La botella de Klein

La definición más intuitiva de la botella de Klein (1882) se obtiene tomando un cuadrado, sea [0, 2π]×[0, 2π], e identificando las caras opuestas con una relación de equivalencia (u, 0) ∼ (u, 2π), y (0, v) ∼ (2π, 2π − v), como indican las flechas en la figura. Con cuidado se puede comprobar que resulta la “botella” que se interseca a sí misma que todos estamos acostumbrados.

Lo que mucha gente no sabe es que esta representación en forma de “botella” no es la única representación tridimensional de la botella de Klein. Otra representación muy famosa es la generada por el movimiento de una lemniscata en un círculo introducida en 1976 por T. Banchoff (cuya primera representación gráfica es de 1982 en un trabajo de S. Feiner, D. Salesin, and T. Banchoff).

Otra manera de visualizar la botella de Klein es mediante una familia uniparamétrica de círculos, siguiendo a H. B. Lawson en 1970.

Parecen representaciones de objetos diferentes, pero se pueden deformar entre sí demostrando que corresponden al mismo objeto.

El matemático y el aficionado a las matermáticas siempre se pregunta cómo se pueden describir matemáticamente las ecuaciones de estas representaciones. No es fácil. La famosa botella, en el software matemático Mathematica, está calculada mediante las fórmulas descritas en 1991 por S. Dickson (básicamente dos tubos adecuadamente conectados).

La expresión matemática de la botella de Lawon es un poco más sencilla,

pero la más sencilla es la de Banchoff,

Aunque, obviamente, ninguna de estas expresiones matemáticas es fácil de entender. Gregorio Franzoni introduce una expresión matemática en su artículo “The Klein Bottle: Variations on a Theme,” Notices of the AMS 59: 1076-1082, 2012. M. Trott en uno de sus libros sobre Mathematica introdujo la idea de “engordar” en forma de tubo una curva y determinó las propiedades generales de la curva para garantizar que el resultado fuera una botella de Klein. G. Franzoni aplica dicha idea una curva piriforme, como ilustra esta figura.

La formulación matemática es muy sencilla. La curva es γ(t) y el radio en cada punto de dicha curva es r(t). La botella de Klein dibujada arriba corresponde a los parámetros indicados más abajo.

Aparentemente, más fácil imposible. Más información en Gregorio Franzoni, “The Klein Bottle: Variations on a Theme,” Notices AMS, Aug 2012.

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9 pensamientos en “La botella de Klein

  1. Francis, buen artículo para los que no sabemos topología. Pese a que mi conocimiento de esta materia es básico, no sé si es acertado decir que “parecen representaciones de objetos diferentes, pero se pueden deformar entre sí demostrando que corresponden al mismo objeto”. Una rosquilla (un donut) y una taza con asa son dos objetos diferentes, sin embargo es posible construir una taza con asa a partir de un donut. Entonces, decir que el donut y la taza son el mismo objeto no es lo mismo que decir que ambos objetos tienen una equivalencia topológica. Lo mismo ocurre con el cuadrado que mediante trasformaciones resultan en la botella de Felix Klein. La primera figura muestra una sucesión de cilindros que encajan en un esferoide (la base de la botella), dando por resultado final una botella que se interseca a sí misma. Pero insisto, el artículo es pedagógico y nos ayuda a entender esta materia. Feliz Navidad.

    • Yo no veo el problema, topológicamente hablando, SON el mismo objeto.

      El artículo da por sentado que se conoce de qué se está hablando “…que todos estamos acostumbrados….”, es decir, el artículo no habla de la botella, sino de ciertas representaciones.

      • No sé si son el mismo objeto, quizá será mejor decir que son homeomorfos. Imagina que viertes café en una taza y el líquido queda contenido en la taza sin derramarse al exterior. Imagina ahora que llevado de un entusiasmo topológico que te hace pensar que la taza es lo mismo que un donut viertes el café en el donut y el líquido atraviesa el agujero de la rosquilla y aterriza en tus pantalones. ¿Son el mismo objeto?

      • Artemio, topológicamente, SON el mismo objeto, porque la topología (de los objetos que comentas en el espacio topológico que comentas) no estudia si un objeto puede contener café o no. Si quieres estudiar si dos objetos son iguales en el sentido de contener café, deberás utilizar otras propiedades de la geometría (o bien, extender tus objetos a un espacio topológico diferente).

        Siguiendo y concretando tu ejemplo, usando la topología usual en R3, NUNCA podrás diferenciar entre una taza de café y un donuts, deberás usar un espacio topológico diferente o bien (que es lo normal) usar otras herramientas como la geometría analítica (muy común en física para estudiar los derramamientos de café que comentas).

  2. Este es uno de los objetos más bellos de la geometría y la topología.

    Recuerdo que siempre me pregunté que ocurriese si se tuviese una botella de Klein de metal y se cargara. Por que al cargarse se creará un campo eléctrico normal a la superficie (ya que en la situación electrostática si hubiere componentes tangentes a la superficie no sería electrostática la situación) pero tengo entendido que la afirmación de la existencia de un campo de vectores tangentes unitarios caracteriza a las superficies orientables y este no es el caso.

    Mi pregunta era ¿Qué pasaría en la vida real? ¿habría un punto sin carga? ¿Esto haría imposible la situación electrostática?

    Aún no lo sé esta entrada me la recordó

  3. quiero realizar la gráfica con las ecuaciones que están de ultimas, pero no entiendo como evaluar γ(t) porque hay dos funciones asociadas, cuales son los intervalos para cada una?

    • Bueno los intervalos están especificados me parece.

      Te recomiendo que hagas la gráfica con matemática, Difícilmente con un graficador más simple vas a poder conseguir una representación (aún en la página de Wolfram alpha), Es mucho muy interesante que lo hagas por que de cierta manera que esté definida a trozos la función tiene que ver con que la imagen de esa función es un conjunto disconexo y sí se grafica en el plano queda muy claro el por qué de la no orientabilidad. De hecho es mucho más bonito que veas como se parametriza ahí se entiende cuál es el secreto;)

  4. j0sejuan, claro, es fácil entender lo que dices. Yo planteaba la cuestión en el plano material donde el donut es una rosquilla comestible y una taza con asa es un recipiente que permite contener un líquido sin que se derrame al exterior. En el plano abstracto de la matemática y la topología la historia es diferente. De todas maneras, hay transformaciones que encierran una dificultad considerable y que requieren una “cirugía” compleja que hace fruncir el ceño a los topólogos más exigentes.

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