La raíz cuadrada de una derivada y sus aplicaciones

Messier 33 antes y después del tratamiento mediante el software AstroFracTool.

Llamadme paranoico, pero en una de las últimas entradas estaba escrito √D y me dije, como en el cálculo fraccional. Defecto propio de quien ha estudiado operadores pseudodiferenciales años há. Lo cierto es que muchos físicos e ingenieros no estudian cálculo fraccional. ¿Lo estudiarán todos los matemáticos? Desafortunadamente, no. Una pena. Aún así, habrá que dedicarle una entrada, pues historia, tener, tiene. ¿Que qué son los operadores pseudodiferenciales? Habrá que dedicarles otra entrada.

El cálculo fraccional, que permite cosas como la raíz cuadrada de una derivada, parece muy alejado de las aplicaciones prácticas. Todo lo contrario. Desde su introducción por Liouville en 1832 ha sido utilizado por muchos físicos e ingenieros para modelar problemas prácticos. He buscado por internet algún artículo reciente sobre este tema orientado a aplicaciones y he encontrado el interesante artículo de R. Schumer, M. M. Meerschaert, B. Baeumer, “Fractional advection-dispersion equations for modeling transport at the Earth surface,” J. Geophys. Res., in press, published 18 December 2009 [copia gratis para los que no tengan acceso]. En ArXiv tenéis muchísimos, por ejemplo, un software para el tratamiento de imágenes en astronomía (resaltado de bordes), Roberto Marazzato, Amelia Carolina Sparavigna, “Astronomical image processing based on fractional calculus: the AstroFracTool,” ArXiv, last revised 4 Nov 2009.

La raíz cuadrada de una derivada √D se define fácilmente utilizando la transformada de Fourier. Si la derivada de f(x) es Df(x), su transformada de Fourier es F(f(x))=F(k), y la transformada de Fourier de su derivada es F(D·f(x))=(-ik)F(k), entonces la transformada de Fourier de √D cumple que F(√D·f(x))=(-ik)½F(k). Aplicando la transformada inversa de Fourier recuperamos el resultado de esta operación. En la wikipedia puedes encontrar algunos ejemplos. Por ejemplo, √D·x = x½/(½!), donde para n>0, se define n!=Γ(n+1), siendo Γ la función Gamma, de tal forma que ½!=Γ(1+½)=(√π)/2. En general, la derivada fraccionaria Da, siendo a un número real positivo, se define de forma similar y se obtiene, por ejemplo, que Da·xk = xk-a k!/(k-a)!, para cualquier número real k>a>0.

Las aplicaciones más importantes de la derivada fraccionaria aprovechan que la derivada fraccionaria es un operador no local, es decir, equivale a la convolución de la derivada normal con una función dada, en concreto, Da·f(x)=D·f(x)×x-a/Γ(1-a), donde la convolución se define como f×g=∫f(x-t)g(t)dt. Gracias a esta definición la derivada fraccionario se puede aplicar a funciones que no tienen derivada, por ejemplo, a curvas fractales. Muchas curvas fractales continuas no tienen derivada en ningún punto. Sin embargo, se les puede aplicar el concepto de derivada fraccionaria para definir conceptos como la pendiente “promedio” de una curva fractal, como nos muestran H. Bensoudane, C. Gentil, M. Neveu, “The Local Fractional Derivative of Fractal Curves,” IEEE International Conference on Signal Image Technology and Internet Based Systems, 2008 (SITIS ’08), 422-429, 22 Dec. 2008.

En resumen, si te gusta la matemática y no conoces el cálculo fraccionario, quizás merezca la pena que bucees por la Internet, te encontrarás cosas realmente curiosas.