La raíz cuadrada de una derivada y sus aplicaciones

Messier 33 antes y después del tratamiento mediante el software AstroFracTool.

Llamadme paranoico, pero en una de las últimas entradas estaba escrito √D y me dije, como en el cálculo fraccional. Defecto propio de quien ha estudiado operadores pseudodiferenciales años há. Lo cierto es que muchos físicos e ingenieros no estudian cálculo fraccional. ¿Lo estudiarán todos los matemáticos? Desafortunadamente, no. Una pena. Aún así, habrá que dedicarle una entrada, pues historia, tener, tiene. ¿Que qué son los operadores pseudodiferenciales? Habrá que dedicarles otra entrada.

El cálculo fraccional, que permite cosas como la raíz cuadrada de una derivada, parece muy alejado de las aplicaciones prácticas. Todo lo contrario. Desde su introducción por Liouville en 1832 ha sido utilizado por muchos físicos e ingenieros para modelar problemas prácticos. He buscado por internet algún artículo reciente sobre este tema orientado a aplicaciones y he encontrado el interesante artículo de R. Schumer, M. M. Meerschaert, B. Baeumer, “Fractional advection-dispersion equations for modeling transport at the Earth surface,” J. Geophys. Res., in press, published 18 December 2009 [copia gratis para los que no tengan acceso]. En ArXiv tenéis muchísimos, por ejemplo, un software para el tratamiento de imágenes en astronomía (resaltado de bordes), Roberto Marazzato, Amelia Carolina Sparavigna, “Astronomical image processing based on fractional calculus: the AstroFracTool,” ArXiv, last revised 4 Nov 2009.

La raíz cuadrada de una derivada √D se define fácilmente utilizando la transformada de Fourier. Si la derivada de f(x) es Df(x), su transformada de Fourier es F(f(x))=F(k), y la transformada de Fourier de su derivada es F(D·f(x))=(-ik)F(k), entonces la transformada de Fourier de √D cumple que F(√D·f(x))=(-ik)½F(k). Aplicando la transformada inversa de Fourier recuperamos el resultado de esta operación. En la wikipedia puedes encontrar algunos ejemplos. Por ejemplo, √D·x = x½/(½!), donde para n>0, se define n!=Γ(n+1), siendo Γ la función Gamma, de tal forma que ½!=Γ(1+½)=(√π)/2. En general, la derivada fraccionaria Da, siendo a un número real positivo, se define de forma similar y se obtiene, por ejemplo, que Da·xk = xk-a k!/(k-a)!, para cualquier número real k>a>0.

Las aplicaciones más importantes de la derivada fraccionaria aprovechan que la derivada fraccionaria es un operador no local, es decir, equivale a la convolución de la derivada normal con una función dada, en concreto, Da·f(x)=D·f(x)×x-a/Γ(1-a), donde la convolución se define como f×g=∫f(x-t)g(t)dt. Gracias a esta definición la derivada fraccionario se puede aplicar a funciones que no tienen derivada, por ejemplo, a curvas fractales. Muchas curvas fractales continuas no tienen derivada en ningún punto. Sin embargo, se les puede aplicar el concepto de derivada fraccionaria para definir conceptos como la pendiente “promedio” de una curva fractal, como nos muestran H. Bensoudane, C. Gentil, M. Neveu, “The Local Fractional Derivative of Fractal Curves,” IEEE International Conference on Signal Image Technology and Internet Based Systems, 2008 (SITIS ’08), 422-429, 22 Dec. 2008.

En resumen, si te gusta la matemática y no conoces el cálculo fraccionario, quizás merezca la pena que bucees por la Internet, te encontrarás cosas realmente curiosas.

¿Es necesario reformar la educación matemática en el mundo? (o sobre el proyecto “Body & Soul”)

Claes Johnson, tan friki e iconoclasta como siempre, junto a Johan Hoffman y colaboradores son los artífices del proyecto “Applied Mathematics: Body & Soul,” un programa para la reforma de la Educación Matemática. Uno de cuyos resultados es la publicación de una serie de libros con su novedoso enfoque. Empezaron con “Computational Differential Equations,” anunciando su versión “Advanced Computational Differential Equations,” que nunca vio la luz, yo llegué a encargarla en una librería, esperándola durante cerca de un año, para finalmente anular el pedido, sin que nadie supiera si se iba o no a publicar. Han publicado en su lugar 4 volúmenes como parte de la serie “Body and Soul“.

¿Por qué se han embarcado en tan osada contienda? Por supuesto porque son unos frikis. Pero también por razones “varias” que exponen en su libro “Dreams of Calculus – Perspectives on Mathematics Education.” Un estudio del Ministerio de Educación Sueco publicó el 28 de mayo de 2004 un informe sobre la situación actual de la enseñanza de las matemáticas en Suecia y sobre la posibilidad de cambiar los programas de estudio. El informe fue escrito por más de 100 personas, pero sólo 1 profesor de matemáticas, y en particular ningún experto en matemática aplicada o computacional. Los resultados del informe fueron claros:
(1) No hay ninguna crisis en la educación matemática hoy en día.
(2) No hay necesidad de cambiar la eduación matemática debido a la existencia de los ordenadores.
Obviamente, Johnson y colaboradores no estaban de acuerdo. El proyecto “Body & Soul” ha surgido porque:
[1] Hay una “crisis” en la educación matemática.
[2] El ordenador exige un cambio sustancial en cómo se enseña matemática.
La aproximación del proyecto es la siguiente: el sistema educativo actual asume que la educación se basa en la ciencia, mejor aún, la educación actual debe basarse en la ciencia contemporánea. Un ejemplo, en un segundo curso de ingeniería, en una asignatura de matemáticas, ¿por qué no hablarle a los alumnos de la ciencia de la turbulencia? ¿Por qué no mencionar que es uno de los premios Clay? ¿Por qué no contar “brevemente” las técnicas que se están usando para resolver este problema? ¿Por qué no contarle al alumno lo que ha pasado en los últimos 10 años en la ingeniería, en lugar de contarle lo que pasó hace más de un siglo?.

¡¡Se dice fácil!! ¿Pero qué profesor tiene el nivel para hacerlo?

De buenos propósitos está lleno el mundo.

Un problema: ¿Cuál es la diferencia entre las dos afirmaciones siguientes?

En la línea de Johnson, también se encuentra el reciente libro de (un genio) Hairer, “L’analyse au fil de l’histoire,” con su “eterno” colaborador Wanner (en inglés aparecerá este año, en julio, “Analysis by Its History“). Uno de esos pocos libros que, tras su lectura, a uno le gustaría traducir al español (aviso a navegantes “con 2 c…”).