La teoría del caos y los disparos con efecto de un balón de fútbol

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Mucha gente cree que el efecto Magnus explica el comportamiento errático del balón de fútbol en los disparos a puerta. Sin embargo, el efecto Magnus no explica por qué Jabulani, el balón oficial en la Copa Mundial de Fútbol de 2010, se movía a veces de forma impredecible, o por qué balones con diferentes costuras se comportan de forma diferente. Taketo Mizota (Instituto Técnico de Fukuoka, Japón) y sus colegas han usado un túnel de viento y una máquina de disparo de balones con rotación para descubrir que el efecto Magnus explica el comportamiento del balón sólo para flujo con número de Reynolds (Re) subcrítico, pero el comportamiento errático del balón aparece para Re supercrítico. En dicho caso, los vórtices que aparecen en la estela del balón interaccionan de forma no lineal entre sí, haciendo que el comportamiento del balón sea caótico e impredecible, para disfrute de algunos espectadores y desazón de los porteros. El efecto mariposa, que pequeños cambios producen grandes consecuencias, es en última instancia el responsable del comportamiento errático del esférico. El artículo técnico es Taketo Mizota et al., “The strange flight behaviour of slowly spinning soccer balls,” Scientific Reports 3: 1871, 22 May 2013. doi:

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Vídeo que ilustra el teorema de Takens con el atractor extraño de Lorenz

El teorema de Takens es uno de los teoremas más importantes de la teoría del caos (determinista). El teorema afirma que se puede obtener un retrato unidimensional del espacio de fases multidimensional de un sistema dinámico caótico que es topológicamente equivalente al original. Un atractor extraño (como el famoso atractor tridimensional de Lorenz) se puede estudiar, usando el teorema de Takens, utilizando una sola de las variables del sistema dinámico. Este vídeo ilustra a las mil maravillas dicho teorema. La gran ventaja de este teorema es que permite verificar si un sistema dinámico es caótico estudiando solo una de sus variables, lo que en las aplicaciones prácticas (como en el análisis de series temporales en ecología) es una ventaja enorme. El vídeo aparece en la información suplementaria del artículo de George Sugihara, Robert May, Hao Ye, Chih-hao Hsieh, Ethan Deyle, Michael Fogarty, Stephan Munch, “Detecting Causality in Complex Ecosystems,”  Science 338: 496-500, 26 October 2012. Quien desee versiones en mayor resolución de estos vídeos puede acudir a http://simplex.ucsd.edu/Movie_S1.movhttp://simplex.ucsd.edu/Movie_S2.mov, y http://simplex.ucsd.edu/Movie_S3.mov, parte de la web “Nonlinear Forecasting with Simplex Projection.”

Por cierto, recomiendo una relectura de mis entradas “Si te gusta el croché, atrévete con el caos y la variedad estable en el origen del atractor de Lorenz,” 17 julio 2010; “La teoría de las cascadas de bifurcaciones de periodo doble: Rutas genéricas para la aparición del caos determinista,” 26 octubre 2009; “Edward Lorenz y el caos determinista en el descenso de laderas nevadas,” 21 octubre 2009; y “Oficialmente “El Niño” ya ha llegado, ¿habrá este otoño “gota fría” en el costa mediterránea?,” 7 julio 2009.

A los interesados en las aplicaciones les recomiendo “El control caótico y los cerebros minimales de los insectos,” 16 abril 2010; “Piedra, papel o tijera,” y la biodiversidad gracias a la coevolución,” 6 enero 2010; “Todo químico debería conocer la teoría del caos,” 11 abril 2009; y “El caos de la masa de la pizza en las manos de un pizzero malabarista,” 1 abril 2009.

PS (26 octubre 2012): El artículo técnico se ha publicado hoy como George Sugihara et al., “Detecting Causality in Complex Ecosystems,” Science 338: 496-500, 26 October 2012.

Cursos en youtube: Caos, fractales y sistemas dinámicos

El verano es buena época para aprender y estudiar (si no estás liado con exámenes). Me permito recomendarte un curso en inglés impartido por el indio S. Banerjee, del Departmento de Ingeniería Eléctrica del IIT Kharagpur, titulado “Chaos, Fractals & Dynamic Systems,” disponible en youtube (el curso está bastante bien):  

01 – Representations of Dynamical Systems [54:56]

02 – Vector Fields of Nonlinear Systems [56:44]

03 – Limit Cycles [56:22]

04 – The Lorenz Equation – I [53:35]

05 – The Lorenz Equation – II [56:37]

06 – The Rossler Equation and Forced Pendulum [58:11]

07 – The Chuas Circuit [54:41]

08 – Discrete Time Dynamical Systems [55:37]

09 – The Logistic Map and Period doubling [55:25]

10 – Flip and Tangent Bifurcations [56:20]

11 – Intermittency Transcritical and pitchfork [55:31]

12 – Two Dimensional Maps [54:49]

13 – Bifurcations in Two Dimensional Maps [53:47]

14 – Introduction to Fractals [52:29]

15 – Mandelbrot Sets and Julia Sets [53:37]

16 – The Space Where Fractals Live [53:59]

17 – Interactive Function Systems [56:03]

18 – IFS Algorithms [55:00]

19 – Fractal Image Compression [51:25]

20 – Stable and Unstable Manifolds [55:24]

21 – Boundary Crisis and Interior Crisis [56:52]

22 – Statistics of Chaotic Attractors [57:04]

23 – Matrix Times Circle : Ellipse [52:26]

24 – Lyapunov Exponent [53:22]

25 – Frequency Spectra of Orbits [55:28]

26 – Dynamics on a Torus [54:41]

27 – Dynamics on a Torus [54:48]

28 – Analysis of Chaotic Time Series [56:10]

29 – Analysis of Chaotic Time Series [51:12]

30 – Lyapunov Function and Centre Manifold Theory [1:00:42]

31 – Non-Smooth Bifurcations [54:19]

32 – Non-Smooth Bifurcations [54:51]

33 – Normal from for Piecewise Smooth 2D Maps [54:10]

34 – Bifurcations in Piecewise Linear 2D Maps [55:32]

35 – Bifurcations in Piecewise Linear 2D Maps [52:59]

36 – Multiple Attractor Bifurcation and Dangerous [59:21]

37 – Dynamics of Discontinuous Maps [56:39]

38 – Introduction to Floquet Theory [57:11]

39 – The Monodromy Matrix and the Saltation Matrix [57:37]

40 – Control of Chaos [54:17]

Si te gusta el croché, atrévete con el caos y la variedad estable en el origen del atractor de Lorenz

Amazings.es es el proyecto de tres amigos Antonio Martínez (Fogonazos), Miguel Artime (Maikelnai’s) y Javier Peláez (La Aldea Irreductible) que han unido sus fuerzas para realizar una web que pretende aglutinar los mejores contenidos científicos y las perlas más selectas de la red.” Y perlas selectas en la blogosfera en español son también sus colaboradores.

Ha refrescado mi memoria la entrada de Maikelnai, “El verdadero “tejido” del tiempo,” Amazings.es, 16 de Julio, 2010. Me ha recordado la maravillosa incursión en el mundo del croché y del caos de Hinke Osinga y la variedad invariante del origen en el sistema de Lorenz. Hinke Osinga y Bernd Krauskopf decidieron construir un programa de ordenador que indicara las instrucciones exactas necesarias para elaborar con croché la variedad invariante del origen del sistema de ecuaciones de Lorenz, famosas por su atractor extraño con forma de “mariposa.” Osinga necesitó 85 horas de trabajo y tuvo que hacer 25511 puntos de croché para lograr su obra. Y logró su momento de gloria. Fue portada de revistas de matemáticas, fue invitada a todas las conferencias de dinámica no lineal y entrevistada en radio y televisión. Todo un éxito en los medios que quizás muchos ya han olvidado. ¿Te gustan el croché y las matemáticas? No podrás evitarlo, tienes que tricotar tu propia versión (aprovecha el verano, ¡ánimo!). Las instrucciones detalladas para desarrollar la obra aparecen en el artículo Hinke Osinga and Bernd Krauskopf, “Crocheting the Lorenz manifold,” Bristol Univ. Applied Nonlinear Mathematics Preprint, march 2004 (el artículo se publicó en The Mathematical Intelligencer 26: 25-37, 2004). Bueno, quizás quieras empezar por algo más fácil. Tricotar el plano hiperbólico. En dicho caso te recomiendo el artículo de David W. Henderson y Daina Taimina, “Crocheting the hyperbolic plane,” The Mathematical Intelligencer 23: 17-28, 2001. No tienes excusa. Si te gustan el croché y las matemáticas, no tienes excusa.

El siguiente vídeo de youtube muestra el atractor de Lorenz junto a la variedad invariante del origen. El sistema de Lorenz es un sistema dinámico tridimensional (tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas) que tiene tres puntos fijos, el origen y dos puntos simétricos (los “ojos” del atractor de Lorenz). La estabilidad de estos puntos fijos o de equilibro se determina evaluando los autovalores del jacobiano del sistema en dichos puntos. El origen es un punto hiperbólico que tiene un autovalor positivo (inestable) y dos autovalores negativos (estables). Los autovectores del autovalor positivo se prolongan como curvas que se alejan del origen y se “enrollan” alrededor del atractor extraño de Lorenz (se ve en negro en el vídeo de abajo). Los autovectores de los otros dos autovalores negativos definen localmente un plano en el origen en el que las trayectorias que se inician en dicho plano convergen al origen. Cuando dicho plano se prolonga se obtiene una superficie, la variedad estable del origen, también llamada variedad de Lorenz, que Osinga ha tricotado y que en el vídeo de abajo podéis ver en colores. Cualquier condición inicial que esté exactamente en dicha variedad (que se enrolla por dentro del atractor de Lorenz) converge irremisiblemente al origen. Un punto cercano, por muy cercano que esté, pero fuera de esta superficie, converge hacia el atractor de Lorenz. Como esta variedad del origen no tiene volumen (pero sí área) con probabilidad uno toda condición inicial para el sistema de Lorenz converge al atractor (extraño) de Lorenz. Por ello, determinar la variedad invariante (estable) del origen es difícil numéricamente. Pero no imposible y se han publicado varios algoritmos para lograrlo. El vídeo de abajo os muestra el resultado del trabajo de Alexander Vladimirsky y John Guckenheimer (ambos en la Universidad de Cornell, Ithaca, estado de New York, EEUU).

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Los otros dos puntos fijos (o de equilibrio) del atractor de Lorenz son los responsables últimos de la aparición del atractor de Lorenz gracias a una bifurcación de Hopf. Hay un autovalor estable cuya variedad estable es unidimensional y corta transversalmente al atractor de Lorenz (es curioso que normalmente no se suele dibujar pues es fácil de calcular). Y hay dos autovalores complejos estables (parte real negativa) que colapsan a cierto valor crítico de los parámetros del sistema de Lorenz y se vuelven inestables, lo que da origen al atractor extraño de Lorenz. Cualquier curso de dinámica no lineal presenta todos los detalles a los interesados. Un resumen muy breve aquí. Detalles del análisis dinámico del sistema de Lorenz y de su atractor extraño.

Efecto túnel inducido por órbitas caóticas en un billar cuántico implementado ópticamente

La teoría del “caos” cuántico estudia el comportamiento cuántico de sistemas cuyo límite clásico es caótico determinista. El modelo paradigmático es un billar cuya forma es una elipse. Muy estudiado teóricamente, se acaba de publicar el primer estudio experimental, que demuestra la existencia del efecto túnel cuántico inducido por caos (propuesto por los teóricos en 1997). Se ha utilizado una cavidad óptica resonante asimétrica en la que se ha inyectado la luz de un láser de estado sólido con frecuencia tal que se produce reflexión total interna en las paredes de la cavidad. En óptica clásica es imposible que la luz “atraviese” las paredes (espejos) de esta cavidad. La mecánica cuántica lo permite gracias al efecto túnel. Lo sorprendente es que la luz que abandona la cavidad por efecto túnel sigue trayectorias muy alejadas de las trayectorias cuánticas resonantes en la cavidad (que forman un “rectángulo” en su interior). Los autores de este trabajo interpretan dichas trayectorias como resultado del comportamiento caótico de las trayectorias clásicas de la luz dentro de la cavidad. Esta trayectorias clásicas caóticas se amplifican y alteran el comportamiento cuántico de la luz en la cavidad. El caos, propio de sistemas no lineales, y los efectos cuánticos, absolutamente lineales, cooperan para obtener un resultado experimental realmente sorprendente. La explicación teórica de este experimento, aunque tiene ya 13 años, seguramente dará mucho que hablar en los próximos meses (la interpretación del “caos” cuántico es siempre muy polémica). Muchos ofrecerán respuestas teóricas alternativas. Otros tratarán de repetir el experimento. Se interprete como se interprete, seguramente este trabajo tendrá en un futuro aplicaciones en el contexto de ordenadores y computación completamente óptica. Un gran trabajo que nos A. Douglas Stone, “Nonlinear dynamics: Chaotic billiard lasers,” Nature 465: 696–697, 10 June 2010, haciéndose eco del artículo técnico de Susumu Shinohara et al., “Chaos-Assisted Directional Light Emission from Microcavity Lasers,” Phys. Rev. Lett. 104: 163902, 21 April 2010. 

There is one last puzzle with the authors’ observations. Why doesn’t the chaotic motion of the photon lead to essentially random transmission in all directions? The reason is that the full pseudo-random behaviour of chaotic billiards develops only after many bounces. As noted above, it has previously been shown6, 7 that highly directional emission is typical from these leaky chaotic cavities, and that the favoured emission directions can be predicted from the study of few short, unstable periodic orbits in the chaotic sea. This ‘unstable manifold’ theory7 was used by Shinohara et al.3 to explain the origin of the brightest emission points near the major axis of the ARC (Fig. 1) and the highly directional beams perpendicular to this axis seen in the experiment. It is this directional emission property that has motivated the study and design of ARC microlasers as potentially useful on-chip light sources for integrated optical circuits12, 13. Studies such as that of Shinohara and colleagues exemplify the gratifying confluence of fundamental and technological interest in these systems.

El control caótico y los cerebros minimales de los insectos

Incluso un animal tan simple como una cucaracha es capaz de responder de forma compleja a los cambios de su entorno. Los ingenieros están desarrollando robots capaces de imitar esta capacidad gracias a las técnicas de control basadas en la matemática del caos determinista. El control caótico permite que redes de neuronas artificiales muy rudimentarias produzcan comportamientos autoorganizados muy complejos como respuesta a cambios en el entorno. En el vídeo de arriba se muestra como un robot hexápodo que utiliza este tipo de control es capaz de superar con éxito obstáculos complicados, como un agujero en el que una de sus patas no encuentra apoyo posible. El control caótico utilizado se basa en una bucle de control realimentado con un retraso temporal (se representa en la figura con un atractor extraño en tres dimensiones). La diferencia entre el valor de la señal de salida y(t) y su valor retrasado es realimentado como señal de control u(t) cuya magnitud es controlada por el valor de K. Este control permite suprimir el caos del sistema y estabilizar su comportamiento en un ciclo periódico como el necesario para lograr el movimiento pendular de una pata de un robot. Cuando el hexápodo encuentra un obstáculo en su camino, como cuando una de sus patas encuentra un agujero, el circuito neural caótico genera un patrón de búsqueda onmidireccional que permite identificar la estrategia que permite superar el obstáculo. Nos lo contó el especialista Eckehard Schöll, “Neural control: Chaos control sets the pace,” Nature Physics 6: 161-162, 2010, haciéndose eco del artículo de Silke Steingrube, Marc Timme, Florentin Wörgötter, Poramate Manoonpong, “Self-organized adaptation of a simple neural circuit enables complex robot behaviour,” Nature Physics 6, 224-230, 17 January 2010. Merece la pena ver los 6 vídeos que aparecen en la Información Suplementaria del artículo (entre 10 y 24 Mb cada uno). Los interesados en detalles sobre el control caótico neural utilizado tienen los detalles en la información suplementaria. Merece la pena visitar la página web de Poramate Manoonpong, quien no sólo ha desarrollado robots hexápodos, también ha desarrollado bípedos, cuadrúpedos, y octópodos.

Robot hexápodo AMOS-WD06, cuyas patas imitan la biomecánica de las patas de las cucarachas (derecha) y el control realimentado caótico con retraso de cada una de sus patas (izquierda). (C) Nature.

PS (18 mayo 2011): Un vídeo youtube con más información sobre este hexápodo y el artículo gratis en ArXiv.

La teoría de las cascadas de bifurcaciones de periodo doble: Rutas genéricas para la aparición del caos determinista

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Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro. La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones de periodo doble. Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica sobre este tipo de rutas. Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría, la  Teoría de las Cascadas de Periodo Doble, en un artículo que acabará siendo publicado en PRL (tiempo al tiempo). Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada de este tipo presenta también infinitas más. Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan en dimensión arbitraria. Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones, pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés). Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo, parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2. El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke, “The cascades route to chaos,” ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.

En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones de la aplicación logística. Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457… se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar. La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3 que aparece alrededor de 3,8284… Este comportamiento es bastante genérico y se observa en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.

Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística) y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada, luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico. Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico. Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas. En este sentido este artículo presenta el primer gran resultado de la teoría de las cascadas de doble periodo a la que desde este blog le auguramos un sustancioso futuro.

Edward Lorenz y el caos determinista en el descenso de laderas nevadas

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El libro de Edward N. Lorenz, el padre científico del efecto mariposa, titulado “The Essence of Chaos,” es una lectura obligada a los interesados en el caos determinista. Prácticamente sin fórmulas (salvo el capítulo sobre métodos numéricos) nos presenta muchos resultados interesantes. Uno de ellos es la caída caótica en una ladera ondulada, similar al efecto de la nieve llamado mogul en la jerga del esquí. Para los interesados en la formulación matemática detrás de las gráficas y comentarios de Lorenz, hemos de recomendar el trabajo en el software Mathematica desarrollado por (el ya emérito) Robert M. Lurie, “A Review and Demonstration of The Essence of Chaos by Edward N. Lorenz,” ArXiv, 12 Oct 2009 [publicado originalmente en Mathematica in Education and Research 11: 404-422, 2006]. El artículo incluye los códigos en Mathematica que permiten reproducir sus resultados. Los que sólo quieran jugar con el software pueden recurrir a “Chaos While Sledding on a Bumpy Slope,” Wolfram Demostrations Project, que incluye el código fuente. Los aficionados al caos, la matemática aplicada y/o Mathematica, que disfruten.

El caos cuántico en acción: El efecto túnel dinámico permite que un sistema cuántico evite los estados caóticos de su versión clásica

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Un sistema cuántico puede mostrar el efecto túnel incluso sin una barrera que atravesar, es el efecto túnel dinámico. En la figura c se muestran los estados caóticos (verde) y no caóticos (marrón y violeta) de un sistema clásico. El modelo cuántico de dicho sistema caótico salta por efecto túnel dinámico entre los estados clásicos estables, evitando los estados caóticos. Una ilustración experimental de este fenómeno de “caos cuántico” ha sido obtenida por Jessen y sus colegas, quienes han logrado visualizar este efecto túnel con gran detalle, permitiendo la reconstrucción completa del estado cuántico del sistema conforme ocurre dicho proceso. Una exquisita visualización (incluye animaciones) de como el sistema cuántico “evita” atravesar las regiones caóticas que sólo existen (o están permitidas) en el sistema clásico. El experimento ilustra a las mil maravillas las grandes dificultades que ofrece la transición de lo clásico a lo cuántico y viceversa, que muchos libros de texto (y físicos) asumen casi como trivial. Nos lo cuenta Daniel A. Steck, “Quantum mechanics: Passage through chaos,” News and Views, Nature 461: 736-737, 8 October 2009, haciéndose eco del magnífico artículo técnico de S. Chaudhury, A. Smith, B. E. Anderson, S. Ghose, P. S. Jessen, “Quantum signatures of chaos in a kicked top,” Nature 461: 768-771, 8 october 2009.

La mecánica clásica y la mecánica cuántica se llevan como el perro y el gato. Cuando se aman, se aman de corazón, pero cuando se odian, los pelos se erizan. La mecánica clásica permite la existencia  de sistemas caóticos, es decir, sistemas deterministas no lineales disipativos muy sencillos cuyo comportamiento es impredecible debido a la fuerte dependencia con respecto a las condiciones iniciales. La mecánica cuántica es lineal y conservativa (no disipativa), por definición, luego no puede presentar comportamiento caótico determinista. El modelo cuántico asociado a un sistema clásico caótico no presenta caos. Este es el llamado problema del caos cuántico. Si la mecánica clásica es un límite de la cuántica, cómo es posible que exista el caos determinista. Además, cómo ocurre este proceso de transición entre lo clásico y lo cuántico para los sistemas caóticos. 

Jessen y sus colegas han estudiado experimentalmente el comportamiento de la versión cuántica de un sistema caótico con extremo detalle y con énfasis en la transición entre lo cuántico y lo clásico, mostrando que en dicha transición se produce un efecto túnel dinámico. En el efecto túnel convencional una partícula cuántica puede atravesar un barrera de potencial con una probabilidad no nula. En el efecto túnel dinámico el sistema recorre el espacio de fases clásico a saltos cuánticos sin atravesar las regiones caóticas que el sistema cuántico no puede describir. La impredecibilidad del sistema caótico clásico se refleja en cierta impredecibilidad en el sistema cuántico, pero por razones diferentes. En el primer caso es debida a la fuerte dependencia con los cambios en las condiciones iniciales del sistema (pequeños cambios producen enormes diferencias en la dinámica resultante conforme el tiempo transcurre). En el segundo caso la impredecibilidad es debida a las transiciones aleatorias por efecto túnel entre estados no caóticos. Más aún, el sistema cuántico puede presentar estados entrelazados en los que se encuentra en un estado de superposición entre los varios estados estables (no caóticos) posibles. En este sentido, presenta una impredicibilidad adicional ya que no está en un estado concreto sino en una especie de mezcla de posibles estados.

El artículo de Jessen y sus colegas no considera en detalle la física íntima de la transición entre lo clásico y lo cuántico ya que no son capaces de transformar gradualmente el sistema clásico en cuántico o viceversa. Esta transición es extremadamente difícil de estudiar. Sin embargo, Steck cree que este trabajo nos acerca hacia los experimentos futuros que podrán observarla. La mecánica cuántica nos sigue ofreciendo sorpresas después de más de un siglo de trabajos teóricos y experimentales. Lo que daría P.A.M. Dirac por haber dispuesto de este experimento en vida.

Dualidad, ergodicidad y caos en sistemas hamiltonianos infinitamente perturbados

El caos determinista en sistemas hamiltonianos (que conservan la energía) se llama estocasticidad y es muy diferente al caos en sistemas disipativos (como el atractor de Lorenz). Marco Frasca nos presenta un buen ejemplo de esta diferencia. El teorema KAM garantiza que una pequeña perturbación de un sistema hamiltoniano lo modifica muy ligeramente. ¿Qué pasa cuando la perturbación es infinitamente grande? Uno esperaría que el sistema se volviera ergódico y la estocasticidad se mantuviera, sin embargo, pasa todo lo contrario, el sistema se recupera y se comporta como si hubiera sido perturbado ligeramente. Es algo que parece paradójico, pero es una de las claves de la diferencia entre el caos en sistemas disipativos y en sistemas hamiltonianos. La demostración de Frasca utiliza técnicas de dualidad en teoría de perturbaciones, ahora muy de moda en teoría de cuerdas, pero es sencilla (cualquiera que haya estudiado mecánica analítica puede comprenderla). Marco nos lo resume en su blog “KAM theorem and ergodicity,” The Gauge Connection, June 25th, 2009. El artículo técnico es de fácil lectura para cualquier físico o matemático: Marco Frasca, “Dual Lindstedt series and KAM theorem,” ArXiv, 29 May 2009, aceptado para publicación en el Journal of Mathematical Physics, 9 Sep 2009 [“KAM tori reforming to be published,” The Gauge Connection, September 9th, 2009].

Las trayectorias “naturales” de un sistema hamiltoniano integrable son cuasiperiódicas, se descomponen en un conjunto de trayectorias periódicas (se suele decir que el sistema se mueve en toros, es decir, “donuts” multidimensionales). Una perturbación pequeña (extremadamente pequeña en el teorema original de Kolmogorov, probado por Arnold y Moser, llamado teorema KAM) preserva estas trayectorias cuasiperiódicas (preserva los toros). Conforme la perturbación crece, los toros empiezan a destruirse y para una perturbación (suficientemente) grande todos los toros se destruyen y el sistema dinámico recorre gran parte del espacio de fases a su alcance, lo que técnicamente se denomina ergodicidad o, si lo prefieres, caos hamiltoniano.

¿Qué pasa cuando la perturbación no es grande sino infinitamente grande? Es decir, la inversa de la escala de la perturbación es infinitamente pequeña. Uno esperaría que la ergodicidad y el caos completamente desarrollado se mantuviera en este caso. Sin embargo, la sorpresa descubierta por Marco es que ocurre completamente lo contrario. Ha demostrado un teorema KAM dual por el cuál una perturbación infinitamente grande provoca la reaparición de los toros y el retorno a un movimiento cuasiperiódico no caótico. La ergodicidad para perturbaciones grandes desaparece para perturbaciones infinitamente grandes. Si no lo veo, no lo creo.

¿Entonces por qué la mayoría de los sistemas hamiltonianos (p.ej. en mecánica celeste) parecen comportarse de forma ergódica? La respuesta es sencilla, porque están compuestos por un gran número de partículas (o componentes). Su ergodicidad la explica la mecánica estadística y no la presencia de perturbaciones debido a sus interacciones mutuas.

¿Cuál es la importancia de este resultado? La mecánica cuántica no relativista está descrita por un sistema hamiltoniano que cumple la teorema KAM. Según el nuevo teorema KAM dual, la transición entre lo cuántico y lo clásico no hay que buscarla en una constante de Planck infinitamente pequeña, sino en el número de objetos (estados) cuánticos. Cuando el número de constituyentes del sistema cuántico es suficientemente grande, se comportará como un sistema clásico.

Es curioso lo lejos que nos lleva un resultado sencillo en mecánica clásica cuando lo contextualizamos en el marco de la mecánica cuántica. Si no me equivoco, el trabajo de Marco Frasca dará bastante que hablar.