La matemática del amor: modelos estocásticos de las relaciones interpersonales y románticas

La ecología humana permite comprender cómo nos relacionamos con los demás y permite desarrollar modelos matemáticos de nuestro comportamiento, basados en ecuaciones diferenciales ordinarias y estocásticas no lineales. Strogatz en 1988 introdujo el primer modelo matemático del amor (o del enamoramiento). Sprott en 1994 introdujo términos no lineales y una dinámica mucho más interesante. Desde entonces muchos otros lo han mejorado. La última aportación es el artículo de Cherif y Barley que introduce un modelo estocástico del amor. Una buena excusa, como cualquier otra, para recordar el amor, las matemáticas y el amor a las matemáticas. Un tema tan apasionante seguro que levanta pasiones. El artículo técnico es Alhaji Cherif, Kamal Barley, “Stochastic Nonlinear Dynamics of Interpersonal and Romantic Relationships,” ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009.  Por cierto, esta entrada es la mejor excusa posible para recordar al genial Kiyosi Ito, uno de los padres de la teoría de ecuaciones estocásticas, primer ganador del Premio Gauss de la IMU, quien concede las Medallas Fields, concedido en el ICM 2006 de Madrid, quien falleció el 10 de noviembre de 2008, ya entonces (agosto 2006) estaba muy enfermo y recogió el premio su hija (actriz y cantante famosa en Japón), que se hizo la foto de rigor con Su Majestad Juan Carlos I de España.

Las relaciones románticas son las relaciones interpersonales más importantes en la vida social humana, especialmente durante la adolescencia. Más del 70% de los estudiantes de formación secundaria declaran que están viviendo o han vivido una relación romántica. En adultos la mayoría de estas relaciones fracasa, en el sentido de que no concluye en la formación de una pareja, compromiso estable o matrimonio. El estudio experimental de las relaciones románticas es difícil, por ello los expertos en ecología humana recurren a modelos matemáticos similares a los utilizados en ecología. Esta rama de la ciencia se inició con el análisis mediante ecuaciones diferenciales lineales de las relaciones románticas en la obra Romeo y Julieta de Shakespeare que realizó Strogatz en 1988 con fines docentes (“Love affairs and differential equations“). Desde entonces muchísimos matemáticos han utilizado las “ecuaciones del amor” para facilitar la docencia de la dinámica de sistemas no lineales (como Sprott en “Dynamical models of love,” quien también ha estudiado la felicidad en “Dynamical models of happiness“). Estos autores han introducido correcciones no lineales al modelo de Strogatz y lo han extendido, por ejemplo, a los triángulos amorosos. Además, se han utilizado modelos matemáticos más avanzados como ecuaciones con retrasos y modelos estocásticos, como los desarrollados por Cherif y Barley en el nuevo artículo que comentamos.

Dibujo20091103_Strogatz_model_Typology_and_Characterization_of_Romantic_StyleLos modelos más sencillos son del tipo Strogatz-Sprott y se basan en cuatro estados posibles de enamoramiento que se muestran en la figura de la izquierda: (I) deseo correspondido (eager beaver), saber que la otra persona nos ama refuerza nuestro propio amor hacia ella; (II) amor precavido (cautious lover), rechazamos nuestros propios sentimientos pero los de la otra persona refuerzan nuestro amor; (III) amor ermitaño (hermit), rechazamos nuestros propios sentimientos y los de la otra persona; y (IV) tímido narcisista (narcissistic nerd), nuestro amor es intenso pero nos hecha para atrás que la otra persona también nos ame. El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales acopladas para las variables X_{1}, X_{2} que miden el amor hacia la persona amada, correspondiendo los valores positivos a sentimientos positivos (amistad, pasión, en función de la magnitud del valor) y valores negativos a sentimientos negativos (antagonismo, desdén). El modelo propuesto es el siguiente 

\frac{dX_{1} }{dt} =-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon_1 X_{2} ^{2} \right)+A_{1},

\frac{dX_{2} }{dt} =-\alpha _{2} X_{2}+\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon_2 X_{1} ^{2} \right)+A_{2},

donde las constantes A_{i} representan la atracción hacia al otro. Los parámetros \alpha _{i} indican el grado con que un individuo ha internalizado sus propios sentimientos y su propia autoestima. Los parámetros $\beta _{i}$ representan el efecto de refuerzo que los sentimiento de la otra persona provoca en nosotros. La constante \varepsilon_i introduce una función de retorno que, según los autores, modela el amor entre Steve Urkel y Laura Winslow en la teleserie “Cosas de casa”: Cuando Steve se desespera, el antagonismo de Laura se reduce por su sentimiento de compasión hacia él.

Este sistema dinámico tiene un punto de equilibrio dado por

\bar{X}_{1} =\frac{\alpha _{2} A_{1} +\beta _{1} A_{2} }{\alpha _{1} \alpha _{2} -\beta _{1} \beta _{2}},

\bar{X}_{2} =\frac{\alpha _{1} A_{2} +\beta _{2} A_{1} }{\alpha _{1} \alpha _{2} -\beta _{1} \beta _{2}},

que es no negativo y asintóticamente estable si y sólo si

R_d = \frac{\beta_1 \beta_2}{\alpha_1 \alpha_2}d_1 d_2 <1,

donde d_{j} =\frac{dg\left(\bar{X}_{j} \right)}{dX_{j} } y g\left(u\right) es la función de  retorno linealizada. En cualquier otro caso, el equilibrio es inestable.

Dibujo20091103_Transition_table_with_nonlinear_rates_in_continuous_markov_process_model_of_loveBasándose en este modelo, Alhaji Cherif y Kamal Barley introducen un nuevo modelo de carácter estocástico que presenta una mayor diversidad de comportamientos dinámicos. Este modelo corresponde a una proceso de Markov continuo cuya tabla de transición aparece a la izquierda y que conduce a una ecuación diferencial estocástica en el sentido de Ito, de la forma

dX=\mu \left(t,X_{1} ,X_{2} \right)dt+D\left(t,X_{1} ,X_{2} \right)dW.

Supongo que la mayoría de los lectores de este blog no conocerán este tipo de modelos matemáticos, así que no entraré en muchos detalles (los interesados en lo mínimo de lo mínimo pueden consultar T.E. Govindan, “Ecuaciones diferenciales estocásticas“). Hoy en día hay muy buenos métodos numéricos (y software en Internet) para la resolución de este tipo de ecuaciones estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas para el modelo de Cherif-Barley son

dX_{1} =\left[-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} \right]dt-\sqrt{\alpha _{1} X_{1} } dW_{1} +\sqrt{\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} } dW_{2},

dX_{2} =\left[-\alpha _{2} X_{2} +\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} \right]dt+\sqrt{\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} } dW_{3}-\sqrt{\alpha _{2} X_{2} } dW_{4}.

Dibujo20091103_sustained_oscillations_in_stochastic_model_of_love_where_deterministic_model_do_not_show_them

Lo más interesante del modelo estocástico es que presenta comportamientos que no se observan en el modelo determinista, con lo que su dinámica es mucho más rica e interesante. La figura de arriba muestra comportamiento oscilatorio para valores de los parámetros para los que el sistema determinista no lo presenta. La figura de abajo muestra la aparición de dos puntos de equilibrio estables y la transición (difusión) entre ellos. 

Dibujo20091103_diffusion_between_two_locally_stable_equilibria_stochastic_dynamics_love_affair

El análisis de los resultados del modelo de Cherif-Barley en su propio artículo es pobre, pero se me antoja que los resultados son muy interesantes y darían para una extensa discusión. Sin embargo, como siempre, mi intención es solo mostraros cosas curiosas que os llamen la atención y os provoquen una lectura de artículos técnicos que de otra manera, quizás, nunca llegaríais a conocer.

Los profesores de mateamática aplicada o de asignaturas de modelado de sistemas podrían proponer a sus estudiantes como práctica el desarrollo de un modelo del amor y las relaciones románticas. Ya algunos lo han hecho, como nos cuenta Kari, guapa estudiante de física en Perú, en su blog y con bastante éxito entre los alumno, según ella misma. Los alumnos tuvieron que exponer sus trabajos y sus razonamientos fueron realmente curiosos: “No podía creer como defendían sus puntos de vista hablando tan abiertamente de ese tema del cual a muchos en más de 3 años nunca escuché hablar y teniendo en cuenta que la última conversación que tuve con ellos fué sobre las propiedades del Hamiltoniano cuántico.”