Cómo funciona la peonza que levita en el aire (incluye fórmulas matemáticas)

Una peonza metálica de unos 20 gramos de peso, con un imán en su interior, levita a unos 3 cm de altura sobre una plataforma negra de plástico que contiene un imán permanente de forma toroidal. La peonza gira durante unos minutos hasta que la resistencia del aire hace que su velocidad se reduzca por debajo de cierto valor crítico provocando que la peonza caiga en la plataforma. Roy Harrigan patentó este juguete en 1983, pero fue criticado por muchos físicos porque el teorema de Earnshaw (1842) afirma que un campo magnético estático dipolar no puede hacer levitar de forma estable un objeto. No logró comerciarlizarlo hasta 1993, cuando Bill Hones de la empresa Fascinations descubrió su patente.

Como suele pasar a veces, por desgracia para muchos inventores, el juguete no tuvo el éxito esperado hasta que el propio Hones patentó una variante en 1994, que utiliza una base cuadrada, que comercializó en 1995 como Levitron (por su empresa Fascinations, claro); según reza en la nueva patente, la versión original de Harrigan, que utiliza una base circular, no funciona bien (Hones apoya su afirmación en los físicos que criticaron a Harrigan). Obviamente, el cambio de base circular a base cuadrada es una soberana tontería y las leyes físicas afirman que ambas versiones funcionan igual de bien (o igual de mal). Pero lo cierto es que las leyes de la propiedad industrial son así, si se permite una nueva patente de lo mismo es porque es “distinto” (en opinión de la Oficina de Patentes). Por ello, la recomendación oficial para quien patente algo nuevo es que primero busque quien se lo vaya a comercializar y que sea alguien de “confianza,” no le vaya a pasar lo mismo que al pobre Harrigan.

La explicación física de por qué funciona el Levitron se publicó en el ahora muy famoso artículo de Michael V. Berry, “The Levitron: an adiabatic trap for spins,” Proceedings of the Royal Society of London A 452: 1207-1220, 1996 [copia gratis; otra]. Hace ya unos años, yo leí (en papel) la explicación en la revista American Journal of Physics, en concreto en Martin D. Simon, Lee O. Heflinger, S. L. Ridgway, “Spin stabilized magnetic levitation,” Am. J. Phys. 65: 286-292, 1997 [copia gratis]. También se puede consultar Thomas B. Jones, Masao Washizu, Roger Gans, “Simple theory for the Levitron,” J. Appl. Phys. 82: 883-888, 1997 [copia gratis], y Roger F Gans, Thomas B Jones, Masao Washizu, “Dynamics of the Levitron,” J. Phys. D: Appl. Phys. 31: 671–679, 1998 [copia gratis]; así como a Holger R. Dullin, Robert W. Easton, “Stability of Levitrons,” Physica D: Nonlinear Phenomena 126: 1–17, 1999 [copia gratis]. Pero en esta entrada yo me basaré en el artículo de Shahar Gov, Shmuel Shtrikman, “How High Can The U-CAS Fly?,” arXiv:physics/9902002, 31 Jan 1999; este artículo tiene la ventaja de que puedo extraer las fórmulas del fichero .tex sin necesidad de tener que volverlas a teclear (que en wordpress.com siempre es un suplicio). Porque has leído bien, lo siento, pero esta entrada tiene fórmulas matemáticas.

Dibujo20121226 levitron - schematics with variables and coordinates

El principio de funcionamiento del Levitron se basa en la “aproximación adiabática,” por ello es ideal para ilustrarla en cursos de física (como el que yo impartí hace unos años sobre “Bifurcaciones, dinámica no lineal y caos”). Al poner a girar la peonza encima de la plataforma su momento magnético apunta en una dirección antiparalela a la magnetización de la base con lo que aparece una fuerza magnética repulsiva que actúa en contra de la gravedad. La peonza ha de ser rápida, su velocidad de rotación debe ser mayor que su velocidad de precesión (\Omega_{\text{giro}}\gg\Omega_{\text{precesion}}; normalmente, \Omega_{\text{giro}}\sim25 Hz y \Omega_{\text{precesion}}\sim5 Hz). Además, la peonza debe percibir un campo magnético rotatorio lento, por lo que debe tener una velocidad de rotación lateral lenta comparada con la velocidad de precesión (\Omega_{\text{precesion}}\gg\Omega_{\text{lateral}}; normalmente \Omega_{\text{lateral}}\simeq1 Hz). Bajo estas hipótesis adiabáticas, la peonza realiza una precesión alrededor de la dirección local del campo magnético \mathbf{B} y en media el momento magnético \mathbf{\mu} apunta en una dirección antiparalela a las líneas de campo magnético. La energía magnética de interacción será -\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{B}\approx\mu\left|\mathbf{B}\right| y la energía total “efectiva” sobre la peonza será E_{\text{eff}}\left(\mathbf{r}\right)\simeq{mgz}+\mu\left|{\mathbf{B}}\left(\mathbf{r}\right)\right|, donde m es la masa de la peonza, g es la aceleración de la gravedad y z es la altura de levitación de la peonza. La aproximación adiabática garantiza que el único grado de libertad de la peonza es la traslación en la dirección vertical. Como esta expresión matemática para la energía tiene un mínimo para ciertos valores de \mu/mg, una peonza “bien ajustada” será capaz de levitar de forma estable si se cumple que

\dfrac{\partial^{2}E_{\text{eff}}\left( \mathbf{r}\right) }{\partial\mathbf{r}^{2}}\sim\dfrac{\partial^{2}\left|{\mathbf{B}}\left(\mathbf{r}\right)\right|}{\partial{}x^{2}},\dfrac{\partial^{2}\left|{}\mathbf{B}\left({}\mathbf{r}\right){}\right|}{\partial{}y^{2}},\dfrac{\partial^{2}\left|\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)\right|}{\partial z^{2}}>0,

donde las derivadas se evalúan en el punto de equilibrio de la peonza, dado por la expresión

{\mathbf{F}{=-\nabla}}E_{\text{eff}}=-mg{\mathbf{\hat{z}}}-\mu{\mathbf{\nabla}}\left|{\mathbf{B(r)}}\right| =0.

Conviene destacar que la estabilidad de la peonza no depende de la intensidad del campo magnético sino de su geometría. Por ello conviene que la peonza tenga un imán toroidal en su interior en lugar de uno en forma de disco, ya que así se puede incrementar su altura de levitación.

Obviamente, para continuar con los cálculos tenemos que especificar el campo magnético y cómo depende de la magnetización de la base. Centrándonos en la componente vertical de la fuerza, podemos escribir con un error pequeño que

-\mu{\mathbf{\nabla}}\left|{\mathbf{B(r)}}\right|=-\mu\dfrac{\partial\left|{\mathbf{B}}\right|}{\partial{}z}{\mathbf{\hat{z}}},

donde podemos escribir (en la aproximación adiabática)

\displaystyle{}\dfrac{\partial\left|{\mathbf{B}}\right|}{\partial{}z}=\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=\int{\mathbf{M(r}}^{\prime})\cdot\frac{\partial{\mathbf{B}}_{d}({\mathbf{r}}^{\prime};z)}{\partial{}z}d^{3}r^{\prime},\qquad\qquad{\mathbf{B}}_{d}(\mathbf{\hat{r}})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{(3\cos\theta{\mathbf{\hat{r}-\hat{z}}})}{r^{3}},

donde los ángulos corresponden a la figura de más arriba, \mu_{0} es la permeabilidad magnética del vacío y {\mathbf{M(r)}}=-M_{0}{\mathbf{\hat{n}}}(\theta) para el imán toroidal. Los cálculos matemáticos no son complicados (los interesados pueden consultar el artículo que estamos usando de guía), pero requieren cierta práctica con integrales trigonométricas, conduciendo a que

\left.\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z}\right|_{z=h}\cong-\dfrac{12M_{0}}{h}\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}.

Como resultado, la altura de levitación es h_{\max}\cong{}12{}l_{0}, donde la longitud característica del problema es

l_{0}\equiv\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{M_{0}\mu}{mg}.

Hay que recordar que en esta expresión de la altura de levitación se está suponiendo que la peonza no puede moverse lateralmente y la aproximación adiabática. Con cálculos similares se puede demostrar que \partial^2{}B_{z}/\partial{z^2}>0, es decir, la estabilidad de la levitación (cuando la fricción con el aire es despreciable).

Generar un campo magnético uniforme en la base es mucho más fácil, pero reduce la altura de levitación. Repitiendo los cálculos para {\mathbf{M(r)}}=M_{0}{\mathbf{\hat{z}}} y suponiendo que la base es infinita se obtiene (los cálculos son mucho más sencillos) que

\displaystyle{}\left.\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z}\right| _{z=h}=-\frac{\mu_{0}M_{0}}{h}\left( \dfrac{3}{5}\right) ^{5/2},

con lo que la altura de levitación se reduce a h_{\max}\cong3.5{}l_{0}.

Como siempre, el objetivo de estas entradas de física y matemáticas es incentivar a los profesores para que las usen como ilustración a sus alumnos de problemas no triviales pero curiosos. Espero que quienes recojan el guante disfruten y hagan disfrutar.

Esta entrada surgió a partir de mi entrada “Cómo conseguir que no pare de girar la peonza de la película “Origen” (“Inception”),” 28 julio 2012. Alguien comentó que por qué no se incluía una formulación matemática del problema…

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10 pensamientos en “Cómo funciona la peonza que levita en el aire (incluye fórmulas matemáticas)

  1. Hombre de verdad que ha sido estimulante el artículo, Me llevó mas deuna hora seguirle el hilo a la entrada tengo que aceptarlo no soy nada distro en física pero fué agradable recordar estas cosas en un contexto tan curioso.

    Se qué la siguiente pregunta va a resultar muy infantil he inspirada por la ciencia ficción pero me gustaría de cualquier manera escuchar la respuesta. ¿Es posible aplicar de alguna manera esté mecanismo a un sistema propulsor? En definitiva veo el problema de que la base en este caso particular es fundamental para el funcionamiento del levitrón pero en fin tenía ganas de preguntar.

    Y otra cosa. La estabilidad del levitrón. ¿Hay libertad de moverlo un poco? Ó el equilibrio es inestable

    • Ramiro, los sistemas propulsores basados en la levitación magnética se utilizan mucho (usando imanes superconductores) para evitar el rozamiento de rodadura (aunque hay que luchar con la resistencia/rozamiento del aire), por ejemplo, en el maglev (tren de levitación magnética).

      “¿Hay libertad de moverlo?” Yo he probado un levitrón en mis propias manos y lo puedes mover con movimientos suaves. El equilibrio es estable.

  2. Me picó la curiosidad y he hecho mi propia chapucilla magnetico- levitatoria. Me basé en la idea, no se si correcta, de que la base del mecanismo del Levitron sería que el efecto giroscópico mantenía la peonza vertical, con lo que se mantiene la orientación adecuada para la repulsión magnética. Es decir, si la peonza no girara, su centro de masas la haría caer de lado y se perdería la repulsión magnética. Por tanto, si confino un imán en la zona de repulsión obtendré la levitación. ¿Cómo confinarlo sin usar el efecto giroscópico? Mediante un simple tubo de plástico. Afortunadamente tenía un que encajaba con una ranura del imán que hace de base, para mantenerlo fijo, y que tenía el diámetro interior justo para que el imán pequeño cupiese, pero sin que se pudiera mover fuera de la zona de repulsión.
    Aquí se ve un imán levitando sin necesidad de girar:

    Y aquí mi chapucilla:

    Sorprendentemente, el imán levitó a la primera, y lo hacía todas las veces que lo dejé caer, con la orientación adecuada claro está, antes de romperse de tanto experimentar.

      • De levitación sin duda. Estas chicas van llegar a ser un referente de la física en español (como las cernettes, o el rap del LHC, en ingles) La mayoria de visitas en youtube seguro que vienen desde este blog :)

      • No se a qué chicas te refieres. Por cierto, se me ha ocurrido que si se hiciera levitar la peonza en una campana de vacío, teóricamente, si el vacío fuera perfecto, cosa que es imposible, estaría eternamente girando.

      • Ah, ya veo lo que pasó. Al poner ese enlace a youtube que pone “Lista de reproducción. History” por lo visto cada cual vería algun video que habia visto recientemente. En mi caso uno de unas divertidas chicas escenificando la canción 137.

        Feliz Año Nuevo.

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