Carnaval de Matemáticas 2.X: El “baile” de un fluido viscoso newtoniano que cae sobre una cinta transportadora

A este vídeo de youtube solo le falta una banda musical similar al Bolero de Ravel para que tengamos la sensación de que el fluido viscoso de color dorado está bailando al son de la música; me gusta que los autores hayan elegido una iluminación que logre un color tan dorado, pues yo recuerdo el color de este aceite de silicona como un amarillo mucho más pálido y menos sugerente. César (@EDocet) tuiteó este vídeo de youtube (enlace al vídeo original) como “#AA Fluido newtoniano y comportamiento no lineal en acción. ¡Matemáticos echad un ojo!” El enlace apuntaba a David Bradley, “Viscous fluid on a moving belt,” Sciencebase, Jan. 21, 2012, quien nos dice sin rubor que el líquido es sirope muy viscoso (“a stream of very viscous syrup”) y que es un ejemplo de un fluido no newtoniano (“a wonderfully visual example of a non-Newtonian fluid”). Como bien dice César, Bradley se equivoca, el fluido del vídeo es newtoniano (un aceite de silicona Dow Corning (R) 200). Al leer a Bradley tras ver el vídeo por primera vez me pregunté: ¿también se habrá equivocado César? Visité Twitter para corregirle, pero no, no se equivocaba, su tuit afirmaba con rotundidad que era un fluido newtoniano. ¡Bravo, César! Por ello decidí escribir una entrada sobre este vídeo y anuncié en Twitter que sería para el Carnaval de Matemáticas 2.X, cuyo anfitrión esta semana es el blog Resistencia Numantina del físico soriano Francisco J. Hernández (@fjhheras). He de confesar que nunca he estado en Soria, España, aunque quizás no importa, ya que él trabaja ahora en el grupo de neurobiología del Departamento de Zoología de la Universidad de Cambridge. Mi entrada no tendrá nada que ver con la biomatemática (también he hecho mis pinitos), ni con la neurociencia, la gran pasión de César, lo siento. Bueno, al grano.

El comportamiento del fluido newtoniano que se ve en el vídeo se puede entender como una transición entre dos situaciones extremas. Por un lado, cuando la cinta está parada, la silicona cae y se curva al contactar con la cinta, apareciendo una fuerza tangencial que hace rotar el chorro, que se pone a rotar formando una bobina de fluido de forma cilíndrica (como una cuerda que cae). Por otro lado, cuando la cinta tiene una velocidad alta, la silicona cae formando una catenaria y dejando una traza recta en la cinta transportadora. Conforme la velocidad de la cinta baja, se produce un cambio en el comportamiento del fluido (una bifurcación) que provoca que empiece a oscilar y formar los bucles que se observan en el vídeo. Al bajar más aún la velocidad estos bucles forman figuras con bucles más amplios hasta que, finalmente, cuando la cinta se para de forma definitiva se observa el bobinado del fluido. Permíteme una incursión algo más detallada en estos comportamientos.

Para entender un fenómeno físico conviene tener claro el dispositivo experimental utilizado, que se muestra en esta figura (extraída del reciente artículo de Robert L. Welch, Billy Szeto, Stephen W. Morris, “Frequency structure of the nonlinear instability of a dragged viscous thread,” Submitted to Physical Review E, 9 Jan. 2012ArXiv, aunque el vídeo youtube es parte de un artículo anterior, también de Stephen W. Morris, Jonathan H. P. Dawes, Neil M. Ribe, John R. Lister, “The meandering instability of a viscous thread,” Physical Review E 77: 066218, 2008, ArXiv). Un chorro de aceite de silicona cae desde una altura variable sobre una cinta transportadora que se mueve a cierta velocidad ajustable. El chorro sale con un diámetro d = 8,00±0,02 mm y cae desde una altura H regulable entre 2,0 y 6,0 cm. La velocidad U de la cinta se controla mediante un motor de alta precisión, que permite bajar dicha velocidad desde 9 cm/s hasta cero. El aceite de silicona utilizado es un líquido newtoniano, su viscosidad es constante; te recuerdo que en los fluidos no newtonianos la viscosidad varía con la temperatura y no es constante. Por cierto, este aceite de silicona Dow Corning 200 es muy utilizado en este tipo de experimentos porque es muy estable ante variaciones pequeñas de la temperatura, es decir, su densidad y tensión superficial son prácticamente constantes en el rango de temperaturas considerado en el experimento (su densidad cambia menos del 0,08% por grado centígrado). La cámara de vídeo utilizada filma el reflejo de la cinta y el líquido en un espejo colocado a 45º de la dirección del movimiento de la cinta transportadora con objeto de poder reconstruir a partir de los fotogramas la posición (xy) exacta del chorro líquido. Como indica la figura, el eje x mide los movimientos del fluido transversales a la cinta; el eje y es más curioso y mucho más difícil de reconstruir a partir de los fotogramas; el eje y mide lo que se adelanta o retrasa el punto de incidencia del chorro en la cinta (vuelve a ver el vídeo que abre esta entrada para comprobar que al principio este movimiento es muy ligero y que se vuelve mucho más importante cuando aparecen los primeros meandros, las oscilaciones del chorro en la cinta).

Cuando la cinta transportadora está en reposo (no se ve al final del vídeo), lo que se observaría en el vídeo es similar a un fenómeno muy familiar a todas las personas que han degustado miel. La miel también es un fluido viscoso newtoniano como el aceite de silicona (o como la leche condensada o la pintura de brocha gorda o muchos otros líquidos). Cuando un chorro de miel  cae se estrecha debido a la ley de la conservación de la masa (en física de fluidos se la llama ecuación de continuidad): el producto de la velocidad de una segmento del chorro por el área de su sección transversal se conserva (tiene un valor constante); por tanto, la aceleración de la gravedad estrecha el chorro al caer. Cuando la miel toma contacto con una tostada, o con la mesa, o la miel de su propio recipiente, se enrolla como si se tratara de una cuerda que se deja caer verticalmente al suelo, formando una especie de espiral cilíndrica. El siguiente vídeo de youtube lo ilustra muy bien; te recomiendo verlo (al menos el principio, pues de repite lo mismo en varias ocasiones).

La viscosidad del líquido hace que no se derrame (se extienda horizontalmente) al incidir sobre la superficie de la miel; también impide que se rompa en gotas. Por ello, el chorro de miel se enrolla como una cuerda formando bucles circulares (que en el vídeo, cuando alcanzan cierta altura, se desmoronan por su propio peso). Este fenómeno se llama “bobinado líquido,” aunque entre mis colegas es más conocido por su nombre en inglés efecto “rope-coiling.” ¿Qué tiene que ver este efecto con lo que observas en el primer vídeo de youtube? Los bucles y los “ochos” que forma el líquido en la cinta transportadora son debidos a este efecto, pero se alargan porque la cinta transportadora no está en reposo. Lo mismo ocurriría si sobre la cinta cayera una cuerda (elástica), como nos confirman Mehdi Habibi, Javad Najafi, Neil M. Ribe, “Pattern formation in a thread falling onto a moving belt: An “elastic sewing machine”,” Physical Review E 84: 016219, 2011, de donde extraigo las siguientes dos figuras.

La cuerda se desenrolla y cae sobre una cinta transportadora. Me gusta esta figura porque ilustra muy bien lo que es el movimiento en la coordenada y para el chorro del líquido viscoso. Cuando la cinta se mueve a alta velocidad, la cuerda forma una catenaria (a), pero conforme la velocidad se reduce se pone casi vertical con un codo circular (b) que se desplaza hacia atrás, como se ilustra en las figuras (c) y (d). En esta última configuración es en la que se observa que la cuerda (como el chorro líquido) realiza meandros y movimientos en forma de bucle.

Las configuraciones de la cuerda elástica que cae son más variadas (y complicadas) que las observadas en el chorro de líquido viscoso. El parámetro que controla el tipo de patrón observado es el cociente entre la velocidad lineal de desenrollado de la cuerda (V) y la velocidad de la cinta transportadora (U); en el chorro viscoso el primer parámetro (V) viene determinado por la altura desde la que cae el líquido (y la aceleración de la gravedad). En estas figuras V = 8 cm/s, excepto en (i) y (j) donde V = 30 cm/s. Para U>V, es decir, cuando la cinta es más rápida que la cuerda, se observa una catenaria estacionaria (en la figura (a) se muestra el caso límite U=V=8 cm/s). Para velocidades U más pequeños aparecen curvas biperiódicas, como en (e) y (f), patrones en forma de W, 8, &, y W8 en las figuras (g), (h), (i) y (j), resp., así como patrones de bobinado, en las figuras (k) a (n).

En el caso del fluido viscoso solo se observan algunos de los patrones observados en la cuerda elástica. Esta figura muestra el diagrama de estados en función de la velocidad de la cinta (U) y de la altura del chorro líquido (H), obtenido tras analizar miles de experimentos. Como ocurre en muchos sistemas no lineales, las transiciones entre los diferentes patrones conforme se baja la velocidad de la cinta se producen gracias a bifurcaciones (para un valor de H, los cambios de color en vertical). Un modelo matemático-físico de este sistema permite entender el origen de cada una de estas bifurcaciones (basta un análisis linealizado de las ecuaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes para este fluido), aunque para el análisis por separado de cada una de ellas es suficiente un modelo fenomenológico de Landau, mucho más sencillo, pero con parámetros libres que han de ser ajustados por medio de los experimentos. No entraré en detalles matemáticos, que si bien no son complicados, se pueden encontrar en los artículos citados más arriba (y en otros artículos más teóricos de los mismos autores).

Solo como ilustración de los resultados del análisis matemático, te muestro los resultados experimentales y la curva teórica predicha mediante un análisis lineal para la primera bifurcación que se observa en el vídeo que abre esta entrada. En concreto, para la transición entre el estado estacionario en el que el fluido forma una catenaria y la formación de meandros; se trata de una bifurcación de tipo Hopf (la aparición de un comportamiento oscilatorio a partir de un movimiento no oscilatorio). Para cada altura H fija (5,3 cm en la figura), hay una velocidad crítica para la cinta, Uc (igual a 4,01 cm/s para la figura), tal que con UUc el oscilatorio con una frecuencia ωc=2 Uc √µ (donde µ = 4,62 /cm² en la figura). La amplitud de las oscilaciones transversales dependen de la velocidad de la cinta y el modelo teórico predice que |A|=√((Uc-U)/(µ Uc)), que corresponde a la curva verde. El ajuste entre el resultado teórico y el experimento es muy bueno, aún así el modelo teórico predice un comportamiento de tipo histéresis que no se observa en los resultados experimentales (como se muestra en la figura de abajo).

Como es habitual en los sistemas dinámicos no lineales modelados por ecuaciones en derivadas parciales, se observa una sucesión de bifurcaciones que va dando lugar a la aparición de los diferentes patrones del fluido en la cinta (como la formación de figuras de tipo 8 y W). Todas estas bifurcaciones son consecuencia de la primera bifurcación de Hopf y conducen a una composición de movimientos oscilatorios en x e cuyas frecuencias son múltiplos (armónicos) de la frecuencia de Hopf ωc. Supongo que conocerás las figuras de Lissajous, que se obtienen por la suma de dos movimientos oscilatorios. Los patrones que se observan tienen el mismo origen. Para analizar las frecuencias de estos movimientos oscilatorios se puede utilizar un análisis de Fourier, como muestra la siguiente figura.

En estas figuras se muestran cuatro patrones: meandros (a), figuras en W o bucles por un solo lado (b), figuras en 8 o bucles por los dos lados (c) y bobinados alargados (d). En azul tenéis el espectro de las oscilaciones en x y en verde discontinuo el de las de y. En un recuadro aparece el plano de fases para estos dos movimientos. Los meandros aparecen cuando la componente en x oscila a cierta frecuencia ω y la componente y casi no oscila a dicha frecuencia (aunque oscila un poco a la frecuencia doble, 2ω). Cuando se produce una bifurcación de Hopf, se excitan oscilaciones fuertes en la componente y con una frecuencia ω, que al estar acopladas con la componente x provocan la aparición de dos frecuencias ω y 2ω; este fenómeno es claramente no lineal (ya que en el caso lineal, figuras de Lissajous, no se excitaría ningún armónico). Conforme se reduce la velocidad de la cinta transportadora van apareciendo nuevas bifurcaciones en alguna de las dos componentes, pero no en la otra, lo que provoca un desfase entre ambas componentes. Finalmente, cuando la velocidad es muy lenta, ambas componentes se vuelven a poner en fase y domina la oscilación con frecuencia ω. No sé si me he explicado bien, pero las figuras son bastante claras.

Un análisis matemático riguroso de estas bifurcaciones requiere desarrollar un modelo matemático simplificado del chorro líquido; este modelo no lineal es difícil de estudiar, pero asumiendo que existen velocidades críticas en las que se producen cada una de las bifurcaciones se pueden linealizar dichas ecuaciones alrededor de estos puntos y obtener una buena estimación de sus parámetros. Resulta que se son bifurcaciones de Hopf y que el análisis lineal conduce un valor para la frecuencia de Hopf en muy buen acuerdo con los resultados experimentales. Por ello, este experimento es un arquetipo para estudiar cascadas de bifurcaciones en física de fluidos.

Para acabar, no quiero entrar en muchos detalles matemáticos, que nos llevarían demasiado lejos, me gustaría ilustrar una curiosa aplicación de estas bifurcaciones: el arte abstracto. Las inestabilidades de los chorros líquidos viscosos han sido utilizados por muchos pintores abstractos para obtener efectos muy curiosos en los trazos de pintura sobre el lienzo; destaca el pintor americano Jackson Pollock (abajo un ejemplo con un zoom); no entraré en más detalles, salvo recomendarte la consulta del artículo de Adrzej Herczynski et al., “Painting with drops, jets, and sheets,” Physics Today, June 2011, pp. 31-36 (copia gratis en pdf).

Cursos en youtube: Caos, fractales y sistemas dinámicos

El verano es buena época para aprender y estudiar (si no estás liado con exámenes). Me permito recomendarte un curso en inglés impartido por el indio S. Banerjee, del Departmento de Ingeniería Eléctrica del IIT Kharagpur, titulado “Chaos, Fractals & Dynamic Systems,” disponible en youtube (el curso está bastante bien):  

01 – Representations of Dynamical Systems [54:56]

02 – Vector Fields of Nonlinear Systems [56:44]

03 – Limit Cycles [56:22]

04 – The Lorenz Equation – I [53:35]

05 – The Lorenz Equation – II [56:37]

06 – The Rossler Equation and Forced Pendulum [58:11]

07 – The Chuas Circuit [54:41]

08 – Discrete Time Dynamical Systems [55:37]

09 – The Logistic Map and Period doubling [55:25]

10 – Flip and Tangent Bifurcations [56:20]

11 – Intermittency Transcritical and pitchfork [55:31]

12 – Two Dimensional Maps [54:49]

13 – Bifurcations in Two Dimensional Maps [53:47]

14 – Introduction to Fractals [52:29]

15 – Mandelbrot Sets and Julia Sets [53:37]

16 – The Space Where Fractals Live [53:59]

17 – Interactive Function Systems [56:03]

18 – IFS Algorithms [55:00]

19 – Fractal Image Compression [51:25]

20 – Stable and Unstable Manifolds [55:24]

21 – Boundary Crisis and Interior Crisis [56:52]

22 – Statistics of Chaotic Attractors [57:04]

23 – Matrix Times Circle : Ellipse [52:26]

24 – Lyapunov Exponent [53:22]

25 – Frequency Spectra of Orbits [55:28]

26 – Dynamics on a Torus [54:41]

27 – Dynamics on a Torus [54:48]

28 – Analysis of Chaotic Time Series [56:10]

29 – Analysis of Chaotic Time Series [51:12]

30 – Lyapunov Function and Centre Manifold Theory [1:00:42]

31 – Non-Smooth Bifurcations [54:19]

32 – Non-Smooth Bifurcations [54:51]

33 – Normal from for Piecewise Smooth 2D Maps [54:10]

34 – Bifurcations in Piecewise Linear 2D Maps [55:32]

35 – Bifurcations in Piecewise Linear 2D Maps [52:59]

36 – Multiple Attractor Bifurcation and Dangerous [59:21]

37 – Dynamics of Discontinuous Maps [56:39]

38 – Introduction to Floquet Theory [57:11]

39 – The Monodromy Matrix and the Saltation Matrix [57:37]

40 – Control of Chaos [54:17]

Si te gusta el croché, atrévete con el caos y la variedad estable en el origen del atractor de Lorenz

Amazings.es es el proyecto de tres amigos Antonio Martínez (Fogonazos), Miguel Artime (Maikelnai’s) y Javier Peláez (La Aldea Irreductible) que han unido sus fuerzas para realizar una web que pretende aglutinar los mejores contenidos científicos y las perlas más selectas de la red.” Y perlas selectas en la blogosfera en español son también sus colaboradores.

Ha refrescado mi memoria la entrada de Maikelnai, “El verdadero “tejido” del tiempo,” Amazings.es, 16 de Julio, 2010. Me ha recordado la maravillosa incursión en el mundo del croché y del caos de Hinke Osinga y la variedad invariante del origen en el sistema de Lorenz. Hinke Osinga y Bernd Krauskopf decidieron construir un programa de ordenador que indicara las instrucciones exactas necesarias para elaborar con croché la variedad invariante del origen del sistema de ecuaciones de Lorenz, famosas por su atractor extraño con forma de “mariposa.” Osinga necesitó 85 horas de trabajo y tuvo que hacer 25511 puntos de croché para lograr su obra. Y logró su momento de gloria. Fue portada de revistas de matemáticas, fue invitada a todas las conferencias de dinámica no lineal y entrevistada en radio y televisión. Todo un éxito en los medios que quizás muchos ya han olvidado. ¿Te gustan el croché y las matemáticas? No podrás evitarlo, tienes que tricotar tu propia versión (aprovecha el verano, ¡ánimo!). Las instrucciones detalladas para desarrollar la obra aparecen en el artículo Hinke Osinga and Bernd Krauskopf, “Crocheting the Lorenz manifold,” Bristol Univ. Applied Nonlinear Mathematics Preprint, march 2004 (el artículo se publicó en The Mathematical Intelligencer 26: 25-37, 2004). Bueno, quizás quieras empezar por algo más fácil. Tricotar el plano hiperbólico. En dicho caso te recomiendo el artículo de David W. Henderson y Daina Taimina, “Crocheting the hyperbolic plane,” The Mathematical Intelligencer 23: 17-28, 2001. No tienes excusa. Si te gustan el croché y las matemáticas, no tienes excusa.

El siguiente vídeo de youtube muestra el atractor de Lorenz junto a la variedad invariante del origen. El sistema de Lorenz es un sistema dinámico tridimensional (tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas) que tiene tres puntos fijos, el origen y dos puntos simétricos (los “ojos” del atractor de Lorenz). La estabilidad de estos puntos fijos o de equilibro se determina evaluando los autovalores del jacobiano del sistema en dichos puntos. El origen es un punto hiperbólico que tiene un autovalor positivo (inestable) y dos autovalores negativos (estables). Los autovectores del autovalor positivo se prolongan como curvas que se alejan del origen y se “enrollan” alrededor del atractor extraño de Lorenz (se ve en negro en el vídeo de abajo). Los autovectores de los otros dos autovalores negativos definen localmente un plano en el origen en el que las trayectorias que se inician en dicho plano convergen al origen. Cuando dicho plano se prolonga se obtiene una superficie, la variedad estable del origen, también llamada variedad de Lorenz, que Osinga ha tricotado y que en el vídeo de abajo podéis ver en colores. Cualquier condición inicial que esté exactamente en dicha variedad (que se enrolla por dentro del atractor de Lorenz) converge irremisiblemente al origen. Un punto cercano, por muy cercano que esté, pero fuera de esta superficie, converge hacia el atractor de Lorenz. Como esta variedad del origen no tiene volumen (pero sí área) con probabilidad uno toda condición inicial para el sistema de Lorenz converge al atractor (extraño) de Lorenz. Por ello, determinar la variedad invariante (estable) del origen es difícil numéricamente. Pero no imposible y se han publicado varios algoritmos para lograrlo. El vídeo de abajo os muestra el resultado del trabajo de Alexander Vladimirsky y John Guckenheimer (ambos en la Universidad de Cornell, Ithaca, estado de New York, EEUU).

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Los otros dos puntos fijos (o de equilibrio) del atractor de Lorenz son los responsables últimos de la aparición del atractor de Lorenz gracias a una bifurcación de Hopf. Hay un autovalor estable cuya variedad estable es unidimensional y corta transversalmente al atractor de Lorenz (es curioso que normalmente no se suele dibujar pues es fácil de calcular). Y hay dos autovalores complejos estables (parte real negativa) que colapsan a cierto valor crítico de los parámetros del sistema de Lorenz y se vuelven inestables, lo que da origen al atractor extraño de Lorenz. Cualquier curso de dinámica no lineal presenta todos los detalles a los interesados. Un resumen muy breve aquí. Detalles del análisis dinámico del sistema de Lorenz y de su atractor extraño.

Un modelo matemático explica el origen de las especies por el acoplamiento entre la selección natural y la sexual

Sorprende que en el año 2009 todavía no se tuviera un modelo matemático sencillo en Ecología capaz de explicar el “misterio de los misterios” de Darwin, el origen de las especies. El sueco Pim Edelaar, miembro de la Estación Biológica de Doñana del CSIC en Sevilla, y sus colaboradores lo publican hoy en Science. Un modelo simple que explica cómo la selección natural y la selección sexual trabajan en conjunto para lograr la adaptación local y el aislamiento reproductivo que conduce a una nueva especie, incluso bajo un flujo de mutaciones genéticas importante. Las hembras prefieren los machos cuyos ornamentos sexuales mejor indican lo bien que están adaptados al medio. Un mecanismo de retroalimentación que no había sido descrito con anterioridad de forma tan sencilla y elocuente. El artículo técnico es G. Sander van Doorn, Pim Edelaar, Franz J. Weissing, “On the Origin of Species by Natural and Sexual Selection,” Science Express, Published Online November 26, 2009. El nuevo artículo es la culminación del trabajo que el primer autor, Gerrit Sander van Doorn, postdoc en el Instituto Santa Fe, Nuevo México, EE.UU., y actualmente en la Universidad de Berna, Suiza, desarrolló en su tesis doctoral en 2004, “Sexual selection and sympatric speciation,” PhD Thesis, 2004, PDF 24,30 Mb, bajo la dirección de Franz J. Wessing, y en especial del capítulo 8 de la misma. 

El origen de una especie (especiación) require una interacción entre procesos genéticos (diversificación genética) y procesos ecológicos (aislamiento reproductivo). El nuevo modelo matemático consiste en un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas, que omitiremos, que describen cómo la selección sexual, las preferencias de las hembras por ciertos caracteres ornamentales de los machos, se acopla con la selección natural, la presencia de genes beneficiosos para la adaptación de la especie al medio, permitiendo resolver satisfactoriamente el problema de la divergencia de las especies. El modelo teórico es lo sencillo y permite un análisis dinámico (cualitativo y cuantitativo) detallado utilizando la técnica del plano de fases. El modelo muestra que las hembras prefieren a los machos cuyos ornamentos sexuales son los que mejor indican lo bien que están adaptados al medio. Esta preferencia sexual refuerza la selección natural por un mecanismo similar a un sistema de control retroalimentado. Sin este mecanismo, modelos anteriores son incapaces de explicar de forma sencilla la divergencia entre especies.

PS: Noticia en Europa Press y comentarios en Menéame.

PS (18 Dic. 2009): Ya ha aparecido el artículo de G. Sander van Doorn et al., “On the Origin of Species by Natural and Sexual Selection,” Science 326: 1704-1707, 18 December 2009, acompañado de una Perspective de Judith E. Mank, “Sexual Selection and Darwin’s Mystery of Mysteries,” Science 326: 1639-1640, 18 December 2009.

La teoría de las cascadas de bifurcaciones de periodo doble: Rutas genéricas para la aparición del caos determinista

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Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro. La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones de periodo doble. Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica sobre este tipo de rutas. Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría, la  Teoría de las Cascadas de Periodo Doble, en un artículo que acabará siendo publicado en PRL (tiempo al tiempo). Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada de este tipo presenta también infinitas más. Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan en dimensión arbitraria. Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones, pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés). Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo, parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2. El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke, “The cascades route to chaos,” ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.

En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones de la aplicación logística. Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457… se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar. La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3 que aparece alrededor de 3,8284… Este comportamiento es bastante genérico y se observa en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.

Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística) y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada, luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico. Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico. Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas. En este sentido este artículo presenta el primer gran resultado de la teoría de las cascadas de doble periodo a la que desde este blog le auguramos un sustancioso futuro.

Dinámica no lineal, biestabilidad y oscilaciones en ciclos límites en el interruptor genético (toggle switch)

La Biología Sintética se define como “una aproximación rigurosa a la Biología desde la Ingeniería basada en la aplicación del diseño de sistemas a procesos biológicos complejos” [fuente]. Su objetivo fundamental es desarrollar una biblioteca de BioBricks (bioladrillos), “unidades modulares básicas de ADN que realizan una función simple. Un BioBrick es un fragmento de ADN que codifica el código genético de un elemento funcional conocido y que puede ser empalmado con cualquier otro BioBrick para formar un módulo complejo.” Uno de los biobricks más famosos es el interruptor genético (genetic toggle switch) que se utiliza para controlar el apagado/encendido de la expresión de un gen. Desde un punto de vista matemático, un interruptor biológico es un sistema biológico que presenta una biestabilidad, que puede estar en dos estados posibles. Este sistema permite la generación de comportamiento oscilatorio autosostenido (un ciclo límite). Su análisis dinámico y numérico se presenta en bastante buen detalle en el artículo técnico de Didier Gonze, “Coupling oscillations and switches in genetic networks,” Biosystems, Article in Press, 2009, que desde aquí recomiendo no sólo a los aficionados a la biología sino también a los aficionados a la matemática.

He de confesar que recientemente yo mismo analicé el comportamiento matemático de este sistema biológico y descubrí por mí mismo muchos de los resultados que aparecen revisados en el artículo de Didier Gonze. Una revisión bibliográfica a posteriori me permitió comprender que lo que yo creía descubriemientos novedosos en realidad eran conocidos ya hace una década. Coronar una montaña, aunque uno no sea el primero en lograrlo, siempre es todo un logro. Contemplar el camino recorrido con los ojos de otros siempre nos muestra detalles que estuvieron a nuestro alcance pero que omitimos por distracción o ignorancia.

Dibujo20091025_toggle_switch_simplified_mathematical_model_and_genetic_circuitEl interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli,” Nature 403: 339-342, 20 January 2000 [en la figura de la izquierda se omite la representación de las proteínas]. Es habitual modelar matemáticamente la inhibición (represión) mediante una ley de Hill con un exponente de cooperatividad n.  La formulación matemática de la izquierda está adimensionalizada.

Dibujo20091025_toggle_switch_phase_plane_three_fixed_points_solutions_in_time_and_histeresis

La figura de arriba ilustra la dinámica del interruptor cuando los parámetros permiten la biestabilidad, cuando el parámetro a1 se encuentra en el intervalo entre las dos bifurcaciones de punto de silla (SN1=1.4 y SN2=6.8) que muestra la figura superior izquierda. En dicho caso, la intersección de las dos nullclinas (funciones no lineales del miembro derecho del modelo matemático) presenta tres puntos fijos, dos estables y uno inestable central (figura abajo izquierda). Las trayectorias en tiempo típicas del sistema se muestran en la figura superior derecha. Dependiendo de las condiciones iniciales el sistema puede converger a uno de los dos posibles estados estacionarios estables. Es importante recordar que cuando a1>SN2 o a1<SN1 el sistema se comporta de forma monoestable (sólo hay un punto estacionario estable), no ilustrado en la figura de arriba. El comportamiento oscilatorio es debido a la histéresis del sistema que se muestra en la figura inferior derecha y que conduce a oscilaciones autosostenidos de tipo ciclo límite (siguiendo las flechas en la figura). La variación del parámetro a1 requiere que se acople al gen X una proteína que active su expresión, normalmente mediante una ley de Michaelis-Menten. Esta proteína P1 se suele denominar represilador (no mostrada en el modelo matemático).

Dibujo20091025_toggle_switch_coupled_with_reprisellator_effect_of_its_parameters_on_bifurcation_diagrams

La parte más bonita del análisis matemático de este problema es el estudio del efecto de los parámetros del represilador P1 (que actúa como un forzamiento) en los diagramas de bifurcación del sistema. La figura de arriba muestra la aparición de comportamiento birrítmico para forzamientos alrededor de los dos puntos en los que se presenta la bifurcación de punto de silla. En este caso, las variables X o Y presentan una comportamiento oscilatorio de pequeña amplitud alrededor de sus valores en estado estacionario. Hasta dos ciclos límites estables se pueden observar en este caso. Todo depende del forzamiento introducido por el represilador, que permite inducir un comportamiento oscilatorio en un estado inicialmente estable.

Sin entrar en más detalles de este análisis dinámico me gustaría acabar recalcando que este su simplicidad permite utilizarlo como modelo de nivel intermedio en cursos de dinámica no lineal y caos. En dicho caso, conviene recalcar al alumno que este tipo de sistemas se ha observado biológicamente y ponerle algunos ejemplos (son fáciles de encontrar en la literatura).

No tires piedras al río, chaval (o la belleza de la penetración en el agua)

No todos los videos que han sido enviados como entrada a la “Gallery of Fluid Motion” de la Sección de Dinámica de Fluidos de la Sociedad de Física Americana (American Physical Society) merecen la atención de este “bloguero”. Quizás, por mi formación académica, los videos de simulaciones por ordenador deberían ser mis preferidos. Sin embargo, entre todos los que he visto hasta ahora, ninguno me ha llamado la atención. Los videos rodados con cámaras de alta velocidad me están gustando mucho más. En especial, los de investigadores del M.I.T. (¡¿por qué será?!).

El video que inicia esta entrada es de Tadd T. Truscott, Jeffrey M. Aristoff, y Alexandra H. Techet, del M.I.T. y se titula “Dynamics of Water Entry,” ArXiv preprint, 10 Oct 2008. Ilustra la colisión (entrada) de una piedra (esfera) en un baño de agua. La dinámica de este fenómeno depende mucho de las propiedades de la superficie de la esfera, por ejemplo, si ha sido recubierta parcialmente con un material hidrófobo, así como de la velocidad y ángulo con la que entra en el agua. Para caracterizar la resistencia del agua a ser penetrada por la esfera se utiliza el número adimensional de Froude, el cociente entre la fuerza inercial y la fuerza gravitatoria. Por ejemplo, para un barco sumergido en agua es igual a Fr=V/sqrt(g*L), donde V es la velocidad del barco, g es la aceleración de la gravedad y L es la longitud del barco. En el caso que nos interesa, la penetración vertical de una esfera de diámetro d en agua que incide con un velocidad U, el número de Froude es Fr=U/sqrt(g*d).

El primer video ilustra el impacto a Fr=5.15 de una esfera hidrofílica y de una hidrofóbica, mostrando cómo el recubrimiento de la esfera influye en la formación o no de una cavidad de aire durante la penetración. El segundo video ilustra el efecto de la rotación (espín) de la esfera y lo compara con el efecto de recubrir hidrofóbicamente el hemisferio izquierdo (pero no el derecho) de un esfera que no rota. En mi opinión, el sorprendente parecido (salvo el splash supercial) entre ambos videos es extraordinario. Merece la pena hacer pausa reiteradas veces y contemplarlo despacito.

El tercer video compara el impacto de dos esferas recubiertas hidrofóbicamente a dos velocidades muy próximas, 40 cm/s y 45 cm/s (o lo que es lo mismo, dos números de Froude muy parecidos. Lo sorprendente es la existencia de un número de Froude crítico que permite que la esfera rápida penetre en el fluido pero la lenta quede flotando en la superficie. Muy espectacular el efecto del recubrimiento hidrofóbico. ¡Qué pena que no muestren la vista superior! Me hubiera gustado contemplar cómo cambia la onda que se genera en la superficie (con y sin el forzamiento de la esfera flotante).

El cuarto video es el que menos me gusta. Muestra la penetración de un bala (esfera milimétrica de acero a 600 cm/s) recubierta hidrofóbicamente y cómo se produce una cavidad esbelta (elongada) que se inestabiliza en un conjunto de burbujas. El quinto video es similar, pero ahora la bala es un poco más lenta, 350 cm/s, lo que produce un chorro de agua hacia arriba (de Worthtington) que se rompe en gotas debido a la inestabilidad de Rayleigh-Plateau.

En resumen, espectaculares videos de fluidos en acción. Si cuando tirásemos una piedra a un río, lago, o similar pudiésemos ver lo que pasa a cámara lenta nos quedaríamos asombrados de la gran belleza de la dinámica de fluidos implicada. Como no tenemos superojos de superhéroe, tendremos que conformarmos con la gran belleza de ver a nuestros hijos disfrutar tirando piedras al río. Es algo hipnótico. Todos los críos disfrutan con ella como lo que son, niños.