Cómo funciona la peonza que levita en el aire (incluye fórmulas matemáticas)

Una peonza metálica de unos 20 gramos de peso, con un imán en su interior, levita a unos 3 cm de altura sobre una plataforma negra de plástico que contiene un imán permanente de forma toroidal. La peonza gira durante unos minutos hasta que la resistencia del aire hace que su velocidad se reduzca por debajo de cierto valor crítico provocando que la peonza caiga en la plataforma. Roy Harrigan patentó este juguete en 1983, pero fue criticado por muchos físicos porque el teorema de Earnshaw (1842) afirma que un campo magnético estático dipolar no puede hacer levitar de forma estable un objeto. No logró comerciarlizarlo hasta 1993, cuando Bill Hones de la empresa Fascinations descubrió su patente.

Como suele pasar a veces, por desgracia para muchos inventores, el juguete no tuvo el éxito esperado hasta que el propio Hones patentó una variante en 1994, que utiliza una base cuadrada, que comercializó en 1995 como Levitron (por su empresa Fascinations, claro); según reza en la nueva patente, la versión original de Harrigan, que utiliza una base circular, no funciona bien (Hones apoya su afirmación en los físicos que criticaron a Harrigan). Obviamente, el cambio de base circular a base cuadrada es una soberana tontería y las leyes físicas afirman que ambas versiones funcionan igual de bien (o igual de mal). Pero lo cierto es que las leyes de la propiedad industrial son así, si se permite una nueva patente de lo mismo es porque es “distinto” (en opinión de la Oficina de Patentes). Por ello, la recomendación oficial para quien patente algo nuevo es que primero busque quien se lo vaya a comercializar y que sea alguien de “confianza,” no le vaya a pasar lo mismo que al pobre Harrigan.

La explicación física de por qué funciona el Levitron se publicó en el ahora muy famoso artículo de Michael V. Berry, “The Levitron: an adiabatic trap for spins,” Proceedings of the Royal Society of London A 452: 1207-1220, 1996 [copia gratis; otra]. Hace ya unos años, yo leí (en papel) la explicación en la revista American Journal of Physics, en concreto en Martin D. Simon, Lee O. Heflinger, S. L. Ridgway, “Spin stabilized magnetic levitation,” Am. J. Phys. 65: 286-292, 1997 [copia gratis]. También se puede consultar Thomas B. Jones, Masao Washizu, Roger Gans, “Simple theory for the Levitron,” J. Appl. Phys. 82: 883-888, 1997 [copia gratis], y Roger F Gans, Thomas B Jones, Masao Washizu, “Dynamics of the Levitron,” J. Phys. D: Appl. Phys. 31: 671–679, 1998 [copia gratis]; así como a Holger R. Dullin, Robert W. Easton, “Stability of Levitrons,” Physica D: Nonlinear Phenomena 126: 1–17, 1999 [copia gratis]. Pero en esta entrada yo me basaré en el artículo de Shahar Gov, Shmuel Shtrikman, “How High Can The U-CAS Fly?,” arXiv:physics/9902002, 31 Jan 1999; este artículo tiene la ventaja de que puedo extraer las fórmulas del fichero .tex sin necesidad de tener que volverlas a teclear (que en wordpress.com siempre es un suplicio). Porque has leído bien, lo siento, pero esta entrada tiene fórmulas matemáticas.

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La botella de Klein

La definición más intuitiva de la botella de Klein (1882) se obtiene tomando un cuadrado, sea [0, 2π]×[0, 2π], e identificando las caras opuestas con una relación de equivalencia (u, 0) ∼ (u, 2π), y (0, v) ∼ (2π, 2π − v), como indican las flechas en la figura. Con cuidado se puede comprobar que resulta la “botella” que se interseca a sí misma que todos estamos acostumbrados.

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Teoría de cuerdas aplicada a la física de la materia condensada

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La teoría de cuerdas, una teoría cuántica de campos cuerdísticos, nos ofrece una nueva visión sobre la física cuántica de la materia condensada: el estudio de los materiales, tanto metales como superconductores, a temperaturas muy próximas al cero absoluto. La imagen de “cuerdas” que se mueven en un espaciotiempo con dimensiones extra no tiene ningún sentido físico en materia condensada. Lo único importante son las dualidades matemáticas que permiten trasladar un problema irresoluble en un contexto dado a un problema más sencillo en otro. En la superconductividad los electrones se aparean (entrelazan cuánticamente en pares de Cooper) que se comportan como si fueran partículas, lo que permite aplicar las técnicas de la teoría cuántica de campos para partículas puntuales. En los líquidos de Fermi, líquidos de espín y otros materiales se observa el entrelazamiento de un gran número de electrones en interacción mutua fuerte, por lo que la analogía con partículas puntuales no es adecuada; los campos de cuerdas cuánticas que se propagan en las dimensiones extra del espacio son la alternativa buscada por los físicos durante mucho tiempo. Nos lo cuenta Subir Sachdev, “String Theory Helps to Explain Quantum Phases of Matter,” Scientific Amerian, Jan. 2013.

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“Twin Peaks” y la búsqueda del bosón de Higgs

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Los dos picos gemelos de las montañas de Kennesaw, ciudad del Condado de Cobb, en el estado de Georgia, EEUU, aparecen en el escudo de su universidad, pero no tienen nada que ver con el título de la serie de televisión “Twin Peaks” creada por David Lynch y Mark Frost, ambientada en el noreste del estado de Washington. Los más jóvenes no recordarán que fue emitida por Telecinco en la temporada 1990/91, batiendo récords de audiencia. “Twin Peaks” volvió a mi memoria gracias a la entrada de Jester (Adam Falkowski), “Twin Peaks in ATLAS,” Résonaances 13 Dec 2012, y porque hay algo que tengo que decir, que ya dije en vivo y en directo en “Mi conferencia sobre el “Bosón de Higgs” en los X Encuentros con la Ciencia, Málaga,” 19 diciembre 2012, pero que creo que no he dicho de forma explícita en este blog.

Dije en mi conferencia que hay que tener cuidado con el número de febrero de Investigación y Ciencia, donde quizás aparezca traducida la noticia de Michael Moyer, “Two Higgs Bosons? CERN Scientists Revisit Large Hadron Collider Particle Data,” Scientific American, 15 Dec 2012 (“Have Scientists Found 2 Different Higgs Bosons?,” SciAm Blogs, Dec. 14, 2012). En realidad, el autor ha cambiado el texto original de su noticia, tras las múltiples críticas, citando al propio de Jester y a Dorigo, aclarando que ATLAS (LHC, CERN) no ha observado dos bosones de Higgs, se trata de una fluctuación estadística. Muchos ya habréis leído a Tommaso Dorigo, “ATLAS Higgs Results: One Or Two Higgs?,” AQDS, Dec 14th 2012. Sin embargo, como destaca Matt Strassler, “Two Higgs Bosons? No Evidence for That,” OPS Dec 17, 2012, Moyer debería haber cambiado el título de la noticia y evitar sembrar la duda en plan sensacionalista. No creo que merezca la pena que los editores de Investigación y Ciencia incluyan la noticia en su próximo número. Hay noticias en la web de SciAm que es mejor omitir en IyC. En su rectificación, Moyer debería haber mencionado que CMS (LHC, CERN) no observa los dos picos. Pero quien sabe, quizás su intención sea que gente como yo le citemos en nuestros blogs.

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Sendos artículos sobre el bosón de Higgs de ATLAS y CMS publicados en Science

El bosón de Higgs es el “breakthrough of the year” para la revista Science.” Por ello, ha sido objeto de sendos artículos publicados en dicha revista, aunque solo describen el estado de la búsqueda del bosón de Higgs en los detectores ATLAS y CMS del LHC en el CERN a fecha del anuncio oficial, el 4 de julio de 2012. Desde entonces se han actualizado estos datos (la última vez el pasado 13 de diciembre). En este blog ya conocéis el estado actual de la búsqueda. Sin embargo, me parece que estaría bien un resumen breve de dichos artículos (en parte para incentivar a leerlos a quienes tengan acceso a ellos). Los artículos técnicos son The ATLAS Collaboration, “A Particle Consistent with the Higgs Boson Observed with the ATLAS Detector at the Large Hadron Collider,” Science 338: 1576-1582, 21 December 2012, y The CMS Collaboration, “A New Boson with a Mass of 125 GeV Observed with the CMS Experiment at the Large Hadron Collider,” Science 338: 1569-1575, 21 December 2012.

El bosón de Higgs permitirá estudiar el campo de Higgs, responsable de la masa de los bosones gauge electrodébiles W± y Z0 gracias a un mecanismo de rotura espontánea de la simetría introducido por Englert y Brout, Higgs, y Guralnik, Hagen, y Kibble. El modelo estándar no predice la masa del bosón de Higgs, pero su existencia afecta a otras partículas, por lo que las medidas de precisión permiten estimar su masa mH, que debe estar en el intervalo [70, 123] GeV/c² al 68% CL. Las medidas de LEP (Large Electron Positron, en el CERN) indicaron que mH > 114,4 GeV/c² al 95% CL. Los experimentos CDF y DZero del Tevatron (Fermilab, cerca de Chicago, EEUU) excluyeron el Higgs en el intervalo [147, 180] GeV/c² al 95% CL. Como resultado, se esperaba que el bosón de Higgs tuviera una masa próxima a 123 GeV/c², dentro del intervalo [115, 147] GeV/c². La partícula descubierta este año cumple estos requisitos.

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El descubrimiento del nuevo bosón ha sido posible gracias a que la luminosidad instantánea máxima alcanzada en 2012 en las colisiones del LHC, 7,6 × 1033 cm−2 s−1,  es cercana al valor máximo de diseño (que se espera alcanzar en 2015); se ha alcanzado gracias a usar 1368 paquetes de protones, separados 50 ns (unos 16 m), cada uno con unos 0,15 billones de protones estrechados a un tamaño transversal de unos 20 μm en el punto de interacción. En cada cruce se producen unas 20 colisiones individuales; entre los 20 millones de cruces por segundo se seleccionan (gracias al sistema de disparo o trigger) unas 400 (en ATLAS) y unas 500 (en CMS) que son almacenadas en disco duro para su posterior análisis.

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Francis en ¡Eureka!: El resumen de la ciencia de 2012

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Como todos los domingos, ya puedes escucharme en mi sección ¡Eureka! del programa La Rosa de los Vientos de Onda Cero. El audio “Los principales logros científicos del año,” lo puedes disfrutar siguiendo este enlace. Como siempre, una transcripción libre.

Acaba el año 2012 y conviene hacer un resumen de las grandes noticias científicas. No es tarea fácil, ha habido tantas noticias interesantes que es difícil seleccionar unas pocas. Para concretar he elegido cuatro tópicos. Noticias de Física, Ciencias del Espacio, Ciencias de la Vida y Tecnología. Pido perdón a los oyentes por omitir muchos otros temas que han dado noticias muy interesantes este año.

En Física, la gran noticia del año ha sido el descubrimiento de la partícula de Higgs. El año 2012 será recordado en todos los libros de historia de la física por el anuncio del descubrimiento del bosón de Higgs el 4 de julio en el LHC (el Gran Colisionador de Hadrones del CERN, Centro Europeo de Investigación Nuclear). En los próximos años habrá que estudiar la física de esta partícula para desentrañar todos sus secretos. En primavera se aclaró por fin que un cable de fibra óptica mal conectado era el responsable de que el experimento OPERA observara que los neutrinos son superlumínicos; al corregir el problema, los neutrinos ya se observan a casi la velocidad de la luz, como tiene que ser, y se ha obtenido la mejor medida hasta el momento de la velocidad de los neutrinos muónicos. Ha habido grandes avances en computación cuántica, yo destacaría que en septiembre se batió el récord de distancia en el teletransporte cuántico por el aire, 143 km en las Islas Canarias. Se han observado las galaxias más antiguas, que se formaron cuando el universo tenía solo unos 300 mil años tras el big bang y se han realizado grandes avances en física del estado sólido, como la observación por primera vez de partículas de Majorana (predichas en 1937). Sin lugar a dudas ha sido un año apasionante para la física.

En Ciencias del Espacio la gran noticia del año ha sido la llegada del rover Curiosity a Marte, que mucha cree que acabará encontrando señales de vida. La gran noticia de agosto fue la llegada del rover Curiosity de la NASA a Marte. Un laboratorio químico de 900 kg que estudiará la atmósfera, y las rocas y sedimentos en la región del Cráter Gale. No buscará “vida”, solo las condiciones ambientales que podrían ser favorables para la vida. Pero ha habido otras noticias sobre planetas. En Mercurio la sonda Messenger ha encontrado agua en forma de hielo en los polos. Se han publicado nuevas pruebas sobre cómo se formó la Luna tras un choque de un planeta contra la Tierra primitiva. Se ha descubierto que Plutón tiene 5 lunas. Se han encontrado gran número de exoplanetas curiosos. Se ha encontrado el exoplaneta más cercano a la Tierra, que orbita la estrella Alfa Centauri, la más cercana, aunque el planeta es muy caliente para albergar vida. Un exoplaneta tipo Tatooine que orbita a dos estrellas simultáneamente. Un planeta tipo Neptuno en un sistema estelar con 4 estrellas. Una supertierra en la zona habitable que podría albergar vida. Y muchos otros exoplanetas. Las estimaciones indican que hay unos 160 mil millones de estrellas con al menos un planeta en la Vía Láctea.

En Biología y Ciencias de la Vida, podemos destacar como noticia el proyecto ENCODE que ha descubierto el secreto del ADN basura. El Proyecto Genoma Humano documentó todos nuestros genes, los trozos de ADN que codifican proteínas, pero descubrió que el ADN es mucho más complicado de lo que se pensaba. La paradoja de la ciencia, cada vez que uno sabe más cosas se da cuenta que sabe menos cosas. Los genes son el 1,2% del ADN y solo un 3% del ADN está implicado en la regulación de la expresión de los genes. El 97% se pensaba que no tenía ninguna función. El proyecto ENCODE ha encontrado actividad química en el 50% del ADN y abre la puerta para una revolución en nuestra manera de entender el ADN con importantes aplicaciones biomédicas, pues muchas enfermedades podrían estar relacionadas con esta parte del ADN. Pero ha habido muchos avances relacionados con enfermedades como el cáncer; por ejemplo, en el cáncer de mama ya se sabe que hay 10 tipos diferentes (cada uno requiere un tratamiento distinto). Ha habido avances importantes en biología sintética, como el desarrollo de bacterias capaces de fabricar hidrocarburos y gasolina directamente a partir de CO2. Y el gran fiasco del año fue la vida basada en el arsénico que anunció la NASA, las supuestas bacterias que incorporaban arsénico en su ADN en lugar de fósforo que más tarde fueron desmentidas.
En Ingeniería y Tecnología, lo más interesante siguen siendo los avances en nanotecnología. Ya hay dispositivos nanotecnológicos comerciales. Este año Intel ha lanzado los primeros chips microprocesadores con tecnología de 22 nanómetros. IBM ha fabricado unas baterías de litio-aire ultraligeras de alta capacidad y duración muy prometedoras para los futuros coches eléctricos. Se han desarrollado transistores utilizando fibras de algodón, dopadas con nanopartículas de oro y un polímero conductor, que prometen el desarrollo futuro de tejidos inteligentes para la ropa. Unos japoneses han desarrollado la fibra óptica para internet más rápida del mundo, un petabit por segundo en una distancia de 50 km (5000 canales de TV de alta definición por segundo por una sola fibra). Tantos avances que yo quisiera acabar recordando que este año ha sido el Año Turing, el centenario del nacimiento de Alan Turing, matemático británico considerado el padre de la informática y de los ordenadores.
Muchos temas y muy poco tiempo. Si no has escuchado el audio aún y te apetece escucharlo ahora puedes hacerlo en este enlace.

Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega

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Hay dos Fray Juan de Ortega famosos en el medievo español, uno era jerónimo y el otro dominico. El fraile jerónimo es el presunto autor del Lazarillo de Tormes. El fraile dominico era palentino (c. 1480-1568) y matemático. El 30 de diciembre de 1512, Fray Juan de Ortega publicó en Lyon la primera edición de su Aritmetica. En el último capítulo, “Reglas de geometría,” aparecen aproximaciones por defecto de 14 raíces cuadradas. En las ediciones de Sevilla de 1534, 1537 y 1542, se sustituyen estos valores por aproximaciones por exceso. Doce de ellas son óptimas (verifican la ecuación de Pell). Hasta la fecha se desconoce como fueron obtenidas.” Manuel Benito, Jose Javier Escribano, Emilio Fernández, y Mercedes Sánchez proponen un posible método en “Fray Juan de Ortega’s approximations, 500 years after,” arXiv:1212.1125, Subm. 5 Dec 2012.

Las raíces cuadradas presentadas en el “Tratado subtilíssimo de Arismética y Geometría” (Barcelona, 1512) solo pueden haberse obtenido por un método numérico muy refinado, que aunque no se explica de forma explícita, prefigura el uso de la ecuación de Pell que proporciona una aproximación óptima a la raíz en forma de número racional. Julio Rey Pastor creía que dicho método de aproximación de raíces, cualquiera que fuese, era equivalente al desarrollo en fracciones continuas y conjeturó que estaría basado en la intercalación aditiva, esto es, sumar numeradores y denominadores de dos fracciones para obtener otra comprendida entre ambas. Por el contrario, José Barinaga demostró la estrecha analogía entre los valores de Ortega y los obtenidos mediante el desarrollo de Adolf Hurwirtz. El nuevo artículo de Benito et al. presenta un método razonable, para las técnicas matemáticas de la época, que omitiré porque nos llevaría demasiado lejos, aún así, recomiendo a todos los interesados la lectura de su artículo.

La ecuación de Pell es x²–D y²=1, donde D es un número natural que no sea cuadrado perfecto. Pierre de Fermat (1601-1665) desafió a los matemáticos ingleses a resolverla para D=61 y D=109 (las soluciones son x=1766319049, y=226153980, y x=158070671986249, y=15140424455100). Fermat nunca publicó su método de solución. El método actual utiliza fracciones continuas (más información sobre el algoritmo en MathWorld). Recomiendo leer la biografía de Juan de Ortega y, como no, a Gaussianos, “La ecuación de Pell,” 10 oct 2009, que nos recuerda el desafío de Pierre de Fermat a los matemáticos ingleses.

Esta entrada es mi segunda participación en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas que acoge el blog de Elisa Benítez “Que no te aburran las M@TES.”

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones

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El producto vectorial, que a partir de dos vectores nos da un tercer vector, es bien conocido en un espacio de tres dimensiones. ¿Se puede definir un producto vectorial en más de tres dimensiones? Beno Eckmann demostró en 1943 usando topología algebraica que el producto vectorial en dicho caso solo existe en siete dimensiones. De hecho, la relación entre el producto vectorial en siete dimensiones y los octoniones es la misma que entre el tridimensional y los cuaterniones; hay una relación íntima entre las propiedades del producto vectorial y el teorema 1,2,4,8 de Adolf Hurwitz (1898). Se han publicado varias demostraciones más sencillas que la de Eckmann, pero destaca la más reciente, Peter F. McLoughlin, “When does a cross product on R^{n} exist?,” arXiv:1212.3515 (que agradece los comentarios y revisión del experto español Alberto Elduque). La nueva demostración se puede calificar de “elemental” y por tanto se puede incorporar en un primer curso de álgebra lineal y geometría.

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ATLAS confirma la observación de CMS del “ridge” en las colisiones protón-plomo

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En “Un fenómeno sin explicación observado en las colisiones de protón contra ión de plomo en CMS del LHC,” hablé de un fenómeno que observó CMS en la prueba piloto realizada en septiembre de 2012 de colisiones de protón contra núcleo de plomo (p-Pb) a 5,02 TeV c.m. en el LHC (CERN). Hoy se publica que ATLAS ha confirmado el mismo fenómeno utilizando los datos de dicha prueba piloto, es decir, correlaciones entre pares de partículas en el diagrama que muestra el ángulo azimutal relativo (∆φ) versus la pseudorapidez (∆η); recuerda que la pseudorapidez se obtiene a partir del ángulo polar (en coordenadas esféricas) mediante un cambio de variable. Este “ridge” observado también en colisiones Pb-Pb en CMS, ATLAS y ALICE, aún no tiene una explicación convincente. El nuevo artículo técnico es ATLAS Collaboration, “Observation of Associated Near-side and Away-side Long-range Correlations in sqrt(s_NN)=5.02 TeV Proton-lead Collisions with the ATLAS Detector,” arXiv:1212.5198, 20 Dec 2012.

 

Colisiones protón-protón a 57 TeV c.m. en los rayos cósmicos (siete veces más que en el LHC en 2012)

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El argumento más claro para demostrar que en el LHC del CERN las colisiones protón contra protón a un máximo de 14 TeV c.m. no pueden producir agujeros negros “peligrosos” para el planeta Tierra es que todos los días se producen colisiones a mayor energía entre protones de los rayos cósmicos y los protones de las moléculas del aire en la atmósfera. Gracias a ellas, el Observatorio Pierre Auger ha determinado que la sección eficaz de colisión (inelástica) tipo protón contra protón en una colisión a 57 TeV c.m. es de σ(p−p) = 92 ± 7 (stat) ± 11 (syst) ± 7 (Glauber) mb (milibarns); este valor ha sido obtenido por extrapolación utilizando el modelo de Glauber aplicado a la colisión entre un protón y una molécula del aire, determinada de forma experimental como σ(p−air) = 505 ± 22 (stat) ± 36 (syst) mb (milibarns) para una energía en el centro de masas de la colisión de 57 ± 0,3 (stat) ± 6 (syst) TeV. Recuerda, 57 TeV es una energía en el centro de masas unas 7 veces mayor que los míseros 8 TeV c.m. que se han alcanzado en el LHC del CERN en el año 2012, y unas 4 veces mayor que los 14 TeV c.m. de energía máxima que se podrían alcanzar algún día (podrían pues en 2015 se espera que las colisiones se reinicien a 13 TeV c.m. y se podrá subir este valor dependiendo del éxito de la reparación a la que será sometido el LHC entre 2013 y 2014). El artículo técnico para los interesados en más detalles es Jan Ebr (for the Pierre Auger Collaboration), “Measurement of the proton-air cross-section at sqrt(s) = 57 TeV with the Pierre Auger Observatory,” arXiv:1212.4053, 17 Dec 2012.

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