Posible refutación experimental de la teoría de Verlinde sobre la gravedad como fuerza entrópica

Archil Kobakhidze afirma que los experimentos con neutrones ultrafríos en un campo gravitatorio publicados en 2002 en Nature refutan la teoría de Eric Verlinde sobre la gravedad como fenómeno emergente. Según Verlinde la gravedad es una fuerza entrópica, es decir, tiene un origen termodinámico y está causada por los cambios en entropía asociados a la posición de los cuerpos. Su teoría contradice los resultados experimentales en ciertos casos: cuando la longitud de onda de Compton de un neutrón es menor que el nivel de energía mínimo del sistema cuántico, la teoría de Verlinde asume que hay una probabilidad no nula de observar el neutrón, pero los experimentos y la mecánica cuántica no relativista predicen que esta probabilidad es exactamente nula (el sistema es opaco a los neutrones). Los experimentos de Nesvizhevsky et al. verificaron la mecánica cuántica para el movimiento vertical de un partícula en el campo gravitatorio de la Tierra. Este movimiento no es continuo sino discreto y la posición del neutrón presenta valores discretos. La teoría de Verlinde predice la observación de un neutrón en distancias menores que el nivel discreto de menor altura, algo que contradice el experimento. Los interesados en los detalles técnicos disfrutarán con el artículo (de solo 5 páginas) de Archil Kobakhidze, “Gravity is not an entropic force,” ArXiv, 27 Sep 2010. Quizás conviene recordar los experimentos de Valery V. Nesvizhevsky et al., “Quantum states of neutrons in the Earth’s gravitational field,” Nature 415: 297-299, 17 January 2002.

La caída de un neutrón ultrafrío en el campo gravitatorio de la Tierra se modela con la ecuación de Schrödinger estacionaria dada por

\left[\frac{\hat p_z^2}{2m}+V(z)\right]\psi_{n}(z)=E_n\psi_n(z),

V(z)= mgz, \quad z \geq 0, \qquad V(z)= \infty, \quad z < 0.

Las soluciones analíticas (que dependen de la función de Airy) indican que la energía de los estados discretos de la partícula está descrita por

E_n=mgz_n, \quad z_n = -L\cdot {r}_n.

Esta fórmula fue verificada en los experimentos de Nesvizhevsky et al. y demuestra que es imposible observar (la probabilidad es nula) un neutrón en un distancia menor que z_1\approx 13.7\ \mu{\rm m} (los experimentos dieron el valor z_1^{\rm exp}=12.2\pm 0.7_{\rm stat}\pm 1.8_{\rm syst}\ \mu{\rm m}). Este resultado difiere de las predicciones de la teoría de Verlinde según la cual la función de onda de los neutrones cumple que

\frac{\partial^2 \tilde \psi_n}{\partial z^2}-\frac{4{\rm Im}\kappa}{\hbar} \frac{\partial \tilde \psi_n}{\partial z}= \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(z)-E_n-\frac{2}{m}({\rm Im}\kappa)^2\right)\tilde \psi_n,

cuyas soluciones tienen energías discretas dadas por

E_n=mgz_n - \frac{1}{2m}({\rm Im}\kappa)^2=mgz_n + 2\pi^2 mc^2~,

que presenta un factor constante que no es observable. Sin embargo, las funciones de onda presentan un comportamiento exponencial decreciente para distancias menores que z_1, cuando la longitud de onda de Compton de un neutrón \lambda \approx 1.3\cdot 10^{-9}\ \mu{\rm m} es más pequeña que la distancia característica del sistema L\approx 4.9 \ \mu{\rm m}. Como resultado la probabilidad de observar un neutrón no es nula para \lambda < h<<< z_1, resultado que contradice las observaciones experimentales de Nesvizhevsky et al. que muestran opacidad perfecta para los neutrones cuando h<z_1.

Obviamente, puede haber loopholes en los argumentos del autor. Habrá que estar al tanto de como refutan estos resultados los defensores de las ideas de Verlinde.

La entropía termodinámica, la entropía de von Neumann y la segunda ley de la termodinámica en sistemas cuánticos mesoscópicos

¿Se puede introducir una entropía termodinámica para un sistema cuántico mesoscópico? Sí. ¿Qué relación hay entre la entropía de von Neumann y dicha entropía termodinámica? No son iguales cuando el sistema está acoplado fuertemente. ¿Es válida la segunda ley de la termodinámica? Para la entropía termodinámica sí, pero para la entropía de von Neumann no. Estas cuestiones pueden parecer baladíes pero han corrido muchos ríos de tinta discutiéndolas desde diferentes enfoques. La figura la he extraído de un artículo reciente que me ha hecho recordar lo obvio, que no por ampliamente conocido y reiterado, ha de ser obviado cuando se discuten este tipo de cuestiones. La figura compara la entropía (termodinámica) de un conjunto de osciladores armónicos cargados (curva en negro), con la entropía (termódinámica) de dichos osciladores acoplados por un campo magnético externo (curva en rojo) y con la entropía de von Neumann para dichos osciladores (curva en azul). La entropía de von Neumann se desvía de la entropía termodinámica para un sistema mesoscópico que esté entralazado con su entorno. En el régimen de acoplamiento débil, ambas entropías se pueden identificar, pero para acoplamiento fuerte, son muy diferentes. La entropía de von Neumann no tiene por qué ser nula en el cero absoluto de temperaturas y por tanto no puede ser utilizada para definir una temperatura del sistema. Sólo la entropía termodinámica permite hacerlo. El uso de la entropía de von Neumann para afirmar que la física de los sistemas cuánticos mesoscópicos viola la segunda ley de la termodinámica es un sinsentido en todos los sentidos. Lo que siempre hay que tener claro es que la entropía termodinámica es la que debe ser usada para verificar la segunda ley de la termodinámica y que la entropía de von Neumann tiene otros usos (medir la cantidad total de información cuántica en el sistema o cuantificar el entrelazamiento entre sus estados). Como ya hemos dicho en múltiples ocasiones en este blog, lo obvio, si bueno, dos veces obvio. El artículo en cuestión es Malay Bandyopadhyay (Universidad de Toronto, Canadá), “Does the second law hold in the quantum regime?,” Physica Scripta 81: 065004, 19 mayo 2010 [artículo de acceso gratis], que me ha hecho recordar G. W. Ford, R. F. O’Connell, “A Quantum Violation of the Second Law?,” Physical Review Letters 96: 020402, 18 January 2006 [preprint en ArXiv]. Más información, valga la redundancia, sobre información, información cuántica y entropía de von Neumann en Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, “Información y computación cuántica,” Nature 404: 247-255, 2000 (traducción y revisión de Adán Cabello, 2002).

Las cuatro leyes de la termodinámica describen de forma fenomenológica los sistemas físicos macroscópicos y permiten determinar sus cambios de volumen, presión y temperatura. La ley cero introduce el concepto de equilibrio térmico y permite definir el concepto de temperatura. La primera ley es la ley de la conservación de la energía. La segunda ley introduce el concepto de entropía y que en un sistema fuera del equilibrio la entropía crece asintóticamente hasta alcanzar un valor máximo constante en equilibrio. Finalmente, la tercera ley afirma que conforme la temperatura se acerca al cero absoluto, la entropía del sistema se aproxima a un valor mínimo constante. Es decir, la entropía depende de la temperatura y se puede definir el concepto de cero absoluto. Estas leyes para sistemas físicos macroscópicos se pueden deducir/entender en el contexto de la mecánica estadística (clásica) y la mecánica estadística cuántica. En un sistema cuántico (microscópico) con muy pocos grados de libertad, estas leyes y estos conceptos termodinámicos pierden su significado. Pero, ¿qué pasa en un sistema (cuántico) mesoscópico?

La entropía de von Neumann para muchos sistemas cuánticos mesoscópicos no cumple con la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, para todo sistema mesoscópico se puede definir una entropía termodinámica, por ejemplo a partir de su energía libre, que sí cumple con la segunda ley de la termodinámica (el artículo de Ford y O’Connell en PRL nos indica una posible manera de hacerlo). En sistemas mesoscópicos débilmente acoplados con el entorno las entropías de von Neumann y termodinámica coinciden, pero en sistemas fuertemente acoplados con el entorno no es así. Bandyopadhyay nos ilustra estas cuestiones utilizando dos ejemplos, un sistema de osciladores cargados acoplado a un baño térmico sometido, por un lado, a un campo magnético externo y, por otro lado, a un campo eléctrico rápidamente oscilatorio. Cuando el acoplamiento es finito, aunque sea pequeño, el estado fundamental (el de mínima energía) del sistema acoplado no coincide con el sistema libre, siendo la diferencia proporcional a la energía de acoplamiento. Este exceso de energía en el cero absoluto de temperaturas, lleva a inducir erróneamente que se observa una violación cuántica de la segunda ley de la termodinámica (por ejemplo, gracias a transiciones por efecto túnel desde el estado fundamental con acoplamiento al estado fundamental libre). Esta violación es muy pequeña, por supuesto, pero es una violación al fin y al cabo. Una violación que permitiría un perpetuum mobile cuántico, permitiría un proceso cíclico para extraer energía “gratis” del entorno cuántico. Extraer energía “gratis” del vacío cuántico es un sueño de novela de ciencia ficción y quizás en dicho reino permanecerá siempre.

Entropía termodinámica, entropía de von Neumann para la matriz de densidad reducida para un sistema cuántico, entropía de la información de Shannnon, entropía en agujeros negros, etc. Muchas entropías que a veces coinciden pero que a veces no lo hacen. Muchas entropías con las que tenemos que lidiar con extremo cuidado para no abusar de su uso, para no violar el contexto en el que son aplicables. Contextos que no son disjuntos, pero tampoco coincidentes.

La gravedad como una manifestación macroscópica de la termodinámica del vacío en teoría cuántica de campos

Dibujo20090902_general_gravitational_lagrangian_results_in_thermodynamicsLa segunda ley de la termodinámica y la gravedad de Einstein están intimamente relacionadas. Las ideas de Bekenstein y Hawking que asocian entropía y temperatura a los agujeros negros han llevado a algunos autores a pensar que la gravedad tiene un origen termodinámico. Ted Jacobson ya lo propuso en 1995: las ecuaciones de Einstein son ecuaciones de estado para el vacío cuántico. Los españoles Elizalde y Silva demostraron en 2008 que lo mismo ocurre para cualquier teoría de la gravedad que dependa del escalar de Ricci. Ahora Ram Brustein y Merav Hadad demuestran que también es cierto para cualquier teoría de la gravedad que dependa de la métrica. Más general, casi, imposible. Ideas que nos llevan a una nueva vía para entender la gravedad. El artículo original de Ted Jacobson, “Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State,” Phys. Rev. Lett. 75: 1260-1263, 1995. Emilio Elizalde, Pedro J. Silva, “f(R) gravity equation of state,” Phys. Rev. D 78: 061501, 2008. El nuevo Ram Brustein, Merav Hadad, “Einstein Equations for Generalized Theories of Gravity and the Thermodynamic Relation dQ = T dS are Equivalent,” Phys. Rev. Lett. 103: 101301, 2009.

Cualquier horizonte de sucesos acelerado tiene una relación entre su entropía y su área similar a la de un agujero negro. Esta relación es muy general como se puede demostrar utilizando la carga de entropía de Noether. ¿Qué pasa con otras teorías de la gravedad? Sorprendentemente, esta relación es muy general e independiente de la teoría utilizada. ¿Por qué? No se sabe, pero Brustein y Hadad sugieren que es debido a que la gravedad es un fenómeno de origen termodinámico. ¿Termodinámica de qué? Ellos creen que es la termodinámica del vacío (estado de mínima energía) en teorías cuánticas de campos (en las que se asume la relatividad especial, pero no la general). Brustein y Hadad han sido capaces de identificar las cantidades termodinámicas más importantes (como temperatura y entropía) a partir de un lagrangiano para una teoría de la gravedad completamente general: basta que dependa del tensor métrico fundamental. Más aún, en dicha teoría si el tensor de energía-momento es semidefinido positivo, necesariamente se cumple la segunda ley de la termodinámica.

¿Por qué están íntimamente ligadas la termodinámica y la gravedad? Es difícil ofrecer una respuesta en la actualidad. Los autores especulan que la entropía de los agujeros negros es el resultado del entrelazamiento (entanglement) cuántico de grados de libertad ocultos (que tendrá que describir una teoría cuántica de la gravedad).

La solución de la paradoja de Loschmidt sobre la flecha del tiempo mediante la entropía cuántica de von Neumann

Dibujo20090818_Alice_laboratory_entropy_decreased_due_to_external_Bob_but_she_cannot_remember_it_ever

Experimento mental: (a) Alicia en un laboratorio aislado realiza una medida de Stern-Gerlach produciendo un bit de entropía (para ella, no para Bernardo). (b) Bernardo "cancela" la medida de Alicia por decorrelación y la entropía para Alicia se reduce (no así la entropía total) pero ella no puede "recordar" que alguna vez hubiera crecido.

Lorenzo Maccone afirma en “Quantum Solution to the Arrow-of-Time Dilemma,” Phys. Rev. Lett. 103: 080401, 21 Aug. 2009 [gratis en ArXiv], haber resuelto la paradoja de Loschmidt: ¿cómo surge la flecha del tiempo termodinámica en un universo cuya física es reversible? ¿Cómo surge la segunda ley de la termodinámica que afirma que la entropía siempre crece? La definición clásica de la entropía no permite resolver la paradoja. Maccone utiliza la definición de entropía (cuántica) de von Neumann en la que el observador juega un importante papel. La “memoria” del observador recuerda solamente la física compatible con la segunda ley de la termodinámica. Las violaciones de dicha ley se pueden dar pero son “olvidadas” por el observador. Las ideas de Maccone recuerdan a las de Roger Penrose y otros que ven en el proceso de medida cuántica la irreversibilidad que conduce a la segunda ley de la termodinámica. Los interesados en más información divulgativa pueden recurrir a la excelente traducción de Kanijo “Una flecha cuántica del tiempo,” Ciencia Kanija, 18 ago. 2009, del artículo “A Quantum Arrow of Time,” Physical Review Focus, 24, 17 Aug. 2009. Como ha ocurrido en varias ocasiones y seguirá ocurriendo, Kanijo se me adelantó [ya está meneado y merece llegar a portada]. En estas ocasiones siempre surge la pregunta ¿qué contar? Como siempre, la respuesta es “algo más técnico.”

“I show that entropy in a system can both increase and decrease (as time reversal dictates), but that all entropy-decreasing transformations cannot leave any trace of their having happened. Since no information on them exists, this is indistinguishable from the situation in which such transformations do not happen at all: ‘‘The past exists only insofar as it is recorded in the present.’’  Then the second law is forcefully valid: the only physical evolutions we see in our past, and which can then be studied, are those where entropy has not decreased.” [Palabra de Lorenzo Maccone].

Hay que empezar recordando la definición de entropía de von Neumann (recordatorio de cualquier curso de mecánica estadística cuántica). Hay varias formulaciones equivalentes entre sí de la mecánica cuántica, cada una de las cuales tiene sus ventajas en ciertos problemas y sus inconvenientes en otros. Una de ellas es la basada en matrices de densidad que nos permite estudiar sistemas microscópicos y mesoscópicos con el mismo formalismo, es decir, nos permite modelar fácilmente un conjunto de sistemas cuánticos en interacción. La matriz de densidad cumple versión cuántica de la ecuación de Liouville de la mecánica clásica estadística. La ecuación de Liouville-von Neumann es \mbox{i}\,\hbar\,\partial\rho/\partial t = [H,\rho], donde el operador densidad es el equivalente cuántico de la función de distribución de probabilidad. La entropía de von Neumann de un sistema cuántico se define como S(\rho)\equiv-\mbox{Tr}[\rho\,\log_2\rho]. En los sistemas en los que se pueden definir tanto la entropía clásica como la entropía de von Neumann, ambas entropías coinciden (módulo una constante multiplicativa sin importancia). Por supuesto, hay sistemas en los que solo es aplicable la entropía cuántica.

“Entropy can decrease, but its decrease is accompanied by an erasure of any memory that the entropy-decreasing transformation has occurred.” [Palabra de Lorenzo Maccone].

Cualquier interacción entre dos sistemas A y C que haga decrecer la entropía en una cierta cantidad de bits debe reducir la información mutua cuántica en la misma cantidad de bits, salvo que dicha entropía se acumule en cierto reservorio R. La información mutua cuántica mide la cantidad de información que correlaciona dos sistemas cuánticos, sean A y C, definiéndose como S(A;C)\equiv S(\rho_A)+S(\rho_C)-S(\rho_{AC}), donde \rho_{AC} es el estado del sistema conjunto AC, y \rho_A y \rho_C los estados de A y C por separado. El resultado fundamental del artículo de Lorenzo Maccone, que la reducción de entropía implica un efecto de borrado de la memoria del estado inicial del sistema, se escribe mediante la fórmula matemática

\Delta S(A)+\Delta S(C)-\Delta S(R)-\Delta S(A;C)=0,                        (1)

donde \Delta S(X)\equiv S_t(\rho_X)-S_0(\rho_X) es la diferencia de entropía entre el estado final (en el momento t) y el estado inicial para el sistema X, y \Delta S(A;C)=S_t(A:C)-S_0(A:C). No entraré en los detalles de la demostración (muy sencilla, por otra parte). La interpretación de esta fórmula es que el efecto de borrado de la memoria proviene de la pérdida de información mutua cuántica. La memoria de un suceso es un sistema físico A que tiene una información mutua clásica no nula de un sistema C. El borrado de la memoria de este suceso se produce al eliminarse la información cuántica mutua S(A;C), ya que esta última cantidad es una cota superior de la información mutua clásica I(A;C) (omito la demostración, también sencilla).

La interpretación de la ecuación (1) es que, si queremos disminuir la entropía de los sistemas A y C sin incrementar la entropía del reservorio R, es necesario reducir la información mutua cuántica entre los sistemas A y C. En la figura que abre esta entrada, un experimento mental, el sistema A es el laboratorio de Alicia y el sistemas C es una partícula de espín 1/2: sus entropía finales se reducen en un bit a costa de borrar dos bits de información mutua cuántica S_0(A;C).

La ecuación (1) nos dice que tomando como sistema A al observador, Alicia, y su laboratorio, y considerando un tiempo intermedio en el que S(C) es mayor que en los momentos inicial y final, debido a alguna transformación que incremente la entropía sin que sea absorbida por el reservorio R, ésta se puede reducir mediante una transformación que decremente la entropía a costa de reducir la información mutua entre el observador A y el sistema observado C. Incluso si la entropía S(C), medida desde el punto de vista del observador, decrece, el observador no será consciente de ello, ya que la transformación que decrece la entropía debe factorizar (separar) el observador A y el sistema C que contienen información del suceso que incrementó con anterioridad su entropía. La memoria de tal evento (que decrece la entropía) será parte de las correlaciones que se destruirán. Un resultado directo de la regla de Born aplicada al entrelazamiento entre observador y sistema observado (un proceso mecánico cuántico irreversible).

Animo a los interesados en más detalles a que se lean el artículo técnico, fácil de leer si uno ha recibido alguna vez un curso de mecánica cuántica.

Incrementar la entropía de la Tierra primitiva como posible origen de la vida

Dibujo20090702_surface_radiation_Archean_Earth_200_300_nm_wavelength_(C)_Cnossen

Si la vida tiene un origen termodinámico, la vida podrá ser explicada termodinámicamente. Así lo cree K. Michaelian en dos artículos en los que discute esta idea. La Tierra hace 4000 millones de años recibía una radiación solar veintitantos órdenes de magnitud superior a la actual con un pico alrededor de 260-280 nm. Las moléculas de ARN/ADN se encuentran entre las más eficientes absorbiendo esta radiación a presiones de una atmósfera. La enorme entropía sobre la Tierra en dicha época podía ser catalizada gracias a estas moléculas. En mi opinión, la idea es muy discutible, pero creo que muchos lectores de este blog estarán interesados en leer estos artículos de K. Michaelian, “Thermodynamic Origin of Life,” ArXiv, Submitted on 1 Jul 2009, y “Thermodynamic Function of Life,” ArXiv, Submitted on 30 Jun 2009. Permitidme traducir libremente los resúmenes de ambos artículos.

“Comprender la función termodinámica de la vida puede acercarnos a su origen. La producción de entropía en los sistemas alejados del equilibrio termodinámico es una medida natural de la tendencia de la Naturaleza para explorar todos los microestados alcanzables. El proceso que produce la mayor cantidad de entropía en la biosfera es la absorción y transformación de la luz del Sol. Según el autor, la vida se inició y existe hoy en día como catalizador dinámico de la absorción y transformación de la luz solar en calor, que puede ser redistribuido eficientemente por el ciclo del agua, los huracanes, las corrientes oceánicas y las corrientes de viento. Las moléculas de ARN y ADN se encuentran entre las moléculas más eficientes conocidas para absorber la luz ultravioleta que podría haber penetrado en la densa atmósfera primigenia, y además son muy rápidas a la hora de transformar esta luz en forma de calor que puede ser rápidamente absorbido por el agua líquida. Según el autor, el origen y la evolución de la vida estaría mediado por el imperativo termodinámico de incrementar la producción de entropía en la Tierra.”

“Aunque la teoría de la evolución de Darwin nos muestra la vida como un proceso de competencia por la supervivencia en un ambiente hostil, desde un punto de vista termodinámico, la vida es un proceso dinámico, fuera del equilibrio, que coevoluciona con su entorno abiótico. La componente viva de la biosfera con mayor masa son las plantas y las cianobacterias que se encargan de transpirar enormes cantidades de agua. Este proceso es clave en el ciclo del agua en la Tierra y la distingue de otros planetas vecinos, como Venus y Marte. El ciclo del agua, incluyendo la absorción de radiación solar en la biosfera, es con mucho el mayor proceso de producción de entropía en la Tierra. La función de la vida, desde esta perspectiva, es fundamentalmente termodinámica, actuando como un catalizador dinámico para la producción de energía. El papel de la vida animal, desde este punto de vista, es meramente servir a las plantas y a las cianobacterias para realizar su función termodinámica, ayudándolas a crecer y a dispersarse en áres inicialmente inhóspitas.”

Curiosas las ideas de Michaelian.

Por cierto, en Menéame podéis encontrar “Los rayos pudieron haber “cocinado la comida” para la vida primitiva (ING)” (traducido al español aquí) y entre los comentarios una recomendación de lectura “La cuestión del origen de la vida en la Tierra.”

El problema de entender un factor de 4 clave para obtener una teoría cuántica de la gravedad

Dibujo20090612_Strominger_Vafa_sharing_string_tube¿Para qué sirve una teoría cuántica de la gravedad? ¿Qué problemas ha de resolver? Problemas aparentemente sencillos, como por qué la ley de la entropía de Bekenstein-Hawking para agujeros negros incluye un factor de 4. ¿Por qué hay que contar sólo el 25% de los posibles estados? ¿Por qué sólo hay un 25% de los estados que la mecánica cuántica asociaría a la gravedad? El gran problema de qué es observable en la teoría cuántica de la gravedad. Uno de los 5 problemas que nos comenta Andrew (Andy) Strominger en “Five Problems in Quantum Gravity,” ArXiv, Submitted on 6 Jun 2009 . “We present five open problems in quantum gravity which one might reasonably hope to solve in the next decade.” Andy es optimista y cree que este problema (y los otros 4) serán resueltos en la próxima década.

Uno de los grandes problemas de la física teórica actual es entender la ley de Bekenstein-Hawking (BH) para la entropía asociada a un agujero negro (en general a cualquier horizonte de sucesos). Una teoría cuántica de la gravedad tiene que explicar su valor. La entropía mide una cuenta, el logaritmo del número de microestados posibles de un sistema estadístico formado por partes. La entropía es un parámetro de origen cuántico (aunque se descubrió originalmente en un contexto clásico). El área de un horizonte de sucesos es una magnitud relativista (gravitatoria). La ley BH es universal: S_{BH}= \frac {\rm Area } {4 \hbar G}. Entender esta ley parece fácil. Lo difícil es entender el factor de 4. Si el horizonte de sucesos está dividido en pequeñas celdas con un tamaño en la escala de unidades de Planck y cada celda tiene un solo grado de libertad, entonces obtenemos fácilmente la ley BH, pero sin el factor de 4. ¿De dónde viene ese factor de 4? ¿Por qué se necesitan 4 celdas por grado de libertad? ¿Qué representan cada una de estas celdas? Las preguntas siempre son fáciles.

Por cierto, la primera explicación cuántica de la ley BH utilizando teoría de cuerdas es de el propio Strominger, junto a Vafa. “Microscopic Origin of the Bekenstein-Hawking Entropy,” ArXiv, Submitted on 9 Jan 1996, “The Bekenstein-Hawking area-entropy relation S_{BH}=A/4 is derived for a class of five-dimensional extremal black holes in string theory by counting the degeneracy of BPS soliton bound states.”

¿No te has enterado de nada? Lo siento. Los agujeros negros en relatividad general “no tienen pelo,” son objetos extremadamente simples. ¿Cómo es posible que tengan grados de libertad cuyo número mide la entropía BH que se les asocia? De hecho, los agujeros negros tienen una entropía enorme (un agujero negro con la masa del Sol tiene una entropía 20 órdenes de magnitud mayor que la que tiene el Sol). ¿Cuál es la física microscópica que explica las propiedades termodinámicas de los agujeros negros? ¿De qué están hechos los agujeros negros, a escala cuántica? Interesado. Puedes leer el artículo en español de la argentina Carmen A. Núñez, “La paradoja de la pérdida de información en agujeros negros,” Ciencia Hoy 16, 2006. Los argentinos aman a Maradona y a Juan (Martín) Maldacena (“un físico con alma de poeta” y “Agujeros Negros, Cuerdas y Gravedad Cuántica,” Juan Maldacena)).