossenfelder) “That Photon from GRB090510,” BackReaction, August 16, 2009. Por cierto, muy interesante su artículo con Lee Smolin “Conservative solutions to the black hole information problem,” ArXiv, 20 Jan 2009.

Un solo fotón detectado el 10 de mayo de 2009 a la hora universal 00:22:59.97 UT por el Gamma-ray Burst Monitor (GBM) y el Large Area Telescope (LAT) ambos a bordo del telescopio espacial Fermi (acompañado de otros cientos de fotones de energía inferior detectados en Fermi y miles de ellos detectados en otros observatorios terrestres). Un fotón de 31 GeV es el fotón con mayor energía detectado nunca de una fuente de rayos gamma (GRB). Comparando el momento en que fue detectado con el momento en que se detectaron los demás fotones de energía mucho menor se puede limitar el cociente entre la masa (energía) a la que deja de ser válida la relatividad especial (MQG) y la masa (energía) de Planck (MP) resultando en MQG/MP > 102 (el mejor valor hasta ahora era MQG/MP>0.1). Un resultado espectacular si tenemos en cuenta que todas las teorías apuntan a que MQG ≤ MP. Una de las consecuencias de substituir la teoría de la gravedad de Einstein por una teoría cuántica de la gravedad (sea la que sea) es que se viola la relatividad especial de Einstein (al menos a la escala de Planck) luego los fotones deben tener una velocidad que depende de su energía (en la mayoría de las alternativas teóricas).

¿Realmente ha sido bien interpretado el fotón observado? Un fotón, es eso, un fotón y puede provenir de GRB 090510 (como proclaman los autores) o quizás de otra fuente cercana angularmente o tras sufrir algún fenómeno de refracción. Además, según algunos autores, como la propia Bee (S. Hossenfelder, “Multi-Particle States in Deformed Special Relativity,” Phys. Rev. D 75:105005, 2007; ArXiv, 2 Feb 2007) podría ocurrir que la dependencia con la energía de la velocidad de los fotones debida a efectos gravitatorios cuánticos no sea lineal, sino cuadrática, o que incluso depende de la densidad de la energía y no del valor absoluto de la energía. Por ejemplo, el resultado experimental observado no descarta una dependencia cuadrática con la energía compatible con MQG ≤ MP (aunque los autores del artículo lo omiten explícitamente).

Lo dicho, si las grandes revistas como Nature buscan el índice de impacto en los titulares espectaculares, las grandes colaboraciones científicas tienden a ofrecer grandes titulares y resultados espectaculares para los mass media. Pero nunca hay que olvidar las interpretaciones alternativas (normalmente omitidas, por razones obvias, en estos artículos).

PS (19 agosto 2009): Una manera de interpretar el resultado observado es que la Teoría de Supercuerdas (SST) vence a la Gravedad Cuántica de Bucles (LQG), ya que esta última asume violaciones de la relavitidad especial a la escala de Planck (como que fotones de diferente frecuencia, color, se propagan a velocidad diferente). Argumentos al respecto aparecen en “Fermi kills all Lorentz-violating theories,” The Reference Frame, 17 August 2009, aunque los comentarios de Lubos, como siempre, son más exagerados y radicales de la cuenta. Por cierto, aparece un vídeo de youtube de la serie The Big Bang Theory que discute SST vs LQG (en inglés, muy gracioso).

PS (16 sep. 2009): ¿Cómo interpretan los teóricos de cuerdas estos hechos? Nos lo cuenta Nick E. Mavromatos en “Probing Lorentz Violating (Stringy) Quantum Space-Time Foam,” ArXiv, Submitted on 12 Sep 2009, quien asegura que no es difícil explicar las observaciones del telescopio de rayos gamma FERMI del fotón observado en GRB 090510 utilizando teoría de cuerdas y modelos basados en branas.

PS (28 octubre 2009): El artículo ha sido finalmente aceptado para publicación en la prestigiosa Nature: A. A. Abdo et al. “A limit on the variation of the speed of light arising from quantum gravity effects,” Nature, Advance online publication, October 28, 2009. Los revisores del artículo han hecho un buen trabajo y han suavizado mucho la magnitud reportada para el valor MQG/MP  observado, reduciéndolo a un razonable MQG/MP > 1.2. Los resultados experimentales difícilmente pueden asegurar cuándo fue emitido el fotón, con lo que cualquier valor mayor está sujeto a una gran incertidumbre. Reducir el valor de 102 a 1.2 es una gran reducción. Pero la publicación en Nature así lo ha requerido. Nos lo han contado en muchos medios, como en Symmetry Breaking “Gamma-ray burst restricts ways to beat Einstein’s relativity,” y en BackReaction “The Photon and its Cousins.”

El “gato vudú” cuántico ha sido fabricado fotón a fotón

Tomografía de Wigner de un estado de 9 fotones tipo "gato vudú" comparando teoría (izq.) con experimento (der.). (C) Nature

Tomografía de Wigner de un estado de 9 fotones tipo "gato vudú" comparando teoría (izq.) con experimento (der.). (C) Nature

El “gató vudú” (voodoo cat) es un sistema cuántico con 3 estados (vivo, muerto y zombie). Hofheinz et al. han logrado preparar este estado con 9 fotones. El parecido entre el resultado experimental y la teoría es asombroso. La preparación de este tipo de estados de superposición es la base de la computación cuántica. El principio de superposición es el secreto fundamental de la mecánica cuántica, permitiendo que un sistema cuántico esté “en dos lugares al mismo tiempo,” ya que un estado cuántico puede contener simultáneamente varios estados físicos diferentes que se pueden medir de forma separada.

¿Se puede preparar un estado cuántico en superposición arbitrariamente complejo? Hofheinz et al. han demostrado cómo preparar un estado de superposición de múltiples fotones individuales en un resonador electromagnético superconductor. Su diseño les permite añadir y quitar cada fotón uno a uno, hasta un límite de 9 (por ahora). Han caracterizado estos estados mediante la técnica de tomografía de Wigner (ver la figura) y han observado que el tiempo de decoherencia es mayor del esperado. Todo un logro hacia los futuros ordenadores cuánticos. El artículo técnico es de Max Hofheinz et al., “Synthesizing arbitrary quantum states in a superconducting resonator,” Nature 459: 546-549, 28 May 2009 . Nos lo comenta Yasunobu Nakamura, “Quantum physics: Tailor-made quantum states,” Nature 459: 516-517, 28 May 2009 . Por cierto no es la primera vez que Hofheinz publica en Nature una artículo en esta línea de investigación, es su segundo pleno en un año: Max Hofheinz et al., “Generation of Fock states in a superconducting quantum circuit,” Nature 454: 310-314, 17 July 2008 .

¿Qué es un estado tipo “gato vudú”? No sé por qué pero desde que Erwin Schrödinger introdujo su famoso gato, a los físicos cuánticos les gustan los gatos. Un “gato vudú” cuántico es un sistema cuántico que puede ser medido en tres estado posibles, que reciben nombres de lo más “vudú”: “vivo” (estado (-2,0) en la figura de arriba), “muerto” (estado (-1,-2) en la fig.) y “zombie” (estado (-1,2)). Este estado se puede construir con un número arbitrario de fotones (en su representación en el estado de Fock) aunque Hofheinz et al. sólo lo han logrado fabricar con precisión hasta 9 fotones (ver la figura).

¿Por qué llamarle “gato vudú”? Bromas de los físicos cuánticos. Los 3 estados de un “gato vudú” podrían llamarse con nombres de colores (rojo, verde y azul) como los quarks, con números (1, 2 y 3), con letras (A, B y C), etc., pero los autores han preferido nombres más a lo Iker Jiménez. ¡Cosas de los físicos cuánticos!

¿Para qué sirve este gran logro cuántico? El gran problema de los ordenadores cuánticos es la decoherencia, la vulnerabilidad de la superposición de estados ante cualquier perturbación el entorno (incluso el mismo vacío influye). Lograr sistemas cuánticos en superposición con largos tiempos de decoherencia es un paso obligado para lograr en un futuro ordenadores cuánticos. El trabajo de Hofheinz y sus colegas tiene tiempos de decoherencia (para 9 fotones) de unos 200 ns (nanosegundos). Parece poco, pero es mucho para un estado tan complejo. Este trabajo permitirá estudiar mejor cómo actúa la decoherencia en estados de superposición complejos lo que ayudará al futuro diseño de ordenadores cuánticos basados en circuitos electrónicos superconductores.