Carnaval de Matemáticas: Otra demostración incorrecta de la hipótesis de Riemann

Dibujo20130524 showing how to imply proving the riemann hypothesis

Tras un curso de análisis complejo, todos los estudiantes de matemáticas deberían estudiar demostraciones incorrectas de la hipótesis de Riemann. El listado de Matthew Watkins es un buen lugar para empezar. Hao-cong Wu acaba de publicar una nueva demostración (incorrecta) en la revista EJMS. El error debería ser obvio para cualquier estudiante de matemáticas que merezca aprobar un curso de análisis complejo. No quiero parecer malvado, pero el problema matemático más importante y más difícil de la actualidad es ideal para extraer ejercicios de examen para los alumnos; algunos son ejercicios muy difíciles (pues el error en la demostración es muy sutil o está oculto en una demostración muy larga), pero otros son muy fáciles (sobre todo cuando la demostración tiene pocas páginas). Si eres matemático, has estudiado análisis complejo y te apetece el reto, ¿cómo calificarías el [flagrante] error de la demostración de Hao-cong? Sólo quiero que me digas si es fácil de ver o si es difícil de ver (si no eres experto en análisis complejo, claro, porque si lo eres dirás que es trivial).

Coda final: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas. Lo sé, lo sé, con esta entrada no ganaré el libro de @ClaraGrima firmado… Si te apetece estar entre los posibles ganadores, recuerda que el domingo es el último día para participar en esta edición del Carnaval de Matemáticas.

12 pensamientos en “Carnaval de Matemáticas: Otra demostración incorrecta de la hipótesis de Riemann

  1. te va a tocar decirnos cual es el error “trivial”, yo vi matematica compleja hace 15 años durante mis estudios de ingenieria, pero perdona ni oxido por favor

  2. Mi comentario no tiene que ver con tu entrada, mas bien con una pregunta relacionada con matemáticas: ¿qué paquete puedo usar para hacer pequeños cálculos matemáticos y que sea gratuito? Sé que existe matlab o mathemática, pero son de paga. Como opciones sé que existe Octave, R, o incluso directamente se puede usar python, pero no tengo criterio alguno para decidir cual usar y no programo desde hace mucho. ¿Tienes alguna sugerencia o preferencia o son todos iguales y mas bien me dejo llevar por el azar?

    Disculpa la pregunta, pero no conozco a alguien que sepa de matemática y de paquetería como para cuestionarlo. Gracias por la respuesta

    • Omagana, si conoces Matlab, Octave es muy parecido, si no lo conoces, R no está mal. Pero hay muchos otros. Para cálculos sencillos todos son más o menos iguales. La gran diferencia está en cuestiones técnicas que puede que nunca llegues a usar.

      • Gracias, Francis por tu recomendación. No creo usar esas cosas tan complejas, así que creo que tomaré R para comenzar.

  3. miguelangelreybonet@yahoo.es
    i demostrated the albert girard´s conjecture waitin your answer
    First of all i apologize for my poor English.
    Hi, the esential specifications are… (everything is demostrated):

    1. if p=1 (mod 4) then c= – 1
    if p=3 (mod 8) then c= – 2
    if p=7 (mod 8) then c= +2
    then with p odd number and p>0
    then:

    2 if p is prime (irreductible of Z) then b exist in (1,p-1) / b^2= c (mod p)
    (ONLY exist +- b)
    then: p= x^2 – c*y^2 and not exist x´ and y´/ p not= x¨^2 -c*y^2
    (x odd number always and: y pair if p=1 (mod 4) & y odd if p = 3 (mod 4) )

    3 if p is not prime (not irreductible of Z) then

    3.1. not exist p=x^2 – c*y^2
    3.2. exist p=x^2 – c*y^2=x´^2 – c*y´^2=…..=x´´´´^2 – c*y´´´´^2=…. (with limit)
    and exist b1,b2,b3,….,bn / ni^2=c (mod p)
    3.3. exist p=x^2 – c*y^2 not exist x´, y´,…,x´´´´,y´´´´,…..
    then p = q^2 (not prime)
    OR not exist b / in Z/p: x^2=c*y^2 (mod p) <=>
    x = +- b*y (mod p) / (b^2) not= c (mod p) not exist m in (1,p-1) /
    m^2 not=c (mod p)
    (P.S: not = "means not congruent)

    4 finally
    p is prime (irreductible of Z)
    only if: p= x^2 – c*y^2=f1(p) and p not=f2(p)
    with f2(p)= x´^2 – c*y´^2 and x not= x´
    AND in Z/p x = +- b*y (mod p) AND (+-b)^2=c (mod p)
    with c = -1 if p=1 (mod 4)
    c = -2 if p=3 (mod 8)
    c = +2 if p=7 (mod 8)

    I can’t wait for your answers. thank you.

    • Muy complejo tu codigo Miguel Angel, utilizas muchos If Then y eso hace lento la ejecucion del codigo. El metodo que uso PRI-BAS no hace tantos calculos y busca numeros primos en una lista reducida y en poco tiempo. Si usas tu codigo a partir de 10.000.000.000.000.000 diez mil billones tendras dificultades en mod y en el valor de las variables.

      Victor Luis

  4. Estimado Francis: No soy matematico, pero algo se de analisis complejo. Mi opinion es que si mi profesor nos diera a leer este paper como tarea e identificar el error, se ganaria justificadamente el odio de los alumnos. El paper es casi ininteligible, y lo seria totalmente si es que no copiara lemas, demostraciones y teoremas del libro de Lang. Supongo de que si algo me sirvio haber gastado tanto tiempo en leerlo (descifrarlo) es que llevo a estudiar la ultima parte del libro de Lang con su hermosa demostracion del teorema del numero primo.

    El paper no es solo confuso por la mala redaccion en ingles, que puede perdonarse, sino porque es poco claro respecto de que quiere demostrar, que es lo que demuestra, y como lo hace. Hacerlo leer a alumnos seria una catastrofe pedagogica.

    Por eso, no estoy seguro cual es el error flagrante al cual te refieres en el blog. Creo que en consideracion por lo menos al tiempo que gaste, nos deberias decir cual es. Por mi parte, aca esta mi analisis:

    1) De la primera pagina del paper se deduce que el autor quiere demostrar una forma equivalente de la Hipotesis de Riemann (HdR). Esta seria $\psi(x)-x=O(x^{1/2+\epsilon})$, para todo $\epsilon>0$. La funcion $\psi$ se conoce como la segunda funcion de Chebyshev. De lo que investigue, HdR implica esto ultimo, pero no pude confirmar que sea al reves tambien. Pero supongamos que si, despues de todo, en las conclusiones al autor no solo dice que demuestra esto, sino que ademas que la funcion $\phi(z)=\zeta'(z)/\zeta(z)$ no tiene polos para $Re(z)>1/2$ (lo que si es claramente HdR).

    2) Segun constate, solo hay dos elementos originales en el paper. El resto son extractos del libro de Lang. Una es la forma de escribir la funcion $\phi$ en la formula que esta como a mitad de pagina en la pag.~128 (aunque hay formas parecidas en las primeras paginas del libro de Titmarsch). La otra es el “Lemmma 3”, pag.~137ss, que es solo parcialmente original. Al parecer, el autor intenta replicar el tipo de demostracion del teorema del numero primo, modificandola para que resulte una demostracion de la HdR. Por eso solo califico su originalidad de parcial (pero si resultara, daria lo mismo). El problema de este Lemma 3 es que es sumamente confuso, especialmente en el punto en donde introduce $\lambda$ y $\lambda_0$, que creo que ademas son definiciones inutiles: podria perfectamente haber seguido con $1-(\lamda_0-\lamda)=3/2+\epsilon$.

    3) Quizas el error mas directo que puedo identificar y que tiene relacion con analisis complejo es el salto inexplicable que se da entre los dominios analiticos de las funciones $g_1(z)=\phi(z+3/2+\epsilon)/(z+\3/2+\epsilon)-1/(z+3/2+\epsilon)=\int^\infty_1\frac{\psi(x)-x}{x^{z+5/2+\epsilon}}dx$ y la integral de la primera pagina del paper, que es $g_1(-1)$. Si algo demuestra el autor, es que $g_1(z)$ es analitica en $Re(z)\ge 0$, cuestion que no tengo problema en admitir, ya que todos los posibles polos estan lejos. De ahi que $g_1(0)=\int^\infty_0 f_1(t)dt=\int^\infty_1\frac{\psi(x)-x}{x^{5/2+\epsilon}}dx$. Pero, como cambia el 5/2 por 3/2? se equivoco en esto?

    4) Mas aun, supongamos que las integrales que el autor dice que convergen efectivamente lo hacen. Si hubiera demostrado esto, seria notable, pero no permite deducir directamente que $\psi(x)-x=O(x^{1/2+\epsilon})$. Este es el error mas directo que puedo identificar, pero no lo podria calificar como un error de analisis complejo. Habria que analizar bien la implicancia, cuestion que el paper no hace.

    Solo considerando la cantidad de material replicado, la gente de este “journal” debio haberlo rechazado.

    • Andrés, tú mismo lo has descubierto, copia muchos lemas del libro de Serge Lang y demuestra que no los entiende. En el lema 3, como indicas en el punto 2 de tu comentario, demuestra que no sabe lo que es la convergencia absoluta y mete la pata hasta el fondo. Ese es el flagrante error que yo apunto en mi entrada.

      Saludos
      Francis

Los comentarios están cerrados.