La posible curvatura negativa del universo

Dibujo20130923 large scale anomaly - cmb seen by planck - march 2013

Saber si el universo es plano (Ωk = 0) es imposible. Los experimentos sólo pueden poner un límite superior a su curvatura. El fondo cósmico de microondas (CMB) observado por el telescopio espacial Planck de la ESA nos ha permitido obtener un valor combinado Planck+WMAP9+ACT+SPT+BAO de Ωk = 0,0005 ± 0,0070 al 95% C.L. El universo parece plano, pero podría tener una pequeñísima curvatura, positiva o negativa. El CMB observado por Planck muestra varias anomalías a gran escala en el universo (para los multipolos acústicos con ℓ < 40, por encima de 3º de cielo) que no tienen explicación dentro del modelo cosmológico de consenso ΛCDM (que ajusta perfectamente los multipolos entre 50 < ℓ < 3000, por debajo de 2º de cielo). Una de las anomalías es una asimetría norte-sur con respecto al plano de la eclíptica (el plano del Sistema Solar). Andrew Liddle y Marina Cortês, ambos de la Universidad de Edimburgo, Reino Unido, publican en Physical Review Letters una explicación de esta anomalía que asume que el universo es abierto y tiene una pequeñísima curvatura negativa. Los datos que Planck publicará en junio de 2014, que incluyen la polarización del CMB, confirmarán (o descartarán) la anomalía y estimarán la curvatura por debajo de los límites compatibles con la idea de Liddle y Cortês. Mientras tanto estos físicos disfrutarán de su momento de gloria. Muchos medios se han hecho eco de su trabajo, como Ron Cowen, “Universe may be curved, not flat,” Nature News, 20 Sep 2013; Marc Kamionkowski, “Is the Lopsided Universe an Open Universe?,” Viewpoint, Physics 6: 98, Sep 9, 2013; el artículo técnico es Andrew R. Liddle, Marina Cortês, “Cosmic Microwave Background Anomalies in an Open Universe,” Phys. Rev. Lett. 111: 111302, Sep 9, 2013.

Sigue leyendo

¿Cómo se deforma una botella de plástico? (o generación de polígonos en ecuaciones en derivadas parciales no lineales)

Muchos tenemos la experiencia de haber observado cómo se generan formas poligonales cuando se deforma la pared de una botella de plástico ante cargas puntuales. El artículo de Ashkan Vaziri and L. Mahadevan, “Localized and extended deformations of elastic shells,” PNAS, vol. 105, no. 23, pp. 7913-7918, June 10, 2008, presenta un modelo matemático (ecuación) de cómo se realiza este proceso de generación de patrones poligonales. En el artículo se comparan los resultados de simulaciones numéricas con resultados experimentales ante cargas puntuales (aplicar una fuerza de compresión sobre la botella concentrada como la producida cuando se aplica presión con un lápiz puntiagudo, figura A).

Estas formas poligonales son debidas a la respuesta mecánica no lineal de superficies elásticas curvadas cuando se les aplica una fuerza externa localizada. Dependiendo de las curvaturas (geométricas) intrínsecas (locales) de la superficie, se obtienen diferentes formas (patrones) para la superficie deformada. Para superficies con curvatura gaussiana cero o positiva, aparecen estructuras “poligonales” (facetadas) que se organizan en un conjunto de patrones localizados intrincados, presentando transiciones de histéresis entre múltiples estados metaestables. Por el contrario, cuando la curvatura gaussiana es negativa la superficie se deforma de forma no local a lo largo de líneas características que se extienden a lo largo de toda la superficie. Los autores presentan ecuaciones matemáticas y resultados numéricos que permiten entender estos dos tipos de comportamiento, permitiendo clasificarlos en función de ideas geométricas muy sencillas.

La figura A muestra que conforme el desplazamiento de al punta del lápiz que aplica la presión aumenta, la botella primero se “hunde” con una hueco circular, que pierde la simetría local para transformarse en una forma poligonal con 3 vértices (triángulo). Si se sigue aplicando la presión con el lápizse forman polígonos con un mayor número de lados y vértices. Los investigadores han resuelto las ecuaciones en derivadas parciales elípticas no lineales para la deformación de la superficie usando el método de elementos finitos con el programa comercial ABAQUS, partiendo de la geometría de la figura B, obteniendo los resultados numéricos mostrados en la figura C. Suponiendo que el material deformado tiene un grosor t y una curvatura (sin deformar) R, los autores han estudiado el rango 0.0005 < t/R < 0.01. Para el casquete esférico la curvatura gaussiana es positiva.

Como muestra la figura F, el casquete esférico primero se deforma axisimétricamente con un comportamiento lineal entre la fuerza aplicada (F/Et²) y el desplazamiento debido a la presión de la punta normalizado respecto al radio de curvatura (Z/R). Pero cuando la deformación es similar al grosor del casquete, la respuesta se vuelve no lineal. Si se seguimos presionando, aparece una deformación con una forma básicamente circular. Cuando seguimos presionando más, la forma circular pierde estabilidad, produciéndose una transición a un modo asimétrico, que muestra simetría triangular. Si seguimos aplicando la presión se producen sucesivas transiciones bruscas hacia formas con simetría de 4 y 5 lados. Múltiples formas poligonales con un número variable (creciente) de vértices (ver también figura C). Cada transición está marcada por una bifurcación que convierte un vértice en dos. Cuando decrementa la presión de la punta del lápiz, la deformación de la superficie sigue la curva roja en la figura F, es decir, se produce un fenómeno de histéresis (múltiples estados estables cuyo valor depende de cómo son alcanzados).

¿Por qué ocurre esto? Porque las deformaciones casi-inextensibles del casquete son energéticamente preferibles cuando se cambia de número de vértices, ya que se estira la superficie sólo en las cercanías de estos vértices y en las líneas que los conectan y el resto de la superficie permanece en gran parte sin deformar (facetas planas). De esta forma, la superficie se deforma en una pirámide n-gónica con el vértice en el punto en el que presionamos (figura D).

En resumen un artículo muy interesante. El artículo se acompaña de un vídeo en formato .mov, que muestra claramente cómo ciertos vértices individuales se dividen en dos incrementando el número de lados de los polígonos.

Bernoulli no explica por qué vuelan los aviones (o sobre la circulación alrededor de un ala y cómo los libros de texto a veces se equivocan)

Holger Babinsky, Univ. Cambridge (c) Phys. Education, 2003.

Yo estudié que la ley de Bernoulli permitía explicar la sustentación del ala de un avión, el porqué un avión vuela. Y me lo creí. Cuando estudié las condiciones de Kutta-Jukowski para la fuerza de sustentación de un ala no comprendí que implicaban fácilmente que la explicación anterior es incorrecta. ¿Quién me abrió los ojos?  

Este video es el contenido multimedia del artículo “How do wings work?” de Holger Babinsky, publicado en 2003 Physics Education 38, pp. 497-503, que propone que la popular explicación utilizando la ley de Bernoulli para la fuerza de sustentación del ala de un avión es incorrecta. Como dice W.R. Sears que le dijo Theodore Von Karman (quizás el mayor especialista en aerodinámica de la historia): “Cuando se lo cuentes a personas legas debes recurrir a lo falso pero plausible, en lugar de a lo verdadero aunque difícil” (“When you are talking to technically illiterate people you must resort to the plausible falsehood instead of the difficult truth”).

La explicación incorrecta es sencilla. Consideremos el flujo que incide sobre el ala, parte recorre el ala por encima y parte por debajo, siendo el punto de estacamiento donde ambos se separan. Para llegar al otro borde del ala, el fluido que recorre el ala por encima recorre una distancia mayor que el que la recorre por debajo, luego debe hacerlo más rápido. Aplicando la ley de Bernoulli, mayores velocidades implican presiones menores, con lo que se justifica la aparición de la fuerza de sustentación.

¿Por qué esta explicación es incorrecta? ¿Por qué las partículas de fluido por encima y por debajo del ala han de coincider en el extremo opuesto? ¿Por qué han de recorrer longitudes distintas en el mismo tiempo? No es fácil dar la respuesta. Porque no es verdad.

Observando el vídeo (si no lo has hecho ya, este e un buen momento, si lo has hecho, te recomiendo que repitas) en visualización bajo humo pulsado, se observa que el humo por encima del ala se mueven más rápido pero no alcanzan el extremo del ala al mismo tiempo que las van por debajo, llegan antes. Por si te interesa, si llegaran al mismo tiempo no habría sustentación.

¿Cuál es el error con Bernouilli? La ley de Bernouilli reza como sigue. Consideremos una partícula de fluido moviéndose en línea recta en una región sometida a una variación de presión (gradiente). Si la presión desciende conforme la partícula se mueve, la partícula “siente” una fuerza que la obliga a acelerar. Si la presión crece en el camino de la partícula, la partícula se ve obligada a desacelerar. Ahora bien, esto se aplica a lo largo de una línea de corriente, nada se dice sobre lo que pasa en líneas de corriente vecinas. Con lo que la ley de Bernouilli no se puede aplicar a líneas de corriente diferentes (las que van por encima y las que van por debajo del ala). No podemos inferir ningún gradiente de presión entre ellas (debido sólo a la ley de Bernouilli).

¿Cuál es entonces la explicación de la sustentación? El flujo de un fluido alrededor de un objeto se caracteriza por las fuerzas as las que está sujeto (aplicando la ley de Newton). Alrededor de un ala las la fuerza más importante es la presión (tanto la gravedad como la fricción se pueden despreciar).  

Cuando una partícula de fluido se mueve a lo largo de una línea de corriente curvada, ésta debe sufrir una fuerza centrípeta que actúa en dirección normal (perpendicular) a su movimiento, fuerza que sólo puede producirse por variaciones de presión, luego la presión a un lado y a otro de la partícula deben ser diferentes, es decir, la diferencia de presión a ambos lados de la partícula es mayor (menor) a lo largo de su trayectoria si nos movemos en la dirección (dirección opuesta) al centro de curvatura.

dibujo24febrero2008ala.jpg

 

 

Consideremos la figura, cuando nos vemos del punto A al punto B. En A las líneas de corriente son rectas y no hay gradiente de presión. Cerca de B son curvadas y tienen un gradiente de presión. Observando la curvatura, la presión disminuye conforme pasamos de A a B (nos movemos en dirección opuesta al centro de curvatura). Cundo nos movemos de C a D, la líneas de corriente se curvan cada vez más, con lo que la presión en D es mayor que en C (nos movemos a favor del centro de curvatura). Como la presión en B es menor que la presión en D, aparece la fuerza de sustentación.

Por tanto, cualquier geometría del ala que introduzca una curvatura en las líneas de flujo puede producir sustentación. Tanto si el ala es “delgada” como si es “gruesa”, pueden estar igualmente curvadas y la sustentación será la misma. Por ejemplo, los pájaros suelen tener alas finas y curvadas, pero los aviones no (debido a que es más fácil almacenar el combustible en el ala que en el propio avión).

¿Cómo es posible que un avión (acrobático) vuele “boca abajo”? Si haces un dibujo de las líneas de corriente verás que la explicación es sencilla, en ese caso el avión tiene una fuerza de sustentación “negativa”, necesaria para volar “boca abajo”.

En el apéndice del artículo de “How do wings work?” tenéis una derivación matemática de lo aquí explicado, omito las fórmulas siguiendo la ley de Hawking, expresada en la “Historia del Tiempo”, cada fórmula reduce a la mitad el número de lectores.

Otras cuestiones relativas al vuelo, como las turbulencias y sus efectos “desagradables” las trataremos otro día, hoy os dejo con un video de una simulación numérica del flujo alrededor de un ala de perfil aerodinámico NACA 63-412 viajando a Mach 0.25 y con un ángulo de ataque de 20º. ¿Qué tal si tratáis de imaginar las líneas de corriente del fluido por encima y por debajo del perfil? ¿Cómo será su curvatura?