Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega

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Hay dos Fray Juan de Ortega famosos en el medievo español, uno era jerónimo y el otro dominico. El fraile jerónimo es el presunto autor del Lazarillo de Tormes. El fraile dominico era palentino (c. 1480-1568) y matemático. El 30 de diciembre de 1512, Fray Juan de Ortega publicó en Lyon la primera edición de su Aritmetica. En el último capítulo, “Reglas de geometría,” aparecen aproximaciones por defecto de 14 raíces cuadradas. En las ediciones de Sevilla de 1534, 1537 y 1542, se sustituyen estos valores por aproximaciones por exceso. Doce de ellas son óptimas (verifican la ecuación de Pell). Hasta la fecha se desconoce como fueron obtenidas.” Manuel Benito, Jose Javier Escribano, Emilio Fernández, y Mercedes Sánchez proponen un posible método en “Fray Juan de Ortega’s approximations, 500 years after,” arXiv:1212.1125, Subm. 5 Dec 2012.

Las raíces cuadradas presentadas en el “Tratado subtilíssimo de Arismética y Geometría” (Barcelona, 1512) solo pueden haberse obtenido por un método numérico muy refinado, que aunque no se explica de forma explícita, prefigura el uso de la ecuación de Pell que proporciona una aproximación óptima a la raíz en forma de número racional. Julio Rey Pastor creía que dicho método de aproximación de raíces, cualquiera que fuese, era equivalente al desarrollo en fracciones continuas y conjeturó que estaría basado en la intercalación aditiva, esto es, sumar numeradores y denominadores de dos fracciones para obtener otra comprendida entre ambas. Por el contrario, José Barinaga demostró la estrecha analogía entre los valores de Ortega y los obtenidos mediante el desarrollo de Adolf Hurwirtz. El nuevo artículo de Benito et al. presenta un método razonable, para las técnicas matemáticas de la época, que omitiré porque nos llevaría demasiado lejos, aún así, recomiendo a todos los interesados la lectura de su artículo.

La ecuación de Pell es x²–D y²=1, donde D es un número natural que no sea cuadrado perfecto. Pierre de Fermat (1601-1665) desafió a los matemáticos ingleses a resolverla para D=61 y D=109 (las soluciones son x=1766319049, y=226153980, y x=158070671986249, y=15140424455100). Fermat nunca publicó su método de solución. El método actual utiliza fracciones continuas (más información sobre el algoritmo en MathWorld). Recomiendo leer la biografía de Juan de Ortega y, como no, a Gaussianos, “La ecuación de Pell,” 10 oct 2009, que nos recuerda el desafío de Pierre de Fermat a los matemáticos ingleses.

Esta entrada es mi segunda participación en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas que acoge el blog de Elisa Benítez “Que no te aburran las M@TES.”

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