Nota dominical: La función de Guglielmo Libri H(x)=0^(0^x) y la función escalón de Oliver Heaviside

Hay expresiones matemáticas que no tienen sentido, mal llamadas indeterminaciones, como 0/0 y \infty-\infty, así como otras que solo lo son en apariencia, como 0^0. Guglielmo Libri (1803-1869) reivindicó en una serie de artículos que publicó en la década de 1830 que el valor de 0^0=1 (como hoy en día aceptan muchos matemáticos, pero no todos). Obviamente, la demostración más sencilla es \lim_{x\rightarrow 0+}x^x=1, pero hay muchas otras. Por ejemplo, el teorema del binomio

\displaystyle{(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\,{n\choose k}\,x^ky^{n-k}},

aplicado a x=0 e y=1, resulta en 1 a la izquierda y 0^0 a la derecha. Otra más, el número de aplicaciones entre el conjunto vacío y el conjunto vacío es 0^0 y obviamente este número tiene que ser 1 . Y así hay muchas más.

Libri se dio cuenta de que la expresión matemática 0^{0^x} es una función discontinua muy útil que equivale a escribir H(x)=[x>0], que ahora conocemos como la función escalón de Oliver Heaviside, que es igual a cero para todos los números negativos, uno para todos los positivos y, por convenio, un medio para el cero. El razonamiento de Libri se basa en que 0^x es igual a 0 (si x>0), o a 1 (si x=0), o a \infty (si x<0), por lo que 0^{0^x}=H(x).

Libri utilizó su función para escribir gran número de expresiones matemáticas. Por ejemplo, escribió (1-0^{0^{-x}})(1-0^{0^{x-a}}) para representar [0\leq x\leq a]=H(x)-H(x-a), y calculó integrales como

\displaystyle{{2\over\pi}\int_0^{\infty}{\cos(qx)\over 1+q^2}\,dq=e^x\cdot 0^{0^{-x}}+e^{-x}\bigl(1-0^{0^{-x}}\bigr)={e^x\over 0^{-x}+1}+{e^{-x}\over 0^x+1}},

que hoy en día escribiríamos como

\displaystyle{{2\over\pi}\int_0^{\infty}{\cos(qx)\over 1+q^2}\,dq=e^{-\vert x\vert}}.

Hay que recordar que la notación actual para el valor absoluto de un número real |x| se introdujo alrededor de 1880, extendiendo la notación para el módulo de números complejos introducida por Karl Weierstrass en 1876.

La teoría de números es un lugar “natural” para la función de Libri. Para escribir la función [x\;{\rm divide\;a}\;m], que vale uno si x divide a m y cero en otro caso, Libri nos propone

\displaystyle{[x\;{\rm divide\;a}\;m]={1-m\cdot 0^{0^{x-m}}P_0(x)-(m-1)\,0^{0^{x-m+1}}P_1(x)-\cdots-2\cdot 0^{0^{x-2}}P_{m-2}(x)-0^{0^{x-1}}P_{m-1}(x)\over x}},

donde P_k(x) se define de forma recursiva: P_0(x)=1, y para k>0 se tiene

\displaystyle{P_k(x)=0^{0^{x-k}}P_0(x)-0^{0^{x-k+1}}P_1(x)-\cdots-0^{0^{x-1}}P_{k-1}(x)}.

Para demostrar estas expresiones basta substituir 0^{0^{x-k}}=[x>k] y aplicar inducción sobre k para probar que

\displaystyle{P_k(x)=[x\;{\rm divide\;a}\;k]-[x\;{\rm divide\;a}\;k-1]},

para todo k>0.

Obviamente, la función escalón de Heaviside ha relegado al olvido la función de Libri. Sirva esta entrada para recordar que hay muchos trabajos de matemáticos que hoy en día han sido olvidados porque su notación era más engorrosa de la cuenta.

Fuente de esta entrada: Donald E. Knuth, “Two notes on notation,” Amer. Math. Monthly 99: 403-422, 1992 [arXiv:math/9205211].

3 pensamientos en “Nota dominical: La función de Guglielmo Libri H(x)=0^(0^x) y la función escalón de Oliver Heaviside

  1. Hola Francis, gracias por hacerme pensar un poco. Que conste que yo era de los que consideraban que 0^0 era una indeterminación y punto, aunque con esta entrada, las de topologico y el artículo de Knuth he quedado completamente convencido: el valor de cero elevado a cero es uno.

    No obstante, me parece importante puntualizar que lo que a muchos nos enseñaban en clase de cálculo no está mal, o por lo menos eso entiendo yo del artículo de Knuth. Traduzco libremente: ‘Por otra parte Cauchy tiene buenas razones para considerar 0^0 una “forma indeterminada de límite”, en el sentido de que el valor límite de f(x)^g(x) no es conocido a priori cuando f(x) y g(x) se aproximan a cero independientemente’.

    Una vez más gracias por compartir estas reflexiones!!

  2. Francis, no me queda claro cuando se esta hablando de la función, de una relación o de la operación aritmética, mas aun cuando difieren en sus dominios, ¿f(x)^g(x) siendo 0^0 en RxR es lo mismo que 0^0 en NxN ?, me temo que no

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